Giải SBT Toán 10 CD Bài 2: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ có đáp án

Ta có: $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=$  ( -1 + 2; 3 + (-5)) = (1; -2).

Vậy chọn đáp án A.

Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}-2\overrightarrow{v}=\left(2-2.1;-3-2.4\right)=\left(0;-11\right)$

Vậy chọn đáp án B.

Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là:

 $x_M=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{4+\left(-2\right)}{2}=1$

$y_M=\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{-1+5}{2}=2$

Suy ra M(1; 2)

Vậy chọn đáp án D.

Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:

 $x_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}=\frac{4+1+7}{3}=4$

$y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}=\frac{6+2+\left(-2\right)}{3}=2$

Suy ra G(4; 2)

Vậy chọn đáp án D.

Khoảng cách giữa hai điểm M và N chính bằng độ dài vectơ $\overrightarrow{MN}$ và  bằng $\left|\overrightarrow{MN}\right|=\sqrt{{\left(x_N-x_M\right)}^2+{\left(y_N-y_M\right)}^2}=\sqrt{{\left(1+2\right)}^2+{\left(2-4\right)}^2}=\sqrt{13}$

Vậy chọn đáp án A. 

Ta có:  $\cos \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=\frac{\left(-4\right).\left(-1\right)+\left(-3\right).\left(-7\right)}{\sqrt{{\left(-4\right)}^2+{\left(-3\right)}^2}.\sqrt{{\left(-1\right)}^2+{\left(-7\right)}^2}}=\frac{25}{\sqrt{25}.\sqrt{50}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

Suy ra $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)={45}^o$ .

Vậy chọn đáp án C.

Côsin của góc giữa hai vectơ  $\overrightarrow{u}=\left(1;1\right)$ và $\overrightarrow{v}=\left(-2;1\right)$  là:

$\cos \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=\frac{1.\left(-2\right)+1.1}{\sqrt{1^2+{\left(-2\right)}^2}.\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{-1}{\sqrt{5}.\sqrt{2}}=\frac{-\sqrt{10}}{10}$.

Vậy chọn đáp án C.

Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left(-2-2;2-6\right)=\left(-4;-4\right)$  ⇒ AB =$\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{{\left(-4\right)}^2+{\left(-4\right)}^2}=4\sqrt{2}.$

$\overrightarrow{AC}=\left(8-2;0-6\right)=\left(6;-6\right)$ ⇒ AC = $\left|\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{6^2+{\left(-6\right)}^2}=6\sqrt{2}$ .

Ta lại có:  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\left(-4\right).6+\left(-4\right).\left(-6\right)=0$

Nên $\overrightarrow{AB}$  vuông góc với $\overrightarrow{AC}$  hay tam giác ABC vuông tại A.

Vậy chọn đáp án B.

a) Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left(-1-1;-1-5\right)=\left(-2;-6\right)$  và  $\overrightarrow{AC}=\left(2-1;-5-5\right)=\left(1;-10\right)$

Ta thấy $\frac{-2}{1}\ne \frac{-6}{-10}$  nên $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$  không cùng phương.

Vậy A, B, C không thẳng hàng.

b) Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC:

 $x_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}=\frac{1+\left(-1\right)+2}{3}=\frac{2}{3}$

$y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}=\frac{5+\left(-1\right)+\left(-5\right)}{3}=\frac{-1}{3}$

Vậy $G\left(\frac{2}{3};\frac{-1}{3}\right)$ .

c) Do tứ giác ABCD là hình thang có AB // CD

Nên $\overrightarrow{AB}$  và $\overrightarrow{CD}$  ngược hướng

Mà $CD=\frac{3}{2}AB$  nên  $\overrightarrow{CD}=-\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}$

Gọi D(a; b), ta có: $\overrightarrow{AB}=\left(-1-1;-1-5\right)=\left(-2;-6\right)$ ,$\overrightarrow{CD}=\left(a-2;b+5\right)$ .

Suy ra  $\left\{\begin{array}{l}a-2=\frac{-3}{2}.\left(-2\right)\\ b+5=\frac{-3}{2}.\left(-6\right)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=5\\ b=4\end{array}\right.$

Vậy D(5; 4).

Ta có:  $\overrightarrow{AB}=\left(-5+2;-1-4\right)=\left(-3;-5\right)$

 $\overrightarrow{AC}=\left(8+2;-2-4\right)=\left(10;-6\right)$

 $\overrightarrow{BC}=\left(8+5;-2+1\right)=\left(13;-1\right)$

Suy ra:  $AB=\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{{\left(-3\right)}^2+{\left(-5\right)}^2}=\sqrt{34}$

 $AC=\left|\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{{10}^2+{\left(-6\right)}^2}=2\sqrt{34}$

$BC=\left|\overrightarrow{BC}\right|=\sqrt{{13}^2+{\left(-1\right)}^2}=\sqrt{170}$

Ta có: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\left(-3\right).10+\left(-5\right).\left(-6\right)=0$  suy ra $\overrightarrow{AB}$  vuông góc với $\overrightarrow{AC}$  hay $\widehat{BAC}={90}^o$ .

Ta có: $\cos \left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BC}\right)=\frac{10.13+\left(-6\right).\left(-1\right)}{\sqrt{{10}^2+6^2}.\sqrt{{13}^2+{\left(-1\right)}^2}}=\frac{136}{2\sqrt{34}.\sqrt{170}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$ .

Suy ra $\widehat{ACB}\approx {27}^o$$\Rightarrow \widehat{ABC}={90}^o-\widehat{ACB}\approx {63}^o$ . 

Do M nằm trên trục Ox nên M(a; 0).

Khi đó $\overrightarrow{MA}=\left(4-a;-2\right)$  và $\overrightarrow{MB}=\left(10-a;4\right)$ .

 $\Rightarrow \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\left(14-2a;2\right)$

 $\Rightarrow \left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=\sqrt{{\left(14-2a\right)}^2+2^2}$

Suy ra ${\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|}^2={\left(14-2a\right)}^2+2^2\ge 2^2=4$

Giá trị nhỏ nhất của ${\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|}^2$  là 4

Hay giá trị nhỏ nhất của $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|$  là 2 đạt được khi 14 – 2a = 0  

Vậy M(7; 0).

Gọi M(a; b) là tọa độ của máy bay trực thăng tại thời điểm sau khi xuất phát 1 giờ.

Ta có: $\overrightarrow{AM}=\left(a-600;b-200\right)$   và  $\overrightarrow{AB}=\left(-400;300\right)$

Do máy bay chuyển động thẳng đều nên quãng đường máy bay đi được sau 1 giờ bằng $\frac{1}{3}$  tổng quãng đường hay $AM=\frac{1}{3}AB$ .

Mà M thuộc đoạn AB nên $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ .

Suy ra  $\left\{\begin{array}{l}a-600=\frac{1}{3}.\left(-400\right)\\ b-200=\frac{1}{3}.300\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=\frac{1400}{3}\\ b=300\end{array}\right.$

Vậy M$\left(\frac{1400}{3};300\right)$ .