8 câu Trắc nghiệm Toán 10 Cánh diều Bài 2. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ (Phần 2) có đáp án (Thông hiểu)
8 câu hỏi
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(–4; 1), B(2; 4), C(2; –2). Tọa độ điểm D thỏa mãn C là trọng tâm của tam giác ABD là:
D(8; 11);
D(12; 11);
D(8; –11);
D(–8; –11).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có C là trọng tâm của tam giác ABD.
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{x_C} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_D}}}{3}\\{y_C} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_D}}}{3}\end{array} \right.\)
Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}2 = \frac{{ - 4 + 2 + {x_D}}}{3}\\ - 2 = \frac{{1 + 4 + {y_D}}}{3}\end{array} \right.\)
Vì vậy \(\left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 8\\{y_D} = - 11\end{array} \right.\)
Suy ra D(8; –11).
Vậy ta chọn phương án C.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho \(\vec a = \left( {3; - 2} \right),\,\,\vec b = \left( {1;4} \right)\). Tọa độ của \(\vec c\) thỏa mãn \(\vec c = 5\vec a + 2\vec b\) là:
\(\vec c = \left( {17; - 2} \right)\);
\(\vec c = \left( {13; - 18} \right)\);
\(\vec c = \left( { - 17;2} \right)\);
\(\vec c = \left( { - 2;17} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có:
⦁ \(5\vec a = \left( {5.3;5.\left( { - 2} \right)} \right) = \left( {15; - 10} \right)\);
⦁ \(2\vec b = \left( {2.1;2.4} \right) = \left( {2;8} \right)\).
Suy ra \(\vec c = 5\vec a + 2\vec b = \left( {15 + 2; - 10 + 8} \right) = \left( {17; - 2} \right)\).
Vậy ta chọn phương án A.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho \(\vec a = \left( {2;1} \right),\,\,\vec b = \left( {3;4} \right),\,\,\vec c = \left( { - 7;2} \right)\). Nếu \(\vec x - 2\vec a = \vec b - 3\vec c\) thì:
\(\vec x = \left( {28;2} \right)\);
\(\vec x = \left( {13;5} \right)\);
\(\vec x = \left( {16;4} \right)\);
\(\vec x = \left( {28;0} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\vec x - 2\vec a = \vec b - 3\vec c\).
Suy ra \(\vec x = 2\vec a + \vec b - 3\vec c\).
Ta có: \(2\vec a = \left( {2.2;2.1} \right) = \left( {4;2} \right)\);
Suy ra \(2\vec a + \vec b = \left( {4 + 3;2 + 4} \right) = \left( {7;6} \right)\).
Lại có \(3\vec c = \left( {3.\left( { - 7} \right);3.2} \right) = \left( { - 21;6} \right)\).
Khi đó \(\vec x = 2\vec a + \vec b - 3\vec c = \left( {7 - \left( { - 21} \right);6 - 6} \right) = \left( {28;0} \right)\).
Vậy \(\vec x = \left( {28;0} \right)\).
Do đó ta chọn phương án D.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(– 1; 1), B(1; 3), C(5; 2). Khi đó \(\widehat {BAC}\) bằng:
54°27’;
35°32’;
33°12’;
53°18’.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có:
⦁ \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;2} \right)\). Suy ra \(AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{2^2} + {2^2}} = 2\sqrt 2 \);
⦁ \(\overrightarrow {AC} = \left( {6;1} \right)\). Suy ra \(AC = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {{6^2} + {1^2}} = \sqrt {37} \).
Suy ra \(\cos \widehat {BAC} = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}}\)
\( = \frac{{2.6 + 2.1}}{{2\sqrt 2 .\sqrt {37} }} = \frac{{7\sqrt {74} }}{{74}}\).
Suy ra \(\widehat {BAC} \approx 35^\circ 32'\).
Vậy ta chọn phương án B.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A(2; 5), B(1; 1), C(3; 3) và một điểm E thỏa mãn \(\overrightarrow {AE} = 3\overrightarrow {AB} - 2\overrightarrow {AC} \). Tọa độ của điểm E là:
E(–3; 3);
E(–3; –3);
E(3; –3);
E(–2; –3).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có:
⦁ \(\overrightarrow {AB} = \left( {1 - 2;1 - 5} \right) = \left( { - 1; - 4} \right)\).
Suy ra \(3\overrightarrow {AB} = \left( {3.\left( { - 1} \right);3.\left( { - 4} \right)} \right) = \left( { - 3; - 12} \right)\).
⦁ \(\overrightarrow {AC} = \left( {3 - 2;3 - 5} \right) = \left( {1; - 2} \right)\).
Suy ra \(2\overrightarrow {AC} = \left( {2.1;2.\left( { - 2} \right)} \right) = \left( {2; - 4} \right)\).
Khi đó \(\overrightarrow {AE} = 3\overrightarrow {AB} - 2\overrightarrow {AC} = \left( { - 3 - 2; - 12 - \left( { - 4} \right)} \right) = \left( { - 5; - 8} \right)\).
Lại có \(\overrightarrow {AE} = \left( {{x_E} - 2;{y_E} - 5} \right)\).
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{x_E} - 2 = - 5\\{y_E} - 5 = - 8\end{array} \right.\)
Vì vậy \(\left\{ \begin{array}{l}{x_E} = - 3\\{y_E} = - 3\end{array} \right.\)
Khi đó tọa độ E(–3; –3).
Vậy ta chọn phương án B.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho \(\vec a = \left( {2;1} \right),\,\,\vec b = \left( {3;4} \right),\,\,\vec c = \left( {7;2} \right)\). Biết rằng \(\vec c = m\vec a + n\vec b\). Tổng m + n bằng:
5;
\(\frac{{19}}{5}\);
–5;
\( - \frac{{19}}{5}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có \(m\vec a = \left( {2m;m} \right)\) và \(n\vec b = \left( {3n;4n} \right)\).
Suy ra \(\vec c = m\vec a + n\vec b = \left( {2m + 3n;m + 4n} \right)\).
Mà \(\vec c = \left( {7;2} \right)\).
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}2m + 3n = 7\\m + 4n = 2\end{array} \right.\)
Vì vậy \(\left\{ \begin{array}{l}m = \frac{{22}}{5}\\n = - \frac{3}{5}\end{array} \right.\)
Do đó \(m + n = \frac{{22}}{5} - \frac{3}{5} = \frac{{19}}{5}\).
Vậy ta chọn phương án B.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2; 3) và B(–2; 1). Điểm C thuộc tia Ox sao cho tam giác ABC vuông tại C có tọa độ là:
C(3; 0);
C(–3; 0);
C(–1; 0);
C(2; 0).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có C(xC; yC) ∈ Ox.
Suy ra tọa độ C(xC; 0).
Ta có \(\overrightarrow {CA} = \left( {2 - {x_C};3} \right),\,\,\overrightarrow {CB} = \left( { - 2 - {x_C};1} \right)\).
Ta có tam giác ABC vuông tại C khi và chỉ khi \(\overrightarrow {CA} \bot \overrightarrow {CB} \).
Suy ra (2 – xC).(–2 – xC) + 3.1 = 0
Do đó –(2 – xC)(2 + xC) + 3 = 0
Vì vậy \( - \left( {4 - x_C^2} \right) + 3 = 0\)
Suy ra \(x_C^2 - 1 = 0\)
Khi đó xC = 1 hoặc xC = –1.
Vậy tọa độ C(1; 0) hoặc C(–1; 0).
Vậy ta chọn phương án C.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho \(\vec a = \left( {5;2} \right),\,\,\vec b = \left( {10;6 - 2x} \right)\). Giá trị của x để hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) cùng phương là:
1;
–1;
2;
–2.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) cùng phương khi và chỉ khi \(\vec b = k\vec a\).
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}10 = 5k\\6 - 2x = 2k\end{array} \right.\)
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}k = 2\\x = 1\end{array} \right.\)
Vậy khi x = 1 thì tồn tại một số k ∈ ℝ thỏa mãn hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) cùng phương.
Do đó ta chọn phương án A.
