Bài tập Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ có đáp án

Hướng dẫn giải

Sau bài học này, ta giải quyết được bài toán này như sau:

Gọi T(x; y) là vị trí máy bay trực thăng tại thời điểm sau khi xuất phát t giờ (0 ≤ t ≤ 3).

Ta có: \(\overrightarrow {AT} = \left( {x - 400;\,y - 50} \right)\); \(\overrightarrow {AB} = \left( {100 - 400;\,450 - 50} \right) = \left( { - 300;400} \right)\).

Theo bài ra có thời gian bay quãng đường AB là 3 giờ, suy ra tọa độ máy bay trực thăng tại thời điểm sau khi xuất phát t giờ chính là tại vị trí T sao cho \(\overrightarrow {AT} = \frac{t}{3}\overrightarrow {AB} \).

Ta có: \(\frac{t}{3}\overrightarrow {AB} = \frac{t}{3}\left( { - 300;\,\,400} \right) = \left( {\frac{t}{3}.\left( { - 300} \right);\frac{t}{3}.400} \right) = \left( { - 100t;\,\frac{{400t}}{3}} \right)\)

Khi đó: \(\overrightarrow {AT} = \frac{t}{3}\overrightarrow {AB} \Leftrightarrow \) \(\left( {x - 400;\,\,y - 50} \right) = \left( { - 100t;\,\,\frac{{400t}}{3}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 400 = - 100t\\y - 50 = \frac{{400t}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 400 - 100t\\y = 50 + \frac{{400t}}{3}\end{array} \right.\).

Vậy tọa độ của máy bay trực thăng tại thời điểm sau khi xuất phát t giờ là\(T\left( {400 - 100t;\,\,50 + \frac{{400t}}{3}} \right)\) với (0 ≤ t ≤ 3).

Hướng dẫn giải

Do \(\overrightarrow u = \left( {{x_1};\,{y_1}} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {{x_2};\,\,{y_2}} \right)\) nên \(\overrightarrow u = {x_1}\overrightarrow i + {y_1}\overrightarrow j \,\,,\,\,\overrightarrow v = {x_2}\overrightarrow i + {y_2}\overrightarrow j \).

Lời giải:

Để biểu diễn vectơ \(\overrightarrow u + \overrightarrow v \) theo hai vectơ \(\overrightarrow i \) và \(\overrightarrow j \), ta làm như sau:

Do \(\overrightarrow u = {x_1}\overrightarrow i + {y_1}\overrightarrow j \,\,,\,\,\overrightarrow v = {x_2}\overrightarrow i + {y_2}\overrightarrow j \), vậy nên:

\(\overrightarrow u + \overrightarrow v \)\( = \left( {{x_1}\overrightarrow i + {y_1}\overrightarrow j \,\,} \right) + \left( {{x_2}\overrightarrow i + {y_2}\overrightarrow j } \right)\)\[ = \left( {{x_1}\overrightarrow i + {x_2}\overrightarrow i \,} \right) + \left( {{y_1}\overrightarrow j \, + {y_2}\overrightarrow j } \right)\]\( = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\overrightarrow i + \left( {{y_1} + {y_2}} \right)\overrightarrow j \).

Tương tự, ta có:

\(\overrightarrow u - \overrightarrow v \)\( = \left( {{x_1}\overrightarrow i + {y_1}\overrightarrow j \,\,} \right) - \left( {{x_2}\overrightarrow i + {y_2}\overrightarrow j } \right)\)\[ = \left( {{x_1}\overrightarrow i - {x_2}\overrightarrow i \,} \right) + \left( {{y_1}\overrightarrow j \, - {y_2}\overrightarrow j } \right)\]\( = \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\overrightarrow i + \left( {{y_1} - {y_2}} \right)\overrightarrow j \).

\(k\overrightarrow u = k\left( {{x_1}\overrightarrow i + {y_1}\overrightarrow j } \right) = k{x_1}\overrightarrow i + k{y_1}\overrightarrow j = \left( {k{x_1}} \right)\overrightarrow i + \left( {k{y_1}} \right)\overrightarrow j \) (k ∈ ℝ).

Lời giải:

Do \(\overrightarrow u + \overrightarrow v \)\( = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\overrightarrow i + \left( {{y_1} + {y_2}} \right)\overrightarrow j \) nên tọa độ vectơ \(\overrightarrow u + \overrightarrow v \) là (x₁ + x₂; y₁ + y₂).

Do \(\overrightarrow u - \overrightarrow v \)\( = \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\overrightarrow i + \left( {{y_1} - {y_2}} \right)\overrightarrow j \) nên tọa độ vectơ \(\overrightarrow u - \overrightarrow v \) là (x₁ – x₂; y₁ – y₂).

Do \(k\overrightarrow u = \left( {k{x_1}} \right)\overrightarrow i + \left( {k{y_1}} \right)\overrightarrow j \) nên tọa độ vectơ \(k\overrightarrow u \) là (kx₁; ky₁) với (k ∈ ℝ).

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\overrightarrow u + \overrightarrow v + \overrightarrow {\rm{w}} \) = ((– 2) + 0 + (– 2); 0 + 6 + 3). Vậy \(\overrightarrow u + \overrightarrow v + \overrightarrow {\rm{w}} \) = (– 4; 9).

Hướng dẫn giải:Ta có: \(\overrightarrow {\rm{w}} + \overrightarrow u = \overrightarrow v \) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {\rm{w}} = \overrightarrow v - \overrightarrow u \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {\rm{w}} = \left( {0 - \sqrt 3 ;\,\left( { - \sqrt 7 } \right) - 0} \right)\). Vậy \(\overrightarrow {\rm{w}} = \left( { - \sqrt 3 ;\,\, - \sqrt 7 } \right)\).

Hướng dẫn giải

Gọi C(x_C; y_C) là vị trí máy bay trực thăng tại thời điểm sau khi xuất phát 2 giờ. 

Ta có: \(\overrightarrow {AC} = \left( {{x_C} - 400;\,{y_C} - 50} \right)\); \(\overrightarrow {AB} = \left( {100 - 400;\,450 - 50} \right) = \left( { - 300;400} \right)\).

Theo bài ra có thời gian bay quãng đường AB là 3 giờ, suy ra tọa độ máy bay trực thăng tại thời điểm sau khi xuất phát 2 giờ chính là tại vị trí C sao cho \(\overrightarrow {AC} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \).

Ta có: \(\frac{2}{3}\overrightarrow {AB} = \frac{2}{3}\left( { - 300;\,\,400} \right) = \left( {\frac{2}{3}.\left( { - 300} \right);\frac{2}{3}.400} \right) = \left( { - 200;\,\frac{{800}}{3}} \right)\)

Khi đó: \(\overrightarrow {AC} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \Leftrightarrow \) \(\left( {{x_C} - 400;\,\,{y_C} - 50} \right) = \left( { - 200;\,\,\frac{{800}}{3}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} - 400 = - 200\\{y_C} - 50 = \frac{{800}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 200\\{y_C} = \frac{{950}}{3}\end{array} \right.\).

Vậy tọa độ của máy bay trực thăng tại thời điểm sau khi xuất phát 2 giờ là\(C\left( {200;\,\,\frac{{950}}{3}} \right)\).

Hướng dẫn giải

Vì M là trung điểm của AB nên với điểm O, ta có \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = 2\overrightarrow {OM} \) hay \(\overrightarrow {OM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {OB} \).

Hướng dẫn giải:

Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {OA} \) chính là tọa độ của điểm A(x_A; y_A) nên \(\overrightarrow {OA} = \left( {{x_A};\,{y_A}} \right)\).

Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {OB} \) chính là tọa độ của điểm B(x_B; y_B) nên \(\overrightarrow {OB} = \left( {{x_B};\,{y_B}} \right)\).

Ta có: \(\frac{1}{2}\overrightarrow {OA} = \frac{1}{2}\left( {{x_A};\,{y_A}} \right) = \left( {\frac{1}{2}{x_A};\,\frac{1}{2}{y_A}} \right)\); \(\frac{1}{2}\overrightarrow {OB} = \frac{1}{2}\left( {{x_B};\,{y_B}} \right) = \left( {\frac{1}{2}{x_B};\,\frac{1}{2}{y_B}} \right)\).

Do đó: \(\overrightarrow {OM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {OB} = \left( {\frac{1}{2}{x_A} + \frac{1}{2}{x_B};\frac{1}{2}{y_A} + \frac{1}{2}{y_B}} \right)\)\( = \left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\,\,\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}} \right)\).

Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {OM} \) chính là tọa độ của điểm M.

Vậy tọa độ của điểm M là M\(\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\,\,\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}} \right)\).

Hướng dẫn giải

Gọi tọa độ điểm B(x­_B; y­_B).

Vì M là trung điểm của AB nên \({x_M} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\,\,{y_M} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\).

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 2{x_M} - {x_A} = 2.5 - 2 = 8\\{y_B} = 2{y_M} - {y_A} = 2.7 - 4 = 10\end{array} \right.\).

Vậy tọa độ điểm B là B(8; 10).

Hướng dẫn giải

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên với điểm O ta có \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 3\overrightarrow {OG} \) hay \(\overrightarrow {OG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right) = \frac{1}{3}\overrightarrow {OA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {OB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {OC} \).

Hướng dẫn giải:

Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {OA} \) chính là tọa độ của điểm A(x_A; y_A) nên \(\overrightarrow {OA} = \left( {{x_A};\,{y_A}} \right)\).

Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {OB} \) chính là tọa độ của điểm B(x_B; y_B) nên \(\overrightarrow {OB} = \left( {{x_B};\,{y_B}} \right)\).

Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {OC} \) chính là tọa độ của điểm C(x_C; y_C) nên \(\overrightarrow {OC} = \left( {{x_C};\,{y_C}} \right)\).

Ta có: \(\frac{1}{3}\overrightarrow {OA} = \frac{1}{3}\left( {{x_A};\,{y_A}} \right) = \left( {\frac{1}{3}{x_A};\,\frac{1}{3}{y_A}} \right)\); \(\frac{1}{3}\overrightarrow {OB} = \frac{1}{3}\left( {{x_B};\,{y_B}} \right) = \left( {\frac{1}{3}{x_B};\,\frac{1}{3}{y_B}} \right)\),

\(\frac{1}{3}\overrightarrow {OC} = \frac{1}{3}\left( {{x_C};\,{y_C}} \right) = \left( {\frac{1}{3}{x_C};\,\frac{1}{3}{y_C}} \right)\).

Do đó: \(\overrightarrow {OG} = \frac{1}{3}\overrightarrow {OA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {OB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {OC} = \left( {\frac{1}{3}{x_A} + \frac{1}{3}{x_B} + \frac{1}{3}{x_C};\frac{1}{3}{y_A} + \frac{1}{3}{y_B} + \frac{1}{3}{y_C}} \right)\)\( = \left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\,\,\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}} \right)\).

Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {OG} \) chính là tọa độ của điểm G.

Vậy tọa độ của điểm G là G\(\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\,\,\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}} \right)\).

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {1 - \left( { - 1} \right);\,\,5 - 1} \right) = \left( {2;\,\,4} \right)\), \(\overrightarrow {AG} = \left( {1 - \left( { - 1} \right);\,2 - 1} \right) = \left( {2;\,\,1} \right)\).

Vì \(\frac{2}{2} \ne \frac{4}{1}\) nên \(\overrightarrow {AB} \ne k\overrightarrow {AG} \).

Vậy ba điểm A, B, G không thẳng hàng.

Hướng dẫn giải:

Gọi tọa độ điểm C(x_C; y_C).

G là trọng tâm của tam giác ABC \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 3{x_G} - {x_A} - {x_B} = 3.1 - \left( { - 1} \right) - 1 = 3\\{y_C} = 3{y_G} - {y_A} - {y_B} = 3.2 - 1 - 5 = 0\end{array} \right.\).

Vậy tọa độ điểm C là C(3; 0).

Hướng dẫn giải

Ta có: \({\overrightarrow i ^2} = {\left| {\overrightarrow i } \right|^2} = 1;\,\,{\overrightarrow j ^2} = {\left| {\overrightarrow j } \right|^2} = 1\); \(\overrightarrow i \,\,.\,\,\overrightarrow j = 0\) (vì \(\overrightarrow i \,\, \bot \overrightarrow j \), do hai trục tọa độ vuông góc với nhau).

Hướng dẫn giải:

Vì \(\overrightarrow u = \left( {{x_1};\,\,{y_1}} \right),\,\,\overrightarrow v = \left( {{x_2};\,\,{y_2}} \right)\).

Nên ta có: \(\overrightarrow u = {x_1}\overrightarrow i + {y_1}\overrightarrow j \,;\,\,\overrightarrow v = {x_2}\overrightarrow i + {y_2}\overrightarrow j \,\).

Do đó \(\overrightarrow u \,.\,\overrightarrow v = \left( {{x_1}\overrightarrow i + {y_1}\overrightarrow j } \right).\left( {\overrightarrow u = {x_2}\overrightarrow i + {y_2}\overrightarrow j } \right)\)\( = {x_1}{x_2}.{\overrightarrow i ^2} + {x_1}{y_2}.\left( {\overrightarrow i \,\,.\,\overrightarrow j } \right) + {y_1}{x_2}.\,\left( {\overrightarrow j \,\,.\,\overrightarrow i } \right) + {y_1}{y_2}.\,{\overrightarrow j ^2}\)

\( = {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2}\) (do \({\overrightarrow i ^2} = {\left| {\overrightarrow i } \right|^2} = 1;\,\,{\overrightarrow j ^2} = {\left| {\overrightarrow j } \right|^2} = 1\); \(\overrightarrow i \,\,.\,\,\overrightarrow j = \overrightarrow j \,\,.\,\,\overrightarrow i = 0\))

Vậy \(\overrightarrow u \,\,.\,\,\overrightarrow v \)\( = {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2}\).

Hướng dẫn giải

Ta có: \(2\overrightarrow a = 2\left( { - 1;\,2} \right) = \left( { - 2;\,4} \right)\), \( - 3\overrightarrow c = - 3\left( {2;\, - 3} \right) = \left( { - 6;\,9} \right)\).

Do đó: \(\overrightarrow u = 2\overrightarrow a + \overrightarrow b - 3\overrightarrow c \)\( = 2\overrightarrow a + \overrightarrow b + \left( { - 3\overrightarrow c } \right) = \left( {\left( { - 2} \right) + 3 + \left( { - 6} \right);4 + 1 + 9} \right) = \left( { - 5;\,14} \right)\).

Vậy \(\overrightarrow u = \left( { - 5;\,\,14} \right)\).

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(\overrightarrow x + 2\overrightarrow b = \overrightarrow a + \overrightarrow c \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow x = \overrightarrow a + \overrightarrow c - 2\overrightarrow b \)

Mà \( - 2\overrightarrow b = - 2\left( {3;\,1} \right) = \,\left( { - 6;\, - 2} \right)\).

Do đó: \(\overrightarrow x = \overrightarrow a + \overrightarrow c - 2\overrightarrow b \)\( = \overrightarrow a + \overrightarrow c + \left( { - 2\overrightarrow b } \right) = \left( {\left( { - 1} \right) + 2 + \left( { - 6} \right);\,2 + \left( { - 3} \right) + \left( { - 2} \right)} \right) = \left( { - 5;\, - 3} \right)\).

Vậy \(\overrightarrow x = \left( { - 5;\, - 3} \right)\).

Hướng dẫn giải

 Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {4 - \left( { - 2} \right);\,5 - 3} \right) = \left( {6;\,2} \right)\), \(\overrightarrow {AC} = \left( {2 - \left( { - 2} \right);\,\left( { - 3} \right) - 3} \right) = \left( {4;\,\, - 6} \right)\).

Vì \(\frac{6}{4} \ne \frac{{ - 3}}{{ - 6}}\) nên \(\overrightarrow {AB} \ne k\overrightarrow {AC} \).

Vậy ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

Hướng dẫn giải:

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên tọa độ điểm G là

\({x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \frac{{\left( { - 2} \right) + 4 + 2}}{3} = \frac{4}{3}\), \({y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = \frac{{3 + 5 + \left( { - 3} \right)}}{3} = \frac{5}{3}\).

Vậy trọng tâm G có tọa độ là \(G\left( {\frac{4}{3};\,\frac{5}{3}} \right)\).

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(\overrightarrow {BC} = \left( {2 - 4;\,\left( { - 3} \right) - 5} \right) = \left( { - 2;\, - 8} \right)\).

Do đó: \(BC = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 8} \right)}^2}} = 2\sqrt {17} \approx 8\).

\(AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{6^2} + {2^2}} = 2\sqrt {10} \approx 6\).

\(AC = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {{4^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} = 2\sqrt {13} \approx 7\).

Ta có: \(\cos \widehat {BAC} = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\;\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\,\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}}\)\( = \frac{{6.4 + 2.\left( { - 6} \right)}}{{2\sqrt {10} .2\sqrt {13} }} \approx 0,26\).

Suy ra \(\widehat {BAC} = 75^\circ \).

Áp dụng hệ quả của định lí côsin trong tam giác ABC, ta có:

cosB = \(\frac{{B{A^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{{2BA.BC}} = \frac{{{{\left( {2\sqrt {10} } \right)}^2} + {{\left( {2\sqrt {17} } \right)}^2} - {{\left( {2\sqrt {13} } \right)}^2}}}{{2.2\sqrt {10} .2\sqrt {17} }} \approx 0,54\).

Suy ra \(\widehat {ABC} = \widehat B = 57^\circ \).

Theo định lí tổng ba góc trong tam giác ABC, ta có:

\(\widehat {BAC} + \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 180^\circ \)

Suy ra \(\widehat {ACB} = 180^\circ - \widehat {BAC} - \widehat {ABC} = 180^\circ - 75^\circ - 57^\circ = 48^\circ \).

Hướng dẫn giải

Gọi tọa độ các điểm A(x_A; y_A), B(x_B; y_B), C(x_C; y_C).

Vì P(1; 3) là trung điểm của cạnh AB nên

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = 1\\\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} = 2\\{y_A} + {y_B} = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 2 - {x_B}\\{y_A} = 6 - {y_B}\end{array} \right.\)   (1)

Vì N(4; 2) là trung điểm của cạnh CA nên \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x_A} + {x_C}}}{2} = 4\\\frac{{{y_A} + {y_C}}}{2} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_C} = 8\\{y_A} + {y_C} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 8 - {x_C}\\{y_A} = 4 - {y_C}\end{array} \right.\)   (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}2 - {x_B} = 8 - {x_C}\\6 - {y_B} = 4 - {y_C}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = - 6 + {x_C}\\{y_B} = 2 + {y_C}\end{array} \right.\)   (3)

Vì M(2; 0) là trung điểm của BC nên

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x_B} + {x_C}}}{2} = 2\\\frac{{{y_B} + {y_C}}}{2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} + {x_C} = 4\\{y_B} + {y_C} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 4 - {x_C}\\{y_B} = - {y_C}\end{array} \right.\) (4)

Từ (3) và (4) suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l} - 6 + {x_C} = 4 - {x_C}\\2 + {y_C} = - {y_C}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{x_C} = 10\\2{y_C} = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 5\\{y_C} = - 1\end{array} \right.\).

Do đó tọa độ điểm C là C(5; – 1).

Thay tọa độ điểm C vào (2) ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 8 - 5 = 3\\{y_A} = 4 - \left( { - 1} \right) = 5\end{array} \right.\).

Thay tọa độ điểm C vào (4) ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 4 - 5 = - 1\\{y_B} = - \left( { - 1} \right) = 1\end{array} \right.\).

Vậy tọa độ các điểm A, B, C là A(3; 5), B(– 1; 1), C(5; – 1).

Hướng dẫn giải:

 Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, khi đó tọa độ của G là \({x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \frac{{3 + \left( { - 1} \right) + 5}}{3} = \frac{7}{3}\), \({y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = \frac{{5 + 1 + \left( { - 1} \right)}}{3} = \frac{5}{3}\).

Vậy \(G\left( {\frac{7}{3};\,\,\frac{5}{3}} \right)\).

Gọi G' là trọng tâm tam giác MNP, khi đó tọa độ của G' là \({x_{G'}} = \frac{{{x_M} + {x_N} + {x_P}}}{3} = \frac{{2 + 4 + 1}}{3} = \frac{7}{3}\), \({y_{G'}} = \frac{{{y_M} + {y_N} + {y_P}}}{3} = \frac{{0 + 2 + 3}}{3} = \frac{5}{3}\).

Vậy \(G'\left( {\frac{7}{3};\,\,\frac{5}{3}} \right)\).

Do đó G ≡ G'.

Vậy trọng tâm hai tam giác ABC và MNP trùng nhau.

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\overrightarrow {BA} = \left( {2 - \left( { - 1} \right);\,4 - 1} \right) = \left( {3;\,3} \right)\), \(BA = \left| {\overrightarrow {BA} } \right| = \sqrt {{3^2} + {3^2}} = 3\sqrt 2 \).

\(\overrightarrow {BC} = \left( {\left( { - 8} \right) - \left( { - 1} \right);\,\,2 - 1} \right) = \left( { - 7;\,\,1} \right)\), \(BC = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 7} \right)}^2} + {1^2}} = 5\sqrt 2 \).

Ta có: \(\cos \widehat {ABC} = \cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\,\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} }}{{\left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}}\)\( = \frac{{3.\left( { - 7} \right) + 3.1}}{{3\sqrt 2 .5\sqrt 2 }} = \frac{{ - 18}}{{30}} = - \frac{3}{5}\).

Suy ra \(\widehat {ABC} = 127^\circ \).

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(\overrightarrow {AC} = \left( {\left( { - 8} \right) - 2;2 - 4} \right) = \left( { - 10;\, - 2} \right)\), \(AC = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 10} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = 2\sqrt {26} \).

Chu vi của tam giác ABC là P = BA + BC + AC = \(3\sqrt 2 + 5\sqrt 2 + 2\sqrt {26} \)= \(8\sqrt 2 + 2\sqrt {26} \).

Hướng dẫn giải:

Vì \(\widehat {ABC} = 127^\circ \) nên tam giác ABC tù.

Kẻ đường cao AH của tam giác ABC, M thuộc đường thẳng BC nên đường cao của tam giác ABM cũng là AH.

Khi đó: S_ABC = \(\frac{1}{2}\)AH . BC và S_ABM = \(\frac{1}{2}\) AH . BM.

Theo bài ra ta có diện tích của tam giác ABC bằng hai lần diện tích của tam giác ABM nên S_ABC = 2S_ABM.

Do đó: \(\frac{1}{2}\)AH . BC = 2 . \(\frac{1}{2}\)AH . BM ⇔ BC = 2BM hay BM = \(\frac{1}{2}\)BC.

Suy ra M là trung điểm của BC hoặc M là điểm đối xứng với trung điểm của BC qua B.

Trường hợp 1: M là trung điểm của BC nên tọa độ của M là \({x_M} = \frac{{{x_B} + {x_C}}}{2} = \frac{{\left( { - 1} \right) + \left( { - 8} \right)}}{2} = \frac{{ - 9}}{2}\), \({y_M} = \frac{{{y_B} + {y_C}}}{2} = \frac{{1 + 2}}{2} = \frac{3}{2}\).

Vậy \(M\left( {\frac{{ - 9}}{2};\,\,\frac{3}{2}} \right)\).

Trường hợp 2: M là điểm đối xứng với trung điểm BC qua B.

Khi đó điểm cần tìm là M', với B là trung điểm của MM'.

Ta có: x_M' = 2x_B – x_M = 2 . (– 1) – \(\frac{{ - 9}}{2} = \frac{5}{2}\), y_M' = 2 . 1 – \(\frac{3}{2} = \frac{1}{2}\).

Vậy \(M'\left( {\frac{5}{2};\,\,\frac{1}{2}} \right)\).

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {4 - 1;\,3 - 1} \right) = \left( {3;\,2} \right)\), \(\overrightarrow {AC} = \left( {6 - 1;\,\left( { - 2} \right) - 1} \right) = \left( {5;\, - 3} \right)\).

Vì \(\frac{3}{5} \ne \frac{2}{{ - 3}}\) nên \(\overrightarrow {AB} \ne k\overrightarrow {AC} \).

Vậy ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

Hướng dẫn giải:

Gọi tọa độ điểm D(x; y).

Ta có: \(\overrightarrow {DC} = \left( {6 - x;\left( { - 2} \right) - y} \right)\).

Vì hình thanh ABCD có AB // CD nên hai vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {DC} \) cùng hướng và CD = 2AB, do đó \(\overrightarrow {DC} = 2\overrightarrow {AB} \).

Ta có: \(2\overrightarrow {AB} = 2\left( {3;\,\,2} \right) = \left( {6;\,4} \right)\).

Do đó: \(\overrightarrow {DC} = 2\overrightarrow {AB} \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {DC} = \left( {6;4} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6 - x = 6\\\left( { - 2} \right) - y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = - 6\end{array} \right.\).

Vậy tọa độ điểm D là D(0; – 6).

Hướng dẫn giải

Hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) \(\left( {\overrightarrow v \ne 0} \right)\)cùng phương khi và chỉ khi có số thực k sao cho \(\overrightarrow u = k\overrightarrow v \).

Mà \(k\overrightarrow v = k\left( {{x_2};\,{y_2}} \right) = \left( {k{x_2};\,k{y_2}} \right)\).

Do đó \(\overrightarrow u = k\overrightarrow v \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = k{x_2}\\{y_1} = k{y_2}\end{array} \right.\).

Vậy suy ra điều phải chứng minh.

Hướng dẫn giải

Ta vẽ các hợp lực như hình sau:

Theo quy tắc hình bình hành ta có: \(\overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow {{F_{23}}} \).

Lực tổng hợp tác động lên vật là \(\overrightarrow F \) với \(\overrightarrow F = \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_{23}}} \).

Ta cần tìm độ lớn lực \(\overrightarrow F \).

Ta có: \(\overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow {{F_{23}}} \)\( \Leftrightarrow {\overrightarrow {{F_{23}}} ^2} = {\left( {\overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} } \right)^2}\)\( \Leftrightarrow {\overrightarrow {{F_{23}}} ^2} = {\overrightarrow {{F_2}} ^2} + {\overrightarrow {{F_3}} ^2} + 2\overrightarrow {{F_2}} .\overrightarrow {{F_3}} \)

\( \Leftrightarrow {\left| {\overrightarrow {{F_{23}}} } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|^2} + 2.\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {{F_2}} ,\,\,\overrightarrow {{F_3}} } \right)\)

\( \Leftrightarrow {\left| {\overrightarrow {{F_{23}}} } \right|^2} = {600^2} + {800^2} + 2.600.800.\cos 75^\circ \)

\( \Leftrightarrow {\left| {\overrightarrow {{F_{23}}} } \right|^2} \approx 1\,248\,466,28 \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {{F_{23}}} } \right| \approx 1117,35\).

Áp dụng định lí côsin ta có: \(\cos \left( {\overrightarrow {{F_{23}}} ,\,\overrightarrow {{F_3}} } \right) = \frac{{{{\left| {\overrightarrow {{F_{23}}} } \right|}^2} + {{\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|}^2} - \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|}}{{2.\left| {\overrightarrow {{F_{23}}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|}} = \frac{{1248466,28 + {{800}^2} - {{600}^2}}}{{2.1117,35.800}} \approx 0,855\)

Do đó: \(\left( {\overrightarrow {{F_{23}}} ,\,\overrightarrow {{F_3}} } \right) = 31^\circ \).

Lại có \(\left( {\overrightarrow {{F_{23}}} ,\,\overrightarrow {{F_3}} } \right) + \left( {\overrightarrow {{F_{23}}} ,\,\overrightarrow {{F_1}} } \right) = \left( {\overrightarrow {{F_1}} ,\,\overrightarrow {{F_3}} } \right)\)

Suy ra \(\left( {\overrightarrow {{F_{23}}} ,\,\overrightarrow {{F_1}} } \right) = \left( {\overrightarrow {{F_1}} ,\,\overrightarrow {{F_3}} } \right) - \left( {\overrightarrow {{F_{23}}} ,\,\overrightarrow {{F_3}} } \right) = 45^\circ - 31^\circ = 14^\circ \).

Ta có: \(\overrightarrow F = \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_{23}}} \)\[ \Leftrightarrow {\overrightarrow F ^2} = {\left( {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_{23}}} } \right)^2}\]\( \Leftrightarrow {\overrightarrow F ^2} = {\overrightarrow {{F_1}} ^2} + {\overrightarrow {{F_{23}}} ^2} + 2.\overrightarrow {{F_1}} .\overrightarrow {{F_{23}}} \)

\( \Leftrightarrow {\left| {\overrightarrow F } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{F_{23}}} } \right|^2} + 2.\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{F_{23}}} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {{F_{23}}} } \right)\)

\( \Leftrightarrow {\left| {\overrightarrow F } \right|^2} = {1500^2} + 1248466,28 + 2.1500.1117,35.\cos 14^\circ \)

\( \Leftrightarrow {\left| {\overrightarrow F } \right|^2} \approx 6750946,069 \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow F } \right| \approx 2598\).

Vậy độ lớn lực tổng hợp tác động lên vật là 2 598 N.