20 câu trắc nghiệm Toán 10 Cánh diều Bài 2. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ (Đúng sai - trả lời ngắn) có đáp án
20 câu hỏi
Cho \(\overrightarrow a = \left( { - 4;1} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( { - 3; - 2} \right)\). Tọa độ \(\overrightarrow c = \overrightarrow a + 2\overrightarrow b \) là
\(\overrightarrow c = \left( {12; - 2} \right)\).
\(\overrightarrow c = \left( { - 10; - 3} \right)\).
\(\overrightarrow c = \left( { - 1;3} \right)\).
\(\overrightarrow c = \left( {1; - 3} \right)\).
\(\overrightarrow c = \overrightarrow a + 2\overrightarrow b = \left( { - 4 + 2 \cdot \left( { - 3} \right);1 + 2 \cdot \left( { - 2} \right)} \right) = \left( { - 10; - 3} \right)\). Chọn B.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho \(ABCD\) là hình bình hành biết \(B\left( {1;3} \right),D\left( { - 3;5} \right)\). Tọa độ tâm \(O\) của hình bình hành là
\(O\left( { - 2;1} \right)\).
\(O\left( { - 1;4} \right)\).
\(O\left( { - 2;8} \right)\).
\(O\left( { - 4;2} \right)\).
Do \(ABCD\) là hình bình hành nên \(O\) là trung điểm của \(BD\).
Do đó \(O\left( { - 1;4} \right)\). Chọn B.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho \(\overrightarrow a = \left( {1; - 2} \right),\overrightarrow b = \left( { - 2; - 6} \right)\). Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) bằng
\(45^\circ \).
\(135^\circ \).
\(60^\circ \).
\(30^\circ \).
Ta có \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|}}\)\( = \frac{{1 \cdot \left( { - 2} \right) + \left( { - 2} \right) \cdot \left( { - 6} \right)}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 45^\circ \). Chọn A.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), biết \(\overrightarrow u = 7\overrightarrow i - 2\overrightarrow j \). Độ dài vectơ \(\overrightarrow u \) là
\(\sqrt {53} \).
\(3\sqrt 5 \).
\(\sqrt 5 \).
\(3\).
\(\overrightarrow u = 7\overrightarrow i - 2\overrightarrow j \)\( \Rightarrow \overrightarrow u = \left( {7; - 2} \right)\). Khi đó \(\left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {{7^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = \sqrt {53} \). Chọn A.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho ba điểm \(A\left( {2;1} \right),B\left( {2;5} \right),C\left( { - 3;2} \right)\). Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} .\)
\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 4\).
\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = - 1\).
\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = - 4\).
\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = - 26\).
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {0;4} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 5;1} \right)\).
Khi đó \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 0 \cdot \left( { - 5} \right) + 4 \cdot 1 = 4\). Chọn A.
Cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {2;3} \right),B\left( {1; - 3} \right),C\left( {0;6} \right)\), \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\). Khi đó:
\(\overrightarrow {AG} = \left( { - 1; - 1} \right)\).
\(\overrightarrow {AG} = \left( {1;2} \right)\).
\(\overrightarrow {AG} = \left( { - 1;2} \right)\).
\(\overrightarrow {AG} = \left( {1;3} \right)\).
Vì \(G\)là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(G\left( {1;2} \right)\).
Khi đó \(\overrightarrow {AG} = \left( { - 1; - 1} \right)\). Chọn A.
Cho điểm \(A\left( {3;5} \right),B\left( {1;1} \right)\). Điểm \(M\) thỏa mãn \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \) thì \(M\) có tung độ bằng
\(5\).
\(3\).
\( - 2\).
\(1\).
Gọi \(M\left( {x;y} \right)\). Ta có \(\overrightarrow {MA} = \left( {3 - x;5 - y} \right);\overrightarrow {MB} = \left( {1 - x;1 - y} \right)\).
\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} = - \overrightarrow {MB} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - x = - \left( {1 - x} \right)\\5 - y = - \left( {1 - y} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3\end{array} \right.\).
Tung độ của điểm \(M\) bằng 3. Chọn B.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho điểm \(A\left( {2;5} \right),B\left( {1;1} \right),C\left( {3;3} \right)\). Tìm tọa độ điểm \(E\) sao cho \(\overrightarrow {AE} = 3\overrightarrow {AB} - 2\overrightarrow {AC} \).
\(\left( {3; - 3} \right)\).
\(\left( { - 3;3} \right)\).
\(\left( { - 3; - 3} \right)\).
\(\left( { - 2; - 3} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 4} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {1; - 2} \right)\).
Khi đó \(3\overrightarrow {AB} - 2\overrightarrow {AC} = \left( { - 5; - 8} \right)\).
Gọi \(E\left( {x;y} \right)\). Ta có \(\overrightarrow {AE} = \left( {x - 2;y - 5} \right)\).
Vì \(\overrightarrow {AE} = 3\overrightarrow {AB} - 2\overrightarrow {AC} \) nên \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2 = - 5\\y - 5 = - 8\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 3\\y = - 3\end{array} \right. \Rightarrow E\left( { - 3; - 3} \right)\). Chọn C.
Cho hai điểm \(A,B\) lần lượt thuộc trục \(Ox,Oy\) sao cho \(I\left( {3;4} \right)\) là trung điểm của \(AB\). Tính độ dài đoạn \(AB\).
\(AB = 10\).
\(AB = 5\).
\(AB = \sqrt 5 \).
\(AB = 2\sqrt 5 \).
Gọi \(A\left( {a;0} \right) \in Ox,B\left( {0;b} \right) \in Oy\).
Vì \(I\) là trung điểm của \(AB\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}a = 6\\b = 8\end{array} \right.\). Suy ra \(A\left( {6;0} \right),B\left( {0;8} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( { - 6;8} \right)\).
Do đó \(AB = \sqrt {{{\left( { - 6} \right)}^2} + {8^2}} = 10\). Chọn A.
Trên mặt phẳng \(Oxy\) cho \(A\left( {2;1} \right),B\left( {5;2} \right)\). Có bao nhiêu điểm \(M\) thuộc trục \(Ox\) thỏa mãn điều kiện \(\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {MB} = 0\).
\(0\).
\(1\).
\(2\).
Vô số.
Gọi \(M\left( {a;0} \right) \in Ox\). Ta có \(\overrightarrow {AM} = \left( {a - 2; - 1} \right),\overrightarrow {MB} = \left( {5 - a;2} \right)\).
Có \(\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {MB} = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {a - 2} \right)\left( {5 - a} \right) + \left( { - 1} \right) \cdot 2 = 0\)\( \Leftrightarrow - {a^2} + 7a - 12 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 4\\a = 3\end{array} \right.\).
Do đó \(M\left( {4;0} \right),M\left( {3;0} \right)\).
Vậy có 2 điểm \(M\) thỏa mãn yêu cầu. Chọn C.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có \(\overrightarrow {OA} = 4\overrightarrow i + \overrightarrow j \), \(B\left( {2;4} \right),C\left( {2; - 2} \right)\).
\(A\left( {4;1} \right)\).
Tọa độ \(\overrightarrow {BC} = \left( {0;6} \right)\).
\(BC = 6\).
Tam giác \(ABC\) cân tại \(B\).
a) \(\overrightarrow {OA} = 4\overrightarrow i + \overrightarrow j \Rightarrow A\left( {4;1} \right)\).
b) \(\overrightarrow {BC} = \left( {0; - 6} \right)\).
c) \(BC = \sqrt {{0^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} = 6\).
d) Có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;3} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {3^2}} = \sqrt {13} \).
Do \(AB \ne BC\) nên tam giác \(ABC\) không cân tại \(B\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho \(A\left( { - 2;3} \right),B\left( {4;5} \right),C\left( {2; - 3} \right)\).
\(A,B,C\) thẳng hàng.
\(M\left( {3;1} \right)\) là trung điểm của \(BC\).
\(G\left( {\frac{4}{3};\frac{5}{3}} \right)\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\).
\(\widehat {BAC} \approx 74,7^\circ \).
a) Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {6;2} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {4; - 6} \right)\).
Do không tồn tại \(k \in \mathbb{R}\) để \(\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} \). Vì vậy ba điểm \(A,B,C\) không thẳng hàng.
b) \(M\) là trung điểm của đoạn \(BC\) nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \frac{{4 + 2}}{2} = 3\\{y_M} = \frac{{5 + \left( { - 3} \right)}}{2} = 1\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {3;1} \right)\).
c) \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{ - 2 + 4 + 2}}{3} = \frac{4}{3}\\{y_G} = \frac{{3 + 5 + \left( { - 3} \right)}}{3} = \frac{5}{3}\end{array} \right. \Rightarrow G\left( {\frac{4}{3};\frac{5}{3}} \right)\).
d) Có \(\overrightarrow {AB} = \left( {6;2} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {4; - 6} \right)\).
\[\cos \widehat {BAC} = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{6 \cdot 4 + 2 \cdot \left( { - 6} \right)}}{{\sqrt {{6^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{4^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} }} = \frac{{12}}{{4\sqrt {130} }}\]\( \Rightarrow \widehat {BAC} \approx 74,7^\circ \).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) biết \(A\left( { - 3;0} \right),B\left( {3;0} \right),C\left( {2;6} \right)\).
Tọa độ \(\overrightarrow {BC} = \left( {0; - 4} \right)\).
Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) là \(\left( {0;0} \right)\).
\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 30\).
Gọi \(H\left( {x;y} \right)\) là trực tâm tam giác \(ABC\). Khi đó \(x + y = 20\).
a) \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 1;6} \right)\).
b) Gọi \(I\left( {x;y} \right)\) là trung điểm của \(AB\). Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 3 + 3}}{2} = 0\\y = \frac{{0 + 0}}{2} = 0\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {0;0} \right)\).
c) Có \(\overrightarrow {AB} = \left( {6;0} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {5;6} \right)\). Khi đó \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 6 \cdot 5 + 0 \cdot 6 = 30\).
d) Có \(\overrightarrow {AH} = \left( {x + 3;y} \right),\overrightarrow {BH} = \left( {x - 3;y} \right)\)
Vì \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} \cdot \overrightarrow {BC} = 0\\\overrightarrow {BH} \cdot \overrightarrow {AC} = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \left( {x + 3} \right) + 6y = 0\\5\left( {x - 3} \right) + 6y = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - x + 6y = 3\\5x + 6y = 15\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = \frac{5}{6}\end{array} \right.\).
Do đó \(x + y = \frac{{17}}{6}\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho điểm \(A\left( {1;3} \right),B\left( {1;6} \right),C\left( {4;3} \right)\), điểm \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) và \(D\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG} \).
\(G\left( {6;12} \right)\).
\(D\left( {4;6} \right)\).
Tứ giác \(ABDC\) là hình vuông.
\(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} = 0\).
a) \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(G\left( {\frac{{1 + 1 + 4}}{3};\frac{{3 + 6 + 3}}{3}} \right)\) hay \(G\left( {2;4} \right)\).
b) Gọi \(D\left( {x;y} \right)\). Khi đó \(\overrightarrow {AD} = \left( {x - 1;y - 3} \right),\overrightarrow {AG} = \left( {1;1} \right)\).
Vì \(\overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG} \) nên \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 3\\y - 3 = 3\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 6\end{array} \right. \Rightarrow D\left( {4;6} \right)\).
c) Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {0;3} \right);\overrightarrow {BD} = \left( {3;0} \right);\overrightarrow {DC} = \left( {0; - 3} \right);\overrightarrow {AC} = \left( {3;0} \right)\).
Có \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {BD} } \right| = \left| {\overrightarrow {DC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = 3\). Do đó \(ABDC\) là hình thoi (1).
Lại có \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 0 \cdot 3 + 3 \cdot 0 = 0\)\( \Rightarrow AB \bot AC\) (2).
Từ (1) và (2), suy ra \(ABDC\) là hình vuông.
d) \(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} = 3 \cdot 3 + 0 \cdot 0 = 9\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho ba điểm \(A\left( {4;1} \right);B\left( {2; - 3} \right);C\left( {8;9} \right)\).
Tọa độ của vectơ \(3\overrightarrow {AB} \) là \(\left( {6;12} \right)\).
Vectơ \(\overrightarrow {BA} \) cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow {BC} \).
\(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {CB} = 120\).
Gọi \(D\) là điểm thỏa mãn \(30\overrightarrow {OD} + 19\overrightarrow {DB} - 3\overrightarrow {DC} = \overrightarrow 0 \). Khi đó \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BD} } \right) = 45^\circ \).
a) Có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 4} \right) \Rightarrow 3\overrightarrow {AB} = \left( { - 6; - 12} \right)\).
b) Có \(\overrightarrow {BA} = \left( {2;4} \right);\overrightarrow {BC} = \left( {6;12} \right) = 3\left( {2;4} \right) = 3\overrightarrow {BA} \).
Do đó vectơ \(\overrightarrow {BA} \) cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow {BC} \).
c) Có \(\overrightarrow {AC} = \left( {4;8} \right),\overrightarrow {CB} = \left( { - 6; - 12} \right)\).
Khi đó \(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {CB} = 4 \cdot \left( { - 6} \right) + 8 \cdot \left( { - 12} \right) = - 120\).
d) Gọi \(D\left( {x;y} \right)\). Khi đó \(\overrightarrow {OD} = \left( {x;y} \right),\overrightarrow {DB} = \left( {2 - x; - 3 - y} \right),\overrightarrow {DC} = \left( {8 - x;9 - y} \right)\).
Suy ra
\(30\overrightarrow {OD} + 19\overrightarrow {DB} - 3\overrightarrow {DC} = \left( {30x + 19\left( {2 - x} \right) - 3\left( {8 - x} \right);30y + 19\left( { - 3 - y} \right) - 3\left( {9 - y} \right)} \right) = \left( {14x + 14;14y - 84} \right)\).
Mà \(30\overrightarrow {OD} + 19\overrightarrow {DB} - 3\overrightarrow {DC} = \overrightarrow 0 \) nên \(\left\{ \begin{array}{l}14x + 14 = 0\\14y - 84 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 6\end{array} \right.\)\( \Rightarrow D\left( { - 1;6} \right)\).
Có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 4} \right);\overrightarrow {BD} = \left( { - 3;9} \right)\).
Có \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BD} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BD} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BD} } \right|}}\)\( = \frac{{\left( { - 2} \right) \cdot \left( { - 3} \right) + \left( { - 4} \right) \cdot 9}}{{\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {9^2}} }} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)\( \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BD} } \right) = 135^\circ \).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho điểm \(E\left( {a;a - b} \right);A\left( { - 3;4} \right);B\left( {7; - 1} \right)\) thỏa mãn \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BE} = 2025\). Tính \(a + b\)
Có \(\overrightarrow {AB} = \left( {10; - 5} \right),\overrightarrow {BE} = \left( {a - 7;a - b + 1} \right)\).
Vì \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BE} = 2025\) nên \(10\left( {a - 7} \right) - 5\left( {a - b + 1} \right) = 2025\)\( \Rightarrow 5a + 5b = 2025 + 75\)\( \Rightarrow a + b = 420\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) biết \(A\left( {2; - 1} \right),B\left( {4;8} \right),C\left( { - 3;5} \right)\). Điểm \(D\left( {x;y} \right)\) sao cho tứ giác \(ABCD\) là hình thang có đáy \(AD\) và diện tích hình thang \(ABCD\) bằng 3 lần diện tích tam giác \(ABD\). Tính \(x - y\).
Ta có \({S_{ABCD}} = 3{S_{ABD}} \Rightarrow {S_{BDC}} = 2{S_{ABD}}\)\( \Rightarrow \frac{{BC}}{{AD}} = 2\).
Gọi \(D\left( {x;y} \right)\). Khi đó \(\overrightarrow {AD} = \left( {x - 2;y + 1} \right),\overrightarrow {BC} = \left( { - 7; - 3} \right)\).
Lại có \(ABCD\) là hình thang nên \(\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {BC} \) cùng hướng.
Do đó \(\overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow {AD} \)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\left( {x - 2} \right) = - 7\\2\left( {y + 1} \right) = - 3\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{3}{2}\\y = - \frac{5}{2}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow x - y = - \frac{3}{2} - \left( { - \frac{5}{2}} \right) = 1\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A\left( {1;3} \right),B\left( {2; - 4} \right)\). Gọi \(N\left( {x;y} \right)\) sao cho \(\overrightarrow {NA} = - 3\overrightarrow {BN} \). Tính \(x - y\).
Có \(\overrightarrow {NA} = \left( {1 - x;3 - y} \right);\overrightarrow {BN} = \left( {x - 2;y + 4} \right)\).
Vì \(\overrightarrow {NA} = - 3\overrightarrow {BN} \) nên \(\left\{ \begin{array}{l}1 - x = - 3\left( {x - 2} \right)\\3 - y = - 3\left( {y + 4} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{5}{2}\\y = - \frac{{15}}{2}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow x - y = \frac{5}{2} - \left( { - \frac{{15}}{2}} \right) = 10\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hình thang \(ABCD\) có hai đáy \(AB\) và \(CD\), \(CD = 2AB\). Biết \(C\left( {4;7} \right),D\left( {2;6} \right)\) và điểm \(E\left( {8;3} \right)\) là giao điểm của hai đường chéo hình thang. Tọa độ điểm \(A\left( {a;b} \right)\) với \(a,b \in \mathbb{N}\). Tính giá trị của biểu thức \(T = {a^2} + {b^2}\).
Do \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AB//CD\)\( \Rightarrow \frac{{EA}}{{EC}} = \frac{{AB}}{{DC}} = \frac{1}{2}\).
Gọi \(A\left( {a;b} \right)\). Khi đó \(\overrightarrow {EA} = \left( {a - 8;b - 3} \right),\overrightarrow {EC} = \left( { - 4;4} \right)\).
Lại có \(\overrightarrow {EA} ,\overrightarrow {EC} \) ngược hướng nên \(\overrightarrow {EA} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {EC} \)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 8 = 2\\b - 3 = - 2\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 10\\b = 1\end{array} \right.\)\( \Rightarrow A\left( {10;1} \right)\).
Suy ra \(T = {10^2} + {1^2} = 101\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) với \(A\left( {1;1} \right),B\left( { - 2;3} \right),C\left( { - 1; - 5} \right)\). Biết \(B\) là trọng tâm của tam giác \(ACD\) với \(D\left( {a;b} \right)\). Giá trị của \(a + 2b\) bằng bao nhiêu?
Do \(B\) là trọng tâm của tam giác \(ACD\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{1 - 1 + a}}{3} = - 2\\\frac{{1 - 5 + b}}{3} = 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 6\\b = 13\end{array} \right. \Rightarrow D\left( { - 6;13} \right)\).
Vậy \(a + 2b = - 6 + 2 \cdot 13 = 20\).
