Giải SBT Toán 10 CD Bài 1. Mệnh đề toán học có đáp án
31 câu hỏi
Cho mệnh đề A: “Nghiệm của phương trình x2 – 5 = 0 là số hữu tỉ”. Mệnh đề phủ định của mệnh đề trên là:
“Nghiệm của phương trình x2 – 5 = 0 không là số hữu tỉ”.
“Nghiệm của phương trình x2 – 5 = 0 không là số vô tỉ”.
“Phương trình x2 – 5 = 0 vô nghiệm”.
“Nghiệm của phương trình x2 – 5 = 0 không là số nguyên”.
Đáp án đúng là A
Mệnh đề phủ định của mệnh đề A là A¯: “Nghiệm của phương trình x2 – 5 = 0 không là số hữu tỉ”.
Cho số tự nhiên n. Xét mệnh đề: “Nếu số tự nhiên n chia hết cho 4 thì n chia hết cho 2”. Mệnh đề đảo của mệnh đề đó là:
“Nếu số tự nhiên n chia hết cho 2 thì n không chia hết cho 4”.
“Nếu số tự nhiên n chia hết cho 4 thì n không chia hết cho 2”.
“Nếu số tự nhiên n chia hết cho 2 thì n chia hết cho 4”.
“Nếu số tự nhiên n không chia hết cho 2 thì n không chia hết cho 4”.
Đáp án đúng là C
Mệnh đề đảo của mệnh đề đã cho là “Nếu số tự nhiên n chia hết cho 2 thì n chia hết cho 4”.
Cho tứ giác ABCD. Xét mệnh đề “Nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật thì tứ giác ABCD có hai đường chéo bằng nhau”. Mệnh đề đảo của mệnh đề đó là:
“Nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật thì tứ giác ABCD không có hai đường chéo bằng nhau”.
“Nếu tứ giác ABCD không có hai đường chéo bằng nhau thì tứ giác ABCD không là hình chữ nhật”.
“Nếu tứ giác ABCD không có hai đường chéo bằng nhau thì tứ giác ABCD không là hình chữ nhật”.
“Nếu tứ giác ABCD có hai đường chéo bằng nhau thì tứ giác ABCD là hình chữ nhật”.
Đáp án đúng là D
Mệnh đề đảo của mệnh đề của mệnh đề đã cho là: “Nếu tứ giác ABCD có hai đường chéo bằng nhau thì tứ giác ABCD là hình chữ nhật”.
Phủ định của mệnh đề “∃x ∈ ℝ, x2 – x + 1 < 0” là mệnh đề:
“∀x ∈ ℝ, x2 – x + 1 ≥ 0”.
“∀x ∈ ℝ, x2 – x + 1 < 0”.
“∀x ∈ ℝ, x2 – x + 1 > 0”.
“∃x ∈ ℝ, x2 – x + 1 ≥ 0”.
Đáp án đúng là A
Phủ định của mệnh đề “∃x ∈ ℝ, x2 – x + 1 < 0” là mệnh đề “∀x ∈ ℝ, x2 – x + 1 ≥ 0”.
Phủ định của mệnh đề “∃x ∈ ℚ, x = 1x” là mệnh đề:
“∃x ∈ ℚ, x ≠ 1x”.
“∀x ∈ ℚ, x = 1x”
“∀x ∉ ℚ, x ≠ 1x”.
“∀x ∈ ℚ, x ≠ 1x”.
Đáp án đúng là D
Phủ định của mệnh đề “∃x ∈ ℚ, x = 1x” là mệnh đề: “∀x ∈ ℚ, x ≠ 1x”.
Phủ định của mệnh đề “∀x ∈ ℝ, x2 ≥ 0” là mệnh đề:
“∃x ∈ ℝ, x2 ≥ 0”.
“∃x ∈ ℝ, x2 > 0”.
“∃x ∈ ℝ, x2 ≤ 0”.
“∃x ∈ ℝ, x2 < 0”.
Đáp án đúng là D
Phủ định của mệnh đề “∀x ∈ ℝ, x2 ≥ 0” là mệnh đề: “∃x ∈ ℝ, x2 < 0”.
Phủ định của mệnh đề “∀x ∈ ℝ, |x| ≥ x” là mệnh đề:
“∀x ∈ ℝ, |x| < x”
“∃x ∈ ℝ, |x| ≤ x”.
“∃x ∈ ℝ, |x| < x”.
“∃x ∈ ℝ, |x| > x”.
Đáp án đúng là C
Phủ định của mệnh đề “∀x ∈ ℝ, |x| ≥ x” là mệnh đề: “∃x ∈ ℝ, |x| < x”.
Cho x, y là hai số thực cùng khác – 1. Kết luận nào sau đây là đúng?
x + y + xy ≠ – 1.
x + y + xy = – 1.
x + y ≠ – 2.
xy ≠ – 1.
Đáp án đúng là A
Ta có x ≠ – 1 ⇔ x + 1 ≠ 0 và y ≠ – 1 ⇔ y + 1 ≠ 0
⇒ (x + 1)(y + 1) ≠ 0
⇔ xy + x + y + 1 ≠ 0
⇔ xy + x + y ≠ – 1.
Cho a, b là hai số thực thỏa mãn a + b < 2. Kết luận nào sau đây là đúng?
Cả hai số a, b đều nhỏ hơn 1.
Có ít nhất một trong hai số a, b nhỏ hơn 1.
C Có ít nhất một trong hai số a, b lớn hơn 1.
Cả hai số a, b không vượt quá 1.
Đáp án đúng là B.
Ta có: a + b < 2
+) Nếu a = 2 > 1 và b = – 2 thì a + b = 2 + (– 2) = 0 < 2.
Do đó không nhất thiết cả hai số a và b đều nhỏ hơn 1 thì a + b < 2. Suy ra A sai.
+) Chọn a = 3 > 1 và b = 0 thì a + b = 3 + 1 = 3 > 2. Suy ra không thỏa mãn. Do đó C sai.
+) Chọn a = 1, b = 1 thì a + b = 2. Suy ra không thỏa mãn. Do đó D sai.
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là mệnh đề toán học?
a) Số π là số vô tỉ;
b) Bình phương của mọi số thực đều là số dương;
c) Tồn tại số thực x mà x lớn hơn số nghịch đảo của nó;
d) Fansipan là ngọn núi cao nhất Việt Nam.
Mệnh đề toán học là những khẳng định liên quan đến những vấn đề trong toán học.
Và trong các phát biểu đã cho, ta thấy có phát biểu a), b), c) là các khẳng định liên quan đến vấn đề trong toán học. Do đó a), b), c) là mệnh đề toán học.
Nêu mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề phủ định đó:
a) A: “Trục đối xứng của đồ thị hàm số y = – x2 là trục tung”;
a) Mệnh đề phủ định của mệnh đề A: “Trục đối xứng của đồ thị hàm số y = – x2 là trục tung” là A¯: “Trục đối xứng của đồ thị hàm số y = – x2 không phải là trục tung”.
Hàm số y = – x2 có trục đối xứng là trục tung. Do đó mệnh đề A đúng, mệnh đề A¯ sai.
b) B: “Phương trình 3x2 + 1 có nghiệm”;
b) Mệnh đề phủ định của mệnh đề B: “Phương trình 3x2 + 1 có nghiệm” là B¯: “Phương trình 3x2 + 1 vô nghiệm”.
Xét phương trình 3x2 + 1 = 0
⇔ 3x2 = – 1 (vô lí)
Suy ra phương trình đã cho vô nghiệm.
Do đó mệnh đề B sai, mệnh đề B¯ đúng.
c) C: “Hai đường thẳng y = 2x + 1 và y = – 2x + 1 không song song với nhau”;
c) Mệnh đề phủ định của mệnh đề C: “không song song với nhau” là mệnh đề C¯: “Hai đường thẳng y = 2x + 1 và y = – 2x + 1 song song với nhau”.
Ta có y = 2x + 1 có a = 2, b = 1
y = – 2x + 1 có a’ = – 2, b’ = 1
Suy ra a ≠ a’ nên hai đường thẳng y = 2x + 1 và y = – 2x + 1 cắt nhau. Do đó mệnh đề C đúng và mệnh đề C¯ sai.
d) D: “Số 2 024 không chia hết cho 4”.
d) Mệnh đề phủ định của mệnh đề D: “Số 2 024 không chia hết cho 4” là mệnh đề D¯: “Số 2 024 chia hết cho 4”.
Ta có: 2 024 : 4 = 506 nên 2 024 chia hết cho 4. Do đó mệnh đề D sai, mệnh đề D¯ đúng.
Cho mệnh đề kéo theo có dạng P ⇒ Q: “Vì 120 chia hết cho 6 nên 120 chia hết cho 9”.
a) Mệnh đề trên đúng hay sai?
a) Xét mệnh đề kéo theo P ⇒ Q: “Vì 120 chia hết cho 6 nên 120 chia hết cho 9”.
Khi đó P: “120 chia hết cho 6”; Q: “120 chia hết cho 9”.
Ta có 120 : 6 = 20 nên 120 chia hết cho 6 suy ra mệnh đề P đúng.
120 : 9 = 13 (dư 3) nên 120 không chia hết cho 9 suy ra mệnh đề Q sai.
Do đó mệnh đề P ⇒ Q là mệnh đề sai.
b) Phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề trên và xét tính đúng sai của mệnh đề đảo đó.
b) Mệnh đề đảo của mệnh đề trên được phát biểu như sau:
Q ⇒ P: “Vì 120 chia hết cho 9 nên 120 chia hết cho 6”.
Do đó mệnh đề Q ⇒ P là mệnh đề đúng.
Cho mệnh đề kéo theo có dạng P ⇒ Q: “Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường”
a) Mệnh đề trên đúng hay sai?
a) Ta có tứ giác ABCD là hình bình hành nên ABCD có tính chất là hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Do đó mệnh đề P ⇒ Q là mệnh đề đúng.
b) Phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề trên và xét tính đúng sai của mệnh đề đảo đó.
b) Mệnh đề đảo của mệnh đề trên là Q ⇒ P: “Nếu tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường thì tứ giác ABCD là hình bình hành”
Tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên tứ giác ABCD là hình bình hành. Do đó mệnh đề Q ⇒ P là đúng.
Cho tam giác ABC với đường trung tuyến AM. Xét các mệnh đề sau:
P: “Tam giác ABC vuông tại A”.
Q: “Độ dài đường trung tuyến AM bằng nửa độ dài cạnh BC”.
a) Phát biểu mệnh đề P ⇒ Q, Q ⇒ P và xác định tính đúng sai của mỗi mệnh đề đó.
a) +) Mệnh đề P ⇒ Q được phát biểu như sau:
“Nếu tam giác ABC vuông tại A thì độ dài đường trung tuyến AM bằng nửa độ dài cạnh BC”.
Xét tam giác ABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến thì AM = 12BC. Do đó mệnh đề P ⇒ Q là mệnh đề đúng.
+) Mệnh đề Q ⇒ P được phát biểu như sau:
“Nếu độ dài đường trung tuyến AM bằng nửa độ dài cạnh BC thì tam giác ABC vuông tại A”.
Xét tam giác ABC có đường trung tuyến AM = 12BC.
⇒ AM = MB = MC
⇒ ∆AMB cân tại M
⇒ MAB^=MBA^ hay MAB^=CBA^
Tương tự ta có ∆AMC cân tại M
⇒ MAC^=MCA^ hay MAC^=BCA^
Mà MAB^+MAC^=BAC^ nên BAC^=BCA^+CBA^
Ta lại có: BAC^+BCA^+CBA^=180°
⇒ BAC^=BCA^+CBA^=90°
⇒ ∆ABC vuông tại A.
Do đó mệnh đề Q ⇒ P là mệnh đề đúng.
b) Nếu cả hai mệnh đề trong ý a) là đúng, hãy phát biểu mệnh đề tương đương.
b) Vì mệnh đề P ⇒ Q và Q ⇒ P là các mệnh đề đúng nên ta có mệnh đề tương đương P ⇔ Q và được phát biểu như sau:
“Tam giác ABC vuông tại A tương đương độ dài đường trung tuyến AM bằng nửa độ dài cạnh BC”.
Dùng kí hiệu ∀ hoặc ∃ để viết các mệnh đề sau:
a) Có một số nguyên không chia hết cho chính nó.
a) Bằng kí hiệu ∃ ta viết mệnh đề đã cho dưới dạng kí hiệu là:
“∃ x ∈ ℕ, x không chia hết cho x”.
b) Có một số thực mà bình phương của nó cộng với 1 bằng 0.
b) Bằng kí hiệu ∃ ta viết mệnh đề đã cho dưới dạng kí hiệu là:
“∃ x ∈ ℝ, x2 + 1 = 0”.
c) Mọi số nguyên dương đều lớn hơn nghịch đảo của nó.
c) Bằng kí hiệu ∀ ta viết mệnh đề đã cho dưới dạng kí hiệu là:
“∀x ∈ ℤ, x > 0 và x > 1x”.
d) Mọi số thực đều lớn hơn số đối của nó.
d) Bằng kí hiệu ∀ ta viết mệnh đề đã cho dưới dạng kí hiệu là:
“∀x ∈ ℤ, x > – x ”.
Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề phủ định đó.
a) ∀n ∈ ℕ, n(n + 1) chia hết cho 2;
a) Gọi A: “∀n ∈ ℕ, n(n + 1) chia hết cho 2”
Mệnh đề phủ định của mệnh đề A: “∀n ∈ ℕ, n(n + 1) chia hết cho 2” là A¯: “∃n ∈ ℕ, n(n + 1) không chia hết cho 2”.
+) Xét tính đúng sai:
Với n = 2k (k ∈ ℕ) khi đó n.(n + 1) = 2k.(2k + 1) chia hết cho 2.
Với n = 2k + 1 (k ∈ ℕ) khi đó n.(n + 1) = (2k + 1).(2k + 2) = (2k + 1)(k + 1).2 chia hết cho 2.
Suy ra với mọi giá trị của n thì n(n + 1) chia hết cho 2. Do đó mệnh đề A đúng và A¯ sai.
b) ∀x ∈ ℝ, x2 > x;
b) Gọi B: “∀x ∈ ℝ, x2 > x”
Mệnh đề phủ định của mệnh đề B: “∀x ∈ ℝ, x2 > x” là B¯: “∃x ∈ ℝ, x2 ≤ x”.
Xét x2 > x
⇔ x2 – x > 0
⇔ x(x – 1) > 0
⇔ x>0x−1>0x<0x−1<0⇔x>1x<0
Suy ra không phải với mọi số thực x thì x2 > x.
Do đó mệnh đề B sai, mệnh đề B¯ đúng.
c) ∃x ∈ ℝ, |x| > x;
c) Gọi C: “∃x ∈ ℝ, |x| > x”.
Mệnh đề phủ định của mệnh đề C: “∃x ∈ ℝ, |x| > x” là mệnh đề C¯: “∀x ∈ ℝ, |x| ≤ x”.
Ta luôn có |x| ≥ x với mọi giá trị thực của x. Do đó mệnh đề C là mệnh đề đúng, mệnh đề C¯ là mệnh đề sai.
d) ∃x ∈ ℚ, x2 – x – 1 = 0.
d) Gọi D: “∃x ∈ ℚ, x2 – x – 1 = 0”
Mệnh đề phủ định của mệnh đề C: “∃x ∈ ℚ, x2 – x – 1 = 0” là mệnh đề C¯: “∀x ∈ ℚ, x2 – x – 1 ≠ 0”.
Xét phương trình x2 – x – 1 = 0
Có: ∆ = (-1)2 – 4.1.(-1) = 1 + 4 = 5 > 0
Khi đó phương trình có hai nghiệm x1=1+52 và x2=1-52.
Mà 1+52;1−52∉ℚ
Do đó không tồn tại số hữu tỉ x nào để x2 – x – 1 = 0.
Vì vậy mệnh đề C sai và mệnh đề C¯ đúng.
Cho phương trình ax2 + bx + c = 0.
a) Xét mệnh đề “Nếu a + b + c = 0 thì phương trình ax2 + bx + c = 0 có một nghiệm bằng 1”. Mệnh đề này đúng hay sai?
a) Ta có a + b + c = 0 cần chứng minh phương trình ax2 + bx + c = 0 có một nghiệm bằng 1, thật vậy:
Thay x = 1 vào phương trình ax2 + bx + c = 0, ta được:
a.12 + b.1 + c = 0
⇔ a + b + c = 0 (luôn đúng).
Do đó mệnh đề “Nếu a + b + c = 0 thì phương trình ax2 + bx + c = 0 có một nghiệm bằng 1” là mệnh đề đúng.
b) Phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề trên. Mệnh đề đảo đúng hay sai?
b) Mệnh đề đảo của mệnh đề trên được phát biểu như sau:
“ Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 có một nghiệm bằng 1 thì a + b + c = 0”
Vì x = 1 là nghiệm của phương trình đã cho nên ta có: a.12 + b.1 + c = 0 ⇔ a + b + c = 0. Do đó mệnh đề đảo là mệnh đề đúng.
c) Nêu điều kiện cần và đủ để phương trình ax2 + bx + c = 0 có một nghiệm bằng 1.
c) Ta có mệnh đề “Nếu a + b + c = 0 thì phương trình ax2 + bx + c = 0 có một nghiệm bằng 1” là mệnh đề đúng và mệnh đề đảo “ Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 có một nghiệm bằng 1 thì a + b + c = 0” là mệnh đề đúng. Do đó ta có “Điều kiện cần và đủ để phương trình ax2 + bx + c = 0 có một nghiệm bằng 1 là a + b + c = 0”.
