Bài tập Mệnh đề toán học có đáp án
23 câu hỏi
Bạn H’Maryam phát biểu: “Số 15 chia hết cho 5.”, bạn Phương phát biểu: “Việt Nam là một nước ở khu vực Đông Nam Á.”.
Trong hai phát biểu trên, phát biểu nào là mệnh đề toán học?
Ở bài đầu tiên trong chương trình toán lớp 10 này, chúng ta được tìm hiểu về mệnh đề toán học.
Ta thấy phát biểu của bạn H’Maryam là một mệnh đề khẳng định về một sự kiện trong toán học, vậy phát biểu này là mệnh đề toán học.
Còn phát biểu của bạn Phương không phải là mệnh đề toán học.
a) Phát biểu của bạn H’Maryam có phải là một câu khẳng định về tính chất chia hết trong toán học hay không?
b) Phát biểu của bạn Phương có phải là một câu khẳng định về một sự kiện trong toán học hay không?
a) Phát biểu của bạn H’Maryam là một mệnh đề khẳng định về một sự kiện trong toán học nói về tính chất chia hết. Ta gọi đây là mệnh đề toán học.
b) Phát biểu của bạn Phương không phải là một câu khẳng định về một sự kiện trong toán học.
Nêu hai ví dụ về mệnh đề toán học.
Có nhiều ví dụ về mệnh đề toán học, chẳng hạn:
- Diện tích hình chữ nhật bằng tích độ dài hai cạnh.
- Số 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất.
- Tổng ba góc trong một tam giác là 180°.
…
Em có thể chọn 2 ví dụ trong các ví dụ trên hoặc có thể chọn các ví dụ về mệnh đề toán học khác.
Trong các mệnh đề toán học sau đây, mệnh đề nào là một khẳng định đúng? Mệnh đề nào là một khẳng định sai?
P: “Tổng hai góc đối của một tứ giác nội tiếp bằng 180°”;
Q: “ 2 là số hữu tỉ”.
Ta có mệnh đề P là một khẳng định đúng (lí thuyết Toán lớp 9).
Lại có 2 là số vô tỉ nên mệnh đề Q là một khẳng định sai.
Vậy P là mệnh đề đúng, Q là mệnh đề sai.
Nêu ví dụ về một mệnh đề đúng và một mệnh đề sai.
+ Ví dụ về mệnh đề đúng:
- “Số 9 là hợp số”;
- “Tam giác đều có 3 cạnh bằng nhau”;
- “Số 10 chia hết cho cả 2 và 5”;
…
+ Ví dụ về mệnh đề sai:
- “Số nguyên tố nhỏ nhất là 3”, (mệnh đề này sai vì số nguyên tố nhỏ nhất là 2);
- “Số 10 chia hết cho cả 2, 3 và 5”, (sai vì 10 không chia hết cho 3);
- “Hình chữ nhật có 4 góc không bằng nhau”, (sai vì hình chữ nhật có 4 góc vuông, bằng nhau);
…
Em có thể chọn một trong các mệnh đề trên để trả lời câu hỏi.
Xét câu “n chia hết cho 3” với n là số tự nhiên.
a) Ta có thể khẳng định được tính đúng sai của câu trên hay không?
b) Với n = 21 thì câu “21 chia hết cho 3” có phải là mệnh đề toán học hay không? Nếu là mệnh đề toán học thì mệnh đề đó đúng hay sai?
c) Với n = 10 thì câu “10 chia hết cho 3” có phải là mệnh đề toán học hay không? Nếu là mệnh đề toán học thì mệnh đề đó đúng hay sai?
a) Ta chưa thể khẳng định được tính đúng sai của câu “n chia hết cho 3” với n là số tự nhiên.
b) Với n = 21 thì câu “21 chia hết cho 3” là mệnh đề toán học vì nó khẳng định một sự kiện trong toán học.
Đây là một mệnh đề đúng do 21 : 3 = 7 nên 21 chia hết cho 3.
c) Với n = 10 thì câu “10 chia hết cho 3” cũng là một mệnh đề toán học.
Mệnh đề này là mệnh đề sai vì 10 không chia hết cho 3.
Nêu ví dụ về mệnh đề chứa biến.
Ví dụ về mệnh đề chứa biến:
+ P(x): “ x > 10”;
+ P(n): “n chia hết cho 2”….
Hai bạn Kiên và Cường đang tranh luận với nhau.
Kiên nói: “Số 23 là số nguyên tố”.
Cường nói: “Số 23 không là số nguyên tố”.
Em có nhận xét gì về hai câu phát biểu của Kiên và Cường?
Hai câu phát biểu của Kiên và Cường đều là các mệnh đề toán học.
Số 23 là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có 2 ước là 1 và 23 nên đây là số nguyên tố, do đó phát biểu của Kiên là mệnh đề đúng và phát biểu của Cường là mệnh đề sai.
Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và nhận xét tính đúng sai của mệnh đề phủ định đó.
P: “5,15 là một số hữu tỉ”;
Q: “ 2 023 là số chẵn”.
+ P: “5,15 là một số hữu tỉ”
Mệnh đề phủ định của P là P¯ : “5,15 không phải là một số hữu tỉ” hay P¯: “5,15 là số vô tỉ”.
Vì P là mệnh đề đúng nên P¯ là mệnh đề sai.
+ Q: “ 2 023 là số chẵn”
Mệnh đề phủ định của Q là Q¯: “2 023 không phải là số chẵn” hay Q¯: “2 023 là số lẻ”.
Do các số chẵn là các số có chữ số tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8 và các số lẻ là các số có chữ số tận cùng là 1, 3, 5, 7, 9 nên 2 023 là số lẻ, do đó mệnh đề Q sai nên Q¯ đúng.
Xét hai mệnh đề:
P: “Số tự nhiên n chia hết cho 6”; Q: “Số tự nhiên n chia hết cho 3”.
Xét mệnh đề R: “Nếu số tự nhiên n chia hết cho 6 thì số tự nhiên n chia hết cho 3”.
Mệnh đề R có dạng phát biểu như thế nào?
Mệnh đề R: “Nếu số tự nhiên n chia hết cho 6 thì số tự nhiên n chia hết cho 3”.
Ta thấy mệnh đề R có dạng: “Nếu P thì Q”.
Hãy phát biểu một định lí toán học ở dạng mệnh đề kéo theo P ⇒ Q.
Có nhiều định lý toán học được phát biểu dưới dạng mệnh đề kéo theo, chẳng hạn:
+ P ⇒ Q: “Nếu tứ giác ABCD có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180° thì ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn”.
Trong đó, P: “Tứ giác ABCD có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180°”; Q: “ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn”.
+ P ⇒ Q: “Nếu a // m và b // m thì a // b”. (a, b, m là các đường thẳng phân biệt)
Trong đó: P: “a // m và b // m” và Q: “a // b”.
…
Em có thể chọn 1 định lí để trả lời câu hỏi.
Cho tam giác ABC. Xét mệnh đề dạng P ⇒ Q như sau:
“Nếu tam giác ABC vuông tại A thì tam giác ABC có AB2 + AC2 = BC2”.
Phát biểu mệnh đề Q ⇒ P và xác định tính đúng sai của hai mệnh đề P ⇒ Q và Q ⇒ P.
Ta có:
P ⇒ Q: “Nếu tam giác ABC vuông tại A thì tam giác ABC có AB2 + AC2 = BC2”.
Khi đó, P: “Tam giác ABC vuông tại A” và Q: “Tam giác ABC có AB2 + AC2 = BC2”.
Vậy mệnh đề Q ⇒ P: “Nếu tam giác ABC có AB2 + AC2 = BC2 thì tam giác ABC vuông tại A”.
Cả hai mệnh đề P ⇒ Q và Q ⇒ P đều là mệnh đề đúng (theo định lí Pythagore).
Cho tam giác ABC. Từ các mệnh đề:
P: “Tam giác ABC đều”, Q: “Tam giác ABC cân và có một góc bằng 60°”, hãy phát biểu hai mệnh đề P ⇒ Q và Q ⇒ P và xác định tính đúng sai của mỗi mệnh đề đó. Nếu cả hai mệnh đề trên đều đúng, hãy phát biểu mệnh đề tương đương.
+ Mệnh đề P ⇒ Q: “Nếu tam giác ABC đều thì tam giác ABC cân và có một góc bằng 60°”.
Đây là mệnh đề đúng vì tam giác đều có 3 cạnh bằng nhau và 3 góc bằng nhàu và bằng 60° và tam giác cân là tam giác có 2 cạnh bằng nhau, nên tam giác đều là tam giác cân và có 1 góc bằng 60°.
+ Mệnh đề Q ⇒ P: “Nếu tam giác ABC cân và có một góc bằng 60° thì tam giác ABC đều”.
Đây là mệnh đề đúng theo dấu hiệu nhận biết tam giác đều.
Do đó cả hai mệnh đề P ⇒ Q và Q ⇒ P đều là mệnh đề đúng. Vậy ta có mệnh đề tương đương P ⇔ Q: “Tam giác ABC đều khi và chỉ khi tam giác ABC cân và có một góc bằng 60°”.
Cho mệnh đề “n chia hết cho 3” với n là số tự nhiên.
a) Phát biểu “Mọi số tự nhiên n đều chia hết cho 3” có phải là mệnh đề không?
b) Phát biểu “Tồn tại số tự nhiên n chia hết cho 3” có phải là mệnh đề không?
a) Phát biểu “Mọi số tự nhiên n đều chia hết cho 3” là một mệnh đề.
b) Phát biểu “Tồn tại số tự nhiên n chia hết cho 3” là một mệnh đề.
(Vì cả hai phát biểu a, b đều khẳng định một sự kiện toán học).
Bạn An nói: “Mọi số thực đều có bình phương là một số không âm”.
Bạn Bình phủ định lại câu nói của bạn An: “Có một số thực mà bình phương của nó là một số âm”.
a) Sử dụng kí hiệu “∀” để viết mệnh đề của bạn An.
b) Sử dụng kí hiệu “∃” để viết mệnh đề của bạn Bình.
a) Mệnh đề của bạn An viết dưới dạng sử dụng kí hiệu: “∀x∈ℝ, x2 là một số không âm”.
b) Mệnh đề của bạn Bình viết dưới dạng sử dụng kí hiệu: “∃x∈ℝ, x2 là một số âm”.
Phát biểu mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau:
a) Tồn tại số nguyên chia hết cho 3;
b) Mọi số thập phân đều viết được dưới dạng phân số.
a) Phát biểu phủ định của mệnh đề “Tồn tại số nguyên chia hết cho 3” là mệnh đề “Mọi số nguyên không chia hết cho 3”.
b) Phát biểu phủ định của mệnh đề “Mọi số thập phân đều viết được dưới dạng phân số” là mệnh đề “Tồn tại số thập phân không viết được dưới dạng phân số”.
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là mệnh đề toán học?
a) Tích hai số thực trái dấu là một số thực âm.
b) Mọi số tự nhiên đều là số dương.
c) Có sự sống ngoài Trái Đất.
d) Ngày 1 tháng 5 là ngày Quốc tế Lao động.
Mệnh đề toán học là một phát biểu khẳng định về một sự kiện trong toán học.
Vậy trong các phát biểu đã cho thì phát biểu a, b là các mệnh đề toán học.
Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và nhận xét tính đúng sai của mệnh đề phủ định đó:
a) A: “ 512 là một phân số”;
b) B: “Phương trình x2 + 3x + 2 = 0 có nghiệm”;
c) C: “22 + 23 = 22 + 3”;
d) D: “Số 2 025 chia hết cho 15”.
a) Phủ định của mệnh đề A: “ 512 là một phân số” là mệnh đề A¯: “ 512 không phải là một phân số”, mệnh đề phủ định này sai do A đúng.
b) Phủ định của mệnh đề B: “Phương trình x2 + 3x + 2 = 0 có nghiệm” là mệnh đề B¯: “Phương trình x2 + 3x + 2 = 0 vô nghiệm”.
Ta có x2 + 3x + 2 = 0 là phương trình bậc hai có ∆ = 32 – 4 . 1 . 2 = 9 – 8 = 1 > 0 nên phương trình có nghiệm, vậy mệnh đề B đúng nên mệnh đề B¯ sai.
c) Phủ định của mệnh đề C: “22 + 23 = 22 + 3” là mệnh đề C¯: “22 + 23 ≠ 22 + 3”.
Ta có: 22 + 23 = 4 + 8 = 12
22 + 3 = 25 = 32
Do đó 22 + 23 ≠ 22 + 3
Vậy mệnh đề C sai và mệnh đề C¯ đúng.
d) Phủ định của mệnh đề D: “Số 2 025 chia hết cho 15” là mệnh đề D¯ : “Số 2 025 không chia hết cho 15”.
Ta có: 2 025 : 15 = 135 nên 2 025 chia hết cho 15.
Vậy mệnh đề D đúng nên mệnh đề phủ định D¯ sai.
Cho n là số tự nhiên. Xét các mệnh đề:
P: “n là một số tự nhiên chia hết cho 16”;
Q: “n là một số tự nhiên chia hết cho 8”;
a) Phát biểu mệnh đề P ⇒ Q. Nhận xét tính đúng sai của mệnh đề đó.
b) Phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q. Nhận xét tính đúng sai của mệnh đề đó.
a) Mệnh đề P ⇒ Q: “Nếu n là một số tự nhiên chia hết cho 16 thì n là một số tự nhiên chia hết cho 8”.
Đây là mệnh đề đúng vì 16 = 2 . 8 nên mọi số tự nhiên chia hết cho 16 thì đều chia hết cho 8.
b) Mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q là mệnh đề Q ⇒ P: “Nếu là là số tự nhiên chia hết cho 8 thì n là một số tự nhiên chia hết cho 16”.
Mệnh đề đảo này là mệnh đề sai.
Ví dụ: lấy n = 8, ta thấy 8 chia hết cho 8 nhưng 8 không chhia hết cho 16.
Cho tam giác ABC. Xét các mệnh đề:
P: “Tam giác ABC cân”;
Q: “Tam giác ABC có hai đường cao bằng nhau”.
Phát biểu mệnh đề P ⇔ Q bằng bốn cách.
Phát biểu mệnh đề P ⇔ Q bằng bốn cách như sau:
Cách 1: “Tam giác ABC cân tương đương tam giác ABC có hai đường cao bằng nhau”.
Cách 2: “Tam giác ABC cân là điều kiện cần và đủ để có tam giác ABC có hai đường cao bằng nhau”.
Cách 3: “Tam giác ABC cân khi và chỉ khi tam giác ABC có hai đường cao bằng nhau”.
Cách 4: “Tam giác ABC cân nếu và chỉ nếu tam giác ABC có hai đường cao bằng nhau”.
Dùng kí hiệu “∀” hoặc “∃” để viết các mệnh đề sau:
a) Có một số nguyên không chia hết cho chính nó;
b) Mọi số thực cộng với 0 đều bằng chính nó.
a) Mệnh đề đã cho được viết là: “∃x∈ℤ, x không chia hết cho x”.
b) Mệnh đề đã cho được viết là: “∀x∈ℝ, x + 0 = x”.
Phát biểu các mệnh đề sau:
a) ∀x∈ℝ, x2 ≥ 0;
b) ∃x∈ℝ,1x>x.
a) Mệnh đề “ ∀x∈ℝ, x2 ≥ 0” được phát biểu như sau: “Mọi số thực đều có bình phương không âm”.
b) Mệnh đề “∃x∈ℝ,1x>x” được phát biểu là: “Tồn tại số thực sao cho nghịch đảo của nó lớn hơn chính nó”.
Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề phủ định đó:
a) ∀x∈ℝ, x2 ≠ 2x – 2;
b) ∀x∈ℝ, x2 ≤ 2x – 1;
c) ∃x∈ℝ,x+1x≥2;
d) ∃x∈ℝ, x2 – x + 1 < 0.
a) Phủ định của mệnh đề “ ∀x∈ℝ, x2 ≠ 2x – 2” là mệnh đề “∃x∈ℝ, x2 = 2x – 2”.
Mệnh đề phủ định trên là mệnh đề sai, thật vậy ta xét phương trình x2 = 2x – 2
⇔ x2 – 2x + 2 = 0
Đây là phương trình bậc hai với ∆' = (– 1)2 – 1 . 2 = – 1 < 0
Do đó phương trình vô nghiệm trên tập số thực.
Nghĩa là x2 ≠ 2x – 2 với mọi số thực x.
Vậy mệnh đề phủ định trên là mệnh đề sai.
b) Phủ định của mệnh đề “∀x∈ℝ, x2 ≤ 2x – 1” là mệnh đề “∃x∈ℝ , x2 > 2x – 1”.
Mệnh đề phủ định này là mệnh đề đúng. Để chứng minh mệnh đề đúng, ta chỉ cần chỉ ra một giá trị cụ thể của x để nhận được mệnh đề đúng.
Thật vậy, chọn x = 2, ta thấy 22 = 4 và 2 . 2 – 1 = 4 – 1 = 3, vì 4 > 3 nên 22 > 2 . 2 – 1.
Vậy mệnh đề phủ định là mệnh đề đúng.
c) Phủ định của mệnh đề “∃x∈ℝ,x+1x≥2” là mệnh đề “∀x∈ℝ,x+1x<2”.
Mệnh đề phủ định trên là mệnh đề sai. Thật vậy, ta chỉ cần lấy bất kì một giá trị x để nhận được mệnh đề sai.
Chọn x = 4, ta thấy 4+14=4,25 > 2.
Vậy mệnh đề phủ định là mệnh đề sai.
d) Phủ định của mệnh đề “∃x∈ℝ, x2 – x + 1 < 0” là mệnh đề “∀x∈ℝ, x2 – x + 1 ≥ 0”.
Mệnh đề phủ định này là mệnh đề đúng.
Ta có: x2 – x + 1 = x2−2.x.12+122+34=x−122+34>0 ∀x∈ℝ .
