Bài tập Mệnh đề toán học có đáp án

Mệnh đề R: “Nếu số tự nhiên n chia hết cho 6 thì số tự nhiên n chia hết cho 3”.

Ta thấy mệnh đề R có dạng: “Nếu P thì Q”.

Có nhiều định lý toán học được phát biểu dưới dạng mệnh đề kéo theo, chẳng hạn:

+ P ⇒ Q: “Nếu tứ giác ABCD có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180° thì ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn”.

Trong đó, P: “Tứ giác ABCD có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180°”; Q: “ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn”.

+ P ⇒ Q: “Nếu a // m và b // m thì a // b”. (a, b, m là các đường thẳng phân biệt)

Trong đó: P: “a // m và b // m” và Q: “a // b”.

…

Em có thể chọn 1 định lí để trả lời câu hỏi.

Ta có:

P ⇒ Q: “Nếu tam giác ABC vuông tại A thì tam giác ABC có AB2 + AC2 = BC2”.

Khi đó, P: “Tam giác ABC vuông tại A” và Q: “Tam giác ABC có AB2 + AC2 = BC2”.

Vậy mệnh đề Q ⇒ P: “Nếu tam giác ABC có AB2 + AC2 = BC2 thì tam giác ABC vuông tại A”.

Cả hai mệnh đề P ⇒ Q và Q ⇒ P đều là mệnh đề đúng (theo định lí Pythagore).

+ Mệnh đề P ⇒ Q: “Nếu tam giác ABC đều thì tam giác ABC cân và có một góc bằng 60°”.

Đây là mệnh đề đúng vì tam giác đều có 3 cạnh bằng nhau và 3 góc bằng nhàu và bằng 60° và tam giác cân là tam giác có 2 cạnh bằng nhau, nên tam giác đều là tam giác cân và có 1 góc bằng 60°.

+ Mệnh đề Q ⇒ P: “Nếu tam giác ABC cân và có một góc bằng 60° thì tam giác ABC đều”.

Đây là mệnh đề đúng theo dấu hiệu nhận biết tam giác đều.

Do đó cả hai mệnh đề P ⇒ Q và Q ⇒ P đều là mệnh đề đúng. Vậy ta có mệnh đề tương đương P ⇔ Q: “Tam giác ABC đều khi và chỉ khi tam giác ABC cân và có một góc bằng 60°”.

a) Phát biểu “Mọi số tự nhiên n đều chia hết cho 3” là một mệnh đề.

b) Phát biểu “Tồn tại số tự nhiên n chia hết cho 3” là một mệnh đề.

(Vì cả hai phát biểu a, b đều khẳng định một sự kiện toán học).

a) Mệnh đề của bạn An viết dưới dạng sử dụng kí hiệu: “$\forall x\in ℝ$ , x² là một số không âm”.

b) Mệnh đề của bạn Bình viết dưới dạng sử dụng kí hiệu: “$\exists x\in ℝ$ , x² là một số âm”.

a) Phát biểu phủ định của mệnh đề “Tồn tại số nguyên chia hết cho 3” là mệnh đề “Mọi số nguyên không chia hết cho 3”.

b) Phát biểu phủ định của mệnh đề “Mọi số thập phân đều viết được dưới dạng phân số” là mệnh đề “Tồn tại số thập phân không viết được dưới dạng phân số”.

Mệnh đề toán học là một phát biểu khẳng định về một sự kiện trong toán học.

Vậy trong các phát biểu đã cho thì phát biểu a, b là các mệnh đề toán học.

a) Phủ định của mệnh đề A: “  $\frac{5}{12}$ là một phân số” là mệnh đề $\overline{A}$ : “  $\frac{5}{12}$ không phải là một phân số”, mệnh đề phủ định này sai do A đúng.

b) Phủ định của mệnh đề B: “Phương trình x² + 3x + 2 = 0 có nghiệm” là mệnh đề $\overline{B}$ : “Phương trình x² + 3x + 2 = 0 vô nghiệm”.

Ta có x² + 3x + 2 = 0 là phương trình bậc hai có ∆ = 3² – 4 . 1 . 2 = 9 – 8 = 1 > 0 nên phương trình có nghiệm, vậy mệnh đề B đúng nên mệnh đề $\overline{B}$  sai.

c) Phủ định của mệnh đề C: “2² + 2³ = 2^{2 + 3}” là mệnh đề $\overline{C}$ : “2² + 2³ ≠ 2^{2 + 3}”.

Ta có: 2² + 2³ = 4 + 8 = 12

          2^{2 + 3}  = 2⁵ = 32

Do đó 2² + 2³ ≠ 2^{2 + 3}  

Vậy mệnh đề C sai và mệnh đề $\overline{C}$  đúng. 

d) Phủ định của mệnh đề D: “Số 2 025 chia hết cho 15” là mệnh đề $\overline{D}$ : “Số 2 025 không chia hết cho 15”.

Ta có: 2 025 : 15 = 135 nên 2 025 chia hết cho 15.

Vậy mệnh đề D đúng nên mệnh đề phủ định $\overline{D}$  sai.

a) Mệnh đề P ⇒ Q: “Nếu n là một số tự nhiên chia hết cho 16 thì n là một số tự nhiên chia hết cho 8”.

Đây là mệnh đề đúng vì 16 = 2 . 8 nên mọi số tự nhiên chia hết cho 16 thì đều chia hết cho 8.

b) Mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q là mệnh đề Q ⇒ P: “Nếu là là số tự nhiên chia hết cho 8 thì n là một số tự nhiên chia hết cho 16”.

Mệnh đề đảo này là mệnh đề sai.

Ví dụ: lấy n = 8, ta thấy 8 chia hết cho 8 nhưng 8 không chhia hết cho 16.

Phát biểu mệnh đề P ⇔ Q bằng bốn cách như sau:

Cách 1: “Tam giác ABC cân tương đương tam giác ABC có hai đường cao bằng nhau”.

Cách 2: “Tam giác ABC cân là điều kiện cần và đủ để có tam giác ABC có hai đường cao bằng nhau”.

Cách 3: “Tam giác ABC cân khi và chỉ khi tam giác ABC có hai đường cao bằng nhau”.

Cách 4: “Tam giác ABC cân nếu và chỉ nếu tam giác ABC có hai đường cao bằng nhau”.

a) Mệnh đề đã cho được viết là: “$\exists x\in \mathbb{Z}$ , x không chia hết cho x”.

b) Mệnh đề đã cho được viết là: “$\forall x\in ℝ$ , x + 0 = x”.

a) Mệnh đề “ $\forall x\in ℝ$, x² ≥ 0” được phát biểu như sau: “Mọi số thực đều có bình phương không âm”.

b) Mệnh đề “$\exists x\in ℝ,\frac{1}{x}>x$ ” được phát biểu là: “Tồn tại số thực sao cho nghịch đảo của nó lớn hơn chính nó”.

a) Phủ định của mệnh đề “ $\forall x\in ℝ$, x² ≠ 2x – 2” là mệnh đề “$\exists x\in ℝ$ , x² = 2x – 2”.

Mệnh đề phủ định trên là mệnh đề sai, thật vậy ta xét phương trình x² = 2x – 2

⇔ x² – 2x + 2 = 0

Đây là phương trình bậc hai với ∆' = (– 1)² – 1 . 2 = – 1 < 0

Do đó phương trình vô nghiệm trên tập số thực.

Nghĩa là x² ≠ 2x – 2 với mọi số thực x.

Vậy mệnh đề phủ định trên là mệnh đề sai. 

b) Phủ định của mệnh đề “$\forall x\in ℝ$ , x² ≤ 2x – 1” là mệnh đề “$\exists x\in ℝ$ , x² > 2x – 1”.

Mệnh đề phủ định này là mệnh đề đúng. Để chứng minh mệnh đề đúng, ta chỉ cần chỉ ra một giá trị cụ thể của x để nhận được mệnh đề đúng.

Thật vậy, chọn x = 2, ta thấy 2² = 4 và 2 . 2 – 1 = 4 – 1 = 3, vì 4 > 3 nên 2² > 2 . 2 – 1.

Vậy mệnh đề phủ định là mệnh đề đúng.

c) Phủ định của mệnh đề “$\exists x\in ℝ,x+\frac{1}{x}\ge 2$ ” là mệnh đề “$\forall x\in ℝ,x+\frac{1}{x}<2$ ”.

Mệnh đề phủ định trên là mệnh đề sai. Thật vậy, ta chỉ cần lấy bất kì một giá trị x để nhận được mệnh đề sai.

Chọn x = 4, ta thấy $4+\frac{1}{4}=\mathrm{4,25}$  > 2.

Vậy mệnh đề phủ định là mệnh đề sai.

d) Phủ định của mệnh đề “$\exists x\in ℝ$ , x² – x + 1 < 0” là mệnh đề “$\forall x\in ℝ$ , x² – x + 1 ≥ 0”.

Mệnh đề phủ định này là mệnh đề đúng.

Ta có: x² – x + 1 = $x^2-2.x.\frac{1}{2}+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}={\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}>0\forall x\in ℝ$ .