a) T(n) = n + 2log n ≤ 3n với n ≥ 1. Vậy T(n) = O(n).

b) T(n) = n2 + 3nlogn +2n ≤ 6n với n ≥ 1. Vậy T(n) = O(n). 

c) T(n) = O(1), độ phức tạp hằng số.

d) T(n) = 2n+1 = 2.2" = O(2").

Hàm trên thực hiện việc tìm phần tử lớn nhất của mảng A.

Gọi n là kích thước của mảng, T(n) là thời gian thực hiện của thuật toán. Thời gian chạy của thuật toán được phân tích như sau:

– Câu lệnh tại dòng 2 cần 1 đơn vị thời gian.

– Vòng lặp for tại dòng 3 biến i chạy từ 1 đến n − 1, nên vòng lặp có n – 1 bước lặp.

– Với mỗi bước lặp chương trình thực hiện 1 lệnh so sánh tại dòng 4 và 1 lệnh gán tại dòng 5 (nếu điều kiện thoả mãn).

– Lệnh trả về tại dòng 6 cần 1 đơn vị thời gian.

Tổng hợp lại chương trình trên có thời gian chạy là

T(n) = 2 + 2(n-1) = 2n = O(n).

Hàm trên thực hiện in ra xâu đảo ngược của xâu đầu vào.

Gọi n là kích thước của xâu đầu vào (số kí tự của xâu), T(n) là thời gian thực hiện

của chương trình. Thời gian chạy của chương trình được phân tích như sau: 

– Câu lệnh tại dòng 2 và 3 cần 2 đơn vị thời gian.

– Vòng lặp while thực hiện n lần lặp.

– Với mỗi bước lặp chương trình thực hiện hai lệnh gán tại dòng 5 và 6. – Lệnh trả về tại dòng 7 cần 1 đơn vị thời gian.

Tổng hợp lại chương trình trên có thời gian chạy là T(n) = 2 + 2n+1 = 2n + 3 = O(n).

Gọi n là kích thước của mảng, T(n) là thời gian thực hiện của thuật toán. Thời gian chạy của thuật toán được phân tích như sau:

– Câu lệnh tại dòng 2 cần 1 đơn vị thời gian.

– Vòng lặp for tại dòng 3 biến i chạy từ 1 đến n − 1, nên vòng lặp có n – 1 bước lặp. 

– Với mỗi bước lặp chương trình thực hiện:

• Hai lệnh gán tại dòng 4 và 5.

• Vòng lặp while tại dòng 6. Vòng lặp này sẽ chạy tối đa là i lần. Mỗi lần lặp chương trình sẽ thực hiện hai lệnh gán tại dòng 7 và 8, cần 2 đơn vị thời gian. • Lệnh gán tại dòng 9 cần 1 đơn vị thời gian.

Tổng hợp lại chương trình trên có thời gian chạy tối đa là:

 Gọi T(n) là thời gian thực hiện của chương trình. Thời gian chạy của chương trình được phân tích như sau:

– Lệnh gán tại dòng 2 cần 1 đơn vị thời gian.

– Vòng for tại dòng 3, biến i chạy từ 1 đến n, nên vòng lặp có n bước lặp.

– Với mỗi bước lặp trên, chương trình thực hiện

• Vòng lặp tại dòng 4, biến j chạy từ 1 đến i, nên vòng lặp thực hiện i bước lặp. • Với mỗi bước lặp:

a Chương trình thực hiện vòng lặp tại dòng 5, biến k chạy từ j đến j + vòng lặp có i + 1 bước lặp.

a Với mỗi bước lặp chương trình thực hiện 1 lệnh gán tại dòng 6 cần 1 đơn vị thời gian.

– Lệnh trả về tại dòng 7 cần 1 đơn vị thời gian.

Tổng hợp lại, hàm trên có thời gian chạy là

Không. Ví dụ f(n) = n, g(n) = n2 thì rõ ràng f(n) = O(g(n)) nhưng ngược lại không đúng.

Theo Quy tắc 1, ta có O(f(n)) = O(max(a,.nk, ak-1-nk-1, ...,

Vậy suy ra f(n) = O(nk).

',..., n,.a, a) = O(nk).