Giải bài tập SGK Toán 9 tập 2 hay nhất Bài 2: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn và Luyện tập
11 câu hỏi
Kiểm tra rằng cặp số (x; y) = (2; -1) vừa là nghiệm của phương trình thứ nhất, vừa là nghiệm của phương trình thứ hai.
Thay x = 2 , y = -1 vào phương trình 2x + y = 3 ta được:
Vậy (2;-1) là nghiệm của phương trình 2x+y=3
- Thay x = 2, y = -1 vào phương trình x – 2y = 4 ta được:
Vậy (2;-1) là nghiệm của phương trình x – 2y = 4
Vậy cặp số (x; y) = (2; -1) vừa là nghiệm của phương trình thứ nhất, vừa là nghiệm của phương trình thứ hai.
Tìm từ thích hợp để điền vào chỗ trống (…) trong câu sau:
Nếu điểm M thuộc đường thẳng ax + by = c thì tọa độ (x0; y0) của điểm M là một … của phương trình ax + by = c.
Nếu điểm M thuộc đường thẳng ax + by = c thì tọa độ (x0; y0) của điểm M là một nghiệm của phương trình ax + by = c.
Hệ phương trình trong ví dụ 3 có bao nhiêu nghiệm ? Vì sao ?
Hệ phương trình trong ví dụ 3 có vô số nghiệm vì tập nghiệm của hai phương trình trong hệ được biểu diễn bởi cùng một đường thẳng y = 2x – 3
Không cần vẽ hình, hãy cho biết số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau đây và giải thích vì sao:
a)y=3−2xy=3x−1b)y=−12x+3y=−12x+1c)2y=−3x3y=2xd)3x−y=3x−13y=1
a) Xét (d): y = -2x + 3 có a = -2; b = 3
(d’) : y = 3x – 1 có a’ = 3 ; b’ = -1.
Có a ≠ a’ ⇒ (d) cắt (d’)
⇒ Hệ 
có nghiệm duy nhất.
b) 
Xét (d): 
có a = 
; b = 3
(d’): 
có a’ = ; b’ = 1.
Có a = a’; b ≠ b’ ⇒ (d) // (d’)
⇒ Hệ phương trình 
vô nghiệm.
c) Ta có: 
Xét (d): y = 
x có a = ; b = 0
(d’) : y = 
x có a’ = ; b’ = 0
Ta có: a ≠ a’ ⇒ (d) cắt (d’)
⇒ Hệ 
có nghiệm duy nhất.
d) Ta có:
Ta có: a = a’=3; b = b’ = -3
Nhận thấy hai đường thẳng trên trùng nhau
⇒ Hệ phương trình có vô số nghiệm.
Kiến thức áp dụng
+ Xét hệ (I): 
Gọi (d): ax + by = c và (d’): a’x + b’y = c’.
Số nghiệm của hệ (I) phụ thuộc vào vị trí tương đối của (d) và (d’).
(d) cắt (d’) ⇒ hệ (I) có nghiệm duy nhất.
(d) // (d’) ⇒ hệ (I) vô nghiệm
(d) ≡ (d’) ⇒ hệ (I) có vô số nghiệm.
+ Cho đường thẳng (d): y = ax + b và (d’): y = a’x + b’.
(d) cắt (d’) ⇔ a ≠ a’
(d) // (d’) ⇔ a = a’ và b ≠ b’
(d) trùng (d’) ⇔ a = a’ và b = b’.
Đoán nhận số nghiệm của hệ phương trình sau bằng hình học:
a)2x−y=1x−2y=−1b)2x+y=4−x+y=1
a) Xét hệ (I): 
Ta biểu diễn hai đường thẳng (d): 2x – y = 1 và (d’): x – 2y = -1 trên mặt phẳng tọa độ.
+ Xét đường thẳng (d): 2x – y = 1 hay (d) : y = 2x – 1
Chọn x = 0 ⇒ y = -1.
Chọn y = 0 ⇒ x = 
⇒ (d) đi qua hai điểm (0; -1) và 
+ Xét (d’) : x – 2y = -1 hay (d’): 
Chọn x = 0 ⇒ y =
Chọn y = 0 ⇒ x = -1.
⇒ (d’) đi qua hai điểm 
và (-1; 0).
Dựa vào đồ thị thấy hai đường thẳng (d) và (d’) cắt nhau tại A (1; 1).
Thử lại, thay x =1, y=1 vào các phương trình của hệ (I) ta được:
Vậy hệ phương trình (I) có một nghiệm là (1; 1)
b) Xét (II): 
Ta biểu diễn hai đường thẳng (d): 2x + y = 4 và (d’): -x + y = 1 trên mặt phẳng tọa độ.
+ Xét (d): 2x + y = 4 hay (d): y = -2x + 4
Chọn x = 0 ⇒ y = 4
Chọn y = 0 ⇒ x = 2.
⇒ (d) đi qua hai điểm (0; 4) và (2; 0).
+ Xét (d’) : -x + y = 1 hay (d’) : y = x + 1.
Chọn x = 0 ⇒ y = 1
Chọn y = 0 ⇒ x = -1.
⇒ (d’) đi qua hai điểm (0; 1) và (-1; 0).
Nhận thấy (d) và (d’) cắt nhau tại A (1; 2).
Thử lại , thay x =1, y=2 vào các phương trình của hệ (II) ta được:
Vậy hệ phương trình (II) có đúng một nghiệm là (1; 2).
Đố:
Bạn Nga nhận xét: Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn vô nghiệm thì luôn tương đương với nhau.
Bạn Phương khẳng định: Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn cùng có vô số nghiệm thì cũng luôn tương đương với nhau.
Theo em, các ý kiến đó đúng hay sai? Vì sao? (Có thể cho một ví dụ hoặc minh họa bằng đồ thị).
- Bạn Nga đã nhận xét đúng vì hai hệ phương trình cùng vô nghiệm có nghĩa là chúng cùng có tập nghiệm bằng ∅.
- Bạn Phương nhận xét sai.
Ví dụ: Xét hai hệ 
và 
Hệ có vô số nghiệm. Tập nghiệm của (I) được biểu diễn bởi đường thẳng x – y = 0.
Hệ có vô số nghiệm. Tập nghiệm của (II) được biểu diễn bởi đường thẳng x + y = 0.
Nhận thấy, tập nghiệm của hai hệ (I) và hệ (II) được biểu diễn bởi hai đường thẳng khác nhau nên hai hệ không tương đương.
Kiến thức áp dụng
Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.
Cho hai phương trình 2x + y = 4 và 3x + 2y = 5.
a) Tìm nghiệm tổng quát của mỗi phương trình trên.
b) Vẽ các đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình trong cùng một hệ trục tọa độ, rồi xác định nghiệm chung của chúng.
a) + Xét phương trình 2x + y = 4 (1) ⇔ y = -2x + 4
Vậy phương trình (1) có nghiệm tổng quát là (x ; -2x + 4) (x ∈ R).
+ Xét phương trình 3x + 2y = 5 (2) ⇔ 
Vậy phương trình (2) có nghiệm tổng quát là : 
(x ∈ R).
b) Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình (1) là đường thẳng (d) : y = -2x + 4.
Chọn x = 0 ⇒ y = 4
Chọn y = 0 ⇒ x = 2.
⇒ (d) đi qua hai điểm (0; 4) và (2; 0).
Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình (2) là đường thẳng (d’) : 
Chọn x = 0 ⇒ y = 2,5.
Chọn y = 0 ⇒ 
⇒ (d’) đi qua hai điểm (0; 2,5) và 
Hai đường thẳng cắt nhau tại A(3; -2).
Vậy (3; -2) là nghiệm chung của hai phương trình (1) và (2).
Cho các hệ phương trình sau:
a)x=22x−y=3b)x+3y=22y=4
Trước hết, hãy đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình trên (giải thích rõ lí do). Sau đó, tìm tập nghiệm của các hệ đã cho bằng cách vẽ hình.
Đường thẳng (d): x = 2 song song với trục tung.
Đường thẳng (d’): 2x – y = 3 không song song với trục tung
⇒ (d) cắt (d’)
⇒ Hệ có nghiệm duy nhất.
Vẽ (d): x = 2 là đường thẳng đi qua (2 ; 0) và song song với trục tung.
Vẽ (d’): 2x - y = 3
- Cho x = 0 ⇒ y = -3 được điểm (0; -3).
- Cho y = 0 ⇒ x = 1,5 được điểm (1,5 ; 0).
Ta thấy hai đường thẳng (d) và (d’) cắt nhau tại A(2; 1).
Vậy hệ phương trình có nghiệm (2; 1).
Đường thẳng (d): x + 3y = 2 không song song với trục hoành
Đường thẳng (d’): 2y = 4 hay y = 2 song song với trục hoành
⇒ (d) cắt (d’)
⇒ Hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Vẽ (d1): x + 3y = 2
- Cho y = 0 ⇒ x = 2 được điểm (2; 0).
- Cho x = 0 ⇒ y = 
được điểm (0; ).
Vẽ (d2): y = 2 là đường thẳng đi qua (0; 2) và song song với trục hoành.
Ta thấy hai đường thẳng (d) và (d’) cắt nhau tại A(-4; 2).
Vậy hệ phương trình có nghiệm (-4; 2).
Đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau, giải thích vì sao:
a)x+y=23x+3y=2b)3x−2y=1−6x+4y=0
a) (I): 
Xét (d): x + y = 2 hay (d): y = -x + 2 có a = -1; b = 2.
(d’) 3x + 3y = 2 hay (d’): y = -x + 
có a’ = -1 ; b’ =
Ta có: a = a’ ; b ≠ b’ ⇒ (d) // (d’)
⇒ Hệ (I) vô nghiệm.
b) (II): 
Xét: (d): 3x – 2y = 1 hay (d):
(d’): -6x + 4y = 0 hay (d’):
Ta có: a = a’ ; b ≠ b’ ⇒ (d) // (d’)
⇒ Hệ (II) vô nghiệm.
Kiến thức áp dụng
+ Xét hệ (I): 
Gọi (d): ax + by = c và (d’): a’x + b’y = c’.
Số nghiệm của hệ (I) phụ thuộc vào vị trí tương đối của (d) và (d’).
(d) cắt (d’) ⇒ hệ (I) có nghiệm duy nhất.
(d) // (d’) ⇒ hệ (I) vô nghiệm
(d) ≡ (d’) ⇒ hệ (I) có vô số nghiệm.
+ Cho đường thẳng (d): y = ax + b và (d’): y = a’x + b’.
(d) cắt (d’) ⇔ a ≠ a’
(d) // (d’) ⇔ a = a’ và b ≠ b’
(d) trùng (d’) ⇔ a = a’ và b = b’.
Đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau, giải thích vì sao:
a)4x−4y=2−2x+2y=−1b)13x−y=23x−3y=2
a)
Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm.
b)
Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm.
Kiến thức áp dụng
+ Xét hệ (I): 
Gọi (d): ax + b = c và (d’): a’x + b’ = c’.
Số nghiệm của hệ (I) phụ thuộc vào vị trí tương đối của (d) và (d’).
(d) cắt (d’) ⇒ hệ (I) có nghiệm duy nhất.
(d) // (d’) ⇒ hệ (I) vô nghiệm
(d) ≡ (d’) ⇒ hệ (I) có vô số nghiệm.
+ Cho đường thẳng (d): y = ax + b và (d’): y = a’x + b’.
(d) cắt (d’) ⇔ a ≠ a’
(d) // (d’) ⇔ a = a’ và b ≠ b’
(d) trùng (d’) ⇔ a = a’ và b = b’
Nếu tìm thấy hai nghiệm phân biệt của một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (nghĩa là hai nghiệm được biểu diễn bởi hai điểm phân biệt) thì ta có thể nói gì về số nghiệm của hệ phương trình đó? Vì sao?
Nếu một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có hai nghiệm phân biệt
⇒ Hệ đó có vô số nghiệm.
Vì hệ có hai nghiệm phân biệt nghĩa là hai đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình của hệ có hai điểm chung phân biệt, suy ra chúng trùng nhau.
Kiến thức áp dụng
Một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn chỉ có thể có nghiệm duy nhất hoặc vô nghiệm hoặc vô số nghiệm.
