D- Sai 

Lý thuyết

\[\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x}  = \int\limits_a^b {f\left( x \right)} {\rm{d}}x + \int\limits_a^b {g\left( x \right){\rm{d}}x} \]\[\int\limits_a^b {kf\left( x \right){\rm{d}}x = k\int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} } \]

A- Sai

Lý thuyết

\[\int\limits_a^c {f\left( x \right){\rm{d}}x = \int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} }  + \int\limits_b^c {f\left( x \right){\rm{d}}x} \]

B- Đúng 

Lý thuyết

\[\int\limits_a^c {f\left( x \right){\rm{d}}x = \int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} }  + \int\limits_b^c {f\left( x \right){\rm{d}}x} \]

Lý thuyết

\[\int\limits_a^c {f\left( x \right){\rm{d}}x = \int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} }  + \int\limits_b^c {f\left( x \right){\rm{d}}x} \]

Lý thuyết

\[\int\limits_a^c {f\left( x \right){\rm{d}}x = \int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} }  + \int\limits_b^c {f\left( x \right){\rm{d}}x} \]

Lý thuyết

\(\int\limits_a^b {f(x){\rm{d}}x = \int\limits_a^b {f(y){\rm{d}}y} } \)\(\int\limits_a^b {\left( {f(x) + g(x)} \right){\rm{d}}x}  = \int\limits_a^b {f(x){\rm{d}}x + \int\limits_a^b {g(x){\rm{d}}x} } .\)

Lý thuyết

\(\int\limits_a^b {f(x){\rm{d}}x = \int\limits_a^b {f(y){\rm{d}}y} } \)\(\int\limits_a^b {\left( {f(x) + g(x)} \right){\rm{d}}x}  = \int\limits_a^b {f(x){\rm{d}}x + \int\limits_a^b {g(x){\rm{d}}x} } .\)

C-Sai

Lý thuyết

\(\int\limits_a^b {f(x){\rm{d}}x = \int\limits_a^b {f(y){\rm{d}}y} } \)\(\int\limits_a^b {\left( {f(x) + g(x)} \right){\rm{d}}x}  = \int\limits_a^b {f(x){\rm{d}}x + \int\limits_a^b {g(x){\rm{d}}x} } .\)

D-Sai

Lý thuyết

\(\int\limits_a^b {f(x){\rm{d}}x = \int\limits_a^b {f(y){\rm{d}}y} } \)\(\int\limits_a^b {\left( {f(x) + g(x)} \right){\rm{d}}x}  = \int\limits_a^b {f(x){\rm{d}}x + \int\limits_a^b {g(x){\rm{d}}x} } .\)

a) \(I = \int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \)\( = \left. {F\left( x \right)} \right|_{ - 1}^2\) \( = F\left( 2 \right) - F\left( { - 1} \right)\)\( = 4 - 1 = 3\).

Suy ra ĐÚNG.

Suy ra SAI.

c) Ta có\[K = \int\limits_{ - 1}^2 {\left( {{{\rm{e}}^{1 + \ln \left( {f\left( x \right)} \right)}} + 4} \right){\rm{d}}x}  = \int\limits_{ - 1}^2 {{{\rm{e}}^{1 + \ln \left( {f\left( x \right)} \right)}}{\rm{d}}x}  + \int\limits_{ - 1}^2 {4{\rm{d}}x}  = {\rm{e}}.\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  + \int\limits_{ - 1}^2 {4{\rm{d}}x}  = 3{\rm{e}} + 4x\mathop |\nolimits_{ - 1}^2  = 3{\rm{e}} + 12\]

d) Ta có \[\int\limits_{ - 1}^2 {g\left( x \right){\rm{d}}x}  + \int\limits_2^3 {g\left( x \right){\rm{d}}x}  = \int\limits_{ - 1}^3 {g\left( x \right){\rm{d}}x}  \Leftrightarrow 3 + \int\limits_2^3 {g\left( x \right){\rm{d}}x}  = 4 \Leftrightarrow \int\limits_2^3 {g\left( x \right){\rm{d}}x = 1}  \Leftrightarrow 9\int\limits_3^2 {g\left( x \right){\rm{d}}x =  - 9} \]

Suy ra SAI.

a) Đặt \(a = \int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \), \(b = \int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \), ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}3a + 2b = 4\\2a - b = 5\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b =  - 1\end{array} \right.\]

Vậy \(\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 2\).

Suy ra  a, b ĐÚNG

c) Ta có: \(\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  + \int\limits_2^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = \int\limits_{ - 1}^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  \Leftrightarrow 2 + \int\limits_2^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 6 \Leftrightarrow \int\limits_2^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 4\)

Suy ra SAI.

d) \(I = \int\limits_2^3 {\left[ {x + 2f\left( x \right) - 3g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x}  = \int\limits_2^3 {xdx}  + 2\int\limits_2^3 {f\left( x \right)dx}  - 3\int\limits_2^3 {g\left( x \right)dx = \frac{5}{2}}  + 2.4 - 3.4 =  - \frac{3}{2}\)

Suy ra ĐÚNG.

a) Phương trình chuyển động của vật theo đường parabol \(v\left( t \right) = a{t^2} + bt + c\,\,\,\left( {km/h} \right)\).

Parabol có đỉnh \(I\left( {2;5} \right)\) và đi qua điểm \(\left( {0;1} \right)\)có phương trình \(y =  - {x^2} + 4x + 1\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}c = 1\\4a + 2b + c = 5\\\frac{{ - b}}{{2a}} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 6\\b = 3\\a = \frac{{ - 3}}{4}\end{array} \right. \Rightarrow v\left( t \right) =  - {t^2} + 4t + 1\).

\(s(t) = \int v (t){\rm{d}}t = \int {\left( { - {t^2} + 4t + 1} \right)\,{\rm{d}}t}  =  - \frac{{{t^3}}}{3} + 2{t^2} + t + \,C\,\,\,(\;k{\rm{m}})\)

Suy ra ĐÚNG.

b) Quãng đường vật đi được trong \(1\) giờ đầu là:

\({S_1} = \int\limits_0^1 {\left( { - {x^2} + 4x + 1} \right)dx = \left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + 2{x^2} + x} \right)\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. = \frac{8}{3}} \)

Suy ra SAI.

c) Quãng đường vật đi được trong \(2\) giờ sau là \({S_2} = 2.4 = 8\)

Suy ra SAI.

d)  Trong ba giờ vật đi được quãng đường là \(S = {S_1} + {S_2} = \frac{8}{3} + 8 = \frac{{32}}{3}\,\)\(\left( {km} \right)\)

Suy ra ĐÚNG.

a) Ta có \(v(t) = \int a (t){\rm{d}}t = \int 2 \cos t\;{\rm{d}}t = 2\sin t + C\).

Mà tại thời điểm bắt đầu chuyển động, vật có vận tốc bằng 0 nên ta có \(v(0) = 0\) hay \(C = 0\). Vậy \(v(t) = 2\sin t\).

Suy ra ĐÚNG.

b) Vận tốc của vật tại thời điểm \(t = \frac{\pi }{2}\) là \(v\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 2\sin \frac{\pi }{2} = 2(\;{\rm{m}}/{\rm{s}})\).

Suy ra SAI.

c) Quãng đường vật đi được từ thời điểm \(t = 0\,\,(\;{\rm{s}})\) đến thời điểm \(t = \pi \,({\rm{s}})\) là

\(\int_0^\pi  v (t){\rm{d}}t = \int_0^\pi  2 \sin t\;{\rm{d}}t =  - \left. {2\cos t} \right|_0^\pi  =  - 2\cos \pi  - ( - 2\cos 0) = 4\,(\;{\rm{m}}).\)

Suy ra ĐÚNG.

d) Quãng đường vật đi được từ thời điểm \(t = \frac{\pi }{2}\) (s) đến thời điểm \(t = \frac{{3\pi }}{4}\) (s) là

\[\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{{3\pi }}{4}} {v(t){\rm{d}}t}  = \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{{3\pi }}{4}} {{\rm{2}}\sin t{\rm{d}}t}  =  - \left. {2\cos t} \right|_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{{3\pi }}{4}} =  - 2\cos \frac{{3\pi }}{4} - \left( { - 2\cos \frac{\pi }{2}} \right) = \sqrt 2 \,(\;{\rm{m}}).\]

Suy ra SAI.

a) Vận tốc của vật khi thay đổi là \(v\left( t \right) = \int {\left( { - 4 + 2t} \right){\rm{d}}t}  = {t^2} - 4t + C\).

Suy ra SAI.

c) Quãng đường vật đó đi được trong khoảng thời gian \(3\) giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc là

\(S = \int\limits_0^3 {v\left( t \right){\rm{d}}t}  = \int\limits_0^3 {\left( {{t^2} - 4t + 20} \right){\rm{d}}t}  = \left. {\left( {\frac{1}{3}{t^3} - 2{t^2} + 20t} \right)} \right|_0^3 = 51\) \(\left( {\rm{m}} \right)\)

Suy ra SAI.

d) Có \(v\left( t \right) = {\left( {t - 2} \right)^2} + 16 \ge 16\), suy ra vận tốc của vật đạt bé nhất khi \(t = 2\)

Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó là \(S = \int\limits_0^2 {v\left( t \right){\rm{d}}t}  = \int\limits_0^2 {\left( {{t^2} - 4t + 20} \right){\rm{d}}t}  = \left. {\left( {\frac{1}{3}{t^3} - 2{t^2} + 20t} \right)} \right|_0^2 = \frac{{104}}{3}\) \(\left( {\rm{m}} \right)\).

Suy ra ĐÚNG.

b) Tại thời điểm \(t = 0\) (khi vật bắt đầu thay đổi vận tốc) có \({v_0} = 20\)\( \Rightarrow C = 20\)

Suy ra \(v\left( t \right) = {t^2} - 4t + 20\).

Suy ra ĐÚNG.

a) Quãng đường người thứ nhất di chuyển sau khi va chạm được biểu diễn bởi hàm số\({s_1}\left( t \right) = \int {{v_1}\left( t \right)dt}  = \int {\left( {6 - 3t} \right)} \,dt = 6t - \frac{{3{t^2}}}{2} + \,\,C\,(\;{\rm{m}})\)

Suy ra ĐÚNG.

b) Quãng đường người thứ hai di chuyển sau khi va chạm được biểu diễn bởi hàm số\({s_2}\left( t \right) = \int {{v_2}\left( t \right)dt}  = \int {\left( {12 - 4t} \right)} \,dt = 12t - 2{t^2} + \,\,C\,(\;{\rm{m}})\)

Suy ra ĐÚNG.

c) Thời gian người thứ nhất di chuyển sau khi va chạm là: \(6 - 3t = 0\)\( \Leftrightarrow t = 2\) giây.

Quãng đường người thứ nhất di chuyển sau khi va chạm là:

\({S_1} = \int\limits_0^2 {\left( {6 - 3t} \right){\rm{d}}t} \)\( = \left. {\left( {6t - \frac{{3{t^2}}}{2}} \right)} \right|_0^2\)\( = 6\) mét.

Suy ra SAI.

d) Thời gian người thứ hai di chuyển sau khi va chạm là: \(12 - 4t = 0\)\( \Leftrightarrow t = 3\) giây.

Quãng đường người thứ hai di chuyển sau khi va chạm là:

\({S_2} = \int\limits_0^3 {\left( {12 - 4t} \right){\rm{d}}t} \)\( = \left. {\left( {12t - 2{t^2}} \right)} \right|_0^3\)\( = 18\) mét.

Khoảng cách hai xe khi đã dừng hẳn là: \(S = {S_1} + {S_2}\)\( = 6 + 18 = 24\) mét.

Suy ra SAI.

a) Ta có \(s(t) = \int v (t){\rm{d}}t = \int {\left( {20 - 5t} \right)\,{\rm{d}}t}  = 20t - \frac{5}{2}{t^2}\, + C\,\,\,(\;{\rm{m}}/{\rm{s}})\).

Suy ra SAI.

b) Quãng đường của ô tô thời điềm \(t = 2\) là \(s(2) = 20.2 - \frac{5}{2}{2^2} = 30\,\,\,(\;{\rm{m}})\).

Suy ra ĐÚNG.

c) Xe dừng khi \(v\left( t \right) = 20 - 5t = \,0\) hay \(t = 4\)

Từ đó Quãng đường xe di chuyển từ khi hãm phanh đến khi dừng hẳn là

\(s(t) = \int_0^4 {v(t){\rm{d}}t}  = \int_0^4 {\left( {20 - 5t} \right)\,{\rm{d}}t}  = \left. {\left( {20t - \frac{5}{2}{t^2}} \right)} \right|_0^4 = 40\,m\)

Suy ra ĐÚNG.

d) Tốc độ trung bình của xe trong khoảng thời gian đó là 4

\({v_{tb}} = \frac{s}{4} = \frac{{40}}{4} = 1\,0\)

Suy ra SAI.

\[\int\limits_a^b {\left[ {f(x) + g(x)} \right]} {\rm{d}}x = \int\limits_a^b {f(x)} {\rm{d}}x\,{\rm{ + }}\,\int\limits_a^b {g(x)} {\rm{d}}x;\,\int\limits_a^b {kf(x)} {\rm{d}}x = k\int\limits_a^b {f(x)} {\rm{d}}x\], với \(k \in \mathbb{R}\).

Theo tính chất tích phân ta có

\[\int\limits_a^b {\left[ {f(x) + g(x)} \right]} {\rm{d}}x = \int\limits_a^b {f(x)} {\rm{d}}x\,{\rm{ + }}\,\int\limits_a^b {g(x)} {\rm{d}}x;\,\int\limits_a^b {kf(x)} {\rm{d}}x = k\int\limits_a^b {f(x)} {\rm{d}}x\], với \(k \in \mathbb{R}\).

Theo tính chất tích phân ta có

\[\int\limits_a^b {\left[ {f(x) + g(x)} \right]} {\rm{d}}x = \int\limits_a^b {f(x)} {\rm{d}}x\,{\rm{ + }}\,\int\limits_a^b {g(x)} {\rm{d}}x;\,\int\limits_a^b {kf(x)} {\rm{d}}x = k\int\limits_a^b {f(x)} {\rm{d}}x\], với \(k \in \mathbb{R}\).

Theo tính chất tích phân ta có

\[\int\limits_a^b {\left[ {f(x) + g(x)} \right]} {\rm{d}}x = \int\limits_a^b {f(x)} {\rm{d}}x\,{\rm{ + }}\,\int\limits_a^b {g(x)} {\rm{d}}x;\,\int\limits_a^b {kf(x)} {\rm{d}}x = k\int\limits_a^b {f(x)} {\rm{d}}x\], với \(k \in \mathbb{R}\).

Ta có

\(\int\limits_0^2 {\left[ {\frac{1}{2}f\left( x \right) + 2} \right]} dx = \frac{1}{2}\int\limits_0^2 {f\left( x \right)} dx + \int\limits_0^2 2 dx = \frac{1}{2}.4 + 4 = 6\).

\(\int\limits_2^5 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x}  = \int\limits_2^5 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  + \int\limits_2^5 {g\left( x \right){\rm{d}}x}  = 3 + \left( { - 2} \right) = 1\).

\[\int\limits_1^4 {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx}  = \int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx}  - \int\limits_1^4 {g\left( x \right)dx}  = 6 - \left( { - 5} \right) = 11\].

\[\int\limits_2^3 {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx}  = \int\limits_2^3 {f\left( x \right)dx}  - \int\limits_2^3 {g\left( x \right)dx}  = 4 - 1 = 3\]

Ta có: \(\int\limits_0^3 {2f(x)dx}  = 2\int\limits_0^3 {f(x)dx = 2.3 = 6} \).

Ta có: \(\int\limits_4^1 {f(x)dx =  - \int\limits_1^4 {f(x)dx =  - 2024} } \)

Ta có: \(\int\limits_0^6 {2022f} (x)dx = 2022\int\limits_0^6 f (x)dx = 2022.\left( { - 12} \right) =  - 24264\)

Ta có: \(\int\limits_0^1 {2f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 2\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 2.4 = 8\).

Ta có:

\(\int\limits_2^3 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]} dx = \int\limits_2^3 {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_2^3 {g\left( x \right)dx}  = \int\limits_2^3 {f\left( x \right)dx}  - \int\limits_3^2 {g\left( x \right)dx}  = 2\)

C-Đúng 

Ta có: \(\int\limits_1^2 {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]} \,{\rm{d}}x = \int\limits_1^2 {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x - \int\limits_1^2 {g\left( x \right){\rm{d}}x}  = 3 - 2 = 1\).

Ta có \[\int\limits_2^5 {3f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 3\int\limits_2^5 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 3.2 = 6\].