(Đúng sai) 24 bài tập Tích phân (có lời giải)- Đề 1

    Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\]liên tục trên \[\left[ {a;b} \right]\]. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

A.\[\int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = \int\limits_b^a {f\left( x \right){\rm{d}}x} \]

B.\[\int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x}  =  - \int\limits_b^a {f\left( x \right){\rm{d}}x} \]     

C. \[\int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x = 2\int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}\left( {2x} \right)} } \]

D. \[\int\limits_a^a {2024f\left( x \right){\rm{d}}x = 0} .\]

Cho hàm số\[y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\]liên tục trên \[\left[ {a;b} \right]\]. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

  A.\[\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x}  = \int\limits_a^b {f\left( x \right)} {\rm{d}}x + \int\limits_a^b {g\left( x \right){\rm{d}}x} \].

B. \[\int\limits_a^b {f\left( x \right).g\left( x \right){\rm{d}}x}  = \int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} .\int\limits_a^b {g\left( x \right){\rm{d}}x} \].

C. \[\int\limits_a^b {kf\left( x \right){\rm{d}}x = k\int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} } \].

D. \[\int\limits_a^b {\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}{\rm{d}}x}  = \frac{{\int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} }}{{\int\limits_a^b {g\left( x \right){\rm{d}}x} }}\].

 Cho hàm số\[y = f\left( x \right)\]liên tục trên \[\mathbb{R}\]và\[a,b,c \in \mathbb{R}\]thỏa mãn \[a < b < c\] . Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

A.\[\int\limits_a^c {f\left( x \right){\rm{d}}x = \int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} } \int\limits_b^c {f\left( x \right){\rm{d}}x} \]

B.\[\int\limits_a^c {f\left( x \right){\rm{d}}x = \int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} }  + \int\limits_b^c {f\left( x \right){\rm{d}}x} \]   

C. \[\int\limits_a^c {f\left( x \right){\rm{d}}x = \int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} }  - \int\limits_b^c {f\left( x \right){\rm{d}}x} \]

D. \[\int\limits_a^c {f\left( x \right){\rm{d}}x = \int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} }  + \int\limits_c^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} \]

 Cho \[f\left( x \right)\], \[g(x)\] là hai hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\). Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

A.\(\int\limits_a^b {f(x){\rm{d}}x = \int\limits_a^b {f(y){\rm{d}}y} } \)\(\)

B.\(\int\limits_a^b {\left( {f(x) + g(x)} \right){\rm{d}}x}  = \int\limits_a^b {f(x){\rm{d}}x + \int\limits_a^b {g(x){\rm{d}}x} } .\)

C. \(\int\limits_a^b {f(x){\rm{d}}x = \int\limits_a^b {f(t){\rm{d}}x} } \)  

D.\(\int\limits_a^b {\left( {f(x)g(x)} \right){\rm{d}}x}  = \int\limits_a^b {f(x){\rm{d}}x\int\limits_a^b {g(x){\rm{d}}x} } .\)

Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

A. \[\int\limits_{ - 2024}^{2024} {{\rm{d}}x}  = 4048\].  

B. \[\int\limits_a^b {{f_1}\left( x \right).{f_2}\left( x \right){\rm{d}}x}  = \int\limits_a^b {{f_1}\left( x \right){\rm{d}}x} .\int\limits_a^b {{f_2}\left( x \right){\rm{d}}x} \].

C. Cho hàm số\(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Khi đó \(\frac{1}{{b - a}}\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \) được gọi là giá trị trung bình của hàm số\(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\).

D. Nếu hàm số\(f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)\) và \(f'\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) thì \(f\left( b \right) - f\left( a \right) = \int\limits_a^b {f'\left( x \right)dx} \).

A.\(\int\limits_a^b {kf\left( x \right)dx}  = k\left( {F\left( b \right) - F\left( a \right)} \right)\)

   Cho hàm \(f\left( x \right)\) là hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) với \(a < b\) và \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm \(f\left( x \right)\) trên \(\left[ {a;b} \right]\). Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

      B.\(\int\limits_b^a {f\left( x \right)dx}  = F\left( b \right) - F\left( a \right)\)

C. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng \(x = a;x = b\); đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right)\)và trục hoành được tính theo công thức \(S = F\left( b \right) - F\left( a \right)\)

D.\(\int\limits_a^b {f\left( {2x + 3} \right)dx}  = \left. {F\left( {2x + 3} \right)} \right|_a^b\)

    Cho hàm số \(f\left( x \right)\), \(g\left( x \right)\) liên tục trên khoảng \(\left( { - 2;\;4} \right)\). Gọi \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên khoảng \(\left( { - 2;\;4} \right)\)  biết \(F\left( { - 1} \right) = 1\),  \(F\left( 2 \right) = 4\) và \(\int\limits_3^{ - 1} {g\left( x \right){\rm{d}}x}  =  - 4\)

a) \(I = \int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 3\)

b) \(K = \int\limits_{ - 1}^2 {\left[ {f\left( x \right) + 2x} \right]{\rm{d}}x}  = 12\)

c)\(H = \int\limits_{ - 1}^2 {\left( {{e^{1 + \ln \left( {f\left( x \right)} \right)}} + 4} \right){\rm{d}}x}  = 3{\rm{e}} + 12\)

d)\(M = 9\int\limits_3^2 {g\left( x \right){\rm{d}}x}  = 9\)

Cho các hàm số \(f\left( x \right),\,g\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ { - 1;3} \right]\) thỏa mãn  \(\int\limits_{ - 1}^2 {\left[ {3f\left( x \right) + 2g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x}  = 4\), \(\int\limits_{ - 1}^2 {\left[ {2f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x}  = 5\)và \(\int\limits_{ - 1}^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 6\)

a) \(\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 2\)

c) \(\int\limits_2^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  =  - 4\)

d) \(I = \int\limits_2^3 {\left[ {x + 2f\left( x \right) - 3g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x}  =  - \frac{3}{2}\)

b) \(\int\limits_{ - 1}^2 {g\left( x \right){\rm{d}}x}  =  - 1\)

  Một vật chuyển động trong \[3\] giờ với vận tốc \[v\]\[\left( {km/h} \right)\]phụ thuộc vào thời gian \[t\]\[\left( h \right)\] có đồ thị vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian \[1\] giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh \[I\left( {2;5} \right)\] và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường mà vật di chuyển được trong \[3\] giờ đó.

a) Quãng đường quãng đường vật di chuyển trong 1 giờ đầu được biểu diễn  bởi hàm số\(s(t) =  - \frac{{{t^3}}}{3} + 2{t^2} + t + \,C\,\,\,(\;k{\rm{m}})\).

b) Quãng đường vật đi được trong \(1\) giờ đầu là \(8\,km\)

c) Quãng đường vật đi được trong \(2\) giờ sau là \(\frac{{22}}{3}\,\,(\;k{\rm{m}})\)

d) Quãng đường mà vật di chuyển được trong \[3\] giờ là \(\frac{{32}}{3}\,(\;k{\rm{m}})\)

 Một vật chuyển động với gia tốc \(a(t) = 2\cos t\left( {\;{\rm{m}}/{{\rm{s}}^2}} \right)\).

a) Tại thời điểm bắt đầu chuyển động, vật có vận tốc bằng \(0\). Khi đó, vận tốc của vật được biểu diễn bởi hàm số \(v(t) = 2\sin t\,(\;{\rm{m}}/{\rm{s}})\).

b) Vận tốc của vật tại thời điềm \(t = \frac{\pi }{2}\) là \(1\;{\rm{m}}/{\rm{s}}\).

c) Quãng đường vật đi được từ thời điểm \(t = 0\,\,(\;{\rm{s}})\)  đến thời điểm \(t = \pi \,({\rm{s}})\)  là \(4\;{\rm{m}}\).

d) Quãng đường vật đi được từ thời điểm \(t = \frac{\pi }{2}\) (s) đến thời điểm \(t = \frac{{3\pi }}{4}\)  (s) là \(2\,m\).

    Một vật đang chuyển động với vận tốc \[v = 20\;\left( {{\rm{m/s}}} \right)\] thì thay đổi vận tốc với gia tốc được tính theo thời gian \(t\) là \(a\left( t \right) =  - 4 + 2t\;\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}} \right)\).

 a) Vận tốc của vật khi thay đổi là \(v\left( t \right) = {t^2} - 4t\) \[\left( {{\rm{m/s}}} \right)\].

c) Quãng đường vật đó đi được trong khoảng thời gian \(3\) giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc là 9 \(\left( {\rm{m}} \right)\)

d) Quãng đường vật đi được kể từ thời điểm thay đổi gia tốc đến lúc vật đạt vận tốc bé nhất là \(\frac{{104}}{3}\)\(\left( {\rm{m}} \right)\)

b) Tại thời điểm \(t = 0\) (khi vật bắt đầu thay đổi vận tốc) có \({v_0} = 20\). Suy ra \(v\left( t \right) = {t^2} - 4t + 20\).

      Hai người \(A\), \(B\) đang chạy xe ngược chiều nhau thì xảy ra va chạm, hai xe tiếp tục di chuyển theo chiều của mình thêm một quãng đường nữa thì dừng hẳn. Biết rằng sau khi va chạm, một người di chuyển tiếp với vận tốc \({v_1}\left( t \right) = 6 - 3t\) \[\left( {{\rm{m/s}}} \right)\], người còn lại di chuyển với vận tốc \({v_2}\left( t \right) = 12 - 4t\) \[\left( {{\rm{m/s}}} \right)\].

a) Quãng đường người thứ nhất di chuyển sau khi va chạm được biểu diễn bởi hàm số\({s_1}\left( t \right) = 6t - \frac{{3{t^2}}}{2} + \,\,C\,(\;{\rm{m}})\).

b) Quãng đường người thứ hai di chuyển sau khi va chạm được biểu diễn bởi hàm số\({s_2}\left( t \right) = 12t - 2{t^2} + \,\,C\,(\;{\rm{m}})\).

c)Quãng đường người thứ nhất di chuyển sau khi va chạm là \(18\,(\;{\rm{m}})\)

d) Khoảng cách hai xe khi đã dừng hẳn \(12\,(\;{\rm{m}})\).

   Một ô tô đang di chuyển với tốc độ \(20\,m/s\)thì hãm phanh nên tốc độ \(\,\left( {\,m/s\,} \right)\) của xe thay đổi theo thời gian t ( giây ) được tính theo công thức\(v\left( t \right) = 20 - 5t\,\left( {0 \le t \le 4} \right)\)

a) Quãng đường quãng đường xe di chuyển được biểu diễn bởi hàm số \(s(t) = 20t - \frac{5}{2}{t^2}\,\,\,(\;{\rm{m}})\).

b) Quãng đường của ô tô thời điềm t = 2 là 30 m.

c) Quãng đường xe di chuyển từ khi hãm phanh đến khi dừng hẳn là 40m

d) Tốc độ trung bình của xe trong khoảng thời gian đó là 4

 Các mệnh đề sau đây đúng hay sai

A. \(\int\limits_0^1 {\frac{{{e^{2x}} - 4}}{{{e^x} + 2}}dx = e - 3} \)

B. \(\int\limits_0^1 {\frac{{{e^x}}}{{{2^x}}}dx = \frac{e}{2} + 1} \)

C. \(\int\limits_1^2 {{e^x}\left( {1 - \frac{{{e^{ - x}}}}{x}} \right)dx}  = {e^2} - e - \ln 2\)

D. \(\int\limits_0^1 {\frac{{{e^{2x - 1}} - {e^{ - 3x}} + 1}}{{{e^x}}}dx}  = {e^4} - 1\)

Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2{x^2} + 3}&{{\rm{ khi }}x \ge 1}\\{2 - {x^3}}&{{\rm{ khi }}x < 1}\end{array}} \right.\).  Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

A-

B. \[\int\limits_{ - 2024}^1 {f(x)dx}  = \int\limits_{ - 2024}^1 {\left( {2 - {x^3}} \right)dx} \]

C. \[\int\limits_{ - 2024}^{2024} {f(x)dx}  = \int\limits_{ - 2024}^{2024} {\left( {2{x^2} + 3} \right)dx}  + \int\limits_{ - 2024}^{2024} {\left( {2 - {x^3}} \right)dx} \] 

D. \[\int\limits_{ - 2024}^{2024} {f(x)dx}  = \int\limits_1^{2024} {\left( {2{x^2} + 3} \right)dx}  + \int\limits_{ - 2024}^1 {\left( {2 - {x^3}} \right)dx} \]

  Cho hàm số f(x) = đồng thời x^2 - 2x + 3 khi x> bằng 2 và x + 1khi x< 2.  Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

A. \[\int\limits_1^{2024} {f(x)dx}  = \int\limits_1^{2024} {\left( {2{x^2} + 3} \right)dx} \] 

B. \[\int\limits_2^3 {f(x)dx}  = \int\limits_2^3 {\left( {{x^2} - 2x + 3} \right)dx} \] 

C. \[\int\limits_1^3 {\frac{1}{2}f\left( x \right)dx}  = \frac{{41}}{{12}}\]

D. \[\int\limits_1^2 {f(x)dx}  = \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} - 2x + 3} \right)dx} \]

  Cho hai hàm (f),(g) liên tục trên (K) và (a), (b) là các số bất kỳ thuộc (K). Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

A. \[\int\limits_a^b {\left[ {f(x) + 2g(x)} \right]} {\rm{d}}x = \int\limits_a^b {f(x)} {\rm{d}}x\,{\rm{ + 2}}\,\int\limits_a^b {g(x)} {\rm{d}}x\]. 

B. \[\int\limits_a^b {\frac{{f(x)}}{{g(x)}}} {\rm{d}}x = \frac{{\int\limits_a^b {f(x)} {\rm{d}}x}}{{\,\int\limits_a^b {g(x)} {\rm{d}}x}}\,\].

C. \[\int\limits_a^b {\left[ {f(x).g(x)} \right]} {\rm{d}}x = \int\limits_a^b {f(x)} {\rm{d}}x{\rm{ }}{\rm{.}}\,\int\limits_a^b {g(x)} {\rm{d}}x\].

D. \[\,\int\limits_a^b {{f^2}(x)} {\rm{d}}x{\rm{ = }}{\left[ {\int\limits_a^b {f(x){\rm{d}}x} } \right]^2}\].

     Cho hàm số f( x),g( x ) liên tục trên R. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

A. Nếu \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = 4\) thì \(\int\limits_0^2 {\left[ {\frac{1}{2}f\left( x \right) + 2} \right]\,} {\rm{d}}x = 6\)

C. Nếu \[\int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx}  = 6\] và \[\int\limits_1^4 {g\left( x \right)dx}  =  - 5\] thì \[\int\limits_1^4 {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx}  = 1\]

D. Nếu \(\int\limits_2^3 {f\left( x \right)} d{\rm{x}} = 4\) và\(\int\limits_2^3 {g\left( x \right)} d{\rm{x}} = 1\) thì \[\int\limits_2^3 {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx}  = 3\]

B. Nếu \(\int\limits_2^5 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 3\) và \(\int\limits_2^5 {g\left( x \right){\rm{d}}x}  =  - 2\) thì \(\int\limits_2^5 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x}  = 1\)                                

      Cho hàm số f( x ) liên tục trên R. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

     A. Nếu \(\int\limits_0^3 {f(x)dx = 3} \) thì \(\int\limits_0^3 {2f(x)dx}  = 6\).

B. Nếu \(\int\limits_1^4 {f(x)dx = 2024} \) thì \(\int\limits_4^1 {f(x)dx =  - 2024} \)

C. Nếu \(\int\limits_6^0 f (x)dx = 12\) thì \(\int\limits_0^6 {2022f} (x)dx = 24264\)

D

     Cho hàm số f( x),g( x ) liên tục trên R. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

A. Biết \(\int\limits_2^3 {f\left( x \right)dx}  = 3\) và \[\int\limits_3^2 {g\left( x \right)dx}  = 1\]. Khi đó \[\int\limits_2^3 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]} dx = 4\]

B. Biết \(\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx}  = 2022\) và \[\int\limits_3^1 {g\left( x \right)dx}  = 1\]. Khi đó \[\int\limits_1^3 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]} dx = 2021\]

C. Biết \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right)} {\mkern 1mu} {\rm{d}}x = 3\) và \(\int\limits_1^2 {g\left( x \right)} {\rm{d}}x = 2\). Khi đó \(\int\limits_1^2 {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]} {\mkern 1mu} {\rm{d}}x = 1\)

D. Biết \[\int\limits_2^5 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 2\] . Khi đó \[\int\limits_2^5 {3f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 2\]