Ta có \(v\left( 0 \right) = 10\,{\rm{m/s}}\) và \(v\left( t \right) = \int\limits_0^t {a\left( t \right){\rm{d}}t} \)\( = \int\limits_0^t {\left( {{t^2} + 3t} \right){\rm{d}}t} \)\[ = \left. {\left( {\frac{{{t^3}}}{3} + \frac{{3{t^2}}}{2}} \right)} \right|_0^t\]\[ = \frac{1}{3}{t^3} + \frac{3}{2}{t^2}\].

Quãng đường vật đi được là \(S = \int\limits_0^6 {v\left( t \right){\rm{d}}t} \)\( = \int\limits_0^6 {\left( {\frac{1}{3}{t^3} + \frac{3}{2}{t^2}} \right){\rm{d}}t} \)\[ = \left. {\left( {\frac{1}{{12}}{t^4} + \frac{1}{2}{t^3}} \right)} \right|_0^6\]\[ = 216\,{\rm{m}}\].

Thời điểm máy bay đạt vận tốc \(200\,\left( {m/s} \right)\) là \(v\left( t \right) = 200 \Leftrightarrow {t^2} + 10t = 200 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 10\\t =  - 20\end{array} \right. \Leftrightarrow t = 10\)

Quãng đường máy bay đã di chuyển trên đường băng là

\[s = \int\limits_0^{10} {\left( {{t^2} + 10t} \right)\,{\rm{d}}t}  = \left( {\frac{{{t^3}}}{3} + 5t} \right)\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle0}^{\scriptstyle10\atop\scriptstyle}} \right. = \frac{{2500}}{3}\,\left( m \right)\].

Chọn gốc thời gian là lúc ô tô bắt đầu đi. Sau \(5{\rm{s}}\) ô tô đạt vận tốc là \(v\left( 5 \right) = 35\left( {{\rm{m/s}}} \right)\).

Sau khi phanh vận tốc ô tô là \(v\left( t \right) = 35 - 70\left( {t - 5} \right)\).

Ô tô dừng tại thời điểm \(t = 5,5{\rm{s}}\).

Quãng đường ô tô đi được là \(S = \int\limits_0^5 {7t{\rm{d}}t}  + \int\limits_5^{5,5} {\left[ {35 - 70\left( {t - 5} \right)} \right]{\rm{d}}t}  = 96,25\left( {\rm{m}} \right)\).

Giai đoạn 1: Xe bắt đầu chuyển động đến khi gặp chướng ngại vật.

Quãng đường xe đi được là:

\({S_1} = \int\limits_0^{12} {{v_1}\left( t \right){\rm{d}}t} \) \( = \int\limits_0^{12} {2t{\rm{d}}t} \) \( = \left. {{t^2}} \right|_0^{12}\) \( = 144\,\left( {\rm{m}} \right)\).

Giai đoạn 2: Xe gặp chướng ngại vật đến khi dừng hẳn.

Ôtô chuyển động chậm dần đều với vận tốc \({v_2}\left( t \right) = \int {a{\rm{d}}t}  =  - 12t + c\).

Vận tốc của xe khi gặp chướng ngại vật là: \({v_2}\left( 0 \right) = {v_1}\left( {12} \right) = 2.12 = 24\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)\).

\( \Rightarrow  - 12.0 + c = 24\)\( \Rightarrow c = 24\)\( \Rightarrow {v_2}\left( t \right) =  - 12t + 24\).

Thời gian khi xe gặp chướng ngại vật đến khi xe dừng hẳn là nghiệm phương trình:

\( - 12t + 24 = 0\)\( \Leftrightarrow t = 2\).

Khi đó, quãng đường xe đi được là:

\({S_2} = \int\limits_0^2 {{v_2}\left( t \right){\rm{d}}t} \)\( = \int\limits_0^2 {\left( { - 12t + 24} \right){\rm{d}}t} \) \( = \left. {\left( { - 6{t^2} + 24t} \right)} \right|_0^2 = 24\,\left( {\rm{m}} \right)\).

Vậy tổng quãng đường xe đi được là: \(S = {S_1} + {S_2} = 168\,\left( {\rm{m}} \right)\).

\(a\left( t \right) = 6 - 2t\,\,\left( {m/{s^2}} \right)\)\( \Rightarrow v\left( t \right) = \int {\left( {6 - 2t} \right)dt}  = 6t - {t^2} + C\)

Xe dừng và bắt đầu chuyển động nên khi \(t = 0\) thì \(v = 0 \Rightarrow C = 0\)\( \Rightarrow v\left( t \right) = 6t - {t^2}\).

\(v\left( t \right) = 6t - {t^2}\) là hàm số bậc 2 nên đạt GTLN khi \(t =  - \frac{b}{{2a}} = 3\,\,\left( s \right)\)

Quảng đường xe đi trong 3 giây đầu là: \(S = \int\limits_0^3 {\left( {6t - {t^2}} \right)dt}  = 18m\).

Thời gian tính từ khi \(A\) xuất phát đến khi bị \(B\) đuổi kịp là \(15\) giây, suy ra quãng đường đi được tới lúc đó là \(\int\limits_0^{15} {v(t){\rm{d}}t} \)\( = \int\limits_0^{15} {\left( {\frac{1}{{180}}{t^2} + \frac{{11}}{{18}}t} \right){\rm{d}}t} \)\( = \left. {\left( {\frac{1}{{540}}{t^3} + \frac{{11}}{{36}}{t^2}} \right)} \right|_0^{15}\)\( = 75\,\left( m \right)\).

Vận tốc của chất điểm \(B\) là \(y\left( t \right) = \int {a.{\rm{d}}t} \)\( = a.t + C\) (\(C\) là hằng số); do \(B\) xuất phát từ trạng thái nghỉ nên có \(y\left( 0 \right) = 0\)\( \Leftrightarrow C = 0\);

Quãng đường của \(B\) từ khi xuất phát đến khi đuổi kịp \(A\) là

\(\int\limits_0^{10} {y(t){\rm{d}}t}  = 75\)\( \Leftrightarrow \int\limits_0^{10} {a.t{\rm{d}}t}  = 75\)\( \Leftrightarrow \left. {\frac{{a.{t^2}}}{2}} \right|_0^{10} = 75\)\( \Leftrightarrow 50a = 75\)\( \Leftrightarrow a = \frac{3}{2}\)

Vậy có \(y\left( t \right) = \frac{{3t}}{2}\); suy ra vận tốc của \(B\) tại thời điểm đuổi kịp \(A\) bằng \(y\left( {10} \right) = 15\,\left( {m/s} \right)\).

Gọi \(v\left( t \right) = a.{t^2} + bt + c\).

Đồ thị \(v\left( t \right)\) là một phần parabol có đỉnh \[I\left( {2;9} \right)\] và đi qua điểm \[A\left( {0;6} \right)\] nên \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - b}}{{2a}} = 2\\a{.2^2} + b.2 + c = 9\\a{.0^2} + b.0 + c = 6\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{ - 3}}{4}\\b = 3\\c = 6\end{array} \right.\]. Tìm được \(v\left( t \right) =  - \frac{3}{4}{t^2} + 3t + 6\)

Vậy \(S = \int\limits_0^3 {\left( { - \frac{3}{4}{t^2} + 3t + 6} \right)} dt = \) 24,75 (km)

Gọi phương trình của parabol \(v = a{t^2} + bt + c\) ta có hệ như sau: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{c = 4}\\{4a + 2b + c = 9}\\{ - \frac{b}{{2a}} = 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 5\\c = 4\\a =  - \frac{5}{4}\end{array} \right.\)

Với \(t = 1\) ta có \(v = \frac{{31}}{4}\).

Vậy quãng đường vật chuyển động được là \(s = \int\limits_0^1 {\left( { - \frac{5}{4}{t^2} + 5t + 4} \right)} dt + \int\limits_1^3 {\frac{{31}}{4}} dt = \frac{{259}}{{12}} \approx {\rm{21}}{\rm{,583}}\)

Ta có 1 giờ 30 phút = 1,5 giờ \( \Rightarrow S = \int\limits_0^{1,5} {v(t){\rm{d}}t} \).

Đồ thị \[v = v(t)\] đi qua gốc tọa độ nên \[v(t)\] có dạng \[v(t) = a{t^2} + bt\].

Đồ thị \[v = v(t)\] có đỉnh là I(1;5) nên \[\left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{{2a}} = 1\\a + b = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b =  - 2a\\a + b = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 5\\b = 10\end{array} \right. \Rightarrow v(t) =  - 5{t^2} + 10t\]

\(S = \int\limits_0^{1,5} {\left( { - 5{t^2} + 10t} \right){\rm{d}}t}  = \frac{{45}}{8} \approx 5,63\).

Đáp án: \[12m\]

Lấy mốc thời gian \(\left( {t = 0} \right)\) là lúc đạp phanh.

Khi ô tô dừng hẳn thì vận tốc \(v\left( t \right) = 0\), tức là \(v\left( t \right) =  - 6t + 12 = 0\)\( \Leftrightarrow t = 2\).

Vậy từ lúc đạp phanh đến lúc ô tô dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được quãng đường là

\[\int\limits_0^2 {\left( { - 6t + 12} \right)} {\rm{d}}t\]\[ = \left. {\left( { - 3{t^2} + 12t} \right)} \right|_0^2 = 12\]\[\left( m \right)\].

Đáp án: 10m

Xét phương trình \( - 5t + 10 = 0 \Leftrightarrow t = 2.\) Do vậy, kể từ lúc người lái đạp phanh thì sau 2s ô tô dừng hẳn.

Quãng đường ô tô đi được kể từ lúc người lái đạp phanh đến khi ô tô dừng hẳn là

\(s = \int\limits_0^2 {\left( { - 5t + 10} \right)dt}  = \left( { - \frac{5}{2}{t^2} + 10t} \right)\left| \begin{array}{l}2\\0\end{array} \right. = 10m.\)

Đáp án: \[25 \left( {{\rm{m/s}}} \right)\]

Ta có \({v_B}\left( t \right) = \int {a.{\rm{dt}}}  = at + C\), \({v_B}\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0\) \( \Rightarrow {v_B}\left( t \right) = at\).

Quãng đường chất điểm \(A\) đi được trong \(25\) giây là

\({S_A} = \int\limits_0^{25} { \left( {\frac{1}{{100}}{t^2} + \frac{{13}}{{30}}t } \right){\rm{dt}}} \) \( = \left( {\frac{1}{{300}}{t^3} + \frac{{13}}{{60}}{t^2}} \right) \left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle0}^{\scriptstyle25\atop\scriptstyle}} \right. = \frac{{375}}{2}\).

Quãng đường chất điểm \(B\) đi được trong \(15\) giây là

\({S_B} = \int\limits_0^{15} {at.{\rm{dt}}} \) \[ = \frac{{a{t^2}}}{2}\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle0}^{\scriptstyle15\atop\scriptstyle}} \right. = \frac{{225a}}{2}\].

Ta có \(\frac{{375}}{2} = \frac{{225a}}{2} \Leftrightarrow a = \frac{5}{3}\).

Vận tốc của \(B\) tại thời điểm đuổi kịp \(A\) là \({v_B}\left( {15} \right) = \frac{5}{3}.15 = 25 \left( {{\rm{m/s}}} \right)\).

Đáp án: \(105\) mét.

Quãng đường ô tô đi được trong \(5\)\(\left( {\rm{s}} \right)\) đầu là \[{s_1} = \int\limits_0^5 {7t{\rm{d}}t}  = 7\left. {\frac{{{t^2}}}{2}} \right|_0^5 = 87,5\] (mét).

Phương trình vận tốc của ô tô khi người lái xe phát hiện chướng ngại vật là \({v_{\left( 2 \right)}}\left( t \right) = 35 - 35t\) (m/s). Khi xe dừng lại hẳn thì \({v_{\left( 2 \right)}}\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 35 - 35t = 0 \Leftrightarrow t = 1\).

Quãng đường ô tô đi được từ khi phanh gấp đến khi dừng lại hẳn là \({s_2} = \int\limits_0^1 {\left( {35 - 35t} \right){\rm{d}}t} \)\( = \left. {\left( {35t - 35\frac{{{t^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1\)\( = 17.5\) (mét).

Vậy quãng đường của ô tô đi được từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn là \(s = {s_1} + {s_2}\)\( = 87.5 + 17.5\)\( = 105\) (mét).

Đáp án: \(s = 4,5\) (km)

Đáp án: \[s = 28,5\] (km)

Gọi \[\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\].

Vì \[\left( P \right)\] qua \[O\left( {0;0} \right)\] và có đỉnh \[I\left( {2;9} \right)\] nên dễ tìm được phương trình là \[y = \frac{{ - 9}}{4}{x^2} + 9x\].

Ngoài ra tại \[x = 3\] ta có \[y = \frac{{27}}{4}\]

Vậy quãng đuờng cần tìm là:\[S = \int\limits_0^3 {\left( {\frac{{ - 9}}{4}{x^2} + 9x} \right)} {\rm{d}}x + \int\limits_3^4 {\frac{{27}}{4}{\rm{d}}} x = 27\;\;(km)\].

Đáp án: \[\frac{{130}}{3}\left( {km} \right)\]

+ Vì Parabol đi qua O(0; 0) và có tọa độ đỉnh \[I\left( {3;9} \right)\]nên thiết lập được phương trình Parabol là \[\left( P \right):y = v\left( t \right) =  - {t^2} + 6t;\forall t \in \left[ {0;2} \right]\]

+ Sau 2 giờ đầu thì hàm vận tốc có dạng là hàm bậc nhất \[y = \frac{1}{4}t + m\], dựa trên đồ thị ta thấy đi qua điểm có tọa độ \[\left( {6;9} \right)\]nên thế vào hàm số và tìm được \[m = \frac{{15}}{2}\].

Nên hàm vận tốc từ giờ thứ 2 đến giờ thứ 6 là \[y = \frac{1}{4}t + \frac{{15}}{2};\forall t \in {\rm{[}}2;6]\]

+ Quảng đường vật đi được bằng tổng đoạn đường 2 giờ đầu và đoạn đường 4 giờ sau.

\[S = {S_1} + {S_2} = \int\limits_0^2 {\left( { - {t^2} + 6t} \right)dt}  + \int\limits_2^6 {\left( {\frac{1}{4}t + \frac{{15}}{2}} \right)dt}  = \frac{{130}}{3}\left( {km} \right)\]

Đáp án: \(4,5\)\(\left( {{\rm{km}}} \right)\).

Trước hết ta tìm công thức biểu thị vận tốc theo thời gian, giả sử \(v\left( t \right) = a{t^2} + bt + c\).

Khi đó dựa vào hình vẽ ta có hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}c = 0\\a{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + b\left( {\frac{1}{2}} \right) + c = 8\\a + b + c = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 32\\b = 32\\c = 0\end{array} \right.\).

Do đó quãng đường người đó đi được sau \(45\) phút là \(S = \int\limits_0^{\frac{{45}}{{60}}} {\left( {32t - 32{t^2}} \right)dt = 4,5} \)\(\left( {{\rm{km}}} \right)\).

\(s = \frac{{40}}{3}\,\,({\rm{km}}).\)

Hàm biểu diễn vận tốc có dạng \(v\left( t \right) = a{t^2} + bt + c\). Dựa vào đồ thị ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}c = 2\\\frac{{ - b}}{{2a}} = 1\\a + b + c = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 2\\c = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow v\left( t \right) = {t^2} - 2t + 2\).

Với \[t = 4 \Rightarrow v\left( 4 \right) = 10\] (thỏa mãn).

Từ đó \(s = \int\limits_0^4 {\left( {{t^2} - 2t + 2} \right)dt}  = \frac{{40}}{3}\left( {km} \right)\).

\[\frac{{545}}{6}m\]

Gọi Parapol \[\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\] khi \[0 \le t \le 5\left( s \right)\]

Do \[\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\] đi qua \[I\left( {3;2} \right);A\left( {0;11} \right)\] nên

\[\left\{ \begin{array}{l}4a + 2b + c = 3\\c = 11\\4a + b = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b =  - 8\\c = 11\end{array} \right..\]

Khi đó quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian từ \[0 \le t \le 5\left( s \right)\] là \[S = \int\limits_0^5 {\left( {2{x^2} - 8x + 11} \right)dx = \frac{{115}}{3}} \left( m \right)\]

Ta có \[f\left( 5 \right) = 21\]

Gọi \[d:y = ax + b\] khi \[5 \le t \le 10\left( s \right)\] do \[d\] đi qua điểm \[B\left( {5;21} \right)\] và \[C\left( {10;0} \right)\] nên:

\[\left\{ \begin{array}{l}5a + b = 11\\10a + b = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{{21}}{5}\\b = 42\end{array} \right..\]

Khi đó quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian từ \[5 \le t \le 10\left( s \right)\] là \[S = \int\limits_5^{10} {\left( { - \frac{{26}}{5}x + 52} \right)dx = \frac{{105}}{2}} \left( m \right)\]

Quãng đường đi được chất điểm trong thời gian \[0 \le t \le 10\left( s \right)\] là \[S = \frac{{115}}{3} + \frac{{105}}{2} = \frac{{545}}{6}.\]