85 câu trắc nghiệm Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 2. Tích phân có đáp án - Đề 3
30 câu hỏi
Cho \(\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 2\) và \(\int\limits_{ - 1}^2 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = - 1\). Tính \(I = \int\limits_{ - 1}^2 {\left[ {x + 2f\left( x \right) - 3g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} \).
\(I = \frac{{17}}{2}\)
\(I = \frac{5}{2}\)
\(I = \frac{7}{2}\)
\(I = \frac{{11}}{2}\)
Lời giải
Chọn A
Ta có: \(I = \int\limits_{ - 1}^2 {\left[ {x + 2f\left( x \right) - 3g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} \)\( = \)\(\left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_{ - 1}^2 + 2\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} - 3\int\limits_{ - 1}^2 {g\left( x \right){\rm{d}}x} \)\( = \)\(\frac{3}{2} + 2.2 - 3\left( { - 1} \right)\)\( = \)\(\frac{{17}}{2}\).
Cho hai tích phân \(\int\limits_{ - 2}^5 {f\left( x \right){\rm{d}}} x = 8\) và \(\int\limits_5^{ - 2} {g\left( x \right){\rm{d}}} x = 3\). Tính \(I = \int\limits_{ - 2}^5 {\left[ {f\left( x \right) - 4g\left( x \right) - 1} \right]{\rm{d}}} x\)
\(13\).
\(27\).
\( - 11\).
\(3\).
Chọn A
\(I = \int\limits_{ - 2}^5 {\left[ {f\left( x \right) - 4g\left( x \right) - 1} \right]{\rm{d}}} x\)\( = \int\limits_{ - 2}^5 {f\left( x \right){\rm{d}}x} - \int\limits_{ - 2}^5 {4g\left( x \right)} {\rm{d}}x - \int\limits_{ - 2}^5 {{\rm{d}}x} \)\[ = \int\limits_{ - 2}^5 {f\left( x \right){\rm{d}}x} - 4\int\limits_{ - 2}^5 {g\left( x \right)} {\rm{d}}x - \int\limits_{ - 2}^5 {{\rm{d}}x} \]
\[ = \int\limits_{ - 2}^5 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + 4\int\limits_5^{ - 2} {g\left( x \right)} {\rm{d}}x - \int\limits_{ - 2}^5 {{\rm{d}}x} \]\[ = 8 + 4.3 - x\left| \begin{array}{l}5\\ - 2\end{array} \right.\]\[ = 8 + 4.3 - 7\]\[ = 13\].
Cho \(\int\limits_{ - 1}^2 {f(x)dx = 2} \) và \(\int\limits_{ - 1}^2 {g(x)dx = - 1} \), khi đó \(\int\limits_{ - 1}^2 {\left[ {x + 2f(x) + 3g(x)} \right]dx} \) bằng
\(\frac{5}{2}\)
\(\frac{7}{2}\)
\(\frac{{17}}{2}\)
\(\frac{{11}}{2}\)
Chọn A
Ta có \[\int\limits_{ - 1}^2 {\left[ {x + 2f(x) + 3g(x)} \right]dx} = \int\limits_{ - 1}^2 {xdx} + 2\int\limits_{ - 1}^2 {f(x)dx + 3\int\limits_{ - 1}^2 {g(x)dx = \frac{3}{2}} } + 4 - 3 = \frac{5}{2}\]
Cho \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 3\),\(\int\limits_0^2 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = - 1\) thì \(\int\limits_0^2 {\left[ {f\left( x \right) - 5g\left( x \right) + x} \right]{\rm{d}}x} \) bằng:
\[12\].
\[0\].
\[8\].
\[10\]
Chọn D
\[\int\limits_0^2 {\left[ {f\left( x \right) - 5g\left( x \right) + x} \right]{\rm{d}}x} = \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx - 5\int\limits_0^2 {{\rm{g}}\left( x \right){\rm{d}}x + \int\limits_0^2 {x{\rm{d}}x} } } \]\[ = 3 + 5 + 2 = 10\]
Cho \(\int\limits_0^5 {f\left( x \right){\rm{d}}x = - 2} \). Tích phân \(\int\limits_0^5 {\left[ {4f\left( x \right) - 3{x^2}} \right]{\rm{d}}x} \) bằng
\[ - 140\].
\[ - 130\].
\[ - 120\].
\[ - 133\].
Chọn D
\(\int\limits_0^5 {\left[ {4f\left( x \right) - 3{x^2}} \right]{\rm{d}}x} = 4\int\limits_0^5 {f\left( x \right){\rm{d}}x} - \int\limits_0^5 {3{x^2}{\rm{d}}x} = - 8 - \left. {{x^3}} \right|_0^5 = - 8 - 125 = - 133\).
Cho \[\int\limits_1^2 {\left[ {4f\left( x \right) - 2x} \right]dx} = 1\]. Khi đó \[\int\limits_1^2 {f\left( x \right)} dx\]bằng:
\[1\].
\[ - 3\].
\[3\].
\[ - 1\].
Chọn A
\[\begin{array}{l}\int\limits_1^2 {\left[ {4f\left( x \right) - 2x} \right]dx} = 1 \Leftrightarrow 4\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx - 2\int\limits_1^2 {xdx} } = 1 \Leftrightarrow 4\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx - 2.} \left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_1^2 = 1\\ \Leftrightarrow 4\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx = 4 \Leftrightarrow } \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx = 1} \end{array}\]
Cho \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx = 1} \) tích phân \(\int\limits_0^1 {\left( {2f\left( x \right) - 3{x^2}} \right)dx} \) bằng
\[1\].
\[0\].
\[3\].
\[ - 1\].
Chọn A.
\(\int\limits_0^1 {\left( {2f\left( x \right) - 3{x^2}} \right)dx} = 2\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} - 3\int\limits_0^1 {{x^2}dx = 2 - 1 = 1} \).
Tính tích phân \(I = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {2x + 1} \right)dx} \).
\(I = 0\).
\(I = 1\).
\(I = 2\).
\(I = - \frac{1}{2}\).
Chọn A
\(I = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {2x + 1} \right)dx} = \left. {\left( {{x^2} + x} \right)} \right|_{ - 1}^0 = 0 - 0 = 0\).
Tích phân \(\int\limits_0^1 {\left( {3x + 1} \right)\left( {x + 3} \right){\rm{d}}x} \) bằng
\(12\).
\(9\).
\(5\).
\(6\).
Chọn B
Ta có: \[\int\limits_0^1 {\left( {3x + 1} \right)\left( {x + 3} \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {\left( {3{x^2} + 10x + 3} \right){\rm{d}}x} = \left. {\left( {{x^3} + 5{x^2} + 3x} \right)} \right|_0^1 = 9\].
Vậy : \(\int\limits_0^1 {\left( {3x + 1} \right)\left( {x + 3} \right){\rm{d}}x} = 9\).
Giá trị của \[\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx} \] bằng
0.
1.
-1.
\[\frac{\pi }{2}\].
Chọn B
+ Tính được \[\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx} = - \cos x\left| \begin{array}{l}\frac{\pi }{2}\\0\end{array} \right. = 1\].
Tính tích phân \(I = \int\limits_0^2 {(2x + 1)dx} \)
\(I = 5\).
\(I = 6\).
\(I = 2\).
\(I = 4\).
Chọn B
Ta có \(I = \int\limits_0^2 {(2x + 1)dx} = \left. {\left( {{x^2} + x} \right)} \right|_0^2 = 4 + 2 = 6\).
Với \(a,b\) là các tham số thực. Giá trị tích phân \(\int\limits_0^b {\left( {3{x^2} - 2ax - 1} \right){\rm{d}}x} \) bằng
\({b^3} - {b^2}a - b\).
\({b^3} + {b^2}a + b\).
\({b^3} - b{a^2} - b\).
\(3{b^2} - 2ab - 1\).
Chọn A
Ta có \(\int\limits_0^b {\left( {3{x^2} - 2ax - 1} \right){\rm{d}}x} \)\( = \left. {\left( {{x^3} - a{x^2} - x} \right)} \right|_0^b\) \( = {b^3} - a{b^2} - b\).
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(\int\limits_0^2 {\left( {f\left( x \right) + 3{x^2}} \right){\rm{d}}x} = 10\). Tính \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \).
\(2\).
\( - 2\).
\(18\).
\( - 18\).
Chọn A
Ta có:
\(\,\,\,\,\,\,\int\limits_0^2 {\left( {f\left( x \right) + 3{x^2}} \right){\rm{d}}x} = 10\) \( \Leftrightarrow \int\limits_0^2 {f\left( x \right)} {\rm{d}}x + \int\limits_0^2 {3{x^2}} {\rm{d}}x = 10\) \( \Leftrightarrow \int\limits_0^2 {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = 10 - \int\limits_0^2 {3{x^2}} {\rm{d}}x\)
\( \Leftrightarrow \int\limits_0^2 {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = 10 - {x^3}\left| \begin{array}{l}2\\0\end{array} \right.\,\) \( \Leftrightarrow \int\limits_0^2 {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = 10 - 8 = 2\).
Cho \(\int\limits_0^m {\left( {3{x^2} - 2x + 1} \right)} {\rm{d}}x = 6\). Giá trị của tham số m thuộc khoảng nào sau đây?
\(\left( { - 1;2} \right)\).
\(\left( { - \infty ;0} \right)\).
\(\left( {0;4} \right)\).
\(\left( { - 3;1} \right)\).
Chọn C
Ta có: \(\int\limits_0^m {\left( {3{x^2} - 2x + 1} \right)} {\rm{d}}x = 6\)\( \Leftrightarrow \left. {\left( {{x^3} - {x^2} + x} \right)} \right|_0^m = 6 \Leftrightarrow {m^3} - {m^2} + m - 6 = 0 \Leftrightarrow m = 2\).
Vậy \(m \in \left( {0;4} \right)\).
Tính tích phân \(I = \int\limits_1^e {\left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)} dx\)
\(I = \frac{1}{e}\)
\(I = \frac{1}{e} + 1\)
\(I = 1\)
\(I = e\)
Chọn A
\(I = \int\limits_1^e {\left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)} dx = \left. {\left( {\ln \left| x \right| + \frac{1}{x}} \right)} \right|_1^e = \frac{1}{e}\).
Tính tích phân \[I = \int\limits_1^2 {\frac{{x - 1}}{x}} \,{\rm{d}}x\].
\[I = 1 - \ln 2\].
\[I = \frac{7}{4}\].
\[I = 1 + \ln 2\].
\[I = 2\ln 2\].
Chọn A
Ta có \[I = \int\limits_1^2 {\frac{{x - 1}}{x}} \,{\rm{d}}x\]\[ = \int\limits_1^2 {\left( {1 - \frac{1}{x}} \right)} \,{\rm{d}}x\]\[ = \left. {\left( {x - \ln \left| x \right|} \right)} \right|_1^2\]\[ = \left( {2 - \ln 2} \right) - \left( {1 - \ln 1} \right)\]\[ = 1 - \ln 2\].
Biết \(\int\limits_1^3 {\frac{{x + 2}}{x}} dx = a + b\ln c,\) với \(a,b,c \in \mathbb{Z},c < 9.\) Tính tổng \(S = a + b + c.\)
\(S = 7\).
\(S = 5\).
\(S = 8\).
\(S = 6\).
Chọn A
Ta có \(\int\limits_1^3 {\frac{{x + 2}}{x}} dx = \int\limits_1^3 {\left( {1 + \frac{2}{x}} \right)dx} = \int\limits_1^3 {dx} + \int\limits_1^3 {\frac{2}{x}} dx = 2 + 2\left. {\ln \left| x \right|} \right|_1^3 = 2 + 2\ln 3.\)
Do đó \(a = 2,\,b = 2,\,c = 3 \Rightarrow S = 7.\)
\(\int\limits_0^1 {{e^{3x + 1}}{\rm{d}}x} \) bằng
\(\frac{1}{3}\left( {{e^4} + e} \right)\)
\({e^3} - e\)
\(\frac{1}{3}\left( {{e^4} - e} \right)\)
\({e^4} - e\)
Chọn C
\(\int\limits_0^1 {{e^{3x + 1}}{\rm{d}}x} \)\( = \frac{1}{3}\int\limits_0^1 {{e^{3x + 1}}{\rm{d}}\left( {3x + 1} \right)} \)\( = \left. {\frac{1}{3}{e^{3x + 1}}} \right|_0^1\)\( = \frac{1}{3}\left( {{e^4} - e} \right)\).
\(\int\limits_1^2 {{{\rm{e}}^{3x - 1}}{\rm{d}}x} \) bằng
\(\frac{1}{3}\left( {{{\rm{e}}^5} + {{\rm{e}}^2}} \right)\)
\(\frac{1}{3}\left( {{{\rm{e}}^5} - {{\rm{e}}^2}} \right)\)
\(\frac{1}{3}{{\rm{e}}^5} - {{\rm{e}}^2}\)
\({{\rm{e}}^5} - {{\rm{e}}^2}\)
Lời giải
Chọn B
Ta có\[\int\limits_1^2 {{{\rm{e}}^{3x - 1}}{\rm{d}}x} = \frac{1}{3}\left. {{{\rm{e}}^{3x - 1}}} \right|_1^2\] \( = \frac{1}{3}\left( {{{\rm{e}}^5} - {{\rm{e}}^2}} \right)\).
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). \(\int\limits_2^4 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \)Biết hàm số \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\) và \(F\left( 2 \right) = 6\), \(F\left( 4 \right) = 12\). Tích phân bằng
\(2\).
\(6\).
\(18\).
\( - 6\).
Chọn B
Ta có \(\int\limits_2^4 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \left. {F\left( x \right)} \right|_2^4\)\( = F\left( 4 \right) - F\left( 2 \right) = 12 - 6 = 6\).
Nếu \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x = 2} \) và \(\int\limits_1^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x = 5} \) thì \[\int\limits_0^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \] bằng
\(10\).
\(3\).
\(7\).
\( - 3\).
Chọn C
Ta có \[\int\limits_0^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_1^3 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = 2 + 5 = 7\].
Nếu \(\int\limits_1^4 {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = 6\) thì \(2\int\limits_1^4 {f\left( x \right)} {\rm{d}}x\) bằng
\(3\).
\(4\).
\(12\).
\(8\).
Chọn C
\(2\int\limits_1^4 {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = 2.6 = 12\)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết hàm số \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\)trên \(\mathbb{R}\) và \(F\left( 1 \right) = 3,F\left( 3 \right) = 6\). Tích phân \(\int\limits_1^3 {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x\) bằng
\(9\).
\( - 3\).
\(3\).
\(2\).
Chọn C
\(\int\limits_1^3 {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = \left. {F\left( x \right)} \right|_1^3 = F\left( 3 \right) - F\left( 1 \right) = 6 - 3 = 3\).
Nếu \(\int\limits_{ - 1}^4 {f\left( x \right)dx = 2} \) và \[\int\limits_{ - 1}^4 {g\left( x \right)dx = 3} \] thì \[\int\limits_{ - 1}^4 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} \] bằng
\(5\).
\(6\).
\(1\)
\( - 1\).
Chọn A
Ta có \[\int\limits_{ - 1}^4 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} = \int\limits_{ - 1}^4 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_{ - 1}^4 {g\left( x \right)dx = 2 + } 3 = 5\].
Nếu \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 4\) thì bằng
\[0.\]
\[6.\]
\[8.\]
\[ - 2.\]
Chọn D
Có hai giá trị của số thực \(a\) là \({a_1}\), \({a_2}\) (\(0 < {a_1} < {a_2}\)) thỏa mãn \(\int\limits_1^a {\left( {2x - 3} \right){\rm{d}}x} = 0\). Hãy tính \(T = {3^{{a_1}}} + {3^{{a_2}}} + {\log _2}\left( {\frac{{{a_2}}}{{{a_1}}}} \right)\).
\(T = 26\).
\(T = 12\).
\(T = 13\).
\(T = 28\).
C. Chọn C
D. Ta có: \(\int\limits_1^a {\left( {2x - 3} \right){\rm{d}}x} \)\( = \left. {\left( {{x^2} - 3x} \right)} \right|_1^a\)\( = {a^2} - 3a + 2\).
A. Vì \(\int\limits_1^a {\left( {2x - 3} \right){\rm{d}}x} = 0\) nên \({a^2} - 3a + 2 = 0\), suy ra \(\left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = 2\end{array} \right.\).
B. Lại có \(0 < {a_1} < {a_2}\) nên \({a_1} = 1\); \({a_2} = 2\).
C. Như vậy \(T = {3^{{a_1}}} + {3^{{a_2}}} + {\log _2}\left( {\frac{{{a_2}}}{{{a_1}}}} \right)\)\( = {3^1} + {3^2} + {\log _2}\left( {\frac{2}{1}} \right)\)\( = 13\).
</>
Cho \(\int\limits_0^m {\left( {3{x^2} - 2x + 1} \right){\rm{d}}x} = 6\). Giá trị của tham số \(m\) thuộc khoảng nào sau đây?
A. \(\left( { - 1\,;\,2} \right)\).
B. \(\left( { - \infty \,;\,0} \right)\).
C. \(\left( {0\,;\,4} \right)\).
D. \(\left( { - 3\,;\,1} \right)\).
D. Chọn C
Ta có: \(\int\limits_0^m {\left( {3{x^2} - 2x + 1} \right){\rm{d}}x} = \left. {\left( {{x^3} - {x^2} + x} \right)} \right|_0^m = {m^3} - {m^2} + m\).
\(\int\limits_0^m {\left( {3{x^2} - 2x + 1} \right){\rm{d}}x} = 6\)\( \Leftrightarrow {m^3} - {m^2} + m - 6 = 0 \Leftrightarrow m = 2 \in \left( {0\,;\,4} \right)\).
A. Vậy \(m = 2 \in \left( {0\,;\,4} \right)\).
Cho \(I = \int\limits_0^1 {\left( {4x - 2{m^2}} \right){\rm{d}}x} \). Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\)để \(I + 6 > 0\)?
1.
5.
2.
3.
Chọn D
Theo định nghĩa tích phân ta có \(I = \int\limits_0^1 {\left( {4x - 2{m^2}} \right){\rm{d}}x} = \left. {\left( {2{x^2} - 2{m^2}x} \right)} \right|_0^1 = - 2{m^2} + 2\).
Khi đó \(I + 6 > 0 \Leftrightarrow - 2{m^2} + 2 + 6 > 0 \Leftrightarrow - {m^2} + 4 > 0 \Leftrightarrow - 2 < m < 2\)
Mà \(m\)là số nguyên nên \(m \in \left\{ { - 1;0;1} \right\}\). Vậy có 3 giá trị nguyên của \(m\)thỏa mãn yêu cầu.
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của \(a\) để \(\int_0^a {\left( {2x - 3} \right){\rm{d}}x \le 4} \)?
\(5\).
\(6\).
\(4\).
\(3\).
Chọn C
Ta có: \[\int_0^a {\left( {2x - 3} \right){\rm{d}}x = \left. {\left( {{x^2} - 3x} \right)} \right|_0^a} = {a^2} - 3a\].
Khi đó: \(\int_0^a {\left( {2x - 3} \right){\rm{d}}x \le 4} \)\( \Leftrightarrow \)\({a^2} - 3a \le 4\)\( \Leftrightarrow - 1 \le a \le 4\)
Mà \(a \in \mathbb{N}*\)nên\(a \in \left\{ {1\,;\,2\,;\,3\,;\,4} \right\}\).
Vậy có 4 giá trị của \(a\) thỏa đề bài.
Cho \(\int\limits_1^2 {{e^{3x - 1}}{\rm{d}}x} = m\left( {{e^p} - {e^q}} \right)\) với \(m\), \(p\), \(q \in \mathbb{Q}\) và là các phân số tối giản. Giá trị \(m + p + q\) bằng
\(10\).
\(6\).
\(\frac{{22}}{3}\).
\(8\).
Chọn C
Ta có \(\int\limits_1^2 {{e^{3x - 1}}{\rm{d}}x} = \int\limits_1^2 {{e^{3x - 1}}{\rm{d}}\left( {3x - 1} \right)} \)\( = \frac{1}{3} \cdot {e^{3x - 1}}\left. {} \right|_1^2 = \frac{1}{3}\left( {{e^5} - {e^2}} \right)\). Suy ra \(m = \frac{1}{3}\), \(p = 5\) và \(q = 2\).
Vậy \(m + p + q = \frac{1}{3} + 5 + 2 = \frac{{22}}{3}\).
