Đề toán tổng hợp chương 2

Tứ diện ABCD có $\angle$BAD = 90$°$ nên $\angle$ABD = $\mathrm{\alpha }$ là một góc nhọn. Khi quay các cạnh của tứ diện đó xung quanh cạnh AB thì cạnh BD tạo thành một hình nón tròn xoay đỉnh B có trục là AB, cạnh AD vuông góc với AB tạo thành đáy của hình nón đó.

Mặt khác theo giả thiết ta có BD $\perp$ BC nên AB $\perp$ BC. Ta có $\angle$BAC = $\mathrm{\beta }$ là một góc nhọn. Do đó khi quay các cạnh của tứ diện xung quanh cạnh AB thì cạnh AC tạo thành một hình nón tròn xoay đỉnh A có trục là AB, còn cạnh BC tạo thành đáy của hình nón.

Như vậy khi quay tất cả các cạnh của tứ diện xung quanh trục AB thì các cạnh BD và AC tạo thành hai hình nón.

Hình trụ nội tiếp trong lăng trụ tam giác đều có đường tròn đáy tiếp xúc tại trung điểm các cạnh của tam giác đáy. Gọi I là trung điểm của cạnh BC, r là bán kính đáy của hình trụ nội tiếp trong lăng trụ

Ta có: 

Do đó: 

Ta có diện tích xung quanh của hình trụ nội tiếp lăng trụ là:

Ta có mặt phẳng (AA’I) là mặt phẳng qua trục hình trụ. Mặt phẳng này cắt hình trụ theo thiết diện là hình chữ nhật IKK’I’. Đoạn A’I cắt KK’ tại M nên cắt hình trụ theo đoạn IM.

Ta có:

Xét tam giác vuông IKM ta có:

${\mathrm{IM}}^2={\mathrm{IK}}^2+{\mathrm{KM}}^2$

Vậy 

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA và A’ , B’, C’ là các điểm tiếp xúc của các cạnh bên SA, SB, SC với mặt cầu. Ta có AA’ và AM là hai tiếp tuyến nên AM = AA’. Vì M là trung điểm của AB nên AM = MB.

Mặt khác BM = BB’, ta suy ra AA’ = BB’

Vì SA’ = SB’ nên SA’ + A’A = SB’ + B’B hay SA = SB.

Tương tự, ta chứng minh được SB = SC

Do đó SA = SB = SC.

Mặt khác AB = 2BM = 2BN = BC = 2CN = 2CP = CA

Vậy AB = BC = CA và ABC là một tam giác đều nên là một hình chóp đều. Ta có đường cao kẻ từ S có chân H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC.

Tam giác vuông ABC có BC = 2a và AC = a nên ta suy ra $\angle$ABC = 30$°$. Khi quay xung quanh trục AB cạnh BC tạo nên mặt nón tròn xoay có góc ở đỉnh bằng 60$°$ và có đường tròn đáy có bán kính AC = a. Khi xoay xung quanh trục AB nửa đường tròn đường kính AB tạo nên mặt cầu có tâm là trung điểm I để đoạn AB và bán kính r = AB/2.

Khi quay xung quanh trục AB, giao điểm M của nửa đường tròn đường kính AB và cạnh CD sẽ tọ nên giao tuyến của mặt nón và mặt cầu.

Vẽ MH ⊥ AB

Ta có:

Mặt khác ta có ${\mathrm{CA}}^2$ = CM.CB nên ta có

Do đó: BM = CB − CM = 3a/2 và HM = 3a/4

Gọi ${\mathrm{S}}_1$ là diện tích toàn phần của hình nón và ${\mathrm{S}}_2$ là diện tích mặt cầu.

Ta có: ${\mathrm{S}}_1$ = $\mathrm{\pi rl}+{\mathrm{\pi r}}^2=3{\mathrm{\pi a}}^2$

${\mathrm{S}}_2$ = $4{\mathrm{\pi r}}^2=3{\mathrm{\pi a}}^2$

Vậy ${\mathrm{S}}_1$ = ${\mathrm{S}}_2$

Vì mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với Δ′ nên AA’ thuộc (P). Vì M thuộc $∆$ mà d là hình chiếu vuông góc của $∆$ trên (P) nên ${\mathrm{M}}_1$ thuộc d. Vì MA $\perp$ AA′ ⇒ ${\mathrm{M}}_1$A $\perp$ AA′

Mặt khác ${\mathrm{M}}_1$A $\perp$ M′A′ nên ta suy ra ${\mathrm{M}}_1$A $\perp$ (AA′M′). Do đó ${\mathrm{M}}_1$A $\perp$ M′A và điểm A thuộc mặt cầu đường kính M’${\mathrm{M}}_1$

Ta có M′A′ $\perp$ (P) nên M′A′ $\perp$ A′${\mathrm{M}}_1$, ta suy ra điểm A’ cũng thuộc mặt cầu đường kính M’${\mathrm{M}}_1$

Ta có (Q) // (P) nên ta suy ra

M${\mathrm{M}}_1$ ⊥ (Q) mà MM’ thuộc (Q), do đó ${\mathrm{M}}_1$M $\perp$ MM′

Như vậy 5 điểm A, A’, M, M’, ${\mathrm{M}}_1$ cùng thuộc mặt cầu (S) có đường kính M’${\mathrm{M}}_1$. Tâm O của mặt cầu (S) là trung điểm của đoạn M’${\mathrm{M}}_1$

Ta có $\mathrm{M}\text{'}{{\mathrm{M}}_1}^2=\mathrm{M}\text{'}\mathrm{A}{\text{'}}^2+\mathrm{A}\text{'}{{\mathrm{M}}_1}^2$ = $\mathrm{M}\text{'}\mathrm{A}{\text{'}}^2+\mathrm{A}\text{'}{\mathrm{A}}^2+{{\mathrm{AM}}_1}^2={\mathrm{x}}^2+{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{x}}^2{\cot }^2\mathrm{\alpha }$ vì M${\mathrm{M}}_1$ = x

Bán kính r của mặt cầu (S) bằng (M′${\mathrm{M}}_1$)/2 nên

Hình tứ giác A’M’M${\mathrm{M}}_1$ là hình chữ nhật nên tâm O cũng là trung điểm của A’M. Do đó khi x thay đổi thì mặt phẳng (Q) thay đổi và điểm O luôn luôn thuộc đường thẳng d’ đi qua trung điểm I của đoạn AA’ và song song với đường thẳng $∆$. Vì mặt cầu tâm O luôn luôn đi qua hai điểm cố định A, A’nên nó có tâm O di động trên đường thẳng d’. Do đó mặt cầu tâm O luôn luôn chứa đường tròn tâm I cố định có đường kính AA’ cố định và nằm trong mặt phẳng cố định vuông góc với đường thẳng d’.