Đề thi_Toán 10_GK1_CD_Đề số 1

Mệnh đề A sai vì ba số tự nhiên liên tiếp $n,n+1,n+2$ luôn có ít nhất 1 số chẵn nên tích của chúng là số chẵn.

Mệnh đề B đúng vì $x^2<4\iff \left|x\right|<2\iff -2<x<2\forall x\in ℝ$.

Mệnh đề C sai vì $n^2$ luôn chia hết cho 3 hoặc chia 3 dư 1 nên $n^2+1$ hoặc chia 3 dư 1 hoặc chia 3 dư 2 hay $n^2+1$ không chia hết cho 3 với mọi $n\in \mathbb{N}$.

Mệnh đề D sai vì $x^2\ge 9\iff \left|x\right|\ge 3\iff [\begin{array}{l}x\ge 3\\ x\le -3\end{array}$. Chọn B.

Ta thấy điểm $O\left(0;0\right)$ thuộc miền nghiệm của bất phương trình và $\left(0;3\right)\in d:3x-2y=-6$. Chọn C.

Ta có

$\begin{array}{l}A=cos10°+cos20°+...+cos170°+cos180°\\ =cos180°+\left(cos10°+cos170°\right)+\left(cos20°+cos160°\right)+...+\left(cos80°+cos100°\right)+cos90°\\ =-1+\left(cos10°-cos10°\right)+\left(cos20°-cos20°\right)+...+\left(cos80°-cos80°\right)+0\\ =-1.\end{array}$

Chọn D.

B. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG - SAI. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

a) Đúng. Mệnh đề đảo của mệnh đề “$P\Rightarrow Q$” là mệnh đề “$Q\Rightarrow P$” và được phát biểu là: “Nếu $ABCD$ là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau thì tứ giác $ABCD$ là hình vuông”.

b) Sai. Hai mệnh đề $P$ và $Q$ tương đương với nhau.

c) Sai. Mệnh đề $P\iff Q$ là mệnh đề đúng.

d) Đúng. Vì $P$ và $Q$ tương đương nên $P$ là điều kiện cần và đủ để có $Q$.

a) Đúng. Ta có $sin\alpha =\frac{1}{3}>0$.

Do $90°<\alpha <180°$ nên $cos\alpha <0$. Vậy giá trị $sin\alpha \cdot cos\alpha <0$.

b) Đúng. Vì $cos\alpha <0$, mà $sin{}^2\alpha +cos{}^2\alpha =1$, suy ra $cos\alpha =-\sqrt{1-sin{}^2\alpha }=-\sqrt{1-\frac{1}{9}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

c) Sai. Ta có $tan\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha }=\frac{\frac{1}{3}}{-\frac{2\sqrt{2}}{3}}=-\frac{1}{2\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{4}$.

d) Đúng. Ta có $cot\alpha =\frac{1}{tan\alpha }=\frac{1}{-\frac{\sqrt{2}}{4}}=-2\sqrt{2}.$

Vậy \frac{6sin\alpha +3\sqrt{2}cos\alpha }{2\sqrt{2}tan\alpha +\sqrt{2}cot\alpha }=\frac{6\cdot \frac{1}{3}+3\sqrt{2}\cdot \left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)}{2\sqrt{2}\cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{4}\right)+\sqrt{2}\cdot \left(-2\sqrt{2}\right)}=\frac{2}{5}.

C. TRẢ LỜI NGẮN. Thí sinh trả lời

Ta có: $A=\left\{-4;-2;-1;2;3;4\right\}$, $B=\left\{-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4\right\}$ và tập hợp $X$ gồm bốn phần tử.

Suy ra tập hợp $X$ là: $\left\{-4;-3;0;1\right\}$, $\left\{-3;-2;0;1\right\}$, $\left\{-3;-1;0;1\right\}$, $\left\{-3;0;1;2\right\}$, $\left\{-3;0;1;3\right\}$, $\left\{-3;0;1;4\right\}$.

Đáp án: 6.

Gọi x là số quyển tập và y là số cây bút mà bạn Lan mua $\left(x,y\in \mathbb{N}\right)$.

Bất phương trình biểu diễn số tập và bút có thể mua được phụ thuộc vào số tiền mang theo là $8000x+6000y\le 150000$.

Nếu bạn Lan đã mua 10 cây bút thì $8000x+6000\cdot 10\le 150000\iff x\le 11,25$.

Vì $x\in \mathbb{N}$ nên số quyển tập tối đa bạn Lan mua được là 11 quyển.

Đáp án: 11.

Do $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$ (tổng ba góc trong tam giác) nên ta có: $\{\begin{array}{l}cos\left(B+C\right)=-cosA\\ sin\left(B+C\right)=sinA\end{array}$.

Vậy $P=sinA\cdot cos\left(B+C\right)+cosA\cdot sin\left(B+C\right)=sinA\cdot \left(-cosA\right)+cosA\cdot sinA$

$=-sinA\cdot cosA+cosA\cdot sinA=0$.

Đáp án: 0.

Áp dụng hệ quả của định lí côsin trong tam giác $ABC$, ta có:

cosA=\frac{A{C}^2+A{B}^2-B{C}^2}{2AC\cdot AB}=\frac{\sqrt{3}AC\cdot AB}{2AC\cdot AB}=\frac{\sqrt{3}}{2}. Suy ra \widehat{A}=30°.

Vậy $sin\left(B+C\right)=sin150°=0,5.$

Đáp án: 0,5.

Số học sinh tham gia môn điền kinh hoặc môn bóng đá là: $40-16=24$ (học sinh).

Số học sinh chỉ tham gia môn điền kinh là $24-14=10$ (học sinh).

Số học sinh chỉ tham gia môn bóng đá là $24-18=6$ (học sinh).

Vậy số học sinh chỉ tham gia một trong hai môn là $10+6=16$ (học sinh).

Gọi số xe loại A cần thuê là $x\left(x\ge 0\right)$.

Số xe loại B cần thuê là $y\left(y\ge 0\right),x,y\in \mathbb{N}$.

Số người có thể chở tối đa là: $20x+10y$ (người).

Số tấn hàng có thể chở tối đa là: $0,5x+2y$ (tấn).

Theo đề bài, ta có:

- Cần chở ít nhất 100 người: $20x+10y\ge 100$.

- Cần chở ít nhất 6 tấn hàng: $0,5x+2y\ge 6$.

- Có 8 chiếc xe loại A và 6 chiếc xe loại B: $x\le 8$, $y\le 6$.

- Chi phí bỏ ra: $F\left(x;y\right)=4x+3y$ (triệu đồng).

Ta có hệ bất phương trình: \{\begin{array}{c}20x+10y\ge 100\\ 0,5x+2y\ge 6\\ 0\le x\le 8\\ 0\le y\le 6\end{array}\iff \{\begin{array}{c}2x+y\ge 10\\ x+4y\ge 12\\ 0\le x\le 8\\ 0\le y\le 6\end{array} (I).

Bài toán trở thành tìm x, y thoả mãn hệ bất phương trình (I) để $F\left(x;y\right)=4x+3y$ nhỏ nhất.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình (I) là miền tứ giác ABCD kể cả biên.

Toạ độ 4 đỉnh của miền nghiệm là: $A\left(4;2\right)$, $B\left(8;1\right)$, $C\left(8;6\right)$, $D\left(2;6\right)$.

Suy ra $F\left(x;y\right)=4x+3y$ đạt GTNN bằng 22 tại$\left(4;2\right)$.

Vậy doanh nghiệp nên thuê 4 xe loại A và 2 xe loại B để chi phí thấp nhất, và chi phí thấp nhất là 22 triệu đồng.

Có $\widehat{CAH}={\alpha }_1=30°,\widehat{CBH}={\beta }_1=70°$$\Rightarrow \widehat{ACB}=\widehat{CBH}-\widehat{CAH}=40°$.

Áp dụng định lí sin vào , ta có: $\frac{BC}{sin\widehat{CAH}}=\frac{AB}{sin\widehat{ACB}}\Rightarrow BC=\frac{20sin30°}{sin40°}$.

Xét vuông tại , ta có: $sin\widehat{CBH}=\frac{CH}{BC}\Rightarrow CH=BCsin\widehat{CBH}=\frac{20sin30°}{sin40°}\cdot sin70°$.

Có $\widehat{OAH}={\alpha }_2=50°,\widehat{OBH}={\beta }_2=80°$$\Rightarrow \widehat{AOB}=30°$.

Áp dụng định lí sin vào , ta có: $\frac{BO}{sin\widehat{OAH}}=\frac{AB}{sin\widehat{AOB}}\Rightarrow BO=\frac{20sin50°}{sin30°}$.

Xét vuông tại , ta có: $sin\widehat{OBH}=\frac{HO}{BO}\Rightarrow HO=BOsin\widehat{OBH}=\frac{20sin50°}{sin30°}\cdot sin80°$.

Vậy $h=OC=HO-CH=\frac{20sin50°}{sin30°}\cdot sin80°-\frac{20sin30°}{sin40°}\cdot sin70°\approx 15,56$ (m).