Đề thi ĐGNL Bộ Công an môn Toán có đáp án - Đề 4

Hàm số \(F\left( x \right) = \sqrt[3]{x} + 2\sqrt x  + x\sqrt x \) là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?

Trong không gian \[Oxyz\], cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có \(A\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {2;0;0} \right)\), \(C\left( {0;2;0} \right)\)và \(A'\left( {0;0;2} \right)\). Góc giữa \(BC'\) và \(A'C\) bằng

Cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;2;3} \right)\) và thể tích bằng \(\frac{{256\pi }}{3}\). Phương trình của \(\left( S \right)\) là:

Cho hàm số \(y = \sqrt {3{x^2} - {x^3}} \). Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

Một cửa hàng bán quả vải thiều của Bắc Giang với giá bán mỗi kg là 40000 đồng. Với giá bán này thì cửa hàng chỉ bán được khoảng 30 kg. Cửa hàng này dự định giảm giá bán, ước tính nếu cửa hàng cứ giảm mỗi kg 4000 đồng thì số vải thiều bán được tăng thêm là 40 kg. Xác định giá bán để cửa hàng đó thu được lợi nhuận lớn nhất, biết rằng giá nhập về ban đầu mỗi kg là 25 000 đồng.

Trong không gian \(Oxyz\), mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) qua hai điểm \(C\left( {2\,;\,1\,;\,6} \right)\), \(D\left( {3\,;\,5\,;\,1} \right)\) và cách đều hai điểm \(A\left( {6\,;\,4\,;0} \right)\), \(B\left( {4;\,5\,;0} \right)\) có phương trình là:

Một ô tô đang chạy với vận tốc 10 m/s thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc \(v\left( t \right) =  - 2t + 10\) (m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Quãng đường ô tô di chuyển được trong 8 giây cuối cùng là

Cho hàm số \(y = \frac{1}{3}m{x^3} - \left( {m - 1} \right){x^2} + 3\left( {m - 2} \right)x + 2018\) với \(m\) là tham số. Tổng bình phương tất cả các giá trị của \(m\) để hàm số có hai điểm cực trị \({x_1};\,{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} + 2{x_2} = 1\) bằng

Trong không gian \[Oxyz\], gọi \[\left( P \right)\] là mặt phẳng chứa đường thẳng \[d:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{z}{{ - 1}}\] và cắt các trục \[Ox\], \[Oy\] lần lượt tại \[A\] và \[B\] sao cho đường thẳng \[AB\] vuông góc với \[d\]. Phương trình của mặt phẳng \[\left( P \right)\] là

Huyết áp là áp lực cần thiết tác động lên thành của động mạch để đưa máu từ tim đến nuôi dưỡng các mô trong cơ thể. Huyết áp được tạo ra do lực co bóp của cơ tim và sức cản của thành động mạch. Mỗi lần tim đập, huyết áp của chúng ta tăng rồi giảm giữa các nhịp. Huyết áp tối đa và huyết áp tối thiểu được gọi tương ứng là huyết áp tâm thu và tâm trương. Chỉ số huyết áp của chúng ta được viết là huyết áp tâm thu/huyết áp tâm trương, tương ứng. Chỉ số huyết áp \[120/80\] là bình thường. Giả sử huyết áp của một người nào đó được mô hình hóa bởi hàm số \[P\left( t \right) = 110 + 10\sin \left( {\frac{{5\pi }}{2}t} \right)\]. Trong đó \[P\left( t \right)\] là huyết áp tính theo đơn vị \[{\rm{mmHg}}\] (milimét thủy ngân) và thời gian \[t\] tính theo giây. Hỏi trong khoảng từ \(0\) đến \(5\) giây có bao nhiêu lần huyết áp là \[120\] mmHg?

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có phương trình cạnh \(AB\) là \(x - y - 2 = 0,\) phương trình cạnh \(AC\) là \(x + 2y - 5 = 0\). Biết trọng tâm của tam giác là điểm \(G\left( {3;2} \right)\) và phương trình đường thẳng \(BC\) có dạng \(x + my + n = 0.\) Tìm \(m + n.\)

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( {\sqrt {4 + 2f\left( {\cos x} \right)} } \right) = m\) có nghiệm \(x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right)\).

Bảng dưới đây thống kê số giờ tự học ở nhà của 21 học sinh lớp 12 được hỏi ngẫu nhiên tại một trường THPT của Thành phố Hà Nội.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên gần nhất với giá trị nào dưới đây?

Cho hình hộp đứng \[ABCD.A'B'C'D'\] có đáy \[ABCD\] là hình thoi cạnh \(2a\), cạnh bên \(AA' = a\sqrt 2 \) và \[AD' \bot BA'\]. Khoảng cách giữa hai đường thẳng \[AD'\] và \[BA'\] bằng

Hai chất điểm A và B chuyển động thẳng đều cùng hướng về \(O\) (như hình vẽ) biết rằng vận tốc \({V_B} = \frac{{{V_A}}}{{\sqrt 3 }}\) và \(\widehat {AOB} = 30^\circ \). Biết rằng khi khoảng cách giữa hai chất điểm A và B là nhỏ nhất thì A cách O một khoảng bằng \(30\sqrt 3 \left( {\rm{m}} \right)\). Tìm khoảng cách từ \(B\) đến \(O\) lúc đó.

Gọi \(\left( {{C_m}} \right)\) là đồ thị của hàm số \(y = mx + \frac{1}{x}\,\,(*)\), \(m\) là tham số. Tìm \(m\) để hàm số (*) có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của \(\left( {{C_m}} \right)\) đến đường tiệm cận xiên bằng \(\frac{1}{{\sqrt 2 }}\).

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\) thuộc đường thẳng \(\Delta :\frac{x}{1} = \frac{{y + 3}}{1} = \frac{z}{2}\). Biết rằng mặt cầu \(\left( S \right)\) có bán kính bằng \(2\sqrt 2 \) và cắt mặt phẳng \[\left( {Oxz} \right)\] theo một đường tròn có bán kính bằng \(2\). Tìm tọa độ của điểm \(I.\)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\). Gọi \(D\left( {0;1} \right)\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(BC\), các điểm \(I\left( {0;3} \right),\,H\) lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và trực tâm của tam giác \(ABC.\) Biết phương trình đường thẳng \(BC:x - y + 1 = 0,\) bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(BHC\) là \(R = \sqrt {10} .\) Tìm tọa độ trực tâm \(H.\) 

Sau t giờ làm việc một người thợ có thể sản xuất với tốc độ là \[q\left( t \right) = 100 + {e^{ - 0,5t}}\] đơn vị sản phẩm trong 1 giờ. Giả sử người đó bắt đầu làm việc từ lúc 7 giờ sáng. Hỏi người đó sẽ sản xuất được bao nhiêu đơn vị sản phẩm giữa 8 giờ sáng và 12 giờ trưa?

Trong kỳ thi tốt nghiệp THPT năm 2022, 10 địa phương có điểm trung bình môn Toán cao nhất cả nước lần lượt được mô tả trong biểu đồ sau:

Tìm tứ phân vị trong mẫu số liệu thống kê trên.

Có 6 học sinh gồm 2 học sinh lớp A, 2 học sinh lớp B và 2 học sinh lớp C xếp ngẫu nhiên thành một hàng ngang. Xác suất để nhóm bất kì 3 học sinh liền kề nhau trong hàng luôn có mặt học sinh của cả 3 lớp A, B, C là

Cho tam giác \(OAB\) đều cạnh \(a\). Trên đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(O\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( {OAB} \right)\) lấy điểm \(C\) sao cho \(OC = x\). Gọi \(H\,,\,K\) lần lượt là hình chiếu của \(A\) lên \(BC\) và \(BO\), gọi \(D\) là giao điểm của \(HK\) và \(\Delta \). Tìm \(x\) để thể tích khối tứ diện \(ABCD\) nhỏ nhất.

Công ty X thuê anh Minh làm việc ở một dự án trong vòng 10 năm. Mức lương ban đầu công ty X trả cho anh Minh là 10 triệu đồng/tháng. Công ty cho anh Minh 2 phương án tăng lương thường xuyên. Phương án 1: mỗi năm tăng một lần, mỗi lần tăng 2%. Phương án 2: ba năm tăng một lần, mỗi lần tăng 7%. Tổng số tiền lương cao nhất anh Minh có thể nhận sau 10 năm làm việc gần với giá trị nào dưới đây nhất?

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\). Biết hàm số \(y = f\prime \left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ.

Hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) + x\) đạt cực tiểu tại điểm tại điểm \(x\) bằng bao nhiêu?

Mùa hè năm \[2025\], để chuẩn bị cho “học kì quân đội” dành cho các bạn nhỏ, một đơn vị bộ đội chuẩn bị thực phẩm dự kiến đủ dùng trong \[45\] ngày (năng suất của mỗi ngày là như nhau). Tuy nhiên bắt đầu từ ngày thứ \[11\], do số lượng thành viên tham gia tăng lên, lượng tiêu thụ thực phẩm đã tăng \(10\% \) mỗi ngày (ngày sau tăng \(10\% \) so với ngày trước đó). Hỏi thực tế lượng thức ăn đó đủ dùng trong bao nhiêu ngày?

Cho \[m,n,p\]là các số thực dương. Tìm \[x\] biết \[\log x = 3\log m + 2\log n - \log p\]:

Một buổi chiều nọ, bên bếp lửa hồng trong gian nhà ấm áp, người ta nhìn thấy ba mẹ con cùng ngồi ăn lạc rang. Tấm ăn trước, cô bốc 1 hạt lạc và bỏ vào miệng; Cám là người bốc lạc tiếp theo, cô bỏ hai hạt lạc vào miệng; dì ghẻ là người bốc lạc tiếp theo liền bỏ 3 hạt vào miệng. Trở lại lượt của Tấm, cô lấy 4 hạt lạc, rồi Cám lấy 5 hạt lạc, dì ghẻ lấy 6 hạt lạc... Bữa ăn hào hứng như thế cho đến lượt cuối cùng thì số hạt lạc không đủ theo quy luật trò chơi, người nào đến lượt cuối sẽ lấy hết số hạt lạc còn lại.

Sau bữa ăn ấm áp ấy, Tấm nhận ra mình đã cho vào bụng khoảng 317 hạt lạc.

Hỏi tổng số hạt lạc mà ba mẹ con đã ăn trong tối đó là bao nhiêu?

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\sqrt 2 \). Biết \(SA = a\sqrt 2 \) và \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(SD.\) Khi đó, côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng \(\left( {AMC} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng

Trên một vùng cao nguyên rộng lớn, với hệ tọa độ Oxyz thích hợp, đơn vị trên mỗi trục tọa độ là 5 mét, một con đại bàng đang đậu trên vách đá phẳng được mô hình hóa bởi phương trình \[\left( P \right):2x + 2y - z + 9 = 0\]. Con đại bàng này đang ngắm các mục tiêu là hai con dê núi đang ở các vị trí \[A\left( {1\,;\,\,2\,;\,\, - 3} \right)\], \[B\left( { - 2\,;\,\, - 2\,;\,\,1} \right)\].

Khoảng cách giữa hai con dê núi là

Khoảng cách ngắn nhất từ đại bàng đến con dê ở vị trí A bằng 32 mét.

Đại bàng luôn quan sát hai con dê với một góc \[90^\circ \] và con dê ở vị trí B cũng đã biết được sự nguy hiểm sau lưng nó, hỏi khoảng cách xa nhất giữa nó với đại bàng bằng bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần chục)?

Tuấn là một học sinh giỏi lớp 12, em rất thích học môn toán. Hôm ấy sau khi đã học xong phần Ứng dụng tích phân, Tuấn quyết định cắt chiếc nón mà người bố hay đội đi làm ruộng để nghiên cứu. Biết rằng hình nón này có bán kính đáy bằng \(20\,\,{\rm{cm}}\), thiết diện qua trục là một tam giác đều. Dù người bố hết sức ngăn cản nhưng Tuấn đã ra tay một cách dứt khoát, cắt hình nón bởi một mặt phẳng đi qua đường kính đáy và vuông góc với đường sinh của hình nón để chia nó ra làm hai phần, phần nhỏ có dạng một hình nêm (H), tính thể tích của khối (H) theo đơn vị centimét khối, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị.

Trong không gian Oxyz, đơn vị trên mỗi trục là \[2\,000\] km, người ta mô phỏng bề mặt Hỏa tinh dưới dạng mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 2z = 0\); một robot do thám được gửi đến bởi các nhà khoa học từ Trái Đất đang ở vị trí \[A\left( {2\,;\,\,2\,;\,\,0} \right)\]. Người ta cần đặt một thiết bị nhận tín hiệu từ robot ở vị trí B thuộc bề mặt sao Hỏa sao cho B có hoành độ dương và tam giác \[OAB\] đều. Tìm khoảng cách thực tế từ vị trí B đến vị trí \[C\left( {0\,;\,\,2\,;\,\,0} \right)\], nơi đáp xuống của tàu vũ trụ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của nghìn kilômét).

Năm 2025 là một năm đặc biệt đối với người yêu toán học, vì \(2025\) là một số chính phương (tạm gọi là “năm chính phương”), và đây cũng là năm chính phương duy nhất của thế kỷ 21; muốn có được năm chính phương tiếp theo, ta phải chờ thêm 91 năm nữa, tức là năm 2116. Để chào đón năm chính phương đặc biệt này, một thầy giáo dạy toán đã gọi hai em học sinh lên bảng và cho mỗi em viết ngẫu nhiên một số chính phương mà em biết từ 1 đến 2025. Xác suất để hai em viết ra hai số chính phương giống nhau và đều là số chia hết cho cả 3 và 5 bằng \(\frac{m}{n}\) với \(m\,,\,\,n \in \mathbb{N}\) và \(\frac{m}{n}\) tối giản (biết cả hai em học sinh đều viết đúng số chính phương của mình và khả năng xuất hiện mỗi số chính phương là như nhau). Tính \(2m + n\).

Một đội bắn súng gồm có 8 nam và 2 nữ. Xác suất bắn trúng của các xạ thủ nam là 0,8 còn của các xạ thủ nữ là 0,9. Chọn ngẫu nhiên một xạ thủ bắn một viên đạn và xạ thủ đó đã bắn trúng. Tính xác suất để xạ thủ đó là nữ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?