Đề thi ĐGNL Bộ Công an môn Toán có đáp án - Đề 3

Hàm số \[y = \frac{3}{5}{x^5} - 3{x^4} + 4{x^3} - 2\] đồng biến trên khoảng nào?

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{3{x^3} - 2{x^2} + 5}}{x}\) là:

Hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\) tạo với hai trục tọa độ một hình chữ nhật có diện tích bằng bao nhiêu?

Biết \(a = {\log _{30}}10\), \(b = {\log _{30}}150\) và \({\log _{2000}}15000 = \frac{{{x_1}a + {y_1}b + {z_1}}}{{{x_2}a + {y_2}b + {z_2}}}\) với \({x_1};{y_1};{z_1};{x_2};{y_2};{z_2}\) là các số nguyên, tính \(S = \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}}\).

Trong không gian \(Oxyz,\) cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 6 + 5t\\y = 2 + t\\z = 1\end{array} \right.\) và mặt phẳng \(\left( P \right):3x - 2y + 1 = 0.\) Góc hợp bởi giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng

Moment lực là một đại lượng vật lý, thể hiện tác động gây ra sự quay quanh một điểm hoặc một trục của một vật thể. Trong không gian \[Oxyz\], với đơn vị đo là mét, nếu tác động vào cán mỏ lết tại vị trí \(P\) một lực \(\overrightarrow F \) để vặn con ốc ở vị trí \(O\) (xem hình dưới) thì moment lực \(\overrightarrow M \) được tính bởi công thức \(\overrightarrow M  = \left[ {\overrightarrow {OP} ,\overrightarrow F } \right]\). Cho \(\overrightarrow {OP}  = \left( {x;y;z} \right),\overrightarrow F  = \left( {a;b;c} \right)\). Nếu giữ nguyên lực tác động \(\overrightarrow F \) trong khi thay vị trí đặt lực từ \(P\) sang \(P'\) sao cho \(\overrightarrow {OP'}  = 2\overrightarrow {OP} \) moment lực là \(\overrightarrow {M'} \). Khi đó \(\overrightarrow {M'}  = k \cdot \overrightarrow M \). Tính \(k\).

Một công ty quảng cáo \(X\) muốn làm một bức tranh trang trí hình \(MNEIF\) ở chính giữa của một bức tường hình chữ nhật \(ABCD\) có chiều cao \(BC = 6\,{\rm{m}}\), chiều dài \(CD = 12\,{\rm{m}}\). Cho biết \(MNEF\) là hình chữ nhật có \(MN = 4\,{\rm{m}}\); cung \(EIF\) có hình dạng là một phần của cung parabol có đỉnh \(I\) là trung điểm của cạnh \(AB\) và đi qua hai điểm \(C,\,D\). Kinh phí làm bức tranh là \[900\,000\] đồng\[{\rm{/ }}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\]. Hỏi công ty \(X\) cần bao nhiêu tiền để làm bức tranh đó?

Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 2{x^2} + \left( {m - 3} \right)x + m\) có hai điểm cực trị và điểm \(M\left( {9;\, - 5} \right)\) nằm trên đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị.

Tìm giá trị của tham số \(m\) sao cho đồ thị hàm số \[y = \frac{{2{x^2} + 3mx - m + 2}}{{x - 1}}\] có tiệm cận xiên tạo với các trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 4.

Cho hình chóp \(S.ABC\), cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy, \(SA = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\), đáy là tam giác \(ABC\) có diện tích bằng \(\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\) và \(AC = 2{\rm{a}}\), \(BC = {\rm{a}}\). Gọi \(\alpha \) là góc giữa mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) với mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\), khi đó \({\rm{tan\alpha }}\) bằng:

Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = {\left( {2x + 1} \right)^{\frac{1}{3}}}\], \[x = 0\], \[y = 3\] quanh trục Oy là:

Ông A vay ngân hàng \(300\) triệu đồng để mua nhà theo phương thức trả góp với lãi suất \(0,5\% \) mỗi tháng. Nếu cuối mỗi tháng, bắt đầu từ tháng thứ nhất sau khi vay, ông hoàn nợ cho ngân hàng số tiền cố định \(5,6\) triệu đồng và chịu lãi số tiền chưa trả. Hỏi sau khoảng bao nhiêu tháng ông A sẽ trả hết số tiền đã vay?

Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 3}}{{ - 1}}\) và mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\) có phương trình \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 18\). Đường thẳng \(d\) cắt \(\left( S \right)\) tại hai điểm \(A,B\). Tính diện tích tam giác \(IAB\) ta được kết quả là

Giả sử rằng sau t năm, vốn đầu tư của một doanh nghiệp phát sinh lợi nhuận với tốc độ \[P'\left( t \right) = 126 + {t^2}\] (triệu đồng/năm). Hỏi sau 10 năm đầu tiên thì doanh nghiệp thu được lợi nhuận là bao nhiêu (đơn vị triệu đồng)?

Một mạch điện xoay chiều gồm hai đoạn \(MN\) và \(NP\) ghép nối tiếp. Đoạn \(MN\) chỉ có điện trở thuần \(R.\) Đoạn \(NP\) gồm ba phần tử nối tiếp: một cuộn cảm thuần có độ tự cảm L, một tụ điện có điện dung C và một biến trở \({R_x}\) có trị số thay đổi trong phạm vi rất rộng. Đặt vào hai đầu \(MP\) một điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng và tần số không đổi. Thay đổi giá trị của biến trở \({R_x} = R\) thì điện áp hiệu dụng giữa hai điểm \(NP\) đạt giá trị nhỏ nhất thì hệ số công suất toàn mạch lúc này gần giá trị nào nhất sau đây?

Mai là một cô gái dễ mến, tuy nhiên trong chuyện tình cảm thì cô không phải là người đơn giản. Hôm ấy có người bạn trai hẹn đi ăn trưa, Mai cho biết cô sẽ gặp người đó vào thời điểm kim giờ và kim phút gặp nhau lần đầu tiên kể từ sau 12h trưa. Nếu người bạn trai ấy đến địa điểm hẹn vào lúc 12h30 trưa thì anh ấy sẽ phải chờ Mai bao nhiêu phút (làm tròn kết quả đến hàng phần chục)?

Để đảm bảo an toàn khi lưu thông trên đường, các xe ô tô khi dừng đèn đỏ phải cách nhau tối thiểu \(1\,{\rm{m}}\). Một ô tô \(A\) đang chạy với vận tốc \[16\,{\rm{m/s}}\] bỗng gặp ô tô \(B\) đang dừng đèn đỏ nên ô tô \(A\) hãm phanh và chuyển động chậm dần đều với vận tốc được biểu thị bởi công thức \({v_A}\left( t \right) = 16 - 4t\), thời gian tính bằng giây. Để \(2\) ô tô \(A\) và \(B\) đạt khoảng cách an toàn khi dừng lại thì ô tô \(A\) phải hãm phanh khi cách ô tô \(B\) một khoảng ít nhất là

Cho phương trình \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2my + 3{m^2} - 2m = 0\] với \[m\] là tham số. Tổng tất cả các giá trị nguyên của \[m\] để phương trình đã cho là phương trình mặt cầu bằng

Cho hình lăng trụ đứng \[ABC.A'B'C'\] có đáy \[ABC\] là tam giác cân tại \[C\], biết \[\widehat {BAC} = 30^\circ \], \[AB = a\sqrt 3 ,\] \[AA' = 2a\]. Gọi \[D\] là trung điểm \[BB'\]. Tính theo \[a\] thể tích khối chóp \[A.BCC'D\].

Biểu đồ dưới đây biểu diễn số lượng khách hàng đặt bàn qua hình thức trực tuyến mỗi ngày trong quý III năm 2025 của một nhà hàng. Cột thứ nhất biểu diễn số ngày có từ 1 đến 6 lượt đặt bàn, cột thứ hai biểu diễn số ngày có từ 6 đến 11 lượt đặt bàn; …

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm cho bởi biểu đồ trên là

Trong không gian \(Oxyz\), cho \(A\left( {1;{\mkern 1mu} 2;{\mkern 1mu}  - 1} \right)\); \(B\left( { - 1;{\mkern 1mu} 0;{\mkern 1mu} 1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):{\mkern 1mu} \,x + 2y - z + 1 = 0\). Viết phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\) qua \(A,{\mkern 1mu} B\) và vuông góc với \(\left( P \right)\).

Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có \(C\left( { - 1;2} \right)\), đường cao \(BH:x - y + 2 = 0\), đường phân giác trong \(AN:2x - y + 5 = 0\). Tọa độ điểm \(A\) là

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng \[10\,{\rm{cm}}\]. Biết \(SC = 10\sqrt 5 \,{\rm{cm}}\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \[SA,CD\]. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau \(BD\) và \[MN\] bằng

Xếp ngẫu nhiên 5 học sinh \(A,\,B,\,C,\,D,\,E\) ngồi vào một dãy 5 ghế thẳng hàng (mỗi bạn ngồi một ghế). Xác suất để hai bạn \(A\) và \(B\) không ngồi cạnh nhau bằng

Hình vẽ dưới là hai bánh răng của một động cơ, chúng có cùng kích thước. Khi động cơ hoạt động, hai bánh răng quay đều, cùng chiều. Biết tốc độ quay của bánh răng ở hình 2 gấp ba tốc độ quay của bánh răng ở hình 1 và phương trình biểu thị độ cao của điểm \(A\) ở bánh răng thứ nhất là \(h = 2R + R\sin \left( {\frac{\pi }{5}t} \right)\) (trong đó \(R\) là bán kính bánh răng, \(t\) là thời gian tính bằng phút, \(h\) là độ cao của điểm \(A\)). Giả sử tại thời điểm bắt đầu khởi động, hai điểm \(A\), \(B\) có độ cao bằng nhau và tâm của hai bánh răng \({O_1}\), \({O_2}\) ở độ cao \(2R\) so với mặt đất. Tìm thời điểm đầu tiên sau khi động cơ hoạt động hai điểm \(A\), \(B\) có độ cao bằng nhau.

Doanh thu bán hàng trong \[20\] ngày của hai cửa hàng được lựa chọn ngẫu nhiên được cho dưới dạng biểu đồ hình cột sau:

Độ chênh lệch về độ lệch chuẩn của mẫu số liệu về doanh thu bán hàng của hai cửa hàng trên gần nhất với giá trị nào dưới đây?

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\) và hàm số \(y = f'\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ.

Số điểm cực trị của hàm số \(y = f\left( {{x^2} - 3} \right)\) là

Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 2 - t}\\{z = 1 - 3t}\end{array}} \right.\). Đường thẳng Δ đi qua gốc tọa độ \(O\), vuông góc với trục hoành \(Ox\) và vuông góc với đường thẳng \(d\) có phương trình là:

Trong không gian Oxyz cho trước, đơn vị trên mỗi trục là mét, có hai chiếc chiến đấu cơ từ hai vị trí \[A\left( {40\,;\,\, - 15\,;\,\,15} \right)\,,\,\,B\left( {55\,;\,\, - 10\,;\,\,65} \right)\] cần đáp xuống hai vị trí thuộc tàu sân bay hải quân để nạp nhiên liệu. Bề mặt chứa các đường băng trên tàu là mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình \[3x - y + 2z - 25 = 0\].

Tổng khoảng cách từ hai vị trí chiến đấu cơ đến mặt phẳng chứa đường băng bằng

Tọa độ điểm \[A'\] đối xứng với điểm A qua mặt phẳng \(\left( P \right)\) là

Người chỉ huy ở tàu sân bay phát tín hiệu để hai chiến đấu cơ đáp xuống các vị trí M, N cách nhau \[5\sqrt 6 \,\,{\rm{m}}\]. Tổng đường bay \[AM + BN\] ngắn nhất bằng bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Bạn Nam cần thiết kế hai dụng cụ học tập A và B; Mỗi dụng cụ học tập A cần 9 giờ công để chế tạo và 1 giờ công để hoàn thiện. Mỗi dụng cụ học tập B cần 12 giờ công để chế tạo và 3 giờ công để hoàn thiện. Thời gian làm dụng cụ học tập tối đa ở các khâu chế tạo và hoàn thiện lần lượt là 180 giờ và 30 giờ. Bạn Nam kiếm được lợi nhuận 80 nghìn đồng trên mỗi mẫu A và 120 nghìn đồng trên mỗi mẫu B; bạn Nam cần lên kế hoạch thiết kế số lượng dụng cụ học tập mỗi loại sao cho lợi nhuận thu được là cao nhất trong thời gian cho phép. Hỏi số tiền (đơn vị: nghìn đồng) bạn Nam có được là bao nhiêu?

Ông Vượng mới khai phá được một mảnh đất hình chữ nhật, nhà nước chưa cấp sổ nên ông cũng chưa biết rõ diện tích mảnh đất là bao nhiêu, chỉ nhớ rằng bản thân là học sinh giỏi toán 12 năm liền thời phổ thông mà thôi. Mảnh đất của ông Vượng nằm ở một vị trí thuận lợi để trồng trọt vì có một dòng suối nhỏ chảy qua với hình dáng một parabol, dòng suối nhỏ này chia mảnh đất ra làm hai phần có diện tích \[{S_1}\,,\,\,{S_2}\,\,\,\left( {{S_1} > {S_2}} \right)\]. Riêng mảnh đất có diện tích \[{S_2}\] được xem như hình phẳng giới hạn bởi parabol cùng hai tiếp tuyến vuông góc của parabol đó.

Vào vụ Hè thu, ông Vượng quyết định trồng lúa trên phần đất có diện tích \[{S_1}\] và trồng ớt trên phần đất có diện tích \[{S_2}\]. Dự kiến lợi nhuận mang lại từ việc trồng lúa là \[30\] nghìn/m2 và lợi nhuận từ việc trồng ớt là \[40\] nghìn/m2 (trong một vụ mùa).

Ông quyết định dựng hệ trục Oxy như hình vẽ với gốc O trùng với điểm cực trị của dòng suối dạng parabol, đơn vị trên mỗi trục là 100 mét. Tính tổng lợi nhuận theo dự kiến của ông Vượng sau vụ Hè thu này (làm tròn đến hàng đơn vị của triệu đồng), biết rằng diện tích con suối không đáng kể.

Một hộp có chứa \(5\) viên bi đỏ, \(3\) viên bi xanh và \(n\) viên bi vàng (các viên bi kích thước như nhau, \(n\) là số nguyên dương). Lấy ngẫu nhiên \(3\) viên bi từ hộp. Biết xác suất để trong ba viên bi lấy được có đủ \(3\) màu là \(\frac{{45}}{{182}}\), khi đó xác suất để trong \(3\) viên bi lấy được có nhiều nhất hai viên bi đỏ là \(\frac{P}{{182}}\). Tính \(P\).

Trong một đội tuyển có ba vận động viên \(A,\;B\) và \(C\) thi đấu với xác suất chiến thắng lần lượt là \(0,6;\;0,7\) và \(0,8\). Giả sử mỗi người thi đấu một trận độc lập với nhau. Tính xác suất để \(A\) thua trong trường hợp đội tuyển thắng hai trận (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).