Đề thi ĐGNL Bộ Công an môn Toán có đáp án - Đề 2

 Nguyên hàm của \[y = \sin x \cdot \sin 7x\] với \[F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\] là

Hỏi hàm số nào sau đây luôn nghịch biến trên \[\mathbb{R}\]?

Cho các số dương \(a,b,c\) khác \(1\) thỏa mãn \[{\log _a}\left( {bc} \right) = 2,\] \[lo{g_b}\left( {ca} \right) = 4\]. Tính giá trị của biểu thức \({\log _c}\left( {ab} \right)\) ta được kết quả là

Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz,\] góc giữa hai đường thẳng \({d_1}:\frac{x}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{2}\) và \({d_2}:\frac{{x + 1}}{{ - 1}} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 3}}{1}\) bằng

Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{2}{3}{x^3} - m{x^2} - 2\left( {3{m^2} - 1} \right)x + \frac{2}{3}\) có hai điểm cực trị có hoành độ \(x{}_1\), \({x_2}\) sao cho \({x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 1\).

Cho hàm số \(y = \frac{{m{x^2} + \left( {{m^2} + m + 2} \right)x + {m^2} + 3}}{{x + 1}}\) (1), \(m\) là tham số thực. Giá trị của \(m\) để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường tiệm cận xiên là nhỏ nhất là

Độ sâu \(h\left( {\rm{m}} \right)\) của mực nước ở một cảng biển vào thời điểm \(t\) sau khi thủy triều lên lần đầu tiên trong ngày được tính xấp xỉ bởi công thức \(h\left( t \right) = 0,8\cos 0,5t + 5\). Một con tàu cần mực nước sâu \(4,6\,{\rm{m}}\) để có thể di chuyển ra vào cảng an toàn. Hỏi có bao nhiêu thời điểm trong vòng 12 tiếng sau khi thủy triều lên lần đầu tiên trong ngày tàu có thể hạ thủy?

Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình vuông cạnh \[a\], các cạnh bên đều bằng \[a\]. Gọi \[M\] là7Xu| trung điểm của \[CD\]. Côsin của góc giữa hai đường thẳng \[SM\] và \[AC\] bằng

Chiều cao của hai loài hoa được một người thống kê theo biểu đồ sau:

Gọi tứ phân vị thứ nhất của chiều cao của loài hoa \(A\) và loài hoa \(B\) lần lượt là \({Q_{1A}}\) và \({Q_{1B}}\). Khi đó \({Q_{1A}} + {Q_{1B}}\) có kết quả nào trong các kết quả sau?

Có ba lớp \[10A,10B,10C\] gồm \(128\) em học sinh cùng tham gia lao động trồng cây. Mỗi em học sinh lớp \[10A\] trồng được \(3\) cây bạch đàn và \(4\) cây bàng. Mỗi em học sinh lớp \[10B\] trồng được \(2\) cây bạch đàn và \(5\) cây bàng. Mỗi em học sinh lớp \[10C\] trồng được \(6\) cây bạch đàn. Cả \(3\) lớp trồng được \(476\) cây bạch đàn và \(375\) cây bàng. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh?

Tam giác mà ba đỉnh của nó là ba trung điểm ba cạnh của tam giác \(ABC\) được gọi là tam giác trung bình của tam giác \(ABC\).

Ta xây dựng dãy các tam giác \({A_1}{B_1}{C_1},{\rm{ }}{A_2}{B_2}{C_2},{\rm{ }}{A_3}{B_3}{C_3},...\) sao cho \({A_1}{B_1}{C_1}\) là một tam giác đều cạnh bằng \(3\) và với mỗi số nguyên dương \(n \ge 2\), tam giác \({A_n}{B_n}{C_n}\) là tam giác trung bình của tam giác \({A_{n - 1}}{B_{n - 1}}{C_{n - 1}}\). Với mỗi số nguyên dương \(n\), kí hiệu \({S_n}\) tương ứng là diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác \({A_n}{B_n}{C_n}\). Tính tổng \(S = {S_1} + {S_2} + ... + {S_n} + ...\).

Cho phương trình \(2m \cdot {2^{{x^2} - 5x + 5}} + {2^{1 - {x^2}}} - 2 \cdot {2^{6 - 5x}} = m\). Tìm m để phương trình đã cho có \(4\) nghiệm phân biệt.

Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường cong \(y = \sqrt {{e^x} - x} ,\)\(y = 0\,,\,\,x = 1\,,\,\,x = 2\) xung quanh trục Ox là

Một chất điểm \(A\) xuất phát từ \(O\), chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật \(v\left( t \right) = \frac{1}{{120}}{t^2} + \frac{{58}}{{45}}t\,\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)\), trong đó \(t\) là khoảng thời gian tính từ lúc \(A\) bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm \(B\) cũng xuất phát từ \(O\), chuyển động thẳng cùng hướng với \(A\) nhưng chậm hơn \(3\) giây so với \(A\) và có gia tốc bằng \(a\,\,\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}} \right)\) (\(a\) là hằng số). Sau khi \(B\) xuất phát được \(15\) giây thì đuổi kịp \(A\). Vận tốc của \(B\) tại thời điểm đuổi kịp \(A\) bằng

Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 9 + 3a + at\\y = 4 + 3b + bt\\z = 4 + 6a - 6b + 2\left( {a - b} \right)t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\). Gọi \(\left( S \right)\) là mặt cầu tâm \(O\), có bán kính nhỏ nhất và tiếp xúc với \(\Delta \). Khi đó \(\left( S \right)\) đi qua điểm nào sau đây?

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:\,\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z + 1}}{3}\) và \({\Delta _2}:\,\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z + 1}}{{ - 3}}\) cắt nhau và cùng nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\). Phương trình đường phân giác \(d\) của góc nhọn tạo bởi \({\Delta _1}\), \({\Delta _2}\) và nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) là

Có 6 chiếc ghế được kê thành một hàng ngang và được đánh số thứ tự từ 1 đến 6. Xếp ngẫu nhiên 6 học sinh, gồm 3 học sinh lớp \(A\), 2 học sinh lớp \(B\) và 1 học sinh lớp \(C\), ngồi vào hàng ghế đó, sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh. Xác suất để các học sinh lớp \(A\) ngồi vào những ghế có số thứ tự cách đều nhau và học sinh lớp \(C\) chỉ ngồi cạnh học sinh lớp \(B\) là

Cho khối lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác \(ABC\) có \(\widehat {BAC} = 60^\circ ,\,\,AB = 3a\) và \(AC = 4a.\) Gọi \(M\) là trung điểm của \(B'C',\) biết khoảng cách từ điểm \(M\) đến mặt phẳng \(\left( {B'AC} \right)\) bằng \(\frac{{3a\sqrt {15} }}{{10}}.\) Thể tích \(V\) của khối lăng trụ đã cho là

Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), có tất cả bao nhiêu giá nguyên của \(m\) để\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2\left( {m + 2} \right)x - 2\left( {m - 1} \right)z + 3{m^2} - 5 = 0\) là phương trình một mặt cầu?

 Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \[A\left( {0;1;1} \right)\], \(B\left( {1;0;0} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z - 3 = 0\). Gọi \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng song song với \(\left( P \right)\) đồng thời đường thẳng \(AB\) cắt \(\left( Q \right)\) tại \(C\) sao cho \(CA = 2CB\). Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có phương trình là

Bảng dưới đây thống kê số tập bài chấm điểm thi vào 10 môn Toán tại TP Hà Nội năm 2024 tại một tổ chấm.

Khi đó độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên là

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\), bảng biến thiên của hàm số \(f'\left( x \right)\) như sau:

Số điểm cực trị của hàm số \(y = f\left( {{x^2} - 2x} \right)\) là

Cho tam giác \(ABC\) có trung điểm của \(BC\) là \(M\left( {3;2} \right)\), trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác lần lượt là \(G\left( {\frac{2}{3};\frac{2}{3}} \right),I\left( {1; - 2} \right)\). Tìm tọa độ đỉnh \(C\), biết \(C\) có hoành độ lớn hơn \(2\).

Cho hàm số \(y =  - \frac{1}{2}{x^3} + \frac{3}{4}{x^2} + 3x\) có đồ thị \(\left( C \right)\) và đường thẳng \(d\) đi qua gốc tọa độ tạo thành hai miền phẳng có diện tích \({S_1}\) và \({S_2}\) như hình vẽ.

Biết \({S_1} = \frac{{27}}{4}\) và \({S_2} = \frac{m}{n}\) (hai số m, n là nguyên tố cùng nhau), tính giá trị \(2m - n\) ta được kết quả là

Cho hàm số \(f\left( x \right)\). Đồ thị hàm số \(f'\left( x \right)\) trên \(\left[ { - 2;5} \right]\) như hình vẽ (phần cong là phần của parabol \(y = a{x^2} + bx + c\)).

Biết \(f\left( { - 2} \right) = 0\), giá trị của \(f\left( 1 \right) + f\left( 3 \right)\) bằng

Gọi \[h\left( t \right)\] (tính bằng cm) là mức nước ở bồn chứa sau khi bơm nước được \(t\) giây. Biết rằng \[h'\left( t \right) = \frac{1}{5}\sqrt[3]{{t + 8}}\] và lúc đầu bồn không chứa nước. Tìm mức nước ở bồn sau khi bơm được \(6\) giây (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Một chiến sĩ đặc công đang nấp ở bờ sông, cần phải bơi qua bờ bên kia để tấn công mục tiêu. Có thể xem con sông này là thẳng và có độ rộng 100 m; vận tốc bơi của chiến sĩ bằng một phần ba vận tốc chạy bộ. Biết rằng mục tiêu tấn công cách chiến sĩ 1 km theo đường chim bay; hỏi chiến sĩ phải bơi bao nhiêu mét để đến được mục tiêu nhanh nhất?

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a\), cạnh bên \(SA = a\) và \(SA \bot \left( {ABC} \right)\). Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SI\) và \(AB\) bằng

Nhà bác An được mô tả như hình vẽ dưới, trong đó phần thân nhà là hình hộp chữ nhật \(ABCD.EFGH\). Ngôi nhà được lợp ngói hai mái là hai hình chữ nhật \(PEHQ\) và \(PFGQ\), biết tam giác \(EFP\) là tam giác cân tại \(P\). Gọi \(T\) là trung điểm của cạnh \(DC\). Các kích thước của nhà lần lượt là \(AB = 6\,{\rm{m}}\), \(AE = 5\,{\rm{m}}\), \(AD = 8\,{\rm{m}}\), \(QT = 7{\rm{m}}\). Xét hệ trục tọa độ \(Oxyz\) sao cho gốc tọa độ là điểm \(O\) thuộc đoạn \(AD\) sao cho \(OA = 2{\rm{m}}\) và các trục tọa độ tương ứng là các trục \(Ox,Oy,Oz\) như hình.

Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {AC} \) là

Mái nhà bác An được lợp bằng ngói đất nung Đất Việt, giá tiền mỗi viên ngói là \(11000\) đồng và để lợp được \(1\) m² diện tích mái cần \(22\) viên ngói. Số tiền cần bỏ ra để mua ngói lợp mái nhà (không kể hao phí do việc cắt và ghép các viên ngói, làm tròn kết quả đến hàng nghìn) là

Bác An muốn lắp một chiếc đèn lồng tại vị trí trung điểm của \(FG\) và đầu nguồn điện đặt tại vị trí \(O\). Bác ấy thiết kế đường dây điện nối từ \(O\) đến \(K\) sau đó nối đến chiếc đèn lồng. Độ dài đoạn dây điện nối tối thiểu bằng bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Một nhóm học sinh lớp 12 đã lên bản thiết kế mẫu hoa văn cho một loại gạch men lát nền nhà. Các em đã vẽ 4 đường cong như hình, từ đó tạo thành một hình \(\left( H \right)\) khép kín ở giữa viên gạch để tạo điểm nhấn. Cụ thể cách dựng hình được thực hiện như sau:

Ÿ Dựng hệ trục Oxy với điểm O là tâm của viên gạch, tia Ox hướng sang phải và tia Oy hướng lên trên, đơn vị trên mỗi trục là 5 cm.

Ÿ Các em lấy O là tâm viên gạch và A là trung điểm một cạnh viên gạch, xác định được điểm B thỏa mãn \(\overrightarrow {OB}  = \frac{5}{6}\overrightarrow {OA} \).

Ÿ Dựng đường thẳng \(\Delta :5x - 9 = 0\). Đường cong \(\left( {{L_1}} \right)\) là tập hợp các điểm M thỏa mãn \(3MB = 5d\left( {M\,,\,\,\Delta } \right)\).

Ÿ Lấy đối xứng đường cong \(\left( {{L_1}} \right)\) qua tâm O và qua các đường chéo của viên gạch thì được các đường cong còn lại.

Biết viên gạch là hình vuông có kích thước \(60\,\,{\rm{cm}}\); hỏi diện tích hình \(\left( H \right)\) là bao nhiêu centimét vuông (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Có hai vợ chồng đã nghĩ ra một trò chơi đầy trí tuệ như sau: Họ sử dụng hai ly nước giống hệt nhau, mỗi ly chứa tối đa 240 ml nước. Ban đầu, người vợ có một ly nước đầy và người chồng có một cái ly rỗng. Bước thứ nhất người vợ rót 1/2 lượng nước trong ly của mình sang ly của người chồng; bước tiếp theo người chồng lại rót 1/3 lượng nước trong ly của mình sang cho ly người vợ. Quá trình này cứ tiếp tục mà mỗi lần rót thì mẫu số được cộng thêm 1; trò chơi này hấp dẫn đến mức cả hai người thực hiện đến bước thứ 100 thì dừng lại, hỏi lượng nước trong ly người chồng khi đó là bao nhiêu mililít? (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị, giả sử trong quá trình rót nước không có giọt nước nào tràn ra ngoài).

Một xưởng sản xuất thực phẩm gồm 4 kỹ sư chế biến thực phẩm, 3 kĩ thuật viên và 13 công nhân. Để đảm bảo sản xuất thực phẩm, xưởng cần chia thành 3 ca sản xuất theo thời gian liên tiếp nhau sao cho ca I có 6 người và 2 ca còn lại mỗi ca có 7 người. Tính xác suất sao cho mỗi ca có 1 kĩ thuật viên, ít nhất một kĩ sư chế biến thực phẩm (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Bạn Hà đi học mỗi ngày bằng một trong hai phương tiện: xe buýt hoặc xe đạp. Vì vội, Hà chọn ngẫu nhiên một trong hai phương tiện này với xác suất như nhau (tức là \(50{\rm{\% }}\) đi xe buýt, \(50{\rm{\% }}\) đi xe đạp). Nếu Hà đi xe buýt thì xác suất bị muộn học là \(6{\rm{\% }}\); nếu Hà đi xe đạp thì xác suất bị muộn học là \(4{\rm{\% }}\). Hỏi vào một ngày bất kỳ, xác suất Hà bị muộn học là bao nhiêu?