Đề thi cuối kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án - Đề 5
29 câu hỏi
Phần 1. (3,0 điểm) Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Trong mỗi câu hỏi từ câu 1 đến câu 12, hãy viết chữ cái in hoa đứng trước phương án đúng duy nhất vào bài làm.
Trong các biểu thức sau, biểu thức nào không là phân thức đại số?\(\frac{{\sqrt x }}{{x - 3}}.\)
\(\frac{{2x + 1}}{{x - 3}}.\)
\(\frac{{2x - 1}}{{x - 3}}.\)
\(\frac{x}{{x - 3}}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Phân thức đại số là một biểu thức có dạng \(\frac{A}{B}\) trong đó \(A,B\) là hai đa thức và đa thức \(B \ne 0\).
Do đó, \(\frac{{\sqrt x }}{{x - 3}}\) không là phân thức đại số.
\(\frac{{2y}}{{3x}}.\)
\(\frac{{2y}}{{5x}}.\)
\(\frac{{3y}}{{2x}}.\)
\(\frac{2}{{3x}}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\frac{{2xy}}{{3{x^2}y}} = \frac{{2xy:xy}}{{3{x^2}y:xy}} = \frac{2}{{3x}}.\)
\(\frac{x}{5}.\)
\(5x.\)
\(5 + x.\)
\(5 - x.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Biểu thức biểu thị vận tốc một xe đạp đi từ \(A\) đến \(B\) trong \(5\) giờ là \(\frac{x}{5}.\)
\(2x + 1 = 5x.\)
\(2x - 4 = 3x - 9.\)
\(x - 3 = 2x - 5.\)
\(2x - 8 = 3.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
• Thay \(x = 2\) vào \(2x + 1 = 5x\) được \(2.4 + 1 = 5.2\) hay \(9 = 10\) (vô lí)
Do đó, \(x = 2\) không là nghiệm của phương trình \(2x + 1 = 5x.\)
• Thay \(x = 2\) vào phương trình \(2x - 4 = 3x - 9\) ta được \(2.2 - 4 = 3.2 - 9\) hay \(0 = - 3\) (vô lí)
Do đó, \(x = 2\) không là nghiệm của phương trình \(2x - 4 = 3x - 9\).
• Thay \(x = 2\) vào phương trình \(x - 3 = 2x - 5\) ta được \(2 - 3 = 2.2 - 5\) hay \( - 1 = - 1\) (đúng)
Do đó, \(x = 2\) là nghiệm của phương trình \(x - 3 = 2x - 5\).
• Thay \(x = 2\) vào phương trình \(2x - 8 = 3\) ta được \(2.2 - 8 = 3\) hay \( - 4 = 3\) (vô lí)
Do đó, \(x = 2\) không là nghiệm của phương trình \(2x - 8 = 3\).
\(y = 0x + 3.\)
\(y = - 2x - 5.\)
\(y = - {x^2} + 1.\)
\(y = \frac{1}{x} + 3.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Hàm số bậc nhất có dạng \(y = ax + b{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)\).
Do đó, \(y = - 2x - 5\) là hàm số bậc nhất.
\(3.\)
\(2.\)
\( - 2.\)
\( - 3.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Hệ số góc của đường thẳng \(y = - 3 - 2x\) là \( - 2.\)
\(1.\)
\(2.\)
\(3.\)
\(5.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Kết quả thuận lợi của biến cố “Gieo được mặt có số chấm là số lẻ” là: \(1;3;5\).
Do đó, có ba kiết quả thuận lợi.
\(\frac{1}{2}.\)
\(\frac{1}{6}.\)
\(\frac{1}{3}.\)
\(\frac{2}{3}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Kết quả thuận lợi của biến cố \(B\): “Gieo được mặt có số chấm là số chẵn” là: \(2;4;6\).
Do đó, có ba kết quả thuận lợi.
Vậy xác suất của biến cố \(B\) là \(\frac{1}{2}.\)
Cho \(\Delta RSK\) và \(\Delta PQM\) có \(\frac{{RS}}{{PQ}} = \frac{{RK}}{{PM}} = \frac{{SK}}{{QM}}\), khi đó, ta có:
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\frac{{RS}}{{PQ}} = \frac{{RK}}{{PM}} = \frac{{SK}}{{QM}}\) nên (c.c.c)Nếu theo tỉ số thì theo tỉ số là
\(\frac{1}{4}.\)
\(\frac{1}{2}.\)
\(2.\)
\(4.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có theo tỉ số \(k = 2\) nên \(\frac{{AB}}{{A'B'}} = 2\).
Cho các miếng bìa sau.
Hình 1.
Hình 2.
Hình 3.
Hình 4.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Hình 1 sau khi gấp và dán lại ta sẽ được một hình chóp tứ giác đều.
Đoạn thẳng nối đỉnh của hình chóp và trọng tâm của tam giác đáy.
Đoạn thẳng nối đỉnh của hình chóp và trung điểm của một cạnh đáy.
Đoạn thẳng nối đỉnh của hình chóp và một điểm tùy ý nằm trong mặt đáy.
Đoạn thẳng nối đỉnh của hình chóp và một điểm bất kì trên cạnh bên của hình chóp.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Đường cao của hình chóp tam giác đều là đoạn thẳng nối đỉnh của hình chóp và trọng tâm của tam giác đáy.
Phần 2. (2,0 điểm) Câu trắc nghiệm đúng sai
Trong câu 13, 14, hãy chọn đúng hoặc sai cho mỗi ý a), b), c), d).
Câu 13-16. Cho đường thẳng \(\left( d \right):y = \left( {3 - m} \right)x - m + 5\) với \(m\) là tham số.
a) Với \(m \ne 1\) thì đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt \(\left( {d'} \right):y = 2mx + 8.\)
Đ
a) Để hai đường thẳng \(\left( d \right)\) và \(\left( {d'} \right)\) cắt nhau thì \(3 - m \ne 2m\) hay \(m \ne 1\).
b) Đường thẳng \(\left( d \right)\) đi qua điểm \(A\left( {0;5} \right)\) khi \(m = 3.\)
S
b) Khi \(m = 3\) thì \(\left( d \right):y = \left( {3 - 3} \right)x - 3 + 5\) hay \(\left( d \right):y = 2\).
Lúc này đường thẳng \(\left( d \right):y = 2\) không đi qua điểm điểm \(A\left( {0;5} \right)\).
c) Với \(m = 5\) thì đường thẳng \(\left( d \right)\) song song với đường thẳng \(y = 2x - 1.\)
S
c) Với \(m = 5\) thì ta có \(\left( d \right):y = \left( {3 - 5} \right)x - 5 + 5\) hay \(\left( d \right):y = - 2x\).
Vì \(2 \ne - 2\) nên đường thẳng \(\left( d \right)\) không song song với đường thẳng \(y = 2x - 1.\)
d) Để \(\left( d \right)\) cắt đường thẳng \(y = - x + 9\) tại điểm có tung độ là \(5\) thì \(m = \frac{{12}}{5}.\)
Đ
d) Thay \(y = 5\) vào \(y = - x + 9\), ta được \(5 = - x + 9\), suy ra \(x = 4.\)
Để \(\left( d \right)\) cắt \(y = - x + 9\) tại điểm có tung độ là \(y = 5\) thì \(\left( d \right)\) đi qua điểm có tọa độ \(\left( {4;5} \right)\).
Thay \(x = 4,y = 5\) vào \(\left( d \right):y = \left( {3 - m} \right)x - m + 5\) ta được:
\(5 = \left( {3 - m} \right).4 - m + 5\) hay \(5m = 12\) suy ra \(m = \frac{{12}}{5}.\)
Câu 17 -20. Một hộp đựng 30 chiếc bút bi được đánh số từ \(1\) đến \(30\), đồng thời các bút từ \(1\) đến 10 là bút mực đỏ và những chiếc bút còn lại là mực xanh; các chiếc bút có kích cỡ và khối lượng như nhau. Lấy ngẫu nhiên một chiếc bút trong hộp.
a) Có \(21\) kết quả thuận lợi cho biến cố “Chiếc bút lấy ra là bút mực xanh”.
S
a) Số kết quả thuận lợi cho biến cố “Chiếc bút lấy ra là bút mực xanh” là: \(30 - 10 = 20\).
b) Có \(3\) kết quả thuận lợi cho biến cố “Chiếc bút lấy ra là bút được ghi số tròn chục”.
Đ
b) Số kết quả thuận lợi cho biến cố “Chiếc bút lấy ra là bút được ghi số tròn chục” là: bút ghi số \(10;\) số 20 và số 30.
Vậy có 3 kết quả thuận lợi cho biến cố trên.
c) Xác suất của biến cố “Chiếc bút được lấy ra là bút mực đỏ” là \(0,3.\)
S
c) Xác suất của biến cố “Chiếc bút được lấy ra là bủ mực đỏ” là: \(\frac{{10}}{{30}} = \frac{1}{3}.\)
d) Xác suất của biến cố “Chiếc bút được lấy ra là bút mực xanh và ghi số chia hết cho 3” là \(\frac{2}{{15}}.\)
Đ
d) Kết quả thuận lợi cho biến cố “Chiếc bút được lấy ra là bủ mực xanh và ghi số chia hết cho \(3\)” là: bút ghi số \(21;24;27;30.\) Do đó, có \(4\) kết quả thuận lợi cho biến cố trên.
Vậy xác suất của biến cố trên là: \(\frac{4}{{30}} = \frac{2}{{15}}\).
Phần 3. (2,0 điểm) Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn
Trong các câu từ 15 đến 18, hãy viết câu trả lời/ đáp án vào bài làm mà không cần trình bày lời giải chi tiết.
Cho đường thẳng \(\left( d \right):y = \left( {m - 1} \right)x - 3\) và \(\left( {d'} \right):y = 2x - \left( {m - 1} \right)\). Có bao nhiêu giá trị của \(m\) để hai đường thẳng \(\left( d \right)\) và \(\left( {d'} \right)\) trùng nhau?
Hướng dẫn giải
Đáp án: \(0\)
Hai đường thẳng \(\left( d \right)\) và \(\left( {d'} \right)\) trùng nhau khi \(\left\{ \begin{array}{l}m - 1 = 2\\ - \left( {m - 1} \right) = - 3\end{array} \right.\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}m = 3\\ - m + 1 = - 3\end{array} \right.\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}m = 3\\m = 4\end{array} \right.\) (vô lí).
Do đó, không có giá trị nào của \(m\) thỏa mãn để hai đường thẳng trùng nhau.
Một hộp có \(50\) chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số sau \(1;2;3;4,....;49;50,\) hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên một thẻ trong hộp. Tính xác suất của biến cố “Số trên thẻ được rút ra là vừa là bình phương của một số và vừa chia hết cho \(3\)”.
(Kết quả ghi dưới dạng số thập phân)
Hướng dẫn giải
Đáp án: \(0,04\)
Các kết quả có thể xảy ra khi rủ ngẫu nhiên một thẻ trong hộp là \(50\).
Kết quả thuận lợi cho biến cố “Thẻ được rút ra là bình phương của một số” là: \(1;4;9;16;25;36;49.\)
Nhận thấy, các số vừa là bình phương của một số và vừa chi hết cho ba có kết quả thuận lợi là: \(9;36.\)
Suy ra, có 2 kết quả thuận lợi cho biến cố trên.
Vậy xác suất của biến cố “Số trên thẻ được rút ra là vừa là bình phương của một số và vừa chia hết cho \(3\)” là: \(\frac{2}{{50}} = \frac{1}{{25}} = 0,04\).
Trong tam giác vuông dưới đây, có \(BC = 3{\rm{ cm; }}CD = 2{\rm{ cm; }}AC = n;AD = m.\)
Tính giá trị của \({m^2} - {n^2}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án: \(16\)
Áp dụng định lí Pythagore vào \(\Delta ABC\), ta có:
\(A{B^2} + B{C^2} = A{C^2}\) nên \(A{B^2} = A{C^2} - B{C^2}\) hay \(A{B^2} = {n^2} - 9\) (1)
Áp dụng định lí Pythagore vào \(\Delta ADB\), ta có:
\(A{B^2} + B{D^2} = A{D^2}\) nên \(A{B^2} = A{D^2} - B{D^2}\) hay \(A{B^2} = {m^2} - {\left( {2 + 3} \right)^2} = {m^2} - 25\) (2)
Từ (1) và (2) ta có \({n^2} - {9^2} = {m^2} - 25\) suy ra \({m^2} - {n^2} = 25 - 9 = 16\).
Vậy \({m^2} - {n^2} = 16.\)
Đỉnh Fansipan (Lào Cai) cao \(3143{\rm{ m,}}\) là đỉnh núi cao nhất Đông Dương. Trên đỉnh núi, người ta đặt một chóp làm bằng inox có dạng hình chóp tam giác đều dài \(60{\rm{ cm,}}\)chiều cao \(90{\rm{ cm}}\) (như hình).
Hỏi tổng diện tích các mặt bên của hình chóp bằng bao nhiêu? (đơn vị: cm2)
(Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
Hướng dẫn giải
Đáp án: \(8538\)
Mặt đáy của hình chóp \(S.ABC\) là một tam giác đều \(ABC\) có cạnh \(60{\rm{ cm}}{\rm{.}}\) Gọi đường cao của mặt đáy là \(CH\), ta có \(CH\) đồng thời là đường trung tuyến.
\(HA = HB = \frac{{AB}}{2} = 30{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)
Xét tam giác \(BHC\) vuông tại \(H\). Theo định lý Pythagore ta có: \(C{B^2} = H{B^2} + H{C^2}\) hay \({60^2} = {30^2} + H{C^2}\) suy ra \(C{H^2} = {60^2} - {30^2} = 2{\rm{ }}700\) nên \(CH = \sqrt {2700} = 30\sqrt 3 {\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)\).
Gọi \(G\) là trọng tâm của mặt đáy nên \(GH = \frac{1}{3}HC = \frac{{30\sqrt 3 }}{3} = 10\sqrt 3 {\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)\).
Hình chóp \(S.ABC\) có đường cao \(SG\) nên \(SG \bot HC.\)
Xét tam giác \(SHG\) vuông tại \(G\). Theo định lý Pythagore, ta có:
\(S{H^2} = S{G^2} + H{G^2}\)
\(S{H^2} = {90^2} + {30^2} = 9000\)
Suy ra \(SH = \sqrt {9000} = 30\sqrt {10} {\rm{ cm}}{\rm{.}}\)
Nửa chu vi đáy là: \(P = \frac{1}{2}\left( {60 + 60 + 60} \right) = 90{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)\)
Vậy diện tích xung quanh của hình chóp là \(S = P.d = 90.30\sqrt {10} \approx 8538{\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).
B. TỰ LUẬN (3,0 điểm)
(1,0 điểm) Một hợp tác xã thu hoạch thóc, dự định thu hoạch \(20\) tấn thóc mỗi ngày, nhưng khi thu hoạch đã vượt mức \(6\) tấn mỗi ngày nên không những đã hoàn thành kế hoạch sớm một ngày mà còn thu hoạch vượt mức \(10\) tấn. Tính số tấn thóc đã dự định thu hoạch.
Hướng dẫn giải
Gọi số tấn thóc thu hoạch theo dự định là \(x\) (tấn) \(\left( {x > 0} \right)\).
Số ngày để thu hoạch hết số thóc theo dự định là \(\frac{x}{{20}}\) (ngày)
Số tấn thóc thực tế thu hoạch được là: \(x + 10\) (tấn)
Số tấn thóc thực tế mỗi ngày thu hoạch được là \(20 + 6 = 26\) (tấn)
Số ngày thu hoạch hết số thóc theo thực tế là \(\frac{{x + 10}}{{26}}\) (ngày)
Vì hoàn thành kế hoạch trước 1 ngày nên ta có phương trình:
\(\frac{x}{{20}} - 1 = \frac{{x + 10}}{{26}}\)
\(\frac{{13x - 260}}{{260}} = \frac{{10\left( {x + 10} \right)}}{{260}}\)
\(13x - 260 = 10x + 100\)
\(3x = 360\)
\(x = 120\) (thỏa mãn)
Vậy số thóc theo dự định là \(120\) tấn.
Câu 26-28. (1,5 điểm) Cho tam giác \(ABC\) nhọn \(\left( {AB < AC} \right)\), đường cao \(AD{\rm{ }}\left( {D \in BC} \right)\). Gọi \(E,F\) lần lượt là hình chiếu của \(D\) trên \(AB\) và \(AC\).
a) Chứng minh \(AE.AB = A{D^2} = AF.AC\) và \(\widehat {AFE} = \widehat {ABC}\).
a) Xét \(\Delta AED\) và \(\Delta ADB\) có:
\(\widehat A\) chung
\(\widehat {AED} = \widehat {ADB} = 90^\circ \)
Suy ra (g.g)Suy ra \(\frac{{AE}}{{AD}} = \frac{{AD}}{{AB}}\), suy ra \(AE.AB = A{D^2}\) (1)
Xét \(\Delta AFD\) và \(\Delta ADC\) có:
\(\widehat A\) chung
\(\widehat {AFD} = \widehat {ADC} = 90^\circ \) (gt)
Suy ra (g.g)Suy ra \(\frac{{AF}}{{AD}} = \frac{{AD}}{{AC}}\) suy ra \(AF.AC = A{D^2}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(AE.AB = A{D^2} = AF.AC.\)
Do đó, \(\frac{{AE}}{{AF}} = \frac{{AC}}{{AB}}\).
Xét \(\Delta AEF\) và \(\Delta ACB\)có:
\(\widehat A\) chung
\(\frac{{AE}}{{AF}} = \frac{{AC}}{{AB}}\) (cmt)
Suy ra (c.g.c)Suy ra \(\widehat {AEF} = \widehat {ACB}\).
b) Gọi \(I\) là giao điểm của \(FE\) và tia \(CB\). Chứng minh \(I{D^2} = IE.IF\).
Mà \(\widehat {AEF} = \widehat {IEB}\) (2 góc đối đỉnh)
Suy ra \(\widehat {ACB} = \widehat {IEB}\) (3)
Ta có: \(\widehat {IDF} = \widehat {DFC} + \widehat {ACB}\) (góc ngoài tam giác \(DFC\))
Suy ra \(\widehat {IDF} = 90^\circ + \widehat {ACB}\) (4)
Và \(\widehat {IED} = \widehat {IEB} + \widehat {BED} = \widehat {IEB} + 90^\circ \) (5)
Từ (3), (4), (5) suy ra \(\widehat {IDF} = \widehat {IED}\).
Xét \(\Delta IED\) và \(\Delta IDF\) có:
\(\widehat I\) chung
\(\widehat {IED} = \widehat {IDF}\) (cmt)
Suy ra (g.g)Suy ra \(\frac{{IE}}{{ID}} = \frac{{ID}}{{IF}}\) nên \(I{D^2} = IE.IF\) (đpcm)
c) Gọi \(H\) là trực tâm của \(\Delta ABC,\) tia \(HB\) cắt \(EF\) tại \(K.\) Chứng minh \(DK \bot BH.\)
d) Vì \(H\) là trực tâm của \(\Delta ABC\) nên \(BH \bot AC\).
Mà \(DF \bot AC\) nên \(BH\parallel DF\), suy ra \(\widehat {EFD} = \widehat {EKB}\) (hai góc đồng vị) (6)
Theo câu b) ta có nên \(\widehat {IDE} = \widehat {IFD}\) suy ra \(\widehat {BDE} = \widehat {EFD}\) (7)
Từ (6) và (7) suy ra \(\widehat {EKB} = \widehat {BDE}\).
Gọi \(L\) là giao điểm của \(BK\) và \(ED\).
Xét \(\Delta EKL\) và \(\Delta BDL\) có:
\(\widehat {EKL} = \widehat {LDB}\) (cmt)
\(\widehat {ELK} = \widehat {DLB}\) (đối đỉnh)
Suy ra (g.g)Suy ra \(\frac{{EL}}{{LB}} = \frac{{KL}}{{LD}}\).
Xét \(\Delta EBL\) và \(\Delta KDL\) có: \(\frac{{EL}}{{LB}} = \frac{{KL}}{{LD}}\) (cmt) và \(\widehat {ELB} = \widehat {DLK}\) (2 góc đối đỉnh)
Suy ra (g.g)Suy ra \(\widehat {DKL} = \widehat {BEL} = 90^\circ \) hay \(DK \bot BH\) tại \(K\).
(0,5 điểm) Cho \(a,b\) là các số thực không âm thỏa mãn \({a^2} + {b^2} = 1\). Đặt \(P = \frac{{2ab}}{{a + b + 1}}\). Chứng minh rằng: \({\left( {P + 1} \right)^2} \le 2\).
Hướng dẫn giải
Ta có: \({\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + 2ab = 1 + 2ab\), do đó \(2ab = {\left( {a + b} \right)^2} - 1\) (do \({a^2} + {b^2} = 1\))
Đặt \(x = a + b\), suy ra \(2ab = {x^2} - 1\).
Mặt khác \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(a,b\)
Suy ra \({a^2} + {b^2} \ge 2ab\) hay \(1 \ge {x^2} - 1\) suy ra \({x^2} \le 2\).
Ta có \(P = \frac{{2ab}}{{a + b + 1}} = \frac{{{x^2} - 1}}{{x + 1}} = x - 1\).
Do đó, \({\left( {P + 1} \right)^2} = {\left( {x - 1 + 1} \right)^2} = {x^2} \le 2\).
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = \sqrt {\frac{1}{2}} .\)
Bạn có thích hoạt động này không?
