Đề ôn thi ĐGNL ĐHSP Hà Nội môn Toán có đáp án - Đề số 5
25 câu hỏi
Phần I (4 điểm). Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 16. Đối với mỗi câu, thí sinh chỉ chọn một phương án. Đối với mỗi câu trả lời đúng, thí sinh được 0,25 điểm.
Số nghiệm của phương trình \({\log _2}\left( {x - 1} \right) + {\log _2}\left( {x - 3} \right) = 3\) là
1.
2.
0.
3.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = {x^2} - 2x,\,y = - 2{x^2} + 2x\] và hai đường thẳng \[x = 0,\,x = 1\] là
\(1\).
\(\frac{2}{3}\).
\(\frac{1}{2}\).
\(\frac{4}{3}\).
Tất cả các nghiệm của phương trình \({\rm{sin}}3x = \frac{1}{2}\) là
\(x = \frac{\pi }{{18}} + \frac{{k2\pi }}{3};\,x = \frac{{5\pi }}{{18}} + \frac{{k2\pi }}{3}\)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3};x = \frac{\pi }{{12}} + \frac{{k2\pi }}{3}\)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = \frac{\pi }{{18}} + k2\pi ;\,x = - \frac{\pi }{{18}} + k2\pi \)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\[x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3};x = \frac{{5\pi }}{6} + \frac{{k2\pi }}{3}\]\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Cho hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{x + c}}\) có đồ thị như hình sau đây.
Tính giá trị của biểu thức \(P = 2{\rm{a}} - b + 3c\) ta được kết quả là
6.
\( - 6\).
\( - 10\).
\( - 2\).
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho tam giác \[ABC\]có phương trình đường phân giác trong góc \[A\]là: \[\frac{x}{1} = \frac{{y - 6}}{{ - 4}} = \frac{{z - 6}}{{ - 3}}\]. Biết rằng điểm \[M\left( {0;\,5;\,3} \right)\]thuộc đường thẳng \[AB\]và điểm \[N\left( {1;1;0} \right)\]thuộc đường thẳng \[AC\]. Vectơ nào sau đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \[AC\]?
\(\vec u = \left( {1;\,2;\,3} \right)\).
\(\vec u = \left( {0;\,1;\,3} \right)\).
\(\vec u = \left( {0;\, - 2;\,6} \right)\).
\(\vec u = \left( {0;\,1;\, - 3} \right)\).
Cho kết quả khảo sát về độ tuổi kết hôn của phụ nữ khu vực A như sau:
Tuổi kết hôn | \(\left[ {19;22} \right)\) | \(\left[ {22;25} \right)\) | \(\left[ {25;28} \right)\) | \(\left[ {28;31} \right)\) | \(\left[ {31;34} \right)\) |
Số phụ nữ | 10 | 27 | 31 | 25 | 7 |
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)
\[5,0\].
\[5,2\].
\[5,3\].
\[5,4\].
Cho hình lập phương có tổng diện tích các mặt bằng \(12{a^2}\). Tính theo \(a\) thể tích khối lập phương đó ta được kết quả là
\(\sqrt 8 {a^3}\).
\(\sqrt 2 {a^3}\).
\(\frac{{{a^3}}}{3}\).
\({a^3}\).
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \({u_2} = 3\) và \({u_4} = 7\). Giá trị của \({u_{15}}\) bằng
\(27\).
\(31\).
\(35\).
\(29\).
Thời gian (phút) để học sinh hoàn thành một câu hỏi thi được cho như sau:
Mốt (đơn vị: phút) của mẫu số liệu trên gần nhất số nào sau đây?
\(12,67\).
\(17,42\).
\(14,56\).
\(17,17\).
Cho \(X\) và \(Y\) là hai biến cố độc lập. Biết xác suất của biến cố \(X\) là \(0,3\) và xác suất của biến cố \(Y\)là \(0,5\). Khi đó xác suất của biến cố \(X \cup Y\) bằng
\(0,4\).
\(0,65\).
\(0,8\).
\(0,85\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( { - 1;1; - 3} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + 2z + 3 = 0\). Khoảng cách từ điểm \(M\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng
\(4\).
\( - 2\).
\(3\).
\(2\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ { - 2;2} \right]\). Biết \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) và \(F\left( 2 \right) - F\left( { - 2} \right) = 5\). Giá trị của tích phân \(\int\limits_{ - 2}^2 {\left[ {f\left( x \right) - 2x + 1} \right]{\rm{d}}x} \) bằng
7.
9.
1.
−1.
Một mặt cầu \[\left( S \right)\] có tâm là \[I\left( {1; - 2;3} \right)\] tiếp xúc với trục tung thì có bán kính \[R\] bằng
\[\sqrt {14} \].
\[14\].
\[\sqrt {10} \].
\[10\].
Gọi \(\left( H \right)\) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^2},\) trục hoành, trục tung và \(x = 1.\) Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng \(\left( H \right)\) quanh trục \(Ox.\)
\(\frac{1}{5}.\)
\(\frac{\pi }{5}.\)
\(\frac{\pi }{3}.\)
\(\frac{1}{3}.\)
Cho hai biến cố \[A\] và \[B\], với \[P\left( A \right) = 0,6\], \[P\left( B \right) = 0,7\], \[P\left( {A \cap B} \right) = 0,3\]. Tính \[P\left( {\bar B|A} \right)\].
\[\frac{3}{7}\].
\[\frac{1}{2}\].
\[\frac{6}{7}\].
\[\frac{1}{7}\].
Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{2x - 3}}\); biết \(F\left( 2 \right) = 1\). Giá trị \(F\left( 3 \right)\) bằng
\(F\left( 3 \right) = {\rm{ln}}3 + 1\).
\(F\left( 3 \right) = \frac{1}{2}{\rm{ln}}3 - 1\).
\(F\left( 3 \right) = \frac{1}{2}{\rm{ln}}3 + 1\).
\(F\left( 3 \right) = 2{\rm{ln}}3 + 1\).
Phần II (2 điểm). Thí sinh trả lời câu 1, câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \ln x - 2{x^2}\), \(\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\).
Hàm số trên luôn đồng biến trên tập xác định.
\(f\left( 1 \right) = - 2;\,f\left( {{e^2}} \right) = 2 - 2{e^4}.\)
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có hai điểm cực trị.
Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ {1;{e^2}} \right]\) là \( - \frac{5}{2} - \ln 2.\)
Một người thợ mộc có một khối gỗ hình hộp chữ nhật \(OABC.GDEF\)có kích thước \(OA = OG = 30\)(cm) và \(OC = 60\)(cm). Gắn hệ trục toạ độ \[Oxyz\]như hình vẽ dưới (1 đơn vị trên trục toạ độ tương ứng 10 cm). Người thợ có ý định khoan khối gỗ tại điểm \[M\] là trọng tâm của tam giác \[DGF\]và tiến hành khoan theo hướng của vectơ \(\overrightarrow {FA} \).
Toạ độ vectơ \(\overrightarrow {FA} \) là \(\left( {3;6;3} \right).\)
Toạ độ điểm \(M\)là \(\left( {1;2;3} \right).\)
Mũi khoan luôn nằm trên đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}.\)
Để khoan thủng khối gỗ người đó phải dùng mũi khoan có chiều dài tối thiểu là 73 (cm) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Phần III (1 điểm). Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Đối với mỗi câu, thí sinh chỉ viết kết quả, không trình bày suy luận. Đối với mỗi câu trả lời đúng, thí sinh được 0,25 điểm.
Cân nặng của một số quả mít trong một khu vườn được thống kê ở bảng sau:
Hãy tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
2,19
Hộp thứ nhất chứa \[5\] viên bi trắng và \[4\] viên bi xanh. Hộp thứ hai chứa \[7\] viên bi trắng và \[5\] viên bi xanh. Người ta lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ 2 rồi sau đó từ hộp thứ hai lấy ngẫu nhiên ra hai viên bi. Tính xác suất để hai viên bi lấy được từ hộp thứ hai là hai viên bi trắng.
112/351
Một phân xưởng sản xuất bóng đèn có tỉ lệ bóng đạt chuẩn là \(95{\rm{\% }}\). Để hạn chế số lượng bóng không đạt chuẩn được bán ra thị trường, người ta lắp đặt một thiết bị kiểm tra chất lượng tự động S. Nếu một bóng đèn không đạt chuẩn, thiết bị S sẽ loại bỏ nó với xác suất 0,99. Khi kiểm tra lại các bóng đèn bị loại, người ta nhận thấy có \(10{\rm{\% }}\) số đó là bóng đạt chuẩn. Chọn ngẫu nhiên 1 bóng đèn do phân xưởng đó sản xuất. Tính xác suất bóng đèn được chọn đạt chuẩn biết rằng nó không bị thiết bị S loại bỏ.
1889/1890
Một công ty đang triển khai chiến dịch quảng cáo cho sản phẩm mới. Số tiền đầu tư cho quảng cáo là \(x\) (triệu đồng). Theo kết quả nghiên cứu thị trường, số lượng sản phẩm sản xuất và bán ra phụ thuộc vào chi phí quảng cáo theo hàm \(Q\left( x \right) = 1250 + \frac{{507}}{2}\ln \left( {3 + x} \right)\)(đơn vị sản phẩm). Biết rằng, chi phí sản xuất mỗi sản phẩm là \(13\)triệu đồng và giá bán mỗi sản phẩm là \(21\) triệu đồng. Giá trị lợi nhuận tối đa mà công ty có thể đạt được là \(p\) tỷ đồng (số \(p\) được làm tròn đến hàng phần mười). Tìm số \(p\).
23,4
Phần IV (3 điểm). Thí sinh trả lời từ câu 5 đến câu 7. Đối với mỗi câu, thí sinh viết quá trình và kết quả suy luận.
(1 điểm). Giải phương trình: \[{2^{{x^2} + x}} - 4 \cdot {2^{{x^2} - x}} - {2^{2x}} + 4 = 0\].
(1 điểm). Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB = BC = a\) và \(CC' = 2a\). Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của cạnh \(BC\)và \(AA'\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(B'D'\) và \(MN\).
(1 điểm). Một cái cổng hình parabol như hình vẽ sau:
Chiều cao \(GH = 4\,{\rm{m}}\), chiều rộng \(AB = 4\,{\rm{m}}\), \(AC = BD = 0,9\,{\rm{m}}\). Chủ nhà làm hai cánh cổng nhựa lõi thép UPVC, khi đóng lại là hình chữ nhật \(CDEF\) tô đậm có giá là \(1\,500\,000\) đồng\({\rm{/}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\), còn các phần để trắng làm xiên hoa có giá là \(1\,000\,000\)đồng\({\rm{/}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\). Tính tổng số tiền để làm hai phần nói trên.
Gợi ý cho bạn
Xem tất cả
Ngân hàng đề thi