Đề ôn thi ĐGNL ĐHSP Hà Nội môn Toán có đáp án - Đề số 4
25 câu hỏi
Phần I (4 điểm). Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 16. Đối với mỗi câu, thí sinh chỉ chọn một phương án. Đối với mỗi câu trả lời đúng, thí sinh được 0,25 điểm.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\) và có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {x^{2024}}\left( {3 - x} \right),\forall x \in \mathbb{R}\). Hàm số đã cho có mấy điểm cực trị?
3.
0.
2.
1.
Trong không gian \(Oxyz\), một vectơ chỉ phương của đường trung tuyến đỉnh \(O\) của tam giác \(OCD\) với \(C\left( {1;1;2} \right)\) và \(D\left( { - 5;5; - 12} \right)\) là
\(\overrightarrow u = \left( {2;3;5} \right)\).
\(\overrightarrow u = \left( {4; - 6;10} \right)\).
\(\overrightarrow u = \left( {4; - 6; - 10} \right)\).
\(\overrightarrow u = \left( { - 3;3; - 5} \right)\).
Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 3x + 5}}{{x + 2}}\) là đường thẳng
\(y = x.\)
\(y = x + 1.\)
\(y = x + 2.\)
\(y = x + 3.\)
Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ độ cao 1 m. Giả sử tại thời điểm \(t\)giây , vận tốc của nó được cho bởi \(v\left( t \right) = 25 - 9,8t\,\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)\). Độ cao của viên đạn đạt giá trị lớn nhất là
\(\frac{{3375}}{{98}}\)\(\left( {\rm{m}} \right)\).
\(\frac{{3223}}{{98}}\)\(\left( {\rm{m}} \right)\).
\(\frac{{3225}}{{98}}\)\(\left( {\rm{m}} \right)\).
\(\frac{{125}}{{49}}\)\(\left( {\rm{m}} \right)\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):2x + y - 2z - 1 = 0,\left( Q \right):6x + 3y - 6z + 15 = 0\). Khoảng cách giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) bằng
2.
\[\frac{4}{3}\].
\[\frac{{16}}{9}\].
\[\frac{{16}}{3}\].
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có công sai \(d = - 2\) và tổng của \(8\) số hạng đầu tiên \({S_8} = 72\). Số hạng đầu tiên \({u_1}\) của cấp số cộng bằng
\(14\).
\(4\).
\(16\).
\(2\).
Tập nghiệm của bất phương trình \[{\log _5}\left( {2x - 1} \right) < {\log _5}\left( {x + 2} \right)\] là
\[S = \left( {3; + \infty } \right)\].
\[S = \left( { - \infty ;3} \right)\].
\[S = \left( {\frac{1}{2};3} \right)\].
\[S = \left( { - 2;3} \right)\].
Có 2 bình, mỗi bình đựng 6 viên bi trắng và 5 viên bi đen. Lần lượt lấy ngẫu nhiên ra 1 viên bi từ bình thứ nhất và 1 viên bi từ bình thứ 2. Tính xác suất để lấy được viên bi thứ nhất màu trắng và viên bi thứ hai màu đen?
\(\frac{1}{{35}}\).
\(\frac{{23}}{{22}}\).
\[\frac{{30}}{{121}}\].
\(\frac{{35}}{{144}}\).
Trung tâm ngoại ngữ thống kê bảng điểm môn Tiếng Anh của một khóa học trong bảng bên dưới.
Trung vị của mẫu số liệu trên là
\[5,2\].
\[5\].
\[5,6\].
\[5,4\].
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\)và hàm số \(y = f'\left( x \right)\)là hàm số bậc ba có đồ thị là đường cong trong hình vẽ.
Hàm số \(y = f\left( x \right)\)nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
\[\left( { - \infty ;1} \right)\].
\[\left( { - 2;2} \right)\].
\[\left( {1; + \infty } \right)\].
\[\left( { - 1; + \infty } \right)\].
Trong không gian \(Oxyz,\) cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{{ - 3}}.\) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\left( {1\,;0\,;1} \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(d\) có phương trình là:
\(2x + y - 3z + 1 = 0\).
\(2x + y - 3z - 1 = 0\).
\(x + z + 1 = 0\).
\(x + z - 1 = 0\).
Cho mẫu số liệu ghép nhóm về điểm thi và số người dự thi như sau:
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên gần nhất với giá trị nào dưới đây?
\(2,55\).
\(2,77\).
\(2,39\).
\(1,44\).
Các đường chéo của các mặt một hình hộp chữ nhật bằng \[\sqrt 5 ,{\rm{ }}\sqrt {10} ,{\rm{ }}\sqrt {13} .\] Tính thể tích \(V\) của khối hộp chữ nhật đó.
\(V = 6\).
\(V = 5\sqrt {26} \).
\(V = 2\).
\(V = \frac{{5\sqrt {26} }}{3}\).
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3x\), trục hoành \(Ox\) và hai đường thẳng \(x = - 2,x = 2\) bằng
\(\frac{{16}}{3}\).
\(\frac{{14}}{3}\).
5.
6.
Phương trình \(\cos 2x + 4\sin x + 5 = 0\) có bao nhiêu nghiệm trên khoảng \(\left( {0;10\pi } \right)\)?
5.
4.
2.
3.
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\). Biết \(f\left( { - 1} \right) = 1,\,f\left( 1 \right) = - 1\). Giá trị của tích phân \(\int\limits_{ - 1}^1 {f'\left( x \right){\rm{d}}x} \) bằng
0.
2.
−2.
1.
Phần II (2 điểm). Thí sinh trả lời câu 1, câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hàm số bậc ba \[y = f\left( x \right)\] có đồ thị như hình vẽ:
Hàm số \[f\left( x \right)\] nghịch biến trên khoảng \[\left( { - 1;1} \right)\].
Trên đoạn \[\left[ { - 2;2} \right]\], hàm số \[f\left( x \right)\] đạt giá trị lớn nhất bằng 2.
Hàm số \[f\left( x \right)\] có hai điểm cực trị.
\[f\left( x \right) = {x^3} - 3x + 1\].
Trong không gian \(Oxyz\)(đơn vị mỗi trục tọa độ là km). Một trạm phát sóng được đặt tại vị trí \(A\left( {0\,;1\,;3} \right)\) và có vùng phủ sóng là hình cầu bán kính \(5\,{\rm{km}}\). Một con đường thẳng được mô hình hóa bởi đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{z}{2}\).
Vectơ \(\overrightarrow u = \left( {1\,;1\,;2} \right)\)là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\).
Mặt cầu tâm \(A\left( {0;1;3} \right)\), bán kính \(R = 5\) có phương trình là \({x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 25\).
Gọi \(H\)là hình chiếu vuông góc của \(A\)lên \(d\). Điểm \(H\)có hoành độ bằng \( - \frac{2}{3}\).
Đoạn đường nằm trong vùng phủ sóng dài \(8,16\,{\rm{km}}\) (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Phần III (1 điểm). Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Đối với mỗi câu, thí sinh chỉ viết kết quả, không trình bày suy luận. Đối với mỗi câu trả lời đúng, thí sinh được 0,25 điểm.
Nhà máy \(A\) chuyên sản xuất một loại sản phẩm cung cấp cho nhà máy \(B\). Hai nhà máy thoả thuận, mỗi tháng \(A\) cung cấp cho \(B\) số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của \(B\) (tối đa \(100\) tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là \(x\) tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là \(P\left( x \right) = 45 - 0,001{x^2}\) (triệu đồng). Chi phí để \(A\) sản xuất \(x\) tấn sản phẩm trong một tháng là \(C\left( x \right) = 100 + 30x\) (triệu đồng) (gồm \(100\) triệu đồng chi phí cố định và \(30\) triệu đồng cho mỗi tấn sản phẩm). Để mỗi tháng thu được lợi nhuận lớn nhất thì \(A\) cần bán cho \(B\) khoảng bao nhiêu tấn sản phẩm?
50 căn 2
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 3}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{1}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):ax + by - z - 10 = 0\). Biết rằng \(d\) nằm trong \(\left( P \right)\), hãy tính giá trị của biểu thức \(a + b\).
5
Tại tỉnh X, thống kê cho thấy trong số những người trên 50 tuổi có 7,6% mắc bệnh tim; 11,5% mắc bệnh huyết áp và 4,7% mắc cả bệnh tim và bệnh huyết áp. Từ đó, hãy xác định tỉ lệ dân cư trên 50 tuổi của tỉnh X không mắc cả bệnh tim và bệnh huyết áp là bao nhiêu phần trăm?
85,6
Biết rằng số lượng hành khách đang nợ ngân hàng chia thành ba đối tượng: đối tượng \(1\): dưới \(20\) tỷ chiếm \(81,3\% \); đối tượng\(\;2\): từ \(20\) tỷ đến \(38\) tỷ chiếm \(8,7\% \); đối tượng \(3\): trên \(38\) tỷ chiếm \(10\% \). Xác suất trả được nợ ngân hàng của một khách hàng thuộc một trong ba đối tượng trên là:\(\;0,85\); \(0,7\); \(0,35\). Giả sử một khách hàng không trả được nợ ngân hàng, tính xác suất để khách hàng đó thuộc đối tượng \(1\).
2439/4261
Phần IV (3 điểm). Thí sinh trả lời từ câu 5 đến câu 7. Đối với mỗi câu, thí sinh viết quá trình và kết quả suy luận.
(1 điểm).Giải bất phương trình:\(2 \cdot {5^{x + 2}} + 5 \cdot {2^{x + 2}} \le 133 \cdot \sqrt {{{10}^x}} \).
(1 điểm). Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\), \(AA' = 2a\). Gọi \(M\) là điểm trên cạnh \(A'B'\), \(A'M = \frac{a}{3}\). Tính khoảng cách từ \(M\) đến mặt phẳng \(\left( {AB'C} \right)\).
(1 điểm). Cho hình vuông \(ABCD\) có cạnh bằng \(4\). Gọi hai điểm \(M\) và \(I\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(MC\). Một parabol có đỉnh là \(D\) và đi qua điểm \(B\), đường tròn tâm \(I\) đường kính \(MC\) như hình vẽ. Tính thể tích \(V\)của vật thể được tạo thành khi quay miền \(\left( R \right)\) (phần được gạch chéo) quanh trục \(AD\).
