Đề kiểm tra Xác suất có điều kiện lớp 12 (có lời giải) - Đề 3
22 câu hỏi
Gieo con xúc xắc 1 lần. Gọi A là biến cố xuất hiện mặt 2 chấm. B là biến cố xuất hiện mặt chẵn. Xác suất \(P\left( {A|B} \right)\) là
\(\frac{1}{2}\).
\(\frac{1}{3}\).
\(\frac{2}{3}\).
\(\frac{1}{6}\).
Cho hai biến cố \(A\) và \(B\) có \(P(A) = 0,3;P(B) = 0,6;\,P(A \cap B) = 0,2.\) Xác suất \(P\left( {A|B} \right)\) là
\(\frac{1}{2}\).
\(\frac{1}{3}\).
\(\frac{2}{3}\).
\(\frac{1}{6}\).
Từ một hộp có 4 tấm thẻ cùng loại được ghi số lần lượt từ 1 đến 4. Bạn An lấy ra một cách ngẫu nhiên một thẻ từ hộp, bỏ thẻ đó ra ngoài và lại lấy một cách ngẫu nhiên thêm một thẻ nữa. Xét biến cố \(A\) là “ thẻ lấy ra lần thứ nhất ghi số 3”. Số các kết quả thuận lợi của biến cố \(A\) là
\(3\).
\(2\)
\(4\).
\(1\).
Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố \(A\)là \(\left\{ {\left( {3;1} \right),\left( {3;2} \right),\left( {3;4} \right)} \right\}\).
Vậy \(n\left( A \right) = 3\).Cho hai biến độc lập \(A,B\) với \(P\left( A \right) = 0,8;{\rm{ }}P\left( B \right) = 0,3\). Khi đó, \(P\left( {A\left| B \right.} \right)\)bằng
\(0,8\).
\(0,3\).
\(0,4\).
\(0,6\).
Cho hai biến cố \(A,\,B\) với \(P\left( B \right) = 0,7;P\left( {AB} \right) = 0,3\). Tính \[P\left( {A/B} \right)\]
\(\frac{3}{7}\).
\(\frac{1}{2}\)
\(\frac{6}{7}\).
\(\frac{1}{7}\).
Cho hai biến cố \(A,\,B\) với \(P\left( B \right) = 0,8;P\left( {A/B} \right) = 0,5\). Tính \[P\left( {AB} \right)\]
\(\frac{3}{7}\).
\(0,4\)
\(0,8\).
\(0,5\).
Một hộp chứa 8 bi xanh, 2 bi đỏ. Lần lượt bốc từng bi. Giả sử lần đầu tiên bốc được bi xanh. Xác định xác suất lần thứ 2 bốc được bi đỏ.
\(\frac{1}{{10}}\)
\(\frac{2}{9}\).
\(\frac{8}{9}\).
\(\frac{2}{5}\)
Gọi \(A\) là biến cố lần \(1\) bốc được bi xanh.
Gọi \(B\) là biến cố lần \(2\) bốc được bi đỏ.
Xác suất lần \(2\) bốc được bi đỏ khi lần \(1\)đã bốc được bi trắng là \(P\left( {B/A} \right)\)
Ta có \[P\left( A \right) = \frac{8}{{10}} = \frac{4}{5};P\left( {AB} \right) = \frac{8}{{10}}.\frac{2}{9} = \frac{8}{{45}}.\]
Suy ra \(P\left( {B/A} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{\frac{8}{{45}}}}{{\frac{4}{5}}} = \frac{2}{9}.\)Lớp 12A có \(30\) học sinh, trong đó có \(17\) bạn nữ còn lại là nam. Có \(3\) bạn tên Hiền, trong đó có \(1\) bạn nữ và \(2\) bạn nam. Thầy giáo gọi ngẫu nhiên \(1\) bạn lên bảng. Xác suất để có tên Hiền, nhưng với điều kiện bạn đó nữ là
\(\frac{1}{{17}}\).
\(\frac{3}{{17}}\)
\(\frac{{17}}{{30}}\).
\(\frac{{13}}{{30}}\).
Gọi \(A\) là biến cố “bạn học sinh được thầy giáo gọi lên bảng tên là Hiền”.
Gọi \(B\) là biến cố “bạn học sinh được thầy giáo gọi lên bảng là nữ”.
Ta có \[P\left( B \right) = \frac{{17}}{{30}}\],\[P\left( {AB} \right) = \frac{1}{{30}}.\]
Xác suất để thầy giáo gọi bạn đó lên bảng có tên Hiền, nhưng với điều kiện bạn đó nữ là \(P\left( {A/B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\frac{1}{{30}}}}{{\frac{{17}}{{30}}}} = \frac{1}{{17}}.\)Cho hai biến cố \(A\) và \(B\) có \(P\left( A \right) = 0,2;\,\,\,P\left( B \right) = 0,8\) và \(P\left( {A|B} \right) = 0,5\). Tính \(P\left( {\overline A B} \right)\) có kết quả là
\(P\left( {\overline A B} \right) = 0,9\).
\(P\left( {\overline A B} \right) = 0,6\).
\(P\left( {\overline A B} \right) = 0,04\).
\(P\left( {\overline A B} \right) = 0,4\).
Theo công thức nhân xác xuất, ta có \(P\left( {AB} \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) = 0,8.0,5 = 0,4\)
Vì \(AB\) và \(\overline A B\) là hai biến cố xung khắc nên \(AB \cup \overline A B = B \Rightarrow P\left( {\overline A B} \right) = 1 - P\left( {AB} \right) = 1 - 0,4 = 0,6\).Cho hai biến cố \(A\) và \(B\) có \(P\left( B \right) > 0\) và \(P\left( {A|B} \right) = 0,7\). Tính \(P\left( {\overline A |B} \right)\) có kết quả là
\(P\left( {\overline A |B} \right) = 0,5\).
\(P\left( {\overline A |B} \right) = 0,6\).
\(P\left( {\overline A |B} \right) = 0,3\).
\(P\left( {\overline A |B} \right) = 0,4\).
Một hộp chứa bốn viên bi cùng loại ghi số lần lượt từ \(1\) đến \(4\). Bạn Mạnh lấy ra một cách ngẫu nhiên một viên bi, bỏ viên bi đó ra ngoài và lấy ra một cách ngẫu nhiên thêm một viên bi nữa. Không gian mẫu của phép thử đó là
\[\Omega = \left\{ {\left( {1,2} \right);\,\,\left( {1,3} \right);\,\,\left( {1,4} \right);\,\,\left( {2,3} \right);\,\,\left( {2,4} \right);\,\,\left( {3,4} \right)} \right\}\].
\[\Omega = \left\{ {\left( {1,2} \right);\,\,\left( {1,1} \right);\,\,\left( {1,3} \right);\,\,\left( {1,4} \right);\,\,\left( {2,1} \right);\,\,\left( {2,3} \right);\,\,\left( {2,4} \right);\,\,\left( {3,1} \right);\,\,\left( {3,2} \right);\,\,\left( {3,4} \right);\,\,\left( {4,1} \right);\,\,\left( {4,2} \right);\,\,\left( {4,3} \right)} \right\}\]
\[\Omega = \left\{ {\left( {1,2} \right);\,\,\left( {1,3} \right);\,\,\left( {1,4} \right);\,\,\left( {2,1} \right);\,\,\left( {2,2} \right);\,\,\left( {2,3} \right);\,\,\left( {2,4} \right);\,\,\left( {1,1} \right);\,\,\left( {3,4} \right);\,\,\left( {4,4} \right);\,\,\left( {3,3} \right)} \right\}\].
\[\Omega = \left\{ {\left( {1,2} \right);\,\,\left( {1,3} \right);\,\,\left( {1,4} \right);\,\,\left( {2,1} \right);\,\,\left( {2,3} \right);\,\,\left( {2,4} \right);\,\,\left( {3,1} \right);\,\,\left( {3,2} \right);\,\,\left( {3,4} \right);\,\,\left( {4,1} \right);\,\,\left( {4,2} \right);\,\,\left( {4,3} \right)} \right\}\]
Một lớp học có \(40\) học sinh, mỗi học sinh giỏi ít nhất một trong hai môn Văn hoặc môn Toán. Biết rằng có \(30\) học sinh giỏi môn Toán và \(15\) học sinh giỏi môn Văn. Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Tính xác suất để học sinh đó học giỏi môn Toán, biết rằng học sinh đó giỏi môn Văn.
\(\frac{1}{2}\).
\(\frac{1}{6}\).
\(\frac{1}{3}\).
\(\frac{1}{5}\).
Gọi \(A\) là biến cố: “Học sinh được chọn giỏi môn Toán” , \(B\) là biến cố: “Học sinh được chọn giỏi môn Văn”.
Số học sinh giỏi cả hai môn là \(30 + 15 - 40 = 5\)
Trong \(30\) học sinh đó có đúng \(5\) học sinh giỏi môn Văn. Vậy xác suất để học sinh được chọn giỏi môn Toán với điều kiện học sinh đó giỏi môn Văn là \(P\left( {A|B} \right) = \frac{5}{{15}} = \frac{1}{3}\).Một công ty đấu thầu hai dự án. Khả năng thắng thầu các dự án lần lượt là \(0,4\)và \(0,5\). Khả năng thắng thầu cả hai dự án là \(0,3\). Gọi \(A,B\)lần lượt là biến cố thắng thầu dự án 1 và dự án 2.
Hai biến cố \(A\) và \(B\) độc lập.
Biết công ty thắng thầu dự án 1, thì xác suất công ty thắng thầu dự án 2 là : 0,75
Biết công ty không thắng thầu dự án 1, thì xác suất công ty thắng thầu dự án 2 là :\(\frac{2}{3}\)
Xác suất công ty thắng thầu đúng 1 dự án là : 0,3
a) Sai | b) Đúng | c) Sai | d)Đúng |
a) Ta có \(P\left( A \right).P\left( B \right) = 0,4.0,5 = 0,2 \ne 0,3 = P\left( {AB} \right)\).
b) Xác suất để công ty thắng thầu dự án 2 khi đã biết thắng dự án 1 là \(P\left( {B\backslash A} \right)\)
Ta có \(P\left( {B\backslash A} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0,3}}{{0,4}} = 0,75\).
c) Xác suất để công ty thắng thầu dự án 2 khi đã biết điều kiện không thắng dự án 1 là:\(P\left( {B\backslash \overline A } \right) = \frac{{P\left( {\overline A B} \right)}}{{P\left( {\overline A } \right)}}\)
Vì hai biến cố \(\overline A B\) và \(A\overline B \) xung khắc nhau và \(\overline A B \cup A\overline B = B\) nên theo tính chất của xác suất ta có
\(P\left( {\overline A B} \right) = P\left( B \right) - P\left( {AB} \right)\).
Suy ra \(P\left( {B\backslash \overline A } \right) = \frac{{P\left( {\overline A B} \right)}}{{P\left( {\overline A } \right)}} = \frac{{P\left( B \right) - P\left( {AB} \right)}}{{1 - P\left( A \right)}} = \frac{{0,5 - 0,3}}{{1 - 0,4}} = \frac{1}{3}\).
d) Xác suất để công ty thắng thầu đúng 1 dự án là \(P\left( {A\overline B + \overline A B} \right)\)
Vì hai biến cố \(\overline A B\) và \(A\overline B \) xung khắc nhau nên \(P\left( {A\overline B + \overline A B} \right) = P\left( {A\overline B } \right) + P\left( {\overline A B} \right)\).
Vì hai biến cố \(\overline A B\) và \(AB\) xung khắc nhau và \(\overline A B \cup AB = B\) nên theo tính chất của xác suất ta có
\(P\left( {\overline A B} \right) = P\left( B \right) - P\left( {AB} \right)\begin{array}{*{20}{c}}{}&{\left( 1 \right)}\end{array}\).
Vì hai biến cố \(A\overline B \) và \(AB\) xung khắc nhau và \({\rm{A}}\overline B \cup AB = A\) nên theo tính chất của xác suất ta có
\(P\left( {A\overline B } \right) = P\left( A \right) - P\left( {AB} \right)\begin{array}{*{20}{c}}{}&{\left( 2 \right)}\end{array}\).
Từ \(\left( 1 \right)\)và \(\left( 2 \right)\)ta được như sau:
\(\begin{array}{l}P\left( {A\overline B + \overline A B} \right) = P\left( A \right) - P\left( {AB} \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right)\\ = P\left( A \right) + P\left( B \right) - 2P\left( {AB} \right) = 0,4 + 0,5 - 2.0,3 = 0,3.\end{array}\)Một hộp chứa 4 quả bóng màu đỏ và 6 quả bóng màu xanh. Lấy từ hộp hai lần liên tiếp mỗi lần 1 quả bóng. Gọi A là biến cố “Lần 2 lấy được quả màu xanh”; B là biến cố “ Lần 1 lấy được quả bóng màu đỏ”. Khi đó
Xác suất xảy ra biến cố \(B\) là: \(P\left( B \right) = \) \(\frac{2}{5}\).
Xác suất xảy ra biến cố \(A\)khi \(B\) xảy ra là: \(P\left( {A\backslash B} \right) = \frac{3}{5}\).
Xác suất xảy ra biến cố \(A\)khi \(B\)không xảy ra là: \(P\left( {A\backslash \overline B } \right) = \frac{5}{9}\).
Xác suất xảy ra cả biến cố \(A\) và \(B\) là:\(P\left( {AB} \right) = \frac{4}{{15}}\).
a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng |
a) Ta có \(P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{4}{{10}} = \frac{2}{5}\).
b) Lần 1 lấy được quả bóng màu đỏ nên số bóng còn lại là 9 nên \(n\left( \Omega \right) = 9\). Do có 6 quả bóng màu xanh và lần 1 lấy được quả bóng đỏ nên số phần tử thuận lợi cho biến cố \(A\)là \(n\left( A \right) = 6\)
\(P\left( {A\backslash B} \right) = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}\).
c) Do biến cố \(B\) không xảy ra tức là lần 1 lấy 1 quả màu xanh nên số bóng còn lại là 5 quả xanh và 4 quả đỏ. Do đó \(P\left( {A\backslash \overline B } \right) = \frac{5}{9}\).
d) Ta có \(P\left( {AB} \right) = P\left( B \right).P\left( {A\backslash B} \right) = \frac{2}{5}.\frac{6}{9} = \frac{4}{{15}}\).
Chú ý: Không thể tính theo công thức \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( {B\backslash A} \right)\).Một nhóm học sinh gồm \(12\) nam và \(13\) nữ đi tham quan Công viên nước Hạ Long, tới lúc tham gia trò chơi mỗi học sinh chọn một trong hai trò chơi là Sóng thần hoặc Đảo hải tặc. Xác suất chọn trò chơi Sóng thần của mỗi học sinh nam là \(0,6\) và của mỗi học sinh nữ là \(0,3\). Chọn ngẫu nhiên một bạn của nhóm. Xét tính đúng, sai của mỗi khẳng định sau?
Xác suất để bạn được chọn là nam là \(0,48\).
Xác suất để bạn được chọn là nữ là \(0,5\).
Xác suất để bạn được chọn là nam và tham gia trò chơi Đảo hải tặc là \(0,195\).
Xác suất để bạn được chọn là nữ và tham gia trò chơi Sóng thần là \(0,156\).
a) Đúng | b) Sai | c) Sai | d) Đúng |
Gọi \(A\) là biến cố “chọn được bạn nam” và \(B\) là biến cố “chọn được bạn tham gia trò chơi Sóng thần”.
Nhóm có \(12\) nam và \(13\) nữ nên xác suất để chọn được một bạn nam là \(\frac{{12}}{{25}} = 0,48\).
Nhóm có \(12\) nam và \(13\) nữ nên xác suất để chọn được một bạn nữ là \(\frac{{13}}{{25}} = 0,52\).
Ta có \(P\left( A \right) = \frac{{12}}{{25}} = 0,48\) và \(P\left( {B|A} \right) = 0,6\) và \(P\left( {B|\overline A } \right) = 0,3\).
Ta có sơ đồ hình cây như sau:
Xác suất để bạn được chọn là nam và tham gia trò chơi Đảo hải tặc là \(P\left( {A\overline B } \right) = 0,192\).
Xác suất để bạn được chọn là nữ và tham gia trò chơi Sóng thần \(P\left( {\overline A B} \right) = 0,156\).
Ở cửa ra vào của nhà sách Nguyễn V\(0,1\% \)ăn Cừ có một thiết bị cảnh báo hàng hóa chưa được thanh toán khi qua cửa. Thiết bị phát chuông cảnh báo với \(99\% \) các hàng hóa ra cửa mà chưa thanh toán và các hàng hóa đã thanh toán. Tỷ lệ hàng hóa qua cửa không được thanh toán là \(0,1\% \). Chọn ngẫu nhiên một hàng hóa khi đi qua cửa. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau?
Xác suất để hàng qua cửa đã thanh toán là \(99,9\% \).
Xác suất để hàng qua cửa chưa thanh toán và thiết bị phát chuông cảnh báo là \(1\% \).
Xác suất để hàng qua cửa đã thanh toán và thiết bị phát chuông cảnh báo là \(0,1\% \).
Xác suất để hàng qua cửa chưa thanh toán và thiết bị không phát chuông cảnh báo là \(0,001\% \).
a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng |
Gọi \(A\) là biến cố “Hàng qua cửa đã được thanh toán” và \(B\) là biến cố “Thiết bị phát chuông cảnh báo”.
Tỷ lệ hàng qua cửa không được thanh toán là \(0,1\% \) tức là \(P\left( {\overline A } \right) = 0,1\% \) suy ra \(P\left( A \right) = 100\% - 0,1\% = 99,9\% \).
Ta có \(P\left( {B|A} \right) = 0,1\% \) và \(P\left( {B|\overline A } \right) = 99\% \);
\(P\left( {\overline B |A} \right) = 100\% - P\left( {B|A} \right) = 99,9\% \); \(P\left( {\overline B |\overline A } \right) = 100\% - P\left( {B|\overline A } \right) = 1\% \).
Ta có sơ đồ hình cây như sau:
Từ đây ta có:
Xác suất để hàng qua cửa đã thanh toán là \(99,9\% \).
Xác suất để hàng qua cửa chưa thanh toán và thiết bị phát chuông cảnh báo là \(P\left( {\overline A B} \right) = 0,099\% \)
Xác suất để hàng hóa qua cửa đã thanh toán và thiết bị phát chuông cảnh báo là \(P\left( {\overline A B} \right) = 0,1\% \)
Xác suất để hàng qua cửa chưa thanh toán và thiết bị không phát chuông cảnh báo là \(P\left( {\overline A \overline B } \right) = 0,001\% \).Gọi \(A\) là biến cố “ Lấy được sản phẩm tốt ”
\({B_i}\) là biến cố “ Sản phẩm lấy ra từ nhà máy thứ \(i\) sản xuất ”, với \(i = 1\,;\,2\)
Ta có: \(P({B_1}) = \frac{3}{4}\,\,;\,\,P({B_2}) = \frac{1}{4}\)
\(P(A) = P({B_1}).P(A/{B_1}) + P({B_2}).P(A/{B_2}) = \frac{3}{4}.0,8 + \frac{1}{4}.0,7 = 0,775\)Gọi \(A\) là biến cố “ Trong ba viên bi lấy ra từ hộp thứ hai có \(2\) bi trắng ”
\({B_i}\) là biến cố “ Trong hai viên bi bỏ từ hộp thứ nhất sang hộp thứ hai có \(i\) bi trắng ”, với
\(\begin{array}{l}P(A) = P({B_0}).P(A/{B_0}) + P({B_1}).P(A/{B_1}) + P({B_2}).P(A/{B_2}) = \\ = \frac{{C_2^2}}{{C_{10}^2}}.\frac{{C_9^2.C_3^1}}{{C_{12}^3}} + \frac{{C_8^1.C_2^1}}{{C_{10}^2}}.\frac{{C_{10}^2.C_2^1}}{{C_{12}^3}} + \frac{{C_8^2}}{{C_{10}^2}}.\frac{{C_{11}^2.C_1^1}}{{C_{12}^3}} = \frac{{772}}{{2475}} \approx 0,31\end{array}\)Ta có sơ đồ hình cây
Vậy ta có:\(P(A) = \frac{{16}}{{90}} = \frac{8}{{45}} \Rightarrow a = 8;\,b = 45 \Rightarrow a + b = 53\).
Ta có: \(P(B) = 0,8 \Rightarrow P(\overline B ) = 0,2\)
\(P(A\overline B ) = P(\overline B ).P(A\left| {\overline B } \right.) = 0,2.0,6 = 0,12\)
Mặt khác: \(P(AB) = P(A) - P(A\overline B ) = 0,5 - 0,12 = 0,38.\)
Do đó: \(P(A\left| B \right.) = \frac{{P(AB)}}{{P(B)}} = \frac{{0,38}}{{0,8}} = 0,475\)Gọi \(A\): “ Người nghiện thuốc lá”
\(B\): “ Người bị viêm họng”
Khi đó: \(AB\): “Người nghiện thuốc và bị viêm họng”
\(\overline A B\): “Người không nghiện thuốc và bị viêm họng”
Theo đề bài ta có \(P\left( A \right) = 30\% \); \(P\left( {B|A} \right) = a\% \) và \(P\left( {AB} \right) = 0,21\) nên theo công thức xác suất có điều kiện ta được: \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( A \right)}} \Leftrightarrow a\% = \frac{{0,21}}{{30\% }} = 70\% \).
Tương tự:\(P\left( {\overline A } \right) = 1 - 30\% = 70\% \); \(P\left( {B|\overline A } \right) = 40\% \) và \(P\left( {\overline A B} \right) = b\% \) nên theo công thức xác suất có điều kiện ta được: \(P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{{P\left( {\overline A B} \right)}}{{P\left( {\overline A } \right)}} \Leftrightarrow 40\% = \frac{{b\% }}{{70\% }} \Leftrightarrow b\% = 28\% \).
Vậy \(a + b = 98\).Gọi \(A\),\(B\), \(C\)lần lượt là biến cố “\(A\) bắn trúng”, “\(B\) bắn trúng”, “có một người bắn trúng”
Ta có \(P\left( {B|C} \right) = \frac{{P\left( {B\overline A } \right)}}{{P\left( C \right)}} = \frac{{P\left( {B\overline A } \right)}}{{P\left( {B\overline A } \right) + P\left( {A\overline B } \right)}} = \frac{{0,4.0,3}}{{0,4.0,3 + 0,7.0,4}} = 0,22\).Bạn có thích hoạt động này không?
