Bài tập Tính xác suất có điều kiện bằng cách sử dụng sơ đồ hình cây lớp 12 (có lời giải)
25 câu hỏi
Cho sơ đồ cây bên dưới
Giá trị \(P\left( {\overline B |\overline A } \right)\) bằng
0,2;
0,4;
0,3;
0,5.
Đáp án đúng là: A
Dựa vào sơ đồ hình cây ta có \(P\left( {\overline B |\overline A } \right) = 0,2\).
Cho sơ đồ cây bên dưới
Giá trị của biểu thức \(T = \frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( {\overline A } \right)}}\) bằng
\(\frac{3}{7}\);
\(\frac{6}{7}\);
\(\frac{{12}}{{35}}\);
\(\frac{9}{{35}}\).
Đáp án đúng là: D
\(T = \frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( {\overline A } \right)}} = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( {\overline A } \right)}} = \frac{{0,3.0,6}}{{0,7}} = \frac{9}{{35}}\).
Cho sơ đồ hình cây như hình vẽ
Dựa vào sơ đồ hình cây trên, tính xác suất để biến cố \(P\left( {B\overline A } \right)\) xảy ra
0,62;
0,32;
0,48;
0,06.
Đáp án đúng là: C
Ta có \(P\left( {B\overline A } \right) = 0,8.0,6 = 0,48\).
Cho sơ đồ hình cây như sau
Dựa vào sơ đồ hình cây trên, tính xác suất để biến cố \(P\left( {\overline B \overline A } \right)\) xảy ra
0,36;
0,12;
0,51;
0,24.
Đáp án đúng là: A
Ta có \(P\left( {\overline B \overline A } \right) = 0,6.0,6 = 0,36\).
Theo kết quả từ trạm nghiên cứu khí hậu tại địa phương X, xác suất để có một ngày mưa là 0,6; nếu ngày có mưa thì xác suất có sương mù là 0,4; nếu ngày không có mưa thì xác suất có sương mù là 0,2. Gọi A là biến cố “Ngày có mưa” và B là biến cố “Ngày có sương mù”. Tính các xác suất ngày có mưa nhưng không có sương mù.
0,51;
0,12;
0,36;
0,24.
Đáp án đúng là: C
Ta có sơ đồ cây như sau:
Xác suất để ngày có mưa nhưng không có sương mù là \(P\left( {A\overline B } \right) = 0,6.0,6 = 0,36\).
Trong một lớp học, tổ I có 6 bạn nam và 4 bạn nữ, tổ II có 4 bạn nam và 5 bạn nữ. Thấy giáo chủ nhiệm chuyển chỗ 1 học sinh từ tổ I sang tổ II và sau đó chuyển 1 học sinh từ tổ II sang tổ I. Sử dụng sơ đồ hình cây, tính xác suất của biến cố C: “Sau khi chuyển chỗ, tổ I có 5 bạn nam và 5 bạn nữ”.
0,53;
0,3;
0,36;
0,25.
Đáp án đúng là: B
Để tổ I có 5 bạn nam và 5 bạn nữ khi có 1 bạn nam chuyển từ tổ I sang tổ II và 1 bạn nữ chuyển từ tổ II sang tổ I.
Gọi A là biến cố “bạn chuyển từ tổ I sang tổ II là bạn nam” và B là biến cố “Bạn chuyển từ tổ II sang tổ I là bạn nữ”.
Ta có \[P\left( A \right) = \frac{6}{{10}} = 0,6;P\left( {B|A} \right) = \frac{5}{{10}} = 0,5 \Rightarrow P\left( {\overline B |A} \right) = 0,5\].
\(P\left( {\overline A } \right) = \frac{4}{{10}} = 0,4;P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{6}{{10}} = 0,6 \Rightarrow P\left( {\overline B |\overline A } \right) = 0,4\).
Ta có sơ đồ hình cây
Khi đó P(C) = P(AB) = 0,5.0,6 = 0,3.
Ở các sân bay, người ta sử dụng một máy soi tự động để phát hiện hàng cấm trong vali và hành lý kí gửi của hành khách. Máy phát chuông cảnh báo với 95% các kiện hành lí có chứa hàng cấm và 2% các kiện hành lí không chứa hàng cấm. Tỉ lệ các kiện hành lí có chứa hàng cấm là 0,1%. Chọn ngẫu nhiên một kiện hành lí để soi bằng máy trên. Tính xác suất của các biến cố N “Kiện hành lí không chứa hàng cấm và máy phát chuông cảnh báo”.
0,91886;
0,71244;
0,86323;
0,01998.
Đáp án đúng là: D
Gọi biến cố A “Kiện hành lý chứa hàng cấm” và B là biến cố “Máy phát chuông cảnh báo”.
Ta có sơ đồ hình cây sau:
Khi đó \(N = \overline A B \Rightarrow P\left( N \right) = P\left( {\overline A B} \right) = 0,999.0,02 = 0,01998\).
Hộp thứ nhất có 4 viên bi xanh và 6 viên bi đỏ. Hộp thứ hai có 5 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ. Các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai. Sau đó lại lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ hai. Tính xác suất của biến cố “Viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất có màu xanh và viên bi lấy ra từ hộp thứ hai có màu đỏ”.
0,56;
0,14;
0,16;
0,65.
Đáp án đúng là: C
Gọi M là biến cố “Lấy ra viên bi từ hộp thứ 1 có màu xanh”;
N là biến cố “Lấy ra viên bi từ hộp thứ 2 có màu xanh”.
Ta có sơ đồ hình cây:
Khi đó \(P\left( A \right) = P\left( {M\overline N } \right) = 0,4.0,4 = 0,16\).
Một trường đại học tiến hành khảo sát tình trạng việc làm sau khi tốt nghiệp của sinh viên. Kết quả khảo sát cho thấy tỉ lệ người tìm được việc làm đúng chuyên ngành là 85% đối với sinh viên tốt nghiệp loại giỏi và 70% đối với sinh viên tốt nghiệp loại khác. Tỉ lệ sinh viên tốt nghiệp loại giỏi là 30%. Gặp ngẫu nhiên một sinh viên đã tốt nghiệp của trường. Tính xác suất của các biến cố D: “Sinh viên không tốt nghiệp loại giỏi và tìm được việc làm đúng chuyên ngành”.
0,44;
0,49;
0,72;
0,83.
Đáp án đúng là: C
Gọi A: “Sinh viên tốt nghiệp loại giỏi” và B: “Sinh viên làm đúng chuyên ngành”.
Ta có sơ đồ hình cây
Khi đó P(D) = P(\(\overline A B\)) = 0,7.0,7 = 0,49.
Một học sinh làm 2 bài tập kế tiếp. Xác suất làm đúng bài thứ nhất là 0,7. Nếu làm đúng bài thứ nhất thì khả năng làm đúng bài thứ hai là 0,8. Nhưng nếu làm sai bài thứ nhất thì khả năng làm đúng bài thứ hai là 0,2. Tính xác suất học sinh đó làm đúng cả hai bài?
0,56;
0,14;
0,16;
0,65.
Đáp án đúng là: A
Gọi A là biến cố: “Làm đúng bài thứ nhất”; B là biến cố: “Làm đúng bài thứ hai”.
Khi đó biến cố AB: “Làm đúng cả hai bài”.
Theo bài ta có P(A) = 0,7; P(B|A) = 0,8; \(P\left( {B|\overline A } \right) = 0,2\).
Do đó \(P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) = 1 - 0,7 = 0,3\); \(P\left( {\overline B |A} \right) = 1 - P\left( {B|A} \right) = 1 - 0,8 = 0,2\);
\(P\left( {\overline B |\overline A } \right) = 1 - P\left( {B|\overline A } \right) = 1 - 0,2 = 0,8\).
Ta có sơ đồ hình cây như sau
Vậy P(AB) = 0,8.0,7 = 0,56.
Một sơ đồ hình cây biểu diễn một bài toán xác suất gồm hai giai đoạn liên tiếp như sau:
Giá trị số ghi trên nhánh từ A đến B biểu diễn cho đại lượng nào sau đây?
P(AB).
P(A|B).
P(B|A).
P(B).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Giá trị số ghi trên nhánh từ A đến B biểu diễn cho đại lượng P(B|A).
Một học sinh vẽ sơ đồ hình cây để tính xác suất lấy liên tiếp 2 viên kẹo từ một chiếc túi như sau:
Để tính xác suất của biến cố “Cả hai viên kẹo lấy ra đều là kẹo dâu” học sinh đó cần thực hiện phép tính nào sau đây?
0,6 + 0,5.
0,6×0,5.
\(\frac{{0,5}}{{0,6}}\).
0,6 – 0,5.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Xác suất của biến cố “Cả hai viên kẹo lấy ra đều là kẹo dâu” là 0,6×0,5.
Bạn An có hai chiếc hộp đựng bi. Hộp I chứa 4 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ. Hộp II chứa 2 viên bi xanh và 5 viên bi đỏ. An tung một đồng xu cân đối: Nếu xuất hiện mặt Ngửa thì An chọn hộp I, nếu xuất hiện mặt Sấp thì An chọn hộp II. Sau đó, từ hộp đã chọn, An rút ngẫu nhiên một viên bi. Xác suất rút được viên bi màu xanh với điều kiện đồng xu xuất hiện mặt Sấp bằng bao nhiêu?
\(\frac{4}{7}\).
\(\frac{2}{7}\).
\(\frac{5}{7}\).
\(\frac{4}{7}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Xác suất rút được viên bi màu xanh với điều kiện đồng xu xuất hiện mặt Sấp bằng \(\frac{2}{7}\).
Một học sinh vẽ sơ đồ hình cây để tính xác suất thi đỗ hai môn thi liên tiếp Toán và Tiếng Anh như sau:
Xác suất để học sinh này trượt môn Toán nhưng vẫn đỗ môn Tiếng Anh là:
0,1.
0,45.
0,72.
0,2.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Dựa sơ đồ hình cây ta có xác suất để học sinh này trượt môn Toán nhưng vẫn đỗ môn Tiếng Anh là: 0,2×0,5 = 0,1.
Bạn Nam tham gia một trò chơi điện tử gồm 2 vòng đấu liên tiếp độc lập. Vòng 1 Nam đấu với máy, xác suất thắng là 0,6. Nếu thắng vòng 1, Nam mới được bước tiếp vào vòng 2 với độ khó cao hơn và có xác suất thắng vòng 2 là 0,4. Nếu thua vòng 1, trò chơi kết thúc ngay lập tức. Để chúc mừng người chơi xuất sắc, hệ thống sẽ tặng phần thưởng đặc biệt cho những ai vượt qua được cả hai vòng đấu. Tính xác suất để bạn Nam nhận được phần thưởng đặc biệt này.
0,4.
0,24.
0,6.
0,36.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Ta có sơ đồ hình cây
Dựa vào sơ đồ hình cây, ta có xác suất để bạn Nam nhận được phần thưởng đặc biệt này là P = 0,4×0,6 = 0,24.
Một học sinh vẽ một sơ đồ hình cây để mô tả một bài toán xác suất gồm hai giai đoạn liên tiếp từ một gốc ban đầu như sau:
Dựa vào sơ đồ hình cây trên, các phát biểu sau đây đúng hay sai?
Giá trị số 0,4 ghi trên nhánh từ M đến X chính là xác suất có điều kiện P(X|M).
Xác suất để chuỗi hành động xảy ra dọc theo đường đi từ gốc qua nhánh M rồi đến nhánh Y là P(MY) = 0,18.
Xác suất có điều kiện P(Y|N) có giá trị bằng 0,5.
P(NX) = 0,2.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Dựa vào sơ đồ cây, ta có P(X|M) = 0,4.
b) Đúng. P(MY) = 0,3×0,6 = 0,18.
c) Đúng. P(Y|N) = 0,5.
d) Sai. P(NX) = 0,5×0,7 = 0,35.
Một đội tuyển thể thao thi đấu hai trận liên tiếp. Sơ đồ hình cây được thiết lập để theo dõi kết quả với hai giai đoạn
Các phát biểu sau đây đúng hay sai?
Xác suất để đội thắng cả hai trận liên tiếp là 0,35.
Xác suất để đội thắng ở trận thứ hai biết rằng thua ở trận thứ nhất là 0,3.
Xác suất để đội thua ở trận thứ nhất và thắng ở trận thứ hai là 0,15.
Biết rằng đội thắng ở trận thứ nhất. Xác suất đội thắng ở trận thứ hai là 0,3.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Xác suất để đội thắng cả hai trận liên tiếp là 0,7×0,5 = 0,35.
b) Đúng. Xác suất để đội thắng ở trận thứ hai biết rằng thua ở trận thứ nhất là 0,3.
c) Đúng. Xác suất để đội thua ở trận thứ nhất và thắng ở trận thứ hai là 0,5×0,3 = 0,15.
d) Sai. Biết rằng đội thắng ở trận thứ nhất. Xác suất đội thắng ở trận thứ hai là 0,7.
Một nông trường trồng hoa lan xuất xưởng sản phẩm qua hai 2 vòng kiểm tra chất lượng. Sơ đồ hình cây được thiết lập như sau:
Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm. Các phát biểu sau đúng hay sai?
Xác suất để sản phẩm đó đạt chất lượng ở vòng kiểm tra thứ nhất là 0,6.
Biết sản phẩm đó đạt chất lượng ở vòng kiểm tra thứ nhất. Xác suất để sản phẩm đó đạt chất lượng ở vòng kiểm tra thứ hai là 0,9.
Xác suất để sản phẩm đó đạt chất lượng qua hai vòng kiểm tra là 0,54.
Xác suất để sản phẩm đó không đạt chất lượng ở vòng kiểm tra thứ nhất nhưng lại đạt chất lượng ở vòng kiểm tra thứ hai là 0,5.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Dựa vào sơ đồ cây, ta có xác suất để sản phẩm đó đạt chất lượng ở vòng kiểm tra thứ nhất là 0,6.
b) Đúng. Xác suất để sản phẩm đó đạt chất lượng ở vòng kiểm tra thứ hai khi đạt chất lượng ở vòng thứ nhất là 0,9.
c) Đúng. Xác suất để sản phẩm đó đạt chất lượng qua hai vòng kiểm tra là 0,6×0,9 = 0,54.
d) Sai. Xác suất để sản phẩm đó không đạt chất lượng ở vòng kiểm tra thứ nhất nhưng lại đạt chất lượng ở vòng kiểm tra thứ hai là 0,4×0.5 = 0,2.
Một linh kiện điện tử được đưa vào dây chuyền kiểm tra lỗi tự động qua hai công đoạn liên tiếp độc lập. Sơ đồ hình cây được thiết lập như sau:
Các phát biểu sau đúng hay sai?
Xác suất để linh kiện không đạt ngay từ đầu là 0,9.
Xác suất để linh kiện đạt ở công đoạn 1 nhưng không đạt ở công đoạn 2 là 0,02.
Biết linh kiện được xuất xưởng nếu qua cả 2 công đoạn kiểm tra. Xác suất để linh kiện được xuất xưởng là 0,02.
Tất cả linh kiện không đạt qua hai công đoạn kiểm tra sẽ bị giữ lại xưởng. Xác suất để linh kiện bị giữ lại là \(\frac{5}{{49}}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Dựa vào sơ đồ cây, ta có xác suất để linh kiện không đạt ngay từ đầu là 0,9.
b) Sai. Xác suất để linh kiện đạt ở công đoạn 1 nhưng không đạt ở công đoạn 2 là
0,1×0,8 = 0,08.
c) Đúng. Xác suất để linh kiện được xuất xưởng là 0,1×0,2 = 0,02.
d) Sai. Xác suất để linh kiện bị giữ lại là 0,9 + 0,1×0,8 = 0,98.
Một kì thủ cờ vua tham gia một trận đấu gồm hai ván đấu liên tiếp. Sơ đồ hình cây được thiết lập như sau:
Biết kỳ thủ đã thắng ván thứ nhất. Xác suất để kì thủ thắng ván thứ hai là 0,7.
Xác suất để kỳ thủ đạt kết quả hoàn hảo thẳng cả hai ván liên tiếp bằng 0,35.
Xác suất để kỳ thủ thua ở ván thứ 1 nhưng bất ngờ lội ngược dòng thắng ở ván thứ hai bằng 0,15.
Xác suất để kỳ thủ thua cả hai ván là 0,7.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Dựa vào sở đồ cây ta có:
Xác suất để kì thủ thắng ván thứ hai biết rằng kỳ thủ thắng ván thứ nhất là 0,7.
b) Đúng. Xác suất để kỳ thủ đạt kết quả hoàn hảo thẳng cả hai ván liên tiếp bằng
0,5×0,7 = 0,35.
c) Đúng. Xác suất để kỳ thủ thua ở ván thứ 1 nhưng bất ngờ lội ngược dòng thắng ở ván thứ hai bằng 0,5×0,3 = 0,15.
d) Sai. Xác suất để kỳ thủ thua cả hai ván là 0,5×0,7 = 0,35.
Một người tham gia một kì thi sát hạch lái xe gồm hai phần: Lý thuyết và Thực hành. Chỉ khi đạt phần Lý thuyết mới được thi phần Thực hành. Sơ đồ hình cây được thiết lập như sau:
Tính xác suất để người đó vượt qua kì thi sát hạch.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 0,56
Xác suất để người đó vượt qua kì thi sát hạch là 0,7×0,8 = 0,56.
Thời tiết ngày mai được dự báo qua sơ đồ hình cây như sau
Tính xác suất thời tiết ngày mai buổi sáng không mưa nhưng buổi chiều lại mưa.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 0,18
Xác suất thời tiết ngày mai buổi sáng không mưa nhưng buổi chiều lại mưa là
0,6×0,3 = 0,18.
Một cửa hàng kinh doanh hoa quả nhập trái cây từ hai vườn. Tỷ lệ nhập từ nhà vườn I là 60% còn lại là từ nhà vường II. Qua kiểm định ta thấy trái cây vườn I có tỷ lệ đạt chuẩn là 0,9; trái cây vườn II có tỷ lệ đạt chuẩn là 0,85. Chọn ngẫu nhiên một trái cây của cửa hàng. Tính xác suất để trái cây đó thuộc nhà vườn I và không đạt chuẩn chất lượng.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 0,06
Dựa vào sơ đồ hình cây ta có xác suất để trái cây đó thuộc nhà vườn I và không đạt chuẩn chất lượng là 0,6×0,1 = 0,06.
Trong một nhà máy, các linh kiện được sản xuất qua hai phân xưởng liên tiếp A và B. Ở phân xưởng A tỉ lệ sản phẩm đạt chuẩn là 0,8. Nếu sản phẩm ở phân xưởng A đạt chuẩn, sản phẩm được chuyển sang phân xưởng B, tại đây tỉ lệ tiếp tục đạt chuẩn là 0,9. Từ nhóm các sản phẩm đã đạt chuẩn ở phân xưởng A và được chuyển sang phân xưởng B, người ta chọn ra ngẫu nhiên 1 sản phẩm. Tính xác suất để sản phẩm được chọn không đạt chuẩn tại phân xưởng B.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 0,1
Dựa vào sơ đồ hình cây ta có xác suất để sản phẩm được chọn không đạt chuẩn tại phân xưởng B là 0,1.
Một công ty thời trang chạy chiến dịch quảng cáo cho dòng sản phẩm mới trên mạng xã hội. Qua thống kê dữ liệu hệ thống, tỷ lệ người dùng mạng xã hội nhìn thấy quảng cáo này là 0,4. Đối với những người đã nhìn thấy quảng cáo, xác suất họ bấm vào đường link để mua hàng là 0,15. Đối với những người không nhìn thấy quảng cáo, xác suất họ tự tìm kiếm và bấm vào đường link mua hàng chỉ là 0,02. Bộ phận marketing chọn ngẫu nhiên 1 người dùng mạng xã hội để phân tích hành vi. Xác suất để người dùng được chọn rơi vào đúng kịch bản “Người đó không nhìn thấy quảng cáo nhưng vẫn bấm vào link mua hàng” là \(\frac{a}{b}\) (\(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản). Tính a + b.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 253
Dựa vào sơ đồ hình cây, ta có xác suất người đó không nhìn thấy quảng cáo nhưng vẫn bấm vào link mua hàng là 0,6×0,02 = \(\frac{3}{{250}}\).
Suy ra a = 3; b = 250. Do đó a + b = 253.
