Đề kiểm tra Xác suất có điều kiện lớp 12 (có lời giải) - Đề 2

Chọn D

\[A\] và \[B\] là hai biến cố độc lập nên: \[P\le\[P\left( {A \cap B} \right)\]ft( {A|B} \right) = P\left( A \right) = 0,2024\]

Chọn A

Ta có: \[P\left( {A \cap \bar B} \right) + P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right) \Rightarrow P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right) - P\left( {A \cap \bar B} \right) = 0,8 - 0,55 = 0,25\]

Chọn B

Ta có: \[P\left( {\bar B|A} \right) = 1 - P\left( {B|A} \right) = 1 - \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = 1 - \frac{{0,3}}{{0,6}} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\]

Chọn C

Gọi \[A\] là biến cố “con xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 4 chấm”

Gọi \[B\] là biến cố “Tổng số chấm xuất hiện trên 2 con xúc xắc bằng 6”.

Khi con xúc xắc thứ nhất đã xuất hiện mặt 4 chấm thì lần thứ hai xuất hiện 2 chấm thì tổng hai lần xuất hiện là 6 chấm thì \[P\left( {B|A} \right) = \frac{1}{6}\]

Chọn D

Gọi A là biến cố chọn được học sinh giỏi.

Gọi B là biến cố chọn được học sinh là nữ.

Khi đó \(n(A \cap B) = 6\)

Xác suất để chọn được một học sinh nữ và học sinh đó là học sinh giỏi là:

\[P(A\backslash B) = \frac{{P(A \cap B)}}{{P(B)}} = \frac{{n(A \cap B)}}{{n(B)}} = \frac{6}{{20}} = \frac{3}{{10}}\]

Chọn D

Giới tính cả 2 đứa trẻ là ngẫu nhiên và không liên quan đến nhau.

Do gia đình có 2 đứa trẻ nên sẽ có thể xảy ra 4 khả năng:

(trai, trai), (gái, gái), (gái, trai), (trai, gái).

Gọi A là biến cố “Cả hai đứa trẻ đều là con gái”

Gọi B là biến cố “Có ít nhất một đứa trẻ là con gái”

Ta có \[P\left( A \right) = \frac{1}{4};P\left( B \right) = \frac{3}{4}\]

Do nếu xảy ra A thì đương nhiên sẽ xảy ra B nên ta có:

\[P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right) = \frac{1}{4}\]

Suy ra, xác suất để cả hai đứa trẻ đều là con gái khi biết ít nhất có một đứa trẻ là gái là

\[P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\frac{1}{4}}}{{\frac{3}{4}}} = \frac{1}{3}\]

Theo định nghĩa xác suất có điều kiện, ta có \({\rm P}\left( {A|B} \right) = \frac{{{\rm P}\left( {AB} \right)}}{{{\rm P}\left( B \right)}} = \frac{{0,2}}{{0,6}} = \frac{1}{3}\).

Theo định nghĩa xác suất có điều kiện, ta có \({\rm P}\left( {A|B} \right) = \frac{{{\rm P}\left( {AB} \right)}}{{{\rm P}\left( B \right)}}\).

Do đó \({\rm P}\left( {AB} \right) = {\rm P}\left( {A|B} \right).{\rm P}\left( B \right) = 0,3.0,25 = 0,075\).

Từ đó suy ra \({\rm P}\left( {B|A} \right) = \frac{{{\rm P}\left( {AB} \right)}}{{{\rm P}\left( A \right)}} = \frac{{0,075}}{{0,4}} = 0,1875\).

Gọi \(A\) là biến cố “lần thứ hai lấy được thẻ ATM Vietcombank”, \(B\) là biến cố “lần thứ nhất lấy được thẻ ATM của ACB”. Ta cần tìm \({\rm P}\left( {A|B} \right)\).

Sau khi lấy lần thứ nhất (biến cố \(B\) xảy ra) trong hộp còn lại \(9\) thẻ (trong đó có \(4\) thẻ Vietcombank) nên \({\rm P}\left( {A|B} \right) = \frac{4}{9}\).

Gọi \(A\) là biến cố “học sinh được chọn biết chơi bóng đá”, \(B\) là biến cố “học sinh được chọn biết chơi cầu lông”.

Ta có \(n\left( {AB} \right) = 50 - \left( {23 + 21} \right) = 6\) và \(n\left( B \right) = 23 + 6 = 29\). Do đó \({\rm P}\left( {A|B} \right) = \frac{{{\rm P}\left( {AB} \right)}}{{{\rm P}\left( B \right)}} = \frac{6}{{29}}\).

Gọi \(A\) là biến cố “lấy một bi xanh lần thứ nhất” thì \({\rm P}\left( A \right) = \frac{3}{5}\).

Gọi \(B\) là biến cố “lấy một bi trắng lần thứ hai”.

Gọi \(C\) là biến cố “lấy lần 1 lấy một viên bi xanh, lần 2 lấy một viên bi trắng”.

Nếu \(A\) đã xảy ra thì trong bình chỉ còn 2 bi xanh, 2 bi trắng. Khi đó \({\rm P}\left( {B|A} \right) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\).

Mà \(C = AB\), do đó theo công thức nhân ta có \({\rm P}\left( C \right) = {\rm P}\left( {AB} \right) = {\rm P}\left( A \right).{\rm P}\left( {B|A} \right) = \frac{3}{5}.\frac{1}{2} = \frac{3}{{10}}\).

Gọi \(C\) là biến cố “công ty thắng dự án II biết công ty thắng thầu dự án I”.

Ta có \({\rm P}\left( C \right) = {\rm P}\left( {B|A} \right) = \frac{{{\rm P}\left( {AB} \right)}}{{{\rm P}\left( A \right)}} = \frac{{0,3}}{{0,4}} = 0,75\).

a)     Sai

Nam có 14 cách lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp

Hùng có 13 cách lấy một viên bi còn lại trong hộp (vì Nam lấy bi và không trả lại)

Do đó \(n\left( \Omega  \right) = 14.13 = 182\).

b)     Sai

Nam có 8 cách lấy một viên bi màu xanh, Hùng có 13 cách lấy một viên bi còn lại trong hộp. Dó đó \(n\left( B \right) = 8.13 = 104 \Rightarrow P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{4}{7}\).

c)     Đúng

Nam có 8 cách lấy một viên bi màu xanh, Hùng có 6 cách lấy một viên bi màu đỏ. Do đó \(n\left( {AB} \right) = 8.6 = 48 \Rightarrow P\left( {AB} \right) = \frac{{n\left( {AB} \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{24}}{{91}}\).

d)     Đúng

Ta có: \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{6}{{13}}\)

a)     Đúng

\(n\left( \Omega  \right) = 6.6 = 36\). \[AB = \left\{ {(3,2);(3,4);(3,6);(2,3);(4,3);(6,3)} \right\} \Rightarrow n\left( {AB} \right) = 6\]

Do đó \(P\left( {AB} \right) = \frac{6}{{36}} = \frac{1}{6}\).

b)     Đúng

Ta có \[\overline B  = \left\{ {\left( {i;j} \right)|i,j \in \left\{ {1,2,4,5,6} \right\}} \right\} \Rightarrow n\left( {\overline B } \right) = 5.5 = 25 \Rightarrow \]\(n\left( B \right) = 36 - n\left( {\overline B } \right) = 11\). Do đó \(P\left( B \right) = \frac{{11}}{{36}}\).

c)     Sai

Ta có \[P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{1}{6}:\frac{{11}}{{36}} = \frac{6}{{11}}\].

d)     Đúng

Ta có: \(\overline A B = \left\{ {\left( {3,1} \right);\left( {3,5} \right);\left( {1,3} \right);\left( {5,3} \right)} \right\} \Rightarrow n\left( {\overline A B} \right) = 4\)

Do đó \(P\left( {\overline A |B} \right) = \frac{{n\left( {\overline A B} \right)}}{{n\left( B \right)}} = \frac{4}{{11}}\)

a) Đúng.

Ta có: \[P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) = 0,6\]

           \[P\left( B \right) = 1 - P\left( {\overline B } \right) = 0,3\].

b) Sai.

Ta có: \[P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,3}}{{0,7}} = \frac{3}{7}\].

c) Sai.

Ta có: \[P\left( {\overline B |A} \right) = 1 - P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = 1 - \frac{{0,3}}{{0,6}} = 0,5\].  

d) Sai.

Ta có: \[P\left( {\overline A  \cap B} \right) = P\left( {\overline A |B} \right).P\left( B \right)\]  

Mà \[P\left( {\overline A |B} \right) = 1 - P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = 1 - \frac{{0,3}}{{0,7}} = \frac{4}{7}\]

\[P\left( {\overline B  \cap A} \right) = P\left( {\overline A |B} \right).P\left( B \right) = \frac{4}{7}.0,7 = \frac{2}{5}\].

a) Sai.

\[A\]và \[B\] là hai biến cố độc lập thì \[P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)\]

Mà \[0,5.0,6 \ne 0,3\] nên \[A\]và \[B\] không độc lập

b) Đúng.

Gọi \[C\] là biến cố công ty chỉ thắng thầu 1 dự án:

      \[P\left( C \right) = P\left( {A \cap \overline B } \right) + P\left( {\overline A  \cap B} \right) = P\left( A \right) - P\left( {A \cap B} \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cap B} \right)\]  

                  \[ = P\left( A \right) + P\left( B \right) - 2P\left( {A \cap B} \right) = 0,5 + 0,6 - 2.0,3 = 0,5\].

c) Sai.

Gọi \[D\] là biến cố công ty thầu dự án 2 biết thắng thầu dự án 1

       \[P\left( D \right) = P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0,3}}{{0,5}} = \frac{3}{5}\].

d) Sai.

Gọi \[E\] là biến cố công ty thầu dự án 2 biết không thắng thầu dự án 1

       \[P\left( E \right) = P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{{P\left( {\overline A  \cap B} \right)}}{{P\left( {\overline A } \right)}} = \frac{{P\left( B \right) - P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( {\overline A } \right)}} = \frac{{0,6 - 0,3}}{{0,5}} = \frac{3}{5}\].

Theo công thức xác suất của \(A\) với điều kiện \(B\), ta có: \(P\left( {A\left| B \right.} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,2}}{{0,6}} = \frac{1}{3}\).

Xét hai biến cố sau:

\(A\): “Học sinh được chọn ra đạt điểm giỏi”;

\(B\): “Học sinh được chọn ra là học sinh nữ”.

Khi đó, xác suất để học sinh được chọn ra đạt điểm giỏi, biết rằng học sinh đó là nữ là xác suất của \(A\) với điều kiện \(B\).

Có 52 học sinh nữ đạt điểm giỏi nên: \(P\left( {A \cap B} \right) = \frac{{52}}{{400}} = 0,13\).

Có 210 học sinh nữ nên: \(P\left( B \right) = \frac{{210}}{{400}} = 0,525\).

Do đó, \(P\left( {A\left| B \right.} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,13}}{{0,525}} \approx 0,25\).

Vậy xác suất để học sinh được chọn ra đạt điểm giỏi, biết rằng học sinh đó là nữ là \(0,25\).

Gọi A là biến cố “Người mua bảo hiểm ô tô là nam, B là biến cố “Người mua bảo hiểm ô tô trên 50 tuổi”. Ta cần tính \(P\left( {B|A} \right)\).

Do có 51% người mua bảo hiểm ô tô là nam nên \(P\left( A \right) = 0,51\).

Do có 33% số người mua bảo hiểm ô tô là nam trên 50 tuổi nên \(P\left( {AB} \right) = 0,33\).

Vậy \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0,33}}{{0,51}} = \frac{{11}}{{17}} \approx 0,65\)

Theo công thức nhân xác suất, ta có \(P\left( {AB} \right) = P\left( B \right)P\left( {A|B} \right) = 0,3.0,5 = 0,15\).

Vì \(\overline A B\) và AB là hai biến cố xung khắc và \(\overline A B \cup AB = B\) nên theo tính chất của xác suất, ta có

\(P\left( {\overline A B} \right) = P\left( B \right) - P\left( {AB} \right) = 0,3 - 0,15 = 0,15\)

Theo công thức tính xác suất có điều kiện, \(P\left( {\overline A |B} \right) = \frac{{P\left( {\overline A B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,15}}{{0,3}} = 0,5\).

Gọi A là biến cố: “rút ra được câu hỏi lý thuyết”

Gọi B là biến cố: “rút ra được câu khó”

Nếu biết B đã xảy ra (nghĩa là câu hỏi rút ra là một câu trong số 17 câu khó) thì xác suất để câu hỏi đó là lý thuyết (nghĩa là câu hỏi đó là một câu trong số 5 câu hỏi lý thuyết khó ) chính là xác suất A có điều kiện B đã xảy ra.  Ta đi tính \[P\left( {A|B} \right)\]

Ta có:

\[P\left( A \right) = \frac{{13}}{{40}}\]

\[P\left( B \right) = \frac{{17}}{{40}}\]

\[P\left( {A \cap B} \right) = \frac{5}{{40}}\]

Vậy \[P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\frac{5}{{40}}}}{{\frac{{17}}{{40}}}} = \frac{5}{{17}}\].

Gọi A là biến cố: “Lấy được một viên bi xanh ở lần thứ nhất”,

Gọi B là biến cố: “Lấy được một viên bi trắng ở lần thứ hai”.

Ta cần tính xác suất \[P\left( {A \cap B} \right)\]

Theo công thức nhân xác suất \[P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right)\,.\,P\left( {B|A} \right)\]

Vì có 30 viên bi xanh trong tổng số 50 viên bi nên \[P\left( A \right) = \frac{{30}}{{50}} = \frac{3}{5}\]

Nếu  A đã xảy ra, tức là một viên bi xanh đã được lấy ra ở lần thứ nhất, thì còn lại trong bình 49 viên bi trong đó số viên bi trắng là 20, do đó\[P\left( {B|A} \right) = \frac{{20}}{{49}}\]

Vậy xác suất cần tìm là\[P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right)\,.\,P\left( {B|A} \right) = \frac{3}{5}\,.\,\frac{{20}}{{49}} = \frac{{12}}{{29}}\]