Đề kiểm tra Tích vô hướng của hai vectơ lớp 10 (có lời giải) - Đề 3
22 câu hỏi
Phần 1. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi, thí sinh chỉ chọn 1 phương án.
Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\), \(\hat A = {120^{\rm{o}}}\)và \(AB = a\). Tính \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {CA} \)\(\frac{{{a^2}}}{2}\).
\( - \frac{{{a^2}}}{2}\).
\(\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).
\( - \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).
Chọn B
Ta có \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {CA} = BA.CA.\cos {120^{\rm{o}}} = - \frac{1}{2}{a^2}\).
Cho hình vuông \(ABCD\) tâm \(O\). Hỏi mệnh đề nào sau đây sai?
\(\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} = 0\).
\(\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {AC} \).
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} \).
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} \).
Chọn C
Phương án A:\(\overrightarrow {OA} \bot \overrightarrow {OB} \)suy ra \(\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} = 0\)nên loại A.
Phương án B:\(\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OC} = 0\)và \(\frac{1}{2}\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {AC} = 0\) suy ra \(\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {AC} = 0\)nên loại B.
Phương án C: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.\cos {45^{\rm{o}}} = AB.AB\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 2 }}{2} = A{B^2}\).
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = AB.DC.\cos {180^0} = - A{B^2}\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \ne \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} \) nên chọn C.
Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a\). Hỏi mệnh đề nào sau đây sai?
\(\overrightarrow {DA} .\overrightarrow {CB} = {a^2}\).
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = - {a^2}\).
\(\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right).\overrightarrow {AC} = {a^2}\).
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} .\overrightarrow {CD} = 0\).
Chọn B
Phương án A:Do\(\overrightarrow {DA} .\overrightarrow {CB} = DA.CB.cos{0^0} = {a^2}\)nên loạiA.
Phương án B:Do\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = AB.CD.{\rm{cos}}{180^{\rm{o}}} = - {a^2}\)nên chọn B.
\(\frac{{9{a^2}}}{2}\).
\( - \frac{{9{a^2}}}{2}\).
\(0\).
\(9{a^2}\).
Chọn B
Ta có \(\left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} } \right).\overrightarrow {ID} = \left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AB} } \right).\overrightarrow {ID} = 2\overrightarrow {IA} .\overrightarrow {ID} = - \frac{{9{a^2}}}{2}\)nên chọn B.
\(3{a^2}\).
\( - 3{a^2}\).
\(3a\).
\(0\).
Chọn B
Ta có \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB} = AC.BC.\cos {150^{\rm{o}}} = a\sqrt 3 .2a.\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) = - 3{a^2}\).
\(7\).
\(5\).
\( - 7\).
\( - 5\).
Chọn C
\(\left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow b } \right| = 1\), \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = 2 \Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)^2} = 4 \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b = 1\), \(\left( {3\overrightarrow a - 4\overrightarrow b } \right)\left( {2\overrightarrow a + 5\overrightarrow b } \right) = 6{\overrightarrow a ^2} - 20{\overrightarrow b ^2} + 7\overrightarrow a .\overrightarrow b = - 7\).
\( - 9{a^2}\).
\(15{a^2}\).
\(0\).
\(9{a^2}\)
Chọn A
Vì\(\overrightarrow {DA} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {DA} .\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DC} } \right) = \overrightarrow {DA} .\overrightarrow {AD} = - 9{a^2}\)nên chọn A.
\(9\).
\(81\).
\(3\).
\(5\).
Chọn B
Ta có \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} } \right).\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} .\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AC} = 81\)nên chọn B.
\[\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} = 13\]
\[\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} = 15\]
\[\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} = 17\]
\[\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} = 19\]
Chọn B
Ta có \[AB + BC = CA\]\[ \Rightarrow \] ba điểm \[A,\,\,B,\,\,C\] thẳng hàng và nằm giữa \[A,\,\,C.\]
Khi đó \[\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} = CA.CB.\cos \left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} } \right) = 3.5.\cos {0^0} = 15\]
Cách khác. Ta có \[A{B^2} = {\overrightarrow {AB} ^2} = {\left( {\overrightarrow {CB} - \overrightarrow {CA} } \right)^2} = C{B^2} - 2\overrightarrow {CB} \overrightarrow {CA} + C{A^2}\]
\(P = {b^2} - {c^2}\)
\(P = \frac{{{c^2} + {b^2}}}{2}\)
\(P = \frac{{{c^2} + {b^2} + {a^2}}}{3}\)
\(P = \frac{{{c^2} + {b^2} - {a^2}}}{2}\)
Chọn A
Ta có \(P = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right).\overrightarrow {BC} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right).\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} } \right)\)
\[ = \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} } \right).\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = {\overrightarrow {AC} ^2} - {\overrightarrow {AB} ^2} = A{C^2} - A{B^2} = {b^2} - {c^2}\]
\(P = - 1\)
\(P = 3{a^2}\)
\(P = - 3{a^2}\)
\(P = 2{a^2}\)
Chọn C
Từ giả thiết suy ra \[AC = a\sqrt 2 \]
Ta có \[P = \overrightarrow {AC} .\left( {\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {CA} } \right) = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CA} = - \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CD} - {\overrightarrow {AC} ^2}\]
\[ = - CA.CD\cos \left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CD} } \right) - A{C^2} = - a\sqrt 2 .a.\cos {45^0} - {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2} = - 3{a^2}\]
\(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} = \frac{{{b^2} - {c^2}}}{2}.\)
\(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} = \frac{{{c^2} + {b^2}}}{2}.\)
\(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} = \frac{{{c^2} + {b^2} + {a^2}}}{3}.\)
\(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} = \frac{{{c^2} + {b^2} - {a^2}}}{2}.\)
Chọn A
Vì \[M\] là trung điểm của \[BC\] suy ra \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\,\overrightarrow {AM} \]
Khi đó \[\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right).\overrightarrow {BC} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right).\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} } \right)\]
\[ = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} } \right).\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{1}{2}\left( {{{\overrightarrow {AC} }^2} - {{\overrightarrow {AB} }^2}} \right) = \frac{1}{2}\left( {A{C^2} - A{B^2}} \right) = \frac{{{b^2} - {c^2}}}{2}\]
Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = a,BC = 2a\). Khi đó:
a)
b) \(\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} = {a^2}\)
c) \(\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {CA} = 3{a^2}.\)
d) \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {AB} = - 4{a^2}\)
a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng |
Xét tam giác vuông \(ABC\):
Ta có:
Ta có:
Vì tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên \(\overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {AB} = 0\).
Ta có: \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} = - {a^2},\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {CA} = - 3{a^2}\).
Suy ra \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {AB} = - {a^2} - 3{a^2} = - 4{a^2}\).
Cho hình vuông \(ABCD\) tâm \(O\), có cạnh \(a\). Biết \(M\) là trung điểm của \(AB,G\) là trọng tâm tam giác \(ADM\). Khi đó:
a) \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CA} = {a^2}\)
b) \(\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {AC} = \frac{{{a^2}}}{3}\)
c) \(\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {OM} \cdot \overrightarrow {AC} = \frac{{{a^2}}}{2}\)
d) \((\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} )(\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {BC} ) = {a^2}\)
a) Sai | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng |
Độ dài đường chéo hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a\) là \(AC = BD = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \).
Ta có: \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CA} = - \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = - |\overrightarrow {AB} | \cdot |\overrightarrow {AC} | \cdot \cos (\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} )\)
Ta có: \(\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {OM} \cdot \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {DA} \cdot \overrightarrow {DB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {DA} \cdot \overrightarrow {AC} = |\overrightarrow {DA} | \cdot |\overrightarrow {DB} | \cdot \cos (\overrightarrow {DA} ,\overrightarrow {DB} ) - \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {AC} \)
Ta có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \) (quy tắc hình bình hành).
Do đó: \((\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} )(\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {BC} ) = \overrightarrow {AC} (\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {BC} )\)
(trong đó \(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} = 0\) vì \(\overrightarrow {AC} \bot \overrightarrow {BD} \) ).
Cho hình vuông \(ABCD\) tâm \(O\), cạnh bằng \(a\). Khi đó:
a) \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {DC} = 2{a^2}\);
b) \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {OC} = {a^2}\);
c) \(\overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {OC} = - {a^2}\);
d) \((\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} ) \cdot (\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BD} ) = {a^2}\)
a) Sai | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng |
a) Do \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DC} \) cùng hướng nên \((\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DC} ) = {0^0}\).
Suy ra:
b) Hai vectơ cùng hướng, do đó
Ta có:
c) Hai vectơ \(\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {OC} \) ngược hướng, do đó
Suy ra
d) Ta có: \((\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} ) \cdot (\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BD} ) = \overrightarrow {AC} \cdot (\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BD} ) = \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {CB} \) (trong đó \(AC \bot BD \Rightarrow \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} = 0\) ).
Ta có:
Vậy \((\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} ) \cdot (\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BD} ) = {a^2}\).
Cho hình thang \(ABCD\) vuông tại \(A\) và \(B\), biết \(AD = a,BC = 3a\) và cạnh \(AB = 2a\). Khi đó:
a) \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BD} = - 4{a^2}\)
b) \(\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {BD} = 2{a^2}\)
c) \(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} = - 2{a^2}\)
d) Gọi \(I,J\) lần lượt là trung điểm của \(AB,CD\). Khi đó\(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {IJ} = 6{a^2}\)
a) Đúng | b) Sai | c) Sai | d) Đúng |
a) Tính \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BD} \). Ta có: \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AB} (\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AD} ) = \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BA} + \underbrace {\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} }_0\)
\( = \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BA} = - {\overrightarrow {AB} ^2} = - A{B^2} = - 4{a^2}{\rm{. }}\)
b) Tính \(\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {BD} \). Ta có: \(\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {BD} = BC \cdot BD \cdot \cos (\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} ) = BC \cdot BD \cdot \cos \widehat {DBC}\)
\( = BC \cdot BD \cdot \cos \widehat {BDA} = BC \cdot BD \cdot \frac{{AD}}{{BD}} = BC \cdot AD = 3{a^3}{\rm{. }}\)
(trong đó \(\widehat {DBC} = \widehat {BDA}\) vì là hai góc so le trong).
c) Tính \(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} \).
Ta có: \(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} = (\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} )(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AD} ) = \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {AD} \)
\( = - {\overrightarrow {AB} ^2} + 0 + 0 + BC \cdot AD \cdot \cos {0^0} = - A{B^2} + 3a \cdot a \cdot 1 = - {(2a)^2} + 3{a^2} = - {a^2}.\)
d) Tính \(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {IJ} \). Ta có:
\(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {IJ} = (\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} ) \cdot \overrightarrow {IJ} = \underbrace {\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {IJ} }_0 + \overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {IJ} = BC \cdot IJ \cdot \cos {0^0} = 3a \cdot 2a \cdot 1 = 6{a^2}.\)
Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6
Một người dùng một lực \(\vec F\) có độ lớn \(90\;N\) làm một vật dịch chuyển một đoạn \(100\;m\). Biết lực \(\vec F\) hợp với hướng dịch chuyển một góc \({60^^\circ }\). Tính công sinh ra bởi lực \(\vec F\).
Đặt \(OM = s\) là đoạn đường mà vật di chuyển được với \(O\) là điểm đặt vật ban đầu. Công sinh ra bởi lực \(\vec F\) là:
Cho tứ giác lồi \(ABCD\), hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại \(O\). Gọi \(H\) và \(K\) lần lượt là trực tâm các tam giác \(ABO\) và \(CDO\). Gọi \(I,J\) lần lượt là trung điểm \(AD\) và \(BC\). Tính \(\overrightarrow {HK} \cdot \overrightarrow {IJ} \)?
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {IJ} = \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CJ} }\\{\overrightarrow {IJ} = \overrightarrow {ID} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {BJ} }\end{array} \Rightarrow 2\overrightarrow {IJ} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {DB} } \right.\).
Suy ra: \(\overrightarrow {HK} \cdot 2\overrightarrow {IJ} = \overrightarrow {HK} (\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {DB} ) = \overrightarrow {HK} \cdot \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {HK} \cdot \overrightarrow {DB} \)
\( = (\overrightarrow {HB} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DK} )\overrightarrow {AC} + (\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CK} )\overrightarrow {DB} = \overrightarrow {AC} (\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DB} ) = \overrightarrow {AC} \cdot \vec 0 = 0\).
Vậy \(\overrightarrow {HK} \cdot \overrightarrow {IJ} = 0\)
Cho hình chữ nhật \(ABCD\). Kẻ \(BK \bot AC,K \in AC\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AK\) và \(CD\). Tìm số đo góc \(\widehat {BMN}\).
Đặt \(\overrightarrow {BA} = \vec a,\overrightarrow {BC} = \vec b,\overrightarrow {BK} = \vec c\) và \(BA = a,BC = b,BK = c\). Khi đó: \(\overrightarrow {BM} = \frac{1}{2}(\vec a + \vec c),\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CN} = - \frac{1}{2}(\vec a + \vec c) + \vec b + \frac{1}{2}\vec a = \vec b - \frac{1}{2}\vec c = \frac{1}{2}(2\vec b - \vec c)\).
Do đó: \(\overrightarrow {MN} \cdot \overrightarrow {BM} = \frac{1}{4}(2\vec b - \vec c)(\vec a + \vec c) = \frac{1}{4}\left( {2\vec a \cdot \vec b - \vec a \cdot \vec c + 2\vec b \cdot \vec c - {{\vec c}^2}} \right)\)
\( = \frac{1}{4}[2\vec a \cdot \vec b + (\vec b - \vec a)\vec c + (\vec b - \vec c)\vec c]{\rm{. }}\)
Ta thấy rằng: \(\vec a \cdot \vec b = 0\) do \(\vec a \bot \vec b;(\vec b - \vec a)\vec c = \overrightarrow {AC} \cdot \vec c = 0\)
Do \(AC \bot BK;(\vec b - \vec c)\vec c = \overrightarrow {KC} \cdot \vec c = 0\) do \(CK \bot BK\).
Vì vậy
Cho đoạn \(AB = 20\). Tồn tại điểm \(M\) sao cho \(T = 3M{A^2} + 2M{B^2}\) đạt giá trị bé nhất \({T_{\min }}\). Tính giá trị \({T_{\min }}\)?
Gọi điểm \(I\) thỏa mãn \(3\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} = \vec 0\)
\( \Leftrightarrow 3\overrightarrow {IA} + 2(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AB} ) = \vec 0 \Leftrightarrow 5\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {AB} = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AI} = \frac{2}{5}\overrightarrow {AB} .\)
Vậy điểm \(I\) thuộc đoạn \(AB\) và \(IA = \frac{2}{5} \cdot AB = \frac{2}{5} \cdot 20 = 8,IB = 12\).
Ta có \(:T = 3M{A^2} + 2M{B^2} = 3{\overrightarrow {MA} ^2} + 2{\overrightarrow {MB} ^2} = 3{(\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} )^2} + 2{(\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} )^2}\)
\(\begin{array}{l} = 3{\overrightarrow {MI} ^2} + 6\overrightarrow {MI} \cdot \overrightarrow {IA} + 3{\overrightarrow {IA} ^2} + 2{\overrightarrow {MI} ^2} + 4\overrightarrow {MI} \cdot \overrightarrow {IB} + 2{\overrightarrow {IB} ^2}\\ = 5M{I^2} + 3I{A^2} + 2I{B^2} + 2\overrightarrow {MI} (\underbrace {3\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} }_{\vec 0}) = 5M{I^2} + 3I{A^2} + 2I{B^2}.\end{array}\)
Ta có \(\left( {3I{A^2} + 2I{B^2}} \right)\) là hằng số do ba điểm \(A,B,I\) cố định.
Do đó: \(T\) đạt giá trị nhỏ nhất \( \Leftrightarrow 5M{I^2}\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow MI\) bé nhất \( \Leftrightarrow \) Điểm \(M\) trùng với điểm \(I\).
Khi đó giá trị \(T\) nhỏ nhất là \(:{T_{\min }} = 3I{A^2} + 2I{B^2} = 3 \cdot {8^2} + 2 \cdot {12^2} = 480\).
Đặt \(\vec F = \overrightarrow {AN} ,\overrightarrow {{F_1}} = \overrightarrow {AP} ,\overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {AM} \).
Khi đó \(AMNP\) là hình bình hành, mà \(AM \bot AP\) nên \(AMNP\) là hình chữ nhật.
Ta có:
\(AP = MN = \sqrt {A{N^2} - A{M^2}} = 25.\)
Lực \(\vec F\) sinh ra công
Lực \({\vec F_1}\) có độ lớn \(25\;N\) và tạo với phương dịch chuyển góc nên công sinh ra là
Lực \({\vec F_2}\) có độ lớn \(25\sqrt 3 \;N\) và tạo với phương dịch chuyển góc nên công \(\sinh \) ra là \({A_2} = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| \cdot |\overrightarrow {AB} | \cdot \cos {0^0} = 25\sqrt 3 \cdot 200 \cdot 1 = 5000\sqrt 3 \;J\).
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có cạnh \(AC = 7\;cm\) và \(BC = 14\;cm\).
Tính côsin của góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {CB} \).
Ta có:
Mà \(\cos (\widehat {ACB}) = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{1}{2}\) nên \(\widehat {ACB} = {60^^\circ }\).
Vậy hay
