Đề kiểm tra Tích vô hướng của hai vectơ lớp 10 (có lời giải) - Đề 3

Chọn B

Ta có \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {CA}  = BA.CA.\cos {120^{\rm{o}}} =  - \frac{1}{2}{a^2}\).

Chọn C

Phương án A:\(\overrightarrow {OA}  \bot \overrightarrow {OB} \)suy ra \(\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB}  = 0\)nên loại A.

Phương án B:\(\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OC}  = 0\)và \(\frac{1}{2}\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {AC}  = 0\) suy ra \(\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OC}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {AC}  = 0\)nên loại B.

Phương án C: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = AB.AC.\cos {45^{\rm{o}}} = AB.AB\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 2 }}{2} = A{B^2}\).

\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  = AB.DC.\cos {180^0} =  - A{B^2}\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  \ne \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} \) nên chọn C.

Chọn B

Phương án A:Do\(\overrightarrow {DA} .\overrightarrow {CB}  = DA.CB.cos{0^0} = {a^2}\)nên loạiA.

Phương án B:Do\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  = AB.CD.{\rm{cos}}{180^{\rm{o}}} =  - {a^2}\)nên chọn B.

Chọn B

Ta có \(\left( {\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB} } \right).\overrightarrow {ID}  = \left( {\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {AB} } \right).\overrightarrow {ID}  = 2\overrightarrow {IA} .\overrightarrow {ID}  =  - \frac{{9{a^2}}}{2}\)nên chọn B.

Chọn B

Ta có \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB}  = AC.BC.\cos {150^{\rm{o}}} = a\sqrt 3 .2a.\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) =  - 3{a^2}\).

Chọn C

\(\left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow b } \right| = 1\), \(\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| = 2 \Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)^2} = 4 \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = 1\), \(\left( {3\overrightarrow a  - 4\overrightarrow b } \right)\left( {2\overrightarrow a  + 5\overrightarrow b } \right) = 6{\overrightarrow a ^2} - 20{\overrightarrow b ^2} + 7\overrightarrow a .\overrightarrow b  =  - 7\).

Chọn A

Vì\(\overrightarrow {DA} .\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {DA} .\left( {\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DC} } \right) = \overrightarrow {DA} .\overrightarrow {AD}  =  - 9{a^2}\)nên chọn A.

Chọn B

Ta có \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = \left( {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CB} } \right).\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CB} .\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AC}  = 81\)nên chọn B.

Chọn B

Ta có \[AB + BC = CA\]\[ \Rightarrow \] ba điểm \[A,\,\,B,\,\,C\] thẳng hàng và  nằm giữa \[A,\,\,C.\]

Khi đó \[\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB}  = CA.CB.\cos \left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} } \right) = 3.5.\cos {0^0} = 15\]

Cách khác. Ta có \[A{B^2} = {\overrightarrow {AB} ^2} = {\left( {\overrightarrow {CB}  - \overrightarrow {CA} } \right)^2} = C{B^2} - 2\overrightarrow {CB} \overrightarrow {CA}  + C{A^2}\]

Chọn A

Ta có \(P = \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right).\overrightarrow {BC}  = \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right).\left( {\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AC} } \right)\)

\[ = \left( {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AB} } \right).\left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right) = {\overrightarrow {AC} ^2} - {\overrightarrow {AB} ^2} = A{C^2} - A{B^2} = {b^2} - {c^2}\]

Chọn C

Từ giả thiết suy ra \[AC = a\sqrt 2 \]

Ta có \[P = \overrightarrow {AC} .\left( {\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {CA} } \right) = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CA}  =  - \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CD}  - {\overrightarrow {AC} ^2}\]

\[ =  - CA.CD\cos \left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CD} } \right) - A{C^2} =  - a\sqrt 2 .a.\cos {45^0} - {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2} =  - 3{a^2}\]

Chọn A

Vì \[M\] là trung điểm của \[BC\] suy ra \[\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = 2\,\overrightarrow {AM} \]

Khi đó \[\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right).\overrightarrow {BC}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right).\left( {\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AC} } \right)\]

\[ = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AB} } \right).\left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{1}{2}\left( {{{\overrightarrow {AC} }^2} - {{\overrightarrow {AB} }^2}} \right) = \frac{1}{2}\left( {A{C^2} - A{B^2}} \right) = \frac{{{b^2} - {c^2}}}{2}\]

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Đúng

Xét tam giác vuông \(ABC\): AC=BC2−AB2=(2a)2−a2=a3

cosABC^=ABBC=a2a=12 ⇒ABC^=60°⇒ACB^=30°

Ta có: BA→⋅BC→=|BA→|⋅|BC→|⋅cos(BA→,BC→)=BA⋅BC⋅cosABC^=a⋅2a⋅12=a2

Ta có: BC→⋅CA→=−CB→⋅CA→=−|CB→|⋅|CA→|cosACB^

=−CB⋅CA⋅cos30°=−2a⋅a3⋅32=−3a2.

Vì tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên \(\overrightarrow {CA}  \cdot \overrightarrow {AB}  = 0\).

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {BC}  =  - {a^2},\overrightarrow {BC}  \cdot \overrightarrow {CA}  =  - 3{a^2}\).

Suy ra \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BC}  \cdot \overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {CA}  \cdot \overrightarrow {AB}  =  - {a^2} - 3{a^2} =  - 4{a^2}\).

a) Sai

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

 

Độ dài đường chéo hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a\) là \(AC = BD = \sqrt {{a^2} + {a^2}}  = a\sqrt 2 \).

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {CA}  =  - \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  =  - |\overrightarrow {AB} | \cdot |\overrightarrow {AC} | \cdot \cos (\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} )\)

=−AB⋅AC⋅cosBAC^=−a⋅a2⋅cos45°=−a2AM→⋅AC→=|AM→|⋅|AC→|⋅cos(AM→,AC→)=AM⋅AC⋅cosCAM^=a2⋅a2⋅cos45°=a22.

Ta có: \(\overrightarrow {AD}  \cdot \overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {OM}  \cdot \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {DA}  \cdot \overrightarrow {DB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {DA}  \cdot \overrightarrow {AC}  = |\overrightarrow {DA} | \cdot |\overrightarrow {DB} | \cdot \cos (\overrightarrow {DA} ,\overrightarrow {DB} ) - \frac{1}{2}\overrightarrow {AD}  \cdot \overrightarrow {AC} \)

=DA⋅DB⋅cosADB^−12AD⋅AC⋅cosCAD^=a⋅a2⋅cos45°−12a⋅a2⋅cos45°=a2−12a2=12a2.

Ta có \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} \) (quy tắc hình bình hành).

Do đó: \((\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} )(\overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {BC} ) = \overrightarrow {AC} (\overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {BC} )\)

=AC→⋅BD→⏟0+AC→⋅BC→=CA→⋅CB→=|CA→|⋅|CB→|cosACB^=a⋅a2cos45°=a2

(trong đó \(\overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {BD}  = 0\) vì \(\overrightarrow {AC}  \bot \overrightarrow {BD} \) ).

a) Sai

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

 

a) Do \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DC} \) cùng hướng nên \((\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DC} ) = {0^0}\).

Suy ra: AB→⋅DC→=AB⋅DC⋅cos(AB→,DC→)  =a⋅a⋅cos0°=a2. 

b) Hai vectơ AO→,OC→ cùng hướng, do đó (AB→,OC→)=(AB→,AO→)=BAO^=45°

Ta có: AB→⋅OC→=AB⋅OC⋅cos(AB→,OC→)=a⋅a22⋅cos45°=a22

c) Hai vectơ \(\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {OC} \) ngược hướng, do đó (CA→,OC→)=180°

Suy ra CA→⋅OC→=CA⋅OC⋅cos(CA→,OC→)=a2⋅a22⋅cos180°=−a2

d) Ta có: \((\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} ) \cdot (\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BD} ) = \overrightarrow {AC}  \cdot (\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BD} ) = \overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {CA}  \cdot \overrightarrow {CB} \) (trong đó \(AC \bot BD \Rightarrow \overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {BD}  = 0\) ).

Ta có: CA→⋅CB→=|CA→|⋅|CB→|⋅cos(CA→,CB→)=CA⋅CB⋅cosACB^=a2⋅a⋅cos45°=a2

Vậy \((\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} ) \cdot (\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BD} ) = {a^2}\).

a) Đúng

b) Sai

c) Sai

d) Đúng

 

a) Tính \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {BD} \). Ta có: \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AB} (\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AD} ) = \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {BA}  + \underbrace {\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AD} }_0\)

\( = \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {BA}  =  - {\overrightarrow {AB} ^2} =  - A{B^2} =  - 4{a^2}{\rm{. }}\)

b) Tính \(\overrightarrow {BC}  \cdot \overrightarrow {BD} \). Ta có: \(\overrightarrow {BC}  \cdot \overrightarrow {BD}  = BC \cdot BD \cdot \cos (\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} ) = BC \cdot BD \cdot \cos \widehat {DBC}\)

\( = BC \cdot BD \cdot \cos \widehat {BDA} = BC \cdot BD \cdot \frac{{AD}}{{BD}} = BC \cdot AD = 3{a^3}{\rm{. }}\)

(trong đó \(\widehat {DBC} = \widehat {BDA}\) vì là hai góc so le trong).

c) Tính \(\overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {BD} \).

Ta có: \(\overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {BD}  = (\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} )(\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AD} ) = \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {BC}  \cdot \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC}  \cdot \overrightarrow {AD} \)

\( =  - {\overrightarrow {AB} ^2} + 0 + 0 + BC \cdot AD \cdot \cos {0^0} =  - A{B^2} + 3a \cdot a \cdot 1 =  - {(2a)^2} + 3{a^2} =  - {a^2}.\)

d) Tính \(\overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {IJ} \). Ta có:

\(\overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {IJ}  = (\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} ) \cdot \overrightarrow {IJ}  = \underbrace {\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {IJ} }_0 + \overrightarrow {BC}  \cdot \overrightarrow {IJ}  = BC \cdot IJ \cdot \cos {0^0} = 3a \cdot 2a \cdot 1 = 6{a^2}.\)

Đặt \(OM = s\) là đoạn đường mà vật di chuyển được với \(O\) là điểm đặt vật ban đầu. Công sinh ra bởi lực \(\vec F\) là:

A=F→⋅OM→=|F→|⋅|OM→|⋅cos(F→,OM→)=90⋅100⋅cos60°=4500 J. 

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {IJ}  = \overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CJ} }\\{\overrightarrow {IJ}  = \overrightarrow {ID}  + \overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {BJ} }\end{array} \Rightarrow 2\overrightarrow {IJ}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {DB} } \right.\).

Suy ra: \(\overrightarrow {HK}  \cdot 2\overrightarrow {IJ}  = \overrightarrow {HK} (\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {DB} ) = \overrightarrow {HK}  \cdot \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {HK}  \cdot \overrightarrow {DB} \)

\( = (\overrightarrow {HB}  + \overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {DK} )\overrightarrow {AC}  + (\overrightarrow {HA}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CK} )\overrightarrow {DB}  = \overrightarrow {AC} (\overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {DB} ) = \overrightarrow {AC}  \cdot \vec 0 = 0\).

Vậy \(\overrightarrow {HK}  \cdot \overrightarrow {IJ}  = 0\)

Đặt \(\overrightarrow {BA}  = \vec a,\overrightarrow {BC}  = \vec b,\overrightarrow {BK}  = \vec c\) và \(BA = a,BC = b,BK = c\). Khi đó: \(\overrightarrow {BM}  = \frac{1}{2}(\vec a + \vec c),\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CN}  =  - \frac{1}{2}(\vec a + \vec c) + \vec b + \frac{1}{2}\vec a = \vec b - \frac{1}{2}\vec c = \frac{1}{2}(2\vec b - \vec c)\).

Do đó: \(\overrightarrow {MN}  \cdot \overrightarrow {BM}  = \frac{1}{4}(2\vec b - \vec c)(\vec a + \vec c) = \frac{1}{4}\left( {2\vec a \cdot \vec b - \vec a \cdot \vec c + 2\vec b \cdot \vec c - {{\vec c}^2}} \right)\)

\( = \frac{1}{4}[2\vec a \cdot \vec b + (\vec b - \vec a)\vec c + (\vec b - \vec c)\vec c]{\rm{. }}\)

Ta thấy rằng: \(\vec a \cdot \vec b = 0\) do \(\vec a \bot \vec b;(\vec b - \vec a)\vec c = \overrightarrow {AC}  \cdot \vec c = 0\)

Do \(AC \bot BK;(\vec b - \vec c)\vec c = \overrightarrow {KC}  \cdot \vec c = 0\) do \(CK \bot BK\).

Vì vậy MN→⋅BM→=0⇒BMN^=90°

Gọi điểm \(I\) thỏa mãn \(3\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {IB}  = \vec 0\)

\( \Leftrightarrow 3\overrightarrow {IA}  + 2(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {AB} ) = \vec 0 \Leftrightarrow 5\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {AB}  = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AI}  = \frac{2}{5}\overrightarrow {AB} .\)

Vậy điểm \(I\) thuộc đoạn \(AB\) và \(IA = \frac{2}{5} \cdot AB = \frac{2}{5} \cdot 20 = 8,IB = 12\).

Ta có \(:T = 3M{A^2} + 2M{B^2} = 3{\overrightarrow {MA} ^2} + 2{\overrightarrow {MB} ^2} = 3{(\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} )^2} + 2{(\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} )^2}\)

\(\begin{array}{l} = 3{\overrightarrow {MI} ^2} + 6\overrightarrow {MI}  \cdot \overrightarrow {IA}  + 3{\overrightarrow {IA} ^2} + 2{\overrightarrow {MI} ^2} + 4\overrightarrow {MI}  \cdot \overrightarrow {IB}  + 2{\overrightarrow {IB} ^2}\\ = 5M{I^2} + 3I{A^2} + 2I{B^2} + 2\overrightarrow {MI} (\underbrace {3\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {IB} }_{\vec 0}) = 5M{I^2} + 3I{A^2} + 2I{B^2}.\end{array}\)

Ta có \(\left( {3I{A^2} + 2I{B^2}} \right)\) là hằng số do ba điểm \(A,B,I\) cố định.

Do đó: \(T\) đạt giá trị nhỏ nhất \( \Leftrightarrow 5M{I^2}\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow MI\) bé nhất \( \Leftrightarrow \) Điểm \(M\) trùng với điểm \(I\).

Khi đó giá trị \(T\) nhỏ nhất là \(:{T_{\min }} = 3I{A^2} + 2I{B^2} = 3 \cdot {8^2} + 2 \cdot {12^2} = 480\).

Đặt \(\vec F = \overrightarrow {AN} ,\overrightarrow {{F_1}}  = \overrightarrow {AP} ,\overrightarrow {{F_2}}  = \overrightarrow {AM} \).

Khi đó \(AMNP\) là hình bình hành, mà \(AM \bot AP\) nên \(AMNP\) là hình chữ nhật.

Ta có: AN=50,AM=AN⋅cos30°=50⋅32=253

\(AP = MN = \sqrt {A{N^2} - A{M^2}}  = 25.\)

Lực \(\vec F\) sinh ra công A=|F→|⋅|AB→|⋅cos30°=50⋅200⋅32=50003 J

Lực \({\vec F_1}\) có độ lớn \(25\;N\) và tạo với phương dịch chuyển góc 90° nên công sinh ra là A1=F1→⋅|AB→|⋅cos90°=0 J

Lực \({\vec F_2}\) có độ lớn \(25\sqrt 3 \;N\) và tạo với phương dịch chuyển góc 0° nên công \(\sinh \) ra là \({A_2} = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| \cdot |\overrightarrow {AB} | \cdot \cos {0^0} = 25\sqrt 3  \cdot 200 \cdot 1 = 5000\sqrt 3 \;J\).

Ta có: (AC→,CB→)=180°−(CA→,CB→)=180°−ACB^

Mà \(\cos (\widehat {ACB}) = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{1}{2}\) nên \(\widehat {ACB} = {60^^\circ }\).

Vậy (AC→,CB→)=180°−60°=120° hay cos(AC→,CB→)=cos120°=−12