Đề kiểm tra Tích vô hướng của hai vectơ lớp 10 (có lời giải) - Đề 3
22 câu hỏi
\(\frac{{{a^2}}}{2}\).
\( - \frac{{{a^2}}}{2}\).
\(\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).
\( - \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).
Chọn B
Ta có \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {CA} = BA.CA.\cos {120^{\rm{o}}} = - \frac{1}{2}{a^2}\).
\(\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} = 0\).
\(\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {AC} \).
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} \).
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} \).
Chọn C
Phương án A:\(\overrightarrow {OA} \bot \overrightarrow {OB} \)suy ra \(\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} = 0\)nên loại A.
Phương án B:\(\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OC} = 0\)và \(\frac{1}{2}\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {AC} = 0\) suy ra \(\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {AC} = 0\)nên loại B.
Phương án C: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.\cos {45^{\rm{o}}} = AB.AB\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 2 }}{2} = A{B^2}\).
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = AB.DC.\cos {180^0} = - A{B^2}\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \ne \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} \) nên chọn C.
\(\overrightarrow {DA} .\overrightarrow {CB} = {a^2}\).
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = - {a^2}\).
\(\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right).\overrightarrow {AC} = {a^2}\).
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} .\overrightarrow {CD} = 0\).
Chọn B
Phương án A:Do\(\overrightarrow {DA} .\overrightarrow {CB} = DA.CB.cos{0^0} = {a^2}\)nên loạiA.
Phương án B:Do\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = AB.CD.{\rm{cos}}{180^{\rm{o}}} = - {a^2}\)nên chọn B.
\(\frac{{9{a^2}}}{2}\).
\( - \frac{{9{a^2}}}{2}\).
\(0\).
\(9{a^2}\).
Chọn B
Ta có \(\left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} } \right).\overrightarrow {ID} = \left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AB} } \right).\overrightarrow {ID} = 2\overrightarrow {IA} .\overrightarrow {ID} = - \frac{{9{a^2}}}{2}\)nên chọn B.
\(3{a^2}\).
\( - 3{a^2}\).
\(3a\).
\(0\).
Chọn B
Ta có \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB} = AC.BC.\cos {150^{\rm{o}}} = a\sqrt 3 .2a.\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) = - 3{a^2}\).
\(7\).
\(5\).
\( - 7\).
\( - 5\).
Chọn C
\(\left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow b } \right| = 1\), \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = 2 \Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)^2} = 4 \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b = 1\), \(\left( {3\overrightarrow a - 4\overrightarrow b } \right)\left( {2\overrightarrow a + 5\overrightarrow b } \right) = 6{\overrightarrow a ^2} - 20{\overrightarrow b ^2} + 7\overrightarrow a .\overrightarrow b = - 7\).
\( - 9{a^2}\).
\(15{a^2}\).
\(0\).
\(9{a^2}\)
Chọn A
Vì\(\overrightarrow {DA} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {DA} .\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DC} } \right) = \overrightarrow {DA} .\overrightarrow {AD} = - 9{a^2}\)nên chọn A.
\(9\).
\(81\).
\(3\).
\(5\).
Chọn B
Ta có \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} } \right).\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} .\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AC} = 81\)nên chọn B.
\[\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} = 13\]
\[\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} = 15\]
\[\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} = 17\]
\[\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} = 19\]
Chọn B
Ta có \[AB + BC = CA\]\[ \Rightarrow \] ba điểm \[A,\,\,B,\,\,C\] thẳng hàng và nằm giữa \[A,\,\,C.\]
Khi đó \[\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} = CA.CB.\cos \left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} } \right) = 3.5.\cos {0^0} = 15\]
Cách khác. Ta có \[A{B^2} = {\overrightarrow {AB} ^2} = {\left( {\overrightarrow {CB} - \overrightarrow {CA} } \right)^2} = C{B^2} - 2\overrightarrow {CB} \overrightarrow {CA} + C{A^2}\]
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 22 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
\(P = {b^2} - {c^2}\)
\(P = \frac{{{c^2} + {b^2}}}{2}\)
\(P = \frac{{{c^2} + {b^2} + {a^2}}}{3}\)
\(P = \frac{{{c^2} + {b^2} - {a^2}}}{2}\)
Chọn A
Ta có \(P = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right).\overrightarrow {BC} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right).\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} } \right)\)
\[ = \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} } \right).\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = {\overrightarrow {AC} ^2} - {\overrightarrow {AB} ^2} = A{C^2} - A{B^2} = {b^2} - {c^2}\]
\(P = - 1\)
\(P = 3{a^2}\)
\(P = - 3{a^2}\)
\(P = 2{a^2}\)
Chọn C
Từ giả thiết suy ra \[AC = a\sqrt 2 \]
Ta có \[P = \overrightarrow {AC} .\left( {\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {CA} } \right) = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CA} = - \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CD} - {\overrightarrow {AC} ^2}\]
\[ = - CA.CD\cos \left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CD} } \right) - A{C^2} = - a\sqrt 2 .a.\cos {45^0} - {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2} = - 3{a^2}\]
\(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} = \frac{{{b^2} - {c^2}}}{2}.\)
\(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} = \frac{{{c^2} + {b^2}}}{2}.\)
\(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} = \frac{{{c^2} + {b^2} + {a^2}}}{3}.\)
\(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} = \frac{{{c^2} + {b^2} - {a^2}}}{2}.\)
Chọn A
Vì \[M\] là trung điểm của \[BC\] suy ra \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\,\overrightarrow {AM} \]
Khi đó \[\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right).\overrightarrow {BC} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right).\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} } \right)\]
\[ = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} } \right).\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{1}{2}\left( {{{\overrightarrow {AC} }^2} - {{\overrightarrow {AB} }^2}} \right) = \frac{1}{2}\left( {A{C^2} - A{B^2}} \right) = \frac{{{b^2} - {c^2}}}{2}\]
|
a) Đúng |
b) Đúng |
c) Sai |
d) Đúng |
Xét tam giác vuông \(ABC\):
Ta có:
Ta có:
Vì tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên \(\overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {AB} = 0\).
Ta có: \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} = - {a^2},\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {CA} = - 3{a^2}\).
Suy ra \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {AB} = - {a^2} - 3{a^2} = - 4{a^2}\).
|
a) Sai |
b) Sai |
c) Đúng |
d) Đúng |
Độ dài đường chéo hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a\) là \(AC = BD = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \).
Ta có: \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CA} = - \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = - |\overrightarrow {AB} | \cdot |\overrightarrow {AC} | \cdot \cos (\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} )\)
Ta có: \(\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {OM} \cdot \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {DA} \cdot \overrightarrow {DB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {DA} \cdot \overrightarrow {AC} = |\overrightarrow {DA} | \cdot |\overrightarrow {DB} | \cdot \cos (\overrightarrow {DA} ,\overrightarrow {DB} ) - \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {AC} \)
Ta có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \) (quy tắc hình bình hành).
Do đó: \((\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} )(\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {BC} ) = \overrightarrow {AC} (\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {BC} )\)
(trong đó \(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} = 0\) vì \(\overrightarrow {AC} \bot \overrightarrow {BD} \) ).
|
a) Sai |
b) Sai |
c) Đúng |
d) Đúng |
a) Do \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DC} \) cùng hướng nên \((\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DC} ) = {0^0}\).
Suy ra:
b) Hai vectơ cùng hướng, do đó
Ta có:
c) Hai vectơ \(\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {OC} \) ngược hướng, do đó
Suy ra
d) Ta có: \((\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} ) \cdot (\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BD} ) = \overrightarrow {AC} \cdot (\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BD} ) = \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {CB} \) (trong đó \(AC \bot BD \Rightarrow \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} = 0\) ).
Ta có:
Vậy \((\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} ) \cdot (\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BD} ) = {a^2}\).
|
a) Đúng |
b) Sai |
c) Sai |
d) Đúng |
a) Tính \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BD} \). Ta có: \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AB} (\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AD} ) = \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BA} + \underbrace {\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} }_0\)
\( = \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BA} = - {\overrightarrow {AB} ^2} = - A{B^2} = - 4{a^2}{\rm{. }}\)
b) Tính \(\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {BD} \). Ta có: \(\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {BD} = BC \cdot BD \cdot \cos (\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} ) = BC \cdot BD \cdot \cos \widehat {DBC}\)
\( = BC \cdot BD \cdot \cos \widehat {BDA} = BC \cdot BD \cdot \frac{{AD}}{{BD}} = BC \cdot AD = 3{a^3}{\rm{. }}\)
(trong đó \(\widehat {DBC} = \widehat {BDA}\) vì là hai góc so le trong).
c) Tính \(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} \).
Ta có: \(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} = (\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} )(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AD} ) = \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {AD} \)
\( = - {\overrightarrow {AB} ^2} + 0 + 0 + BC \cdot AD \cdot \cos {0^0} = - A{B^2} + 3a \cdot a \cdot 1 = - {(2a)^2} + 3{a^2} = - {a^2}.\)
d) Tính \(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {IJ} \). Ta có:
\(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {IJ} = (\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} ) \cdot \overrightarrow {IJ} = \underbrace {\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {IJ} }_0 + \overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {IJ} = BC \cdot IJ \cdot \cos {0^0} = 3a \cdot 2a \cdot 1 = 6{a^2}.\)
Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6
Một người dùng một lực \(\vec F\) có độ lớn \(90\;N\) làm một vật dịch chuyển một đoạn \(100\;m\). Biết lực \(\vec F\) hợp với hướng dịch chuyển một góc \({60^^\circ }\). Tính công sinh ra bởi lực \(\vec F\).
Đặt \(OM = s\) là đoạn đường mà vật di chuyển được với \(O\) là điểm đặt vật ban đầu. Công sinh ra bởi lực \(\vec F\) là:
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {IJ} = \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CJ} }\\{\overrightarrow {IJ} = \overrightarrow {ID} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {BJ} }\end{array} \Rightarrow 2\overrightarrow {IJ} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {DB} } \right.\).
Suy ra: \(\overrightarrow {HK} \cdot 2\overrightarrow {IJ} = \overrightarrow {HK} (\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {DB} ) = \overrightarrow {HK} \cdot \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {HK} \cdot \overrightarrow {DB} \)
\( = (\overrightarrow {HB} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DK} )\overrightarrow {AC} + (\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CK} )\overrightarrow {DB} = \overrightarrow {AC} (\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DB} ) = \overrightarrow {AC} \cdot \vec 0 = 0\).
Vậy \(\overrightarrow {HK} \cdot \overrightarrow {IJ} = 0\)
Đặt \(\overrightarrow {BA} = \vec a,\overrightarrow {BC} = \vec b,\overrightarrow {BK} = \vec c\) và \(BA = a,BC = b,BK = c\). Khi đó: \(\overrightarrow {BM} = \frac{1}{2}(\vec a + \vec c),\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CN} = - \frac{1}{2}(\vec a + \vec c) + \vec b + \frac{1}{2}\vec a = \vec b - \frac{1}{2}\vec c = \frac{1}{2}(2\vec b - \vec c)\).
Do đó: \(\overrightarrow {MN} \cdot \overrightarrow {BM} = \frac{1}{4}(2\vec b - \vec c)(\vec a + \vec c) = \frac{1}{4}\left( {2\vec a \cdot \vec b - \vec a \cdot \vec c + 2\vec b \cdot \vec c - {{\vec c}^2}} \right)\)
\( = \frac{1}{4}[2\vec a \cdot \vec b + (\vec b - \vec a)\vec c + (\vec b - \vec c)\vec c]{\rm{. }}\)
Ta thấy rằng: \(\vec a \cdot \vec b = 0\) do \(\vec a \bot \vec b;(\vec b - \vec a)\vec c = \overrightarrow {AC} \cdot \vec c = 0\)
Do \(AC \bot BK;(\vec b - \vec c)\vec c = \overrightarrow {KC} \cdot \vec c = 0\) do \(CK \bot BK\).
Vì vậy
Gọi điểm \(I\) thỏa mãn \(3\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} = \vec 0\)
\( \Leftrightarrow 3\overrightarrow {IA} + 2(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AB} ) = \vec 0 \Leftrightarrow 5\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {AB} = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AI} = \frac{2}{5}\overrightarrow {AB} .\)
Vậy điểm \(I\) thuộc đoạn \(AB\) và \(IA = \frac{2}{5} \cdot AB = \frac{2}{5} \cdot 20 = 8,IB = 12\).
Ta có \(:T = 3M{A^2} + 2M{B^2} = 3{\overrightarrow {MA} ^2} + 2{\overrightarrow {MB} ^2} = 3{(\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} )^2} + 2{(\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} )^2}\)
\(\begin{array}{l} = 3{\overrightarrow {MI} ^2} + 6\overrightarrow {MI} \cdot \overrightarrow {IA} + 3{\overrightarrow {IA} ^2} + 2{\overrightarrow {MI} ^2} + 4\overrightarrow {MI} \cdot \overrightarrow {IB} + 2{\overrightarrow {IB} ^2}\\ = 5M{I^2} + 3I{A^2} + 2I{B^2} + 2\overrightarrow {MI} (\underbrace {3\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} }_{\vec 0}) = 5M{I^2} + 3I{A^2} + 2I{B^2}.\end{array}\)
Ta có \(\left( {3I{A^2} + 2I{B^2}} \right)\) là hằng số do ba điểm \(A,B,I\) cố định.
Do đó: \(T\) đạt giá trị nhỏ nhất \( \Leftrightarrow 5M{I^2}\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow MI\) bé nhất \( \Leftrightarrow \) Điểm \(M\) trùng với điểm \(I\).
Khi đó giá trị \(T\) nhỏ nhất là \(:{T_{\min }} = 3I{A^2} + 2I{B^2} = 3 \cdot {8^2} + 2 \cdot {12^2} = 480\).
Đặt \(\vec F = \overrightarrow {AN} ,\overrightarrow {{F_1}} = \overrightarrow {AP} ,\overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {AM} \).
Khi đó \(AMNP\) là hình bình hành, mà \(AM \bot AP\) nên \(AMNP\) là hình chữ nhật.
Ta có:
\(AP = MN = \sqrt {A{N^2} - A{M^2}} = 25.\)
Lực \(\vec F\) sinh ra công
Lực \({\vec F_1}\) có độ lớn \(25\;N\) và tạo với phương dịch chuyển góc nên công sinh ra là
Lực \({\vec F_2}\) có độ lớn \(25\sqrt 3 \;N\) và tạo với phương dịch chuyển góc nên công \(\sinh \) ra là \({A_2} = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| \cdot |\overrightarrow {AB} | \cdot \cos {0^0} = 25\sqrt 3 \cdot 200 \cdot 1 = 5000\sqrt 3 \;J\).
Ta có:
Mà \(\cos (\widehat {ACB}) = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{1}{2}\) nên \(\widehat {ACB} = {60^^\circ }\).
Vậy hay
Bạn có thích hoạt động này không?
Hãy lưu hoặc chia sẻ nội dung này đến mọi người.
Gợi ý cho bạn
Ý tưởng của bạn, bài học của bạn
Tự thiết kế đề thi, bài giảng hoặc flashcard theo cách riêng.
