Đề kiểm tra Tích vô hướng của hai vectơ lớp 10 (có lời giải) - Đề 2
22 câu hỏi
Phần 1. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi, thí sinh chỉ chọn 1 phương án.
Cho hình vuông \[ABCD\] cạnh \[a.\] Đẳng thức nào sau đây đúng?\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = {a^2}\)
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = {a^2}\sqrt 2 \)
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}{a^2}\)
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \frac{1}{2}{a^2}\)
Chọn A
Ta có \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \widehat {BAC} = {45^0}\) nên \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.\cos {45^0} = a.a\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 2 }}{2} = {a^2}\)
\(\overrightarrow {AE} .\overrightarrow {AB} = 2{a^2}.\)
\(\overrightarrow {AE} .\overrightarrow {AB} = \sqrt 3 {a^2}.\)
\(\overrightarrow {AE} .\overrightarrow {AB} = \sqrt 5 {a^2}.\)
\(\overrightarrow {AE} .\overrightarrow {AB} = 5{a^2}.\)
Chọn A
Ta có \[C\] là trung điểm của \[DE\] nên \[DE = 2a.\]
Khi đó \(\overrightarrow {AE} .\overrightarrow {AB} = \left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DE} } \right).\overrightarrow {AB} = \underbrace {\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} }_0 + \overrightarrow {DE} .\overrightarrow {AB} \)
\( = DE.AB.\cos \left( {\overrightarrow {DE} ,\overrightarrow {AB} } \right) = DE.AB.\cos {0^0} = 2{a^2}.\)
một điểm.
đường thẳng.
đoạn thẳng.
đường tròn.
Chọn B
Ta có \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {BC} = 0 \Leftrightarrow MA \bot BC.\)
Vậy tập hợp các điểm \(M\) là đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(BC.\)
\(\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right)\overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow {BC} \).
\(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CA} = - 2\).
\(\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right).\overrightarrow {AC} = - 4\).
\(\left( {\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {AC} } \right).\overrightarrow {BA} = 2\).
Chọn C
Ta đi tính tích vô hướng ở các phương án. So sánh vế trái với vế phải.
Phương án A:\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC\cos {60^{\rm{o}}} = 2x \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right)\overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow {BC} \)nên loại A.
Phương án B:\(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CA} = BC.AC\cos {120^{\rm{o}}} = - 2\)nên loại B.
Phương án C:\(\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right).\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AC} = 4\), \(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CA} = 2.2.\cos {120^{\rm{o}}} = - 2\) nên chọn C.
\[\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {AB} = - MA.AB\].
\[\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = - MA.MB\].
\[\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AB} = AM.AB\].
\[\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = MA.MB\].
Chọn D
Phương án A:\[\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {AB} \] ngược hướng suy ra \[\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {AB} = MA.AB.\cos {180^{\rm{o}}} = - MA.AB\] nên loại A.
Phương án B:\[\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {MB} \]ngược hướng suy ra \[\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = MA.MB.\cos {180^{\rm{o}}} = - MA.MB\] nên loại B.
Phương án C: \[\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AB} \] cùng hướng suy ra \[\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AB} = AM.AB.\cos {0^{\rm{o}}} = AM.AB\]nên loại C.
Phương án D:\[\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {MB} \] ngược hướng suy ra \[\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = MA.MB.\;\cos {180^{\rm{o}}} = - MA.MB\] nên chọn D.
\(\frac{{3{a^2}}}{4}\).
\(\frac{{ - 3{a^2}}}{4}\).
\(\frac{{3{a^2}}}{2}\).
\(\frac{{ - 3{a^2}}}{2}\).
Chọn B
Ta có \(\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {CA} = AH.CA.\cos \left( {\overrightarrow {AH} ,\overrightarrow {CA} } \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.a.\cos {150^{\rm{o}}} = - \frac{{3{a^2}}}{4}\).
\(\overrightarrow a \)và \(\overrightarrow b \) cùng hướng.
\(\overrightarrow a \)và \(\overrightarrow b \)nằm trên hai dường thẳng hợp với nhau một góc \({120^{\rm{o}}}\).
\(\overrightarrow a \)và \(\overrightarrow b \) ngược hướng.
A, B, C đều sai.
Chọn C
Ta có \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = - \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right| \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = - \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right| \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = - 1\)nên \(\overrightarrow a \)và \(\overrightarrow b \) ngược hướng
\(\sqrt {21} \).
\(\sqrt {61} \).
\(21\).
\(61\).
Chọn A
Ta có \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \sqrt[{}]{{{{\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)}^2}}} = \sqrt[{}]{{{{\overrightarrow a }^2} + {{\overrightarrow b }^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b }} = \sqrt[{}]{{{{\left| {\overrightarrow a } \right|}^2} + {{\left| {\overrightarrow b } \right|}^2} + 2\left| {\overrightarrow a } \right|\left| {\overrightarrow b } \right|\;\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)}} = \sqrt {21} \).
\(\vec a.\overrightarrow b = \frac{1}{2}\left( {{{\left| {\vec a + \overrightarrow b } \right|}^2} - {{\left| {\vec a} \right|}^2} - {{\left| {\overrightarrow b } \right|}^2}} \right)\)
\(\vec a.\overrightarrow b = \frac{1}{2}\left( {{{\left| {\vec a} \right|}^2} + {{\left| {\overrightarrow b } \right|}^2} - {{\left| {\vec a - \overrightarrow b } \right|}^2}} \right)\)
\(\vec a.\overrightarrow b = \frac{1}{2}\left( {{{\left| {\vec a + \overrightarrow b } \right|}^2} - {{\left| {\vec a - \overrightarrow b } \right|}^2}} \right)\)
\(\vec a.\overrightarrow b = \frac{1}{4}\left( {{{\left| {\vec a + \overrightarrow b } \right|}^2} - {{\left| {\vec a - \overrightarrow b } \right|}^2}} \right)\)
Chọn C
Nhận thấy C và D chỉ khác nhau về hệ số \(\frac{1}{2}\) và \(\frac{1}{4}\) nên thử kiểm tra đáp án C và D.
Ta có Chọn C.
\( \bullet \) A đúng, vì \({\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|^2} = {\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)^2} = \left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right).\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) = \overrightarrow a .\overrightarrow a + \overrightarrow a .\overrightarrow b + \overrightarrow b .\overrightarrow a + \overrightarrow b .\overrightarrow b = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b \)
\( \bullet \) B đúng, vì \({\left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right|^2} = {\left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right)^2} = \left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right).\left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right) = \overrightarrow a .\overrightarrow a - \overrightarrow a .\overrightarrow b - \overrightarrow b .\overrightarrow a + \overrightarrow b .\overrightarrow b = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} - 2\overrightarrow a .\overrightarrow b \)
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = {a^2}\)
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\)
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = - \frac{{{a^2}}}{2}\)
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = \frac{{{a^2}}}{2}\)
Chọn C
Xác định được góc \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right)\) là góc ngoài của góc \(\widehat B\) nên \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) = {120^0}\)
Do đó \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = AB.BC.cos\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) = a.a.cos{120^0} = - \frac{{{a^2}}}{2}\)
\(\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0\)
\(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {HA} } \right) = {150^0}\)
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \frac{{{a^2}}}{2}\)
\(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB} = \frac{{{a^2}}}{2}\)
Chọn D
Xác định được góc \(\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right)\) là góc ngoài của góc \(\widehat A\) nên \(\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = {120^0}\)
Do đó \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB} = AC.CB.cos\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = a.a.cos{120^0} = - \frac{{{a^2}}}{2}\)
\(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = {b^2}\)
\(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = {c^2}\)
\(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = {b^2} + {c^2}\)
\(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = {b^2} - {c^2}\)
Chọn B
Ta có \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = BA.BC.cos\left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = BA.BC.cos\widehat B = c.\sqrt {{b^2} + {c^2}} .\frac{c}{{\sqrt {{b^2} + {c^2}} }} = {c^2}\)
Cách khác. Tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] suy ra \[AB \bot AC\]\[ \Rightarrow \,\,\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0\]
Ta có \[\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BA} .\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} } \right) = {\overrightarrow {BA} ^2} + \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {AC} = A{B^2} = {c^2}\]
Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a\). Lấy \(E\) là trung điểm của \(BC\), điểm \(F\) thoả mãn \(\overrightarrow {BF} = \frac{3}{4}\overrightarrow {BD} \) Khi đó:
a) \(\overrightarrow {AE} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \)
b) \(\overrightarrow {AF} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{5}{4}\overrightarrow {AD} .\)
c) \(\overrightarrow {EF} = \frac{{ - 3}}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} .\)
d) Tam giác \(AEF\)vuông cân.
a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng |
Ta có: \(\overrightarrow {AE} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BE} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \).
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AF} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BF} = \overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}(\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} ) = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow {AD} .\\\overrightarrow {EF} = \overrightarrow {AF} - \overrightarrow {AE} = \left( {\frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow {AD} } \right) - \left( {\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} } \right) = \frac{{ - 3}}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} .\end{array}\)
Ta có: \(\overrightarrow {AF} \cdot \overrightarrow {EF} = \left( {\frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow {AD} } \right) \cdot \left( {\frac{{ - 3}}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} } \right)\)
\( = \frac{{ - 3}}{{16}}{\overrightarrow {AB} ^2} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} + \frac{3}{{16}}{\overrightarrow {AD} ^2} = 0 \Rightarrow AF \bot EF{\rm{. }}\)
Ta có: \({\overrightarrow {AF} ^2} = {\left( {\frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow {AD} } \right)^2} = \frac{1}{{16}}{\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{3}{8}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} + \frac{9}{{16}}{\overrightarrow {AD} ^2} = \frac{5}{8}{\overrightarrow {AB} ^2}\).
\({\overrightarrow {EF} ^2} = {\left( {\frac{{ - 3}}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} } \right)^2} = \frac{9}{{16}}{\overrightarrow {AB} ^2} - \frac{3}{8}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} + \frac{1}{{16}}{\overrightarrow {AD} ^2} = \frac{5}{8}{\overrightarrow {AB} ^2}.\)
\( \Rightarrow A{F^2} = E{F^2} = \frac{5}{8}{\overrightarrow {AB} ^2} \Rightarrow AF = EF\). Vậy tam giác \(AEF\) vuông cân tại \(F\).
Chú ý: Ta có thể chứng minh tam giác \(AEF\) vuông bằng định lí Pythagore.
Cho tam giác \(ABC\) có . Gọi \(D\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BC\). Điểm \(E\) thoả mãn \(\overrightarrow {AE} = k\overrightarrow {AC} (k \in \mathbb{R})\) (Hình). Khi đó:
a) \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 20\)
b) \(\overrightarrow {AD} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \)
c) \(BC = 3\sqrt 5 \)
d) \(AD \bot BE\) khi \(k = \frac{{14}}{{15}}\).
a) Sai | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng |
a) Ta có:
b) Ta có: \(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \).
Khi đó:
\(\begin{array}{*{20}{l}}{{{\overrightarrow {BC} }^2}}&{ = {{(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} )}^2} = {{\overrightarrow {AC} }^2} - 2\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AB} + {{\overrightarrow {AB} }^2} = {6^2} - 2 \cdot 24 + {{(4\sqrt 2 )}^2} = 20}\\{}&{ \Rightarrow BC = 2\sqrt 5 .}\\{{{\overrightarrow {AD} }^2}}&{ = {{\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} } \right)}^2} = \frac{1}{4}\left( {{{\overrightarrow {AB} }^2} + 2\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} + {{\overrightarrow {AC} }^2}} \right)}\\{}&{ = \frac{1}{4}\left[ {{{(4\sqrt 2 )}^2} + 2 \cdot 24 + {6^2}} \right] = 29 \Rightarrow AD = \sqrt {29} .}\end{array}\)
c) Ta có: \(\overrightarrow {BE} = \overrightarrow {AE} - \overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \). Từ đó, ta có:
\(\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BE} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} ) \cdot (k\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} )\)
\(\begin{array}{l} = \frac{1}{2}\left( {k\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} + k{{\overrightarrow {AC} }^2} - {{\overrightarrow {AB} }^2} - \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{2}\left[ {24k + {6^2} \cdot k - {{(4\sqrt 2 )}^2} - 24} \right]\\ = 30k - 28.\end{array}\)
Khi đó \(AD \bot BE \Leftrightarrow \overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BE} = 0 \Leftrightarrow 30k - 28 = 0 \Leftrightarrow k = \frac{{14}}{{15}}\).
Cho tam giác \(ABC\) đều, đường cao \(AH\). Khi đó:
a) \((\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ) = 30^\circ \)
b)
c) \((\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {BC} ) = 120^\circ \)
d) \((\overrightarrow {AH} ,\overrightarrow {BA} ) = 130^\circ \)
a) Sai | b) Đúng | c) Đúng | d) Sai |
a) Ta có:
b) Ta có: do
c) Cách giải 1: Gọi \(D\) là điểm đối xứng với \(B\) qua \(C\), ta có: \(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {CD} \).
Khi đó:
Cách giải 2: Áp dụng tính chất được rút ra từ định nghĩa:
, ta được:
d) Ta có:
Cho hình thoi \(ABCD\) có cạnh bằng 2 và góc \(B\) bằng . Khi đó:
a)
b)
c) \(\overrightarrow {DA} \cdot \overrightarrow {DC} = 3\)
d) \(\overrightarrow {OB} \cdot \overrightarrow {BA} = - 3\)
a) Đúng | b) Sai | c) Sai | d) Đúng |
Xét hình thoi \(ABCD\) có ; tam giác \(ABC\) có đều cạnh
Ta có: ;
Ta có: ;
Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6
Cho tam giác \(ABC\) có \(BC = a,CA = b,AB = c\). Biết \(M\) là trung điểm của \(BC\). Tính \({\overrightarrow {AM} ^2}\)?Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\), nên: \(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} )\); \({\overrightarrow {AM} ^2} = \frac{1}{4}{(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} )^2} = \frac{1}{4}\left( {{{\overrightarrow {AB} }^2} + 2\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} + {{\overrightarrow {AC} }^2}} \right)\). Mà \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{2};\)
Suy ra: \({\overrightarrow {AM} ^2} = \frac{1}{4}\left( {{c^2} + 2 \cdot \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{2} + {b^2}} \right) = \frac{{2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - {a^2}}}{4}\).
(đây cũng là công thức để tính độ dài đường trung tuyến tam giác).
Cho nửa đường tròn đường kính \(AB\). Biết rằng \(AC\) và \(BD\) là hai dây thuộc nửa đường tròn cắt nhau tại \(E\). Tính \(\overrightarrow {AE} \cdot \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BE} \cdot \overrightarrow {BD} \) biết \(AB = 2\).
Ta có: \(\overrightarrow {AE} \cdot \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BE} \cdot \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AE} \cdot (\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} ) + \overrightarrow {BE} \cdot (\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AD} )\)
\( = \overrightarrow {AE} \cdot \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AE} \cdot \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BE} \cdot \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BE} \cdot \overrightarrow {AD} {\rm{. }}\)
Vì \(AB\) là đường kính nửa đường tròn nên
Khi đó: \(\overrightarrow {AE} \cdot \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BE} \cdot \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AE} \cdot \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BE} \cdot \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {AE} \cdot \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {EB} \cdot \overrightarrow {AB} \)
\( = \overrightarrow {AB} (\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {EB} ) = \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AB} = {\overrightarrow {AB} ^2} = A{B^2} = 4\)
Cho hình vuông \(ABCD\), điểm \(M\) nằm trên đoạn thẳng \(AC\) sao cho \(AM = \frac{{AC}}{4}\). Gọi \(N\) là trung điểm \(CD\). Khi đó \(BMN\) là tam giác vuông cân tại đỉnh nào?
Đặt \(\overrightarrow {AD} = \vec a,\overrightarrow {AB} = \vec b\).
Khi đó: \(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AC} = \frac{1}{4}(\vec a + \vec b)\)
\(\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DN} = \vec a + \frac{1}{2}\vec b\)
\(\overrightarrow {MB} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AM} = \vec b - \frac{1}{4}(\vec a + \vec b) = \frac{1}{4}( - \vec a + 3\vec b)\) và
\(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AM} = \vec a + \frac{1}{2}\vec b - \frac{1}{4}(\vec a + \vec b) = \frac{1}{4}(3\vec a + \vec b)\).
Ta có: \(\overrightarrow {MB} \cdot \overrightarrow {MN} = \frac{1}{{16}}( - \vec a + 3\vec b)(3\vec a + \vec b) = \frac{1}{{16}}\left( { - 3{{\vec a}^2} + 3{{\vec b}^2} + 8\vec a \cdot \vec b} \right)\)
\( = \frac{1}{{16}}\left( { - 3A{D^2} + 3A{B^2} + 0} \right) = 0 \Rightarrow MB \bot MN(1)\).
Hơn nữa: \({\overrightarrow {MB} ^2} = \frac{1}{{16}}{( - \vec a + 3\vec b)^2} = \frac{1}{{16}}\left( {{{\vec a}^2} + 9{{\vec b}^2} - 6\vec a \cdot \vec b} \right) = \frac{1}{{16}}\left( {A{D^2} + 9A{B^2} - 0} \right) = \frac{5}{8}A{B^2}\);
\({\overrightarrow {MN} ^2} = \frac{1}{{16}}{(3\vec a + \vec b)^2} = \frac{1}{{16}}\left( {9{{\vec a}^2} + {{\vec b}^2} + 6\vec a \cdot \vec b} \right) = \frac{1}{{16}}\left( {9A{D^2} + A{B^2} + 0} \right) = \frac{5}{8}A{B^2}\).
Suy ra \[MB = MN\](2). Từ (1) và (2) suy ra \(\Delta BMN\)vuông cân tại đỉnh \[M.\]\(\)
Ta cần chứng minh: \(\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {BD} = 0\). Ta có: \(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BH} + \overrightarrow {HD} = \overrightarrow {HC} + \overrightarrow {HD} ;\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AH} + \overrightarrow {AD} )\)
Do đó: \(\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {BD} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AH} + \overrightarrow {AD} )(\overrightarrow {HC} + \overrightarrow {HD} )\)\( = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AH} \cdot \overrightarrow {HC} + \overrightarrow {AH} \cdot \overrightarrow {HD} + \overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {HC} + \overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {HD} )\),
mà \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {AH} \cdot \overrightarrow {HC} = 0({\rm{ do }}AH \bot BC)}\\{\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {HD} = 0({\rm{ do }}HD \bot AC)}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {BD} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AH} \cdot \overrightarrow {HD} + \overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {HC} )\)
\( = \frac{1}{2}[\overrightarrow {AH} \cdot \overrightarrow {HD} + (\overrightarrow {AH} + \overrightarrow {HD} ) \cdot \overrightarrow {HC} ]\)
\( = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AH} \cdot \overrightarrow {HD} + \underbrace {\overrightarrow {AH} \cdot \overrightarrow {HC} }_0 + \overrightarrow {HD} \cdot \overrightarrow {HC} ) = \frac{1}{2}\overrightarrow {HD} \cdot (\overrightarrow {AH} + \overrightarrow {HC} ) = \frac{1}{2}\overrightarrow {HD} \cdot \overrightarrow {AC} = 0\).
Vậy \(AM \bot DB\).
Cho hai điểm \(A,B\) cố định có khoảng cách bằng \(a\). Tập hợp điểm \(M\) sao cho:
\(\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} = \frac{{3{a^2}}}{4}\) là đường tròn có bán kính bằng bao nhiêu?
Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\) ta có:
\(\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} = \frac{{3{a^2}}}{4} \Leftrightarrow (\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} )(\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} ) = \frac{{3{a^2}}}{4}\)
\( \Leftrightarrow (\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} )(\overrightarrow {MI} - \overrightarrow {IA} ) = \frac{{3{a^2}}}{4} \Leftrightarrow M{I^2} - I{A^2} = \frac{{3{a^2}}}{4}\)\(\)
\(\mathop \Leftrightarrow \limits^{IA = \frac{a}{2}} M{I^2} = \frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{3{a^2}}}{4} \Leftrightarrow MI = a.\)
Vậy tập hợp điểm \(M\) là đường tròn tâm \(I\) bán kính \(R = a\).
Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a\) và số thực \(k\). Tập hợp điểm \(M\) sao cho \(\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MB} \cdot \overrightarrow {MD} = k\) là đường tròn có bán kính bằng bao nhiêu?
Gọi I là tâm của hình vuông \(ABCD\)
Ta có \(:\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MC} = (\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} )(\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} )\) \( = (\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} )(\overrightarrow {MI} - \overrightarrow {IA} ) = {\overrightarrow {MI} ^2} - {\overrightarrow {IA} ^2} = M{I^2} - I{A^2}\).
Hoàn toàn tương tự, ta có: \(\overrightarrow {MB} \cdot \overrightarrow {MD} = M{I^2} - I{B^2}\).
Khi đó: \(\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MB} \cdot \overrightarrow {MD} = k \Leftrightarrow 2M{I^2} - I{A^2} - I{B^2} = k \Leftrightarrow 2M{I^2} - 2I{A^2} = k\)
\( \Leftrightarrow M{I^2} = \frac{k}{2} + I{A^2} \Leftrightarrow M{I^2} = \frac{k}{2} + \frac{{{a^2}}}{2} \Leftrightarrow MI = \sqrt {\frac{{k + {a^2}}}{2}} \)
(trong đó \(I{A^2} = {\left( {\frac{{AC}}{2}} \right)^2} = {\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = \frac{{{a^2}}}{2}\)).
Nếu \(k < - {a^2}\): Tập hợp điểm \(M\) là tập rỗng.
Nếu \(k = - {a^2}\) thì \(MI = 0 \Leftrightarrow M \equiv I\) (điểm \(M\) trùng với điểm \(I\)).
Nếu \(k > - {a^2}\) thì \(MI = \sqrt {\frac{{k + {a^2}}}{2}} \).
Khi đó tập hợp điểm \(M\) là đường tròn tâm \(I\), bán kính \(R = \sqrt {\frac{{k + {a^2}}}{2}} \).
