Đề kiểm tra Tích vô hướng của hai vectơ lớp 10 (có lời giải) - Đề 2
22 câu hỏi
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = {a^2}\)
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = {a^2}\sqrt 2 \)
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}{a^2}\)
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \frac{1}{2}{a^2}\)
Chọn A
Ta có \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \widehat {BAC} = {45^0}\) nên \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.\cos {45^0} = a.a\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 2 }}{2} = {a^2}\)
\(\overrightarrow {AE} .\overrightarrow {AB} = 2{a^2}.\)
\(\overrightarrow {AE} .\overrightarrow {AB} = \sqrt 3 {a^2}.\)
\(\overrightarrow {AE} .\overrightarrow {AB} = \sqrt 5 {a^2}.\)
\(\overrightarrow {AE} .\overrightarrow {AB} = 5{a^2}.\)
Chọn A
Ta có \[C\] là trung điểm của \[DE\] nên \[DE = 2a.\]
Khi đó \(\overrightarrow {AE} .\overrightarrow {AB} = \left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DE} } \right).\overrightarrow {AB} = \underbrace {\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} }_0 + \overrightarrow {DE} .\overrightarrow {AB} \)
\( = DE.AB.\cos \left( {\overrightarrow {DE} ,\overrightarrow {AB} } \right) = DE.AB.\cos {0^0} = 2{a^2}.\)
một điểm.
đường thẳng.
đoạn thẳng.
đường tròn.
Chọn B
Ta có \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {BC} = 0 \Leftrightarrow MA \bot BC.\)
Vậy tập hợp các điểm \(M\) là đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(BC.\)
\(\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right)\overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow {BC} \).
\(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CA} = - 2\).
\(\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right).\overrightarrow {AC} = - 4\).
\(\left( {\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {AC} } \right).\overrightarrow {BA} = 2\).
Chọn C
Ta đi tính tích vô hướng ở các phương án. So sánh vế trái với vế phải.
Phương án A:\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC\cos {60^{\rm{o}}} = 2x \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right)\overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow {BC} \)nên loại A.
Phương án B:\(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CA} = BC.AC\cos {120^{\rm{o}}} = - 2\)nên loại B.
Phương án C:\(\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right).\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AC} = 4\), \(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CA} = 2.2.\cos {120^{\rm{o}}} = - 2\) nên chọn C.
\[\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {AB} = - MA.AB\].
\[\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = - MA.MB\].
\[\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AB} = AM.AB\].
\[\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = MA.MB\].
Chọn D
Phương án A:\[\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {AB} \] ngược hướng suy ra \[\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {AB} = MA.AB.\cos {180^{\rm{o}}} = - MA.AB\] nên loại A.
Phương án B:\[\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {MB} \]ngược hướng suy ra \[\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = MA.MB.\cos {180^{\rm{o}}} = - MA.MB\] nên loại B.
Phương án C: \[\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AB} \] cùng hướng suy ra \[\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AB} = AM.AB.\cos {0^{\rm{o}}} = AM.AB\]nên loại C.
Phương án D:\[\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {MB} \] ngược hướng suy ra \[\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = MA.MB.\;\cos {180^{\rm{o}}} = - MA.MB\] nên chọn D.
\(\frac{{3{a^2}}}{4}\).
\(\frac{{ - 3{a^2}}}{4}\).
\(\frac{{3{a^2}}}{2}\).
\(\frac{{ - 3{a^2}}}{2}\).
Chọn B
Ta có \(\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {CA} = AH.CA.\cos \left( {\overrightarrow {AH} ,\overrightarrow {CA} } \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.a.\cos {150^{\rm{o}}} = - \frac{{3{a^2}}}{4}\).
\(\overrightarrow a \)và \(\overrightarrow b \) cùng hướng.
\(\overrightarrow a \)và \(\overrightarrow b \)nằm trên hai dường thẳng hợp với nhau một góc \({120^{\rm{o}}}\).
\(\overrightarrow a \)và \(\overrightarrow b \) ngược hướng.
A, B, C đều sai.
Chọn C
Ta có \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = - \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right| \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = - \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right| \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = - 1\)nên \(\overrightarrow a \)và \(\overrightarrow b \) ngược hướng
\(\sqrt {21} \).
\(\sqrt {61} \).
\(21\).
\(61\).
Chọn A
Ta có \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \sqrt[{}]{{{{\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)}^2}}} = \sqrt[{}]{{{{\overrightarrow a }^2} + {{\overrightarrow b }^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b }} = \sqrt[{}]{{{{\left| {\overrightarrow a } \right|}^2} + {{\left| {\overrightarrow b } \right|}^2} + 2\left| {\overrightarrow a } \right|\left| {\overrightarrow b } \right|\;\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)}} = \sqrt {21} \).
\(\vec a.\overrightarrow b = \frac{1}{2}\left( {{{\left| {\vec a + \overrightarrow b } \right|}^2} - {{\left| {\vec a} \right|}^2} - {{\left| {\overrightarrow b } \right|}^2}} \right)\)
\(\vec a.\overrightarrow b = \frac{1}{2}\left( {{{\left| {\vec a} \right|}^2} + {{\left| {\overrightarrow b } \right|}^2} - {{\left| {\vec a - \overrightarrow b } \right|}^2}} \right)\)
\(\vec a.\overrightarrow b = \frac{1}{2}\left( {{{\left| {\vec a + \overrightarrow b } \right|}^2} - {{\left| {\vec a - \overrightarrow b } \right|}^2}} \right)\)
\(\vec a.\overrightarrow b = \frac{1}{4}\left( {{{\left| {\vec a + \overrightarrow b } \right|}^2} - {{\left| {\vec a - \overrightarrow b } \right|}^2}} \right)\)
Chọn C
Nhận thấy C và D chỉ khác nhau về hệ số \(\frac{1}{2}\) và \(\frac{1}{4}\) nên thử kiểm tra đáp án C và D.
Ta có Chọn C.
\( \bullet \) A đúng, vì \({\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|^2} = {\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)^2} = \left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right).\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) = \overrightarrow a .\overrightarrow a + \overrightarrow a .\overrightarrow b + \overrightarrow b .\overrightarrow a + \overrightarrow b .\overrightarrow b = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b \)
\( \bullet \) B đúng, vì \({\left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right|^2} = {\left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right)^2} = \left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right).\left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right) = \overrightarrow a .\overrightarrow a - \overrightarrow a .\overrightarrow b - \overrightarrow b .\overrightarrow a + \overrightarrow b .\overrightarrow b = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} - 2\overrightarrow a .\overrightarrow b \)
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 22 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = {a^2}\)
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\)
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = - \frac{{{a^2}}}{2}\)
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = \frac{{{a^2}}}{2}\)
Chọn C
Xác định được góc \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right)\) là góc ngoài của góc \(\widehat B\) nên \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) = {120^0}\)
Do đó \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = AB.BC.cos\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) = a.a.cos{120^0} = - \frac{{{a^2}}}{2}\)
\(\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0\)
\(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {HA} } \right) = {150^0}\)
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \frac{{{a^2}}}{2}\)
\(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB} = \frac{{{a^2}}}{2}\)
Chọn D
Xác định được góc \(\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right)\) là góc ngoài của góc \(\widehat A\) nên \(\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = {120^0}\)
Do đó \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB} = AC.CB.cos\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = a.a.cos{120^0} = - \frac{{{a^2}}}{2}\)
\(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = {b^2}\)
\(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = {c^2}\)
\(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = {b^2} + {c^2}\)
\(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = {b^2} - {c^2}\)
Chọn B
Ta có \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = BA.BC.cos\left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = BA.BC.cos\widehat B = c.\sqrt {{b^2} + {c^2}} .\frac{c}{{\sqrt {{b^2} + {c^2}} }} = {c^2}\)
Cách khác. Tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] suy ra \[AB \bot AC\]\[ \Rightarrow \,\,\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0\]
Ta có \[\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BA} .\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} } \right) = {\overrightarrow {BA} ^2} + \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {AC} = A{B^2} = {c^2}\]
Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a\). Lấy \(E\) là trung điểm của \(BC\), điểm \(F\) thoả mãn \(\overrightarrow {BF} = \frac{3}{4}\overrightarrow {BD} \) Khi đó:
a) \(\overrightarrow {AE} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \)
b) \(\overrightarrow {AF} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{5}{4}\overrightarrow {AD} .\)
c) \(\overrightarrow {EF} = \frac{{ - 3}}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} .\)
d) Tam giác \(AEF\)vuông cân.
|
a) Đúng |
b) Sai |
c) Đúng |
d) Đúng |
Ta có: \(\overrightarrow {AE} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BE} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \).
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AF} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BF} = \overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}(\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} ) = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow {AD} .\\\overrightarrow {EF} = \overrightarrow {AF} - \overrightarrow {AE} = \left( {\frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow {AD} } \right) - \left( {\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} } \right) = \frac{{ - 3}}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} .\end{array}\)
Ta có: \(\overrightarrow {AF} \cdot \overrightarrow {EF} = \left( {\frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow {AD} } \right) \cdot \left( {\frac{{ - 3}}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} } \right)\)
\( = \frac{{ - 3}}{{16}}{\overrightarrow {AB} ^2} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} + \frac{3}{{16}}{\overrightarrow {AD} ^2} = 0 \Rightarrow AF \bot EF{\rm{. }}\)
Ta có: \({\overrightarrow {AF} ^2} = {\left( {\frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow {AD} } \right)^2} = \frac{1}{{16}}{\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{3}{8}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} + \frac{9}{{16}}{\overrightarrow {AD} ^2} = \frac{5}{8}{\overrightarrow {AB} ^2}\).
\({\overrightarrow {EF} ^2} = {\left( {\frac{{ - 3}}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} } \right)^2} = \frac{9}{{16}}{\overrightarrow {AB} ^2} - \frac{3}{8}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} + \frac{1}{{16}}{\overrightarrow {AD} ^2} = \frac{5}{8}{\overrightarrow {AB} ^2}.\)
\( \Rightarrow A{F^2} = E{F^2} = \frac{5}{8}{\overrightarrow {AB} ^2} \Rightarrow AF = EF\). Vậy tam giác \(AEF\) vuông cân tại \(F\).
Chú ý: Ta có thể chứng minh tam giác \(AEF\) vuông bằng định lí Pythagore.
Cho tam giác \(ABC\) có . Gọi \(D\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BC\). Điểm \(E\) thoả mãn \(\overrightarrow {AE} = k\overrightarrow {AC} (k \in \mathbb{R})\) (Hình). Khi đó:
a) \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 20\)
b) \(\overrightarrow {AD} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \)
c) \(BC = 3\sqrt 5 \)
d) \(AD \bot BE\) khi \(k = \frac{{14}}{{15}}\).
|
a) Sai |
b) Đúng |
c) Sai |
d) Đúng |
a) Ta có:
b) Ta có: \(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \).
Khi đó:
\(\begin{array}{*{20}{l}}{{{\overrightarrow {BC} }^2}}&{ = {{(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} )}^2} = {{\overrightarrow {AC} }^2} - 2\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AB} + {{\overrightarrow {AB} }^2} = {6^2} - 2 \cdot 24 + {{(4\sqrt 2 )}^2} = 20}\\{}&{ \Rightarrow BC = 2\sqrt 5 .}\\{{{\overrightarrow {AD} }^2}}&{ = {{\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} } \right)}^2} = \frac{1}{4}\left( {{{\overrightarrow {AB} }^2} + 2\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} + {{\overrightarrow {AC} }^2}} \right)}\\{}&{ = \frac{1}{4}\left[ {{{(4\sqrt 2 )}^2} + 2 \cdot 24 + {6^2}} \right] = 29 \Rightarrow AD = \sqrt {29} .}\end{array}\)
c) Ta có: \(\overrightarrow {BE} = \overrightarrow {AE} - \overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \). Từ đó, ta có:
\(\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BE} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} ) \cdot (k\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} )\)
\(\begin{array}{l} = \frac{1}{2}\left( {k\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} + k{{\overrightarrow {AC} }^2} - {{\overrightarrow {AB} }^2} - \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{2}\left[ {24k + {6^2} \cdot k - {{(4\sqrt 2 )}^2} - 24} \right]\\ = 30k - 28.\end{array}\)
Khi đó \(AD \bot BE \Leftrightarrow \overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BE} = 0 \Leftrightarrow 30k - 28 = 0 \Leftrightarrow k = \frac{{14}}{{15}}\).
|
a) Sai |
b) Đúng |
c) Đúng |
d) Sai |
a) Ta có:
b) Ta có: do
c) Cách giải 1: Gọi \(D\) là điểm đối xứng với \(B\) qua \(C\), ta có: \(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {CD} \).
Khi đó:
Cách giải 2: Áp dụng tính chất được rút ra từ định nghĩa:
, ta được:
d) Ta có:
|
a) Đúng |
b) Sai |
c) Sai |
d) Đúng |
Xét hình thoi \(ABCD\) có ; tam giác \(ABC\) có đều cạnh
Ta có: ;
Ta có: ;
Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\), nên: \(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} )\); \({\overrightarrow {AM} ^2} = \frac{1}{4}{(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} )^2} = \frac{1}{4}\left( {{{\overrightarrow {AB} }^2} + 2\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} + {{\overrightarrow {AC} }^2}} \right)\). Mà \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{2};\)
Suy ra: \({\overrightarrow {AM} ^2} = \frac{1}{4}\left( {{c^2} + 2 \cdot \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{2} + {b^2}} \right) = \frac{{2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - {a^2}}}{4}\).
(đây cũng là công thức để tính độ dài đường trung tuyến tam giác).
Ta có: \(\overrightarrow {AE} \cdot \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BE} \cdot \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AE} \cdot (\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} ) + \overrightarrow {BE} \cdot (\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AD} )\)
\( = \overrightarrow {AE} \cdot \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AE} \cdot \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BE} \cdot \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BE} \cdot \overrightarrow {AD} {\rm{. }}\)
Vì \(AB\) là đường kính nửa đường tròn nên
Khi đó: \(\overrightarrow {AE} \cdot \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BE} \cdot \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AE} \cdot \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BE} \cdot \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {AE} \cdot \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {EB} \cdot \overrightarrow {AB} \)
\( = \overrightarrow {AB} (\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {EB} ) = \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AB} = {\overrightarrow {AB} ^2} = A{B^2} = 4\)
Đặt \(\overrightarrow {AD} = \vec a,\overrightarrow {AB} = \vec b\).
Khi đó: \(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AC} = \frac{1}{4}(\vec a + \vec b)\)
\(\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DN} = \vec a + \frac{1}{2}\vec b\)
\(\overrightarrow {MB} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AM} = \vec b - \frac{1}{4}(\vec a + \vec b) = \frac{1}{4}( - \vec a + 3\vec b)\) và
\(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AM} = \vec a + \frac{1}{2}\vec b - \frac{1}{4}(\vec a + \vec b) = \frac{1}{4}(3\vec a + \vec b)\).
Ta có: \(\overrightarrow {MB} \cdot \overrightarrow {MN} = \frac{1}{{16}}( - \vec a + 3\vec b)(3\vec a + \vec b) = \frac{1}{{16}}\left( { - 3{{\vec a}^2} + 3{{\vec b}^2} + 8\vec a \cdot \vec b} \right)\)
\( = \frac{1}{{16}}\left( { - 3A{D^2} + 3A{B^2} + 0} \right) = 0 \Rightarrow MB \bot MN(1)\).
Hơn nữa: \({\overrightarrow {MB} ^2} = \frac{1}{{16}}{( - \vec a + 3\vec b)^2} = \frac{1}{{16}}\left( {{{\vec a}^2} + 9{{\vec b}^2} - 6\vec a \cdot \vec b} \right) = \frac{1}{{16}}\left( {A{D^2} + 9A{B^2} - 0} \right) = \frac{5}{8}A{B^2}\);
\({\overrightarrow {MN} ^2} = \frac{1}{{16}}{(3\vec a + \vec b)^2} = \frac{1}{{16}}\left( {9{{\vec a}^2} + {{\vec b}^2} + 6\vec a \cdot \vec b} \right) = \frac{1}{{16}}\left( {9A{D^2} + A{B^2} + 0} \right) = \frac{5}{8}A{B^2}\).
Suy ra \[MB = MN\](2). Từ (1) và (2) suy ra \(\Delta BMN\)vuông cân tại đỉnh \[M.\]\(\)
Ta cần chứng minh: \(\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {BD} = 0\). Ta có: \(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BH} + \overrightarrow {HD} = \overrightarrow {HC} + \overrightarrow {HD} ;\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AH} + \overrightarrow {AD} )\)
Do đó: \(\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {BD} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AH} + \overrightarrow {AD} )(\overrightarrow {HC} + \overrightarrow {HD} )\)\( = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AH} \cdot \overrightarrow {HC} + \overrightarrow {AH} \cdot \overrightarrow {HD} + \overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {HC} + \overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {HD} )\),
mà \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {AH} \cdot \overrightarrow {HC} = 0({\rm{ do }}AH \bot BC)}\\{\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {HD} = 0({\rm{ do }}HD \bot AC)}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {BD} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AH} \cdot \overrightarrow {HD} + \overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {HC} )\)
\( = \frac{1}{2}[\overrightarrow {AH} \cdot \overrightarrow {HD} + (\overrightarrow {AH} + \overrightarrow {HD} ) \cdot \overrightarrow {HC} ]\)
\( = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AH} \cdot \overrightarrow {HD} + \underbrace {\overrightarrow {AH} \cdot \overrightarrow {HC} }_0 + \overrightarrow {HD} \cdot \overrightarrow {HC} ) = \frac{1}{2}\overrightarrow {HD} \cdot (\overrightarrow {AH} + \overrightarrow {HC} ) = \frac{1}{2}\overrightarrow {HD} \cdot \overrightarrow {AC} = 0\).
Vậy \(AM \bot DB\).
Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\) ta có:
\(\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} = \frac{{3{a^2}}}{4} \Leftrightarrow (\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} )(\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} ) = \frac{{3{a^2}}}{4}\)
\( \Leftrightarrow (\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} )(\overrightarrow {MI} - \overrightarrow {IA} ) = \frac{{3{a^2}}}{4} \Leftrightarrow M{I^2} - I{A^2} = \frac{{3{a^2}}}{4}\)\(\)
\(\mathop \Leftrightarrow \limits^{IA = \frac{a}{2}} M{I^2} = \frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{3{a^2}}}{4} \Leftrightarrow MI = a.\)
Vậy tập hợp điểm \(M\) là đường tròn tâm \(I\) bán kính \(R = a\).
Gọi I là tâm của hình vuông \(ABCD\)
Ta có \(:\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MC} = (\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} )(\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} )\) \( = (\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} )(\overrightarrow {MI} - \overrightarrow {IA} ) = {\overrightarrow {MI} ^2} - {\overrightarrow {IA} ^2} = M{I^2} - I{A^2}\).
Hoàn toàn tương tự, ta có: \(\overrightarrow {MB} \cdot \overrightarrow {MD} = M{I^2} - I{B^2}\).
Khi đó: \(\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MB} \cdot \overrightarrow {MD} = k \Leftrightarrow 2M{I^2} - I{A^2} - I{B^2} = k \Leftrightarrow 2M{I^2} - 2I{A^2} = k\)
\( \Leftrightarrow M{I^2} = \frac{k}{2} + I{A^2} \Leftrightarrow M{I^2} = \frac{k}{2} + \frac{{{a^2}}}{2} \Leftrightarrow MI = \sqrt {\frac{{k + {a^2}}}{2}} \)
(trong đó \(I{A^2} = {\left( {\frac{{AC}}{2}} \right)^2} = {\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = \frac{{{a^2}}}{2}\)).
Nếu \(k < - {a^2}\): Tập hợp điểm \(M\) là tập rỗng.
Nếu \(k = - {a^2}\) thì \(MI = 0 \Leftrightarrow M \equiv I\) (điểm \(M\) trùng với điểm \(I\)).
Nếu \(k > - {a^2}\) thì \(MI = \sqrt {\frac{{k + {a^2}}}{2}} \).
Khi đó tập hợp điểm \(M\) là đường tròn tâm \(I\), bán kính \(R = \sqrt {\frac{{k + {a^2}}}{2}} \).
Bạn có thích hoạt động này không?
Hãy lưu hoặc chia sẻ nội dung này đến mọi người.
Gợi ý cho bạn
Ý tưởng của bạn, bài học của bạn
Tự thiết kế đề thi, bài giảng hoặc flashcard theo cách riêng.
