Đề kiểm tra Tích vô hướng của hai vectơ lớp 10 (có lời giải) - Đề 1
22 câu hỏi
\(\alpha = {180^{\rm{o}}}\).
\(\alpha = {0^{\rm{o}}}\).
\(\alpha = {90^{\rm{o}}}\).
\(\alpha = {45^{\rm{o}}}\).
Chọn A
Ta có \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.cos\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\).
Mà theo giả thiết \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = - \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\), suy ra
\(\alpha = {30^{\rm{o}}}\).
\(\alpha = {45^{\rm{o}}}\).
\(\alpha = {60^{\rm{o}}}\).
\(\alpha = {120^{\rm{o}}}\).
Chọn D
Ta có
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 2{a^2}.\)
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = - \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\)
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = - \frac{{{a^2}}}{2}\)
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \frac{{{a^2}}}{2}\)
Chọn D
Xác định được góc \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)\) là góc \(\widehat A\) nên \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = {60^0}.\)
Do đó \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.cos\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = a.a.cos{60^0} = \frac{{{a^2}}}{2}.\)
\(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\).
\(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 0\).
\(\overrightarrow a .\overrightarrow b = - 1\).
\(\overrightarrow a .\overrightarrow b = - \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\).
Chọn A
Do \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là hai vectơ cùng hướng nên .
Vậy \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\).Cho \(M,{\rm{ }}N,{\rm{ }}P,{\rm{ }}Q\) là bốn điểm tùy ý.
\(\left( {\overrightarrow {AB} ,{\rm{ }}\overrightarrow {BC} } \right) = {130^{\rm{o}}}\).
\(\left( {\overrightarrow {BC} ,{\rm{ }}\overrightarrow {AC} } \right) = {40^{\rm{o}}}\).
\(\left( {\overrightarrow {AB} ,{\rm{ }}\overrightarrow {CB} } \right) = {50^{\rm{o}}}\).
\(\left( {\overrightarrow {AC} ,{\rm{ }}\overrightarrow {CB} } \right) = {120^{\rm{o}}}\)
Chọn D
Phương án A:\(\left( {\overrightarrow {AB} ,{\rm{ }}\overrightarrow {BC} } \right) = {180^0} - \left( {\overrightarrow {AB} ,{\rm{ }}\overrightarrow {CB} } \right) = {130^{\rm{o}}}\) nên loại A.
Phương án B:\(\left( {\overrightarrow {BC} ,{\rm{ }}\overrightarrow {AC} } \right) = \left( {\overrightarrow {CB} ,{\rm{ }}\overrightarrow {CA} } \right) = {40^{\rm{o}}}\) nên loại B.
Phương án C:\(\left( {\overrightarrow {AB} ,{\rm{ }}\overrightarrow {CB} } \right) = \left( {\overrightarrow {BA} ,{\rm{ }}\overrightarrow {BC} } \right) = {50^{\rm{o}}}\) nên loại C.
Phương án D:\(\left( {\overrightarrow {AC} ,{\rm{ }}\overrightarrow {CB} } \right) = {180^0} - \left( {\overrightarrow {CA} ,{\rm{ }}\overrightarrow {CB} } \right) = {140^{\rm{o}}}\)nên chọn D.
\(\frac{1}{2}\).
\( - \frac{1}{2}\).
\(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
\( - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Chọn D
Đầu tiên ta đi tìm số đo của góc \[\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CA} } \right)\] sau đó mới tính \[{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CA} } \right)\]
Vì \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CA} } \right) = {180^{\rm{o}}} - \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CA} } \right) = {135^{\rm{o}}} \Rightarrow {\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CA} } \right) = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
\(\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} = {a^2}\).
\(\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} = a\).
\(\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
\(\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} = a\sqrt 2 \).
Chọn A
Ta có \(\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} = a.a\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 2 }}{2} = {a^2}\).
\[0\].
\(a\).
\(\frac{{{\user2{a}^2}}}{2}\).
\({a^2}\).
Chọn A
Ta có \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} \,\,\, = a.a.\cos {90^{\rm{o}}} = 0\].
\(\sqrt {7 + \sqrt 3 } \).
\(\sqrt {7 - \sqrt 3 } \).
\(\sqrt {7 - 2\sqrt 3 } \).
\(\sqrt {7 + 2\sqrt 3 } \).
Chọn C
Ta có \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \sqrt[{}]{{{{\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)}^2}}} = \sqrt[{}]{{{{\overrightarrow a }^2} + {{\overrightarrow b }^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b }} = \sqrt[{}]{{{{\left| {\overrightarrow a } \right|}^2} + {{\left| {\overrightarrow b } \right|}^2} + 2\left| {\overrightarrow a } \right|\left| {\overrightarrow b } \right|\;cos\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)}} = \sqrt {7 - 2\sqrt 3 } \).
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 22 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
Đường tròn đường kính\(BC\).
Đường tròn\(\left( {B;BC} \right)\).
Đường tròn \(\left( {C;CB} \right)\).
Một đường khác.
Chọn A
\(\overrightarrow {CM} .\overrightarrow {CB} = {\overrightarrow {CM} ^2} \Leftrightarrow \overrightarrow {CM} .\overrightarrow {CB} - {\overrightarrow {CM} ^2} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {CM} .\overrightarrow {MB} = 0\).
Tập hợp điểm \(M\) là đường tròn đường kính \(BC\).
Đường tròn đường kính\(AB\).
Đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với\(BC\).
Đường thẳng đi qua \(B\) và vuông góc với\(AC\).
Đường thẳng đi qua \(C\) và vuông góc với\(AB\).
Chọn B
\[\overrightarrow {CM} .\overrightarrow {CB} = \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} \Leftrightarrow \overrightarrow {CM} .\overrightarrow {CB} - \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} = 0 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {CM} - \overrightarrow {CA} } \right).\overrightarrow {CB} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {CB} = 0\].
Tập hợp điểm \(M\) là đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(BC\).
\(M\left( {1,6} \right)\).
\(M\left( {6,0} \right)\).
\(M\left( {1,0} \right)\) hay \(M\left( {6,0} \right)\).
\(M\left( {0,1} \right)\).
Chọn C
Gọi \(M\left( {x;0} \right)\), với \(x \in \mathbb{R}\). Khi đó \(\overrightarrow {AM} = \left( {x - 2; - 2} \right),\;\overrightarrow {BM} = \left( {x - 5;2} \right)\). Theo YCBT ta có \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BM} = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x - 5} \right) - 4 = {x^2} - 7{\rm{x}} + 6 = 0\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow M\left( {1;0} \right)\\x = 6 \Rightarrow M\left( {6;0} \right)\end{array} \right.\),nên chọn C.
|
a) Sai |
b) Đúng |
c) Đúng |
d) Đúng |
a) Ta có: \(\vec a - \vec b = ( - 6;2) \Rightarrow \vec a(\vec a - \vec b) = - 2( - 6) + 3.2 = 18\);
\(\vec a + \vec b = (2;4),2\vec a - \vec b = ( - 8;5) \Rightarrow (\vec a + \vec b)(2\vec a - \vec b) = 2( - 8) + 4.5 = 4\).
b) Ta có: \(\vec c = (m;1)\). Vì \(\vec c \bot \vec a\) nên \(\vec a \cdot \vec c = 0 \Rightarrow - 2m + 3 \cdot 1 = 0 \Rightarrow m = \frac{3}{2}\).
c) Gọi \(\vec d = (x;y)\). Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\vec a \cdot \vec d = 4}\\{\vec b \cdot \vec d = - 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2x + 3y = 4}\\{4x + y = - 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - \frac{5}{7}}\\{y = \frac{6}{7}}\end{array}} \right.} \right.} \right.\) Vậy \(\vec d = \left( { - \frac{5}{7};\frac{6}{7}} \right)\).
|
a) Sai |
b) Sai |
c) Đúng |
d) Đúng |
a) Ta có: \(\cos (\vec a,\vec b) = \frac{{\vec a \cdot \vec b}}{{|\vec a| \cdot |\vec b|}} = \frac{{2.3 + 5( - 7)}}{{\sqrt {{2^2} + {5^2}} \cdot \sqrt {{3^2} + {{( - 7)}^2}} }} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow (\vec a,\vec b) = 135^\circ \); \(\cos (\vec a,\vec c) = \frac{{\vec a \cdot \overrightarrow c }}{{|\vec a| \cdot |\overrightarrow c |}} = \frac{{2.1 + 5.1}}{{\sqrt {{2^2} + {5^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{{7\sqrt {58} }}{{58}} \Rightarrow (\vec a,\vec c) \approx 23,1986^\circ \).
b) Ta có: \(\vec d = (4x + 1;x + 4)\) tạo với \(\vec c\) một góc \(45^\circ \) nên:
\(\cos (\vec d,\vec c) = \frac{{\vec d \cdot \vec c}}{{|\vec d| \cdot |\vec c|}} = \frac{{4x + 1 + x + 4}}{{\sqrt 2 \cdot \sqrt {{{(4x + 1)}^2} + {{(x + 4)}^2}} }} = \cos 45^\circ \)\(\)
\( \Leftrightarrow \frac{{5x + 5}}{{\sqrt 2 \cdot \sqrt {17{x^2} + 16x + 17} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow 5x + 5 = \sqrt {17{x^2} + 16x + 17} \)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge - 1}\\{17{x^2} + 16x + 17 = 25{x^2} + 50x + 25}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge - 1}\\{8{x^2} + 34x + 8 = 0}\end{array} \Leftrightarrow x = - \frac{1}{4}.} \right.} \right.\)
Cho hình chữ nhật \(ABCD,AB = 4a,AD = 3a\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB,G\) là trọng tâm tam giác \(ACM\) (Hình).
a) \(\overrightarrow {CM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} - 3\overrightarrow {BC} \)
b) \(\overrightarrow {BG} = \frac{3}{2}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} .\)
c) \(\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {BA} = 0\)
d) \(\overrightarrow {BG} \cdot \overrightarrow {CM} = - {a^2}.\)
|
a) Sai |
b) Sai |
c) Đúng |
d) Sai |
Ta có: \(\overrightarrow {CM} = \overrightarrow {BM} - \overrightarrow {BC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BC} \).
Vì \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ACM\) nên
\(3\overrightarrow {BG} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} = \frac{3}{2}\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} \Rightarrow \overrightarrow {BG} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} .\)
Vì \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(BC = AD = 3a,\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {BA} = 0\).
Ta có: \(\overrightarrow {BG} \cdot \overrightarrow {CM} = \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} } \right) \cdot \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BC} } \right) = \frac{1}{4}{\overrightarrow {BA} ^2} - \frac{1}{3}\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} - \frac{1}{3}{\overrightarrow {BC} ^2}\)
\( = \frac{1}{4}{(4a)^2} - \frac{1}{3} \cdot 4a \cdot 3a - \frac{1}{3}{(3a)^2} = - 3{a^2}.\)
|
a) Đúng |
b) Sai |
c) Đúng |
d) Sai |
Ta có:
\(\begin{array}{l}(\vec a + \vec b) \cdot (\vec a - \vec b) = {{\vec a}^2} - {{\vec b}^2} = |\vec a{|^2} - |\vec b{|^2} = {3^2} - {4^2} = - 7.\\\begin{array}{*{20}{l}}{(3\vec a + \vec b) \cdot (\vec a - 2\vec b)}&{ = 3{{\vec a}^2} - 5\vec a \cdot \vec b - 2{{\vec b}^2} = 3|\vec a{|^2} - 5\vec a \cdot \vec b - 2|\vec b{|^2}}\\{}&{ = 3 \cdot {3^2} - 5( - 6\sqrt 3 ) - 2 \cdot {4^2} = - 5 + 30\sqrt 3 .}\end{array}\end{array}\)
Tam giác \(AMB\) có \(AM = BM = AB\) nên là tam giác đều. Suy ra
Vì \(P\) thuộc trục tung nên \(P(0,b)\). Khi đó \(\overrightarrow {PA} = (1;2 - b)\) và \(\overrightarrow {PB} = ( - 1;3 - b)\).
\(\overrightarrow {PA} \cdot \overrightarrow {PB} = 1.( - 1) + (2 - b)(3 - b) = {b^2} - 5b + 5\)
\(\cos APB = \frac{{\overrightarrow {PA} \cdot \overrightarrow {PB} }}{{|\overrightarrow {PA} | \cdot |\overrightarrow {PB} |}} = \frac{{{b^2} - 5b + 5}}{{\sqrt {{{(b - 2)}^2} + 1} \cdot \sqrt {{{(b - 3)}^2} + 1} }}\).
Ta có:
Gọi \(a\) là độ dài cạnh hình vuông.
Xét hệ trục toạ độ \(xOy\) sao cho \(D \equiv O = (0;0),C = (a;0),A = (0;a)\).
Dễ thấy \(E = \left( {\frac{a}{2};a} \right);F = \left( {0;\frac{{2a}}{3}} \right)\).
Giả sử \(M = (a;y)\quad (y \in \mathbb{R}).\) Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {FE} = \left( {\frac{a}{2};\frac{a}{3}} \right)}\\{\overrightarrow {FM} = \left( {a;y - \frac{{2a}}{3}} \right)}\end{array}} \right.\)
Vậy ta có biến đổi tương đương:
\(EF \bot FM\)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {FE} \cdot \overrightarrow {FM} = 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{{{a^2}}}{2} + \frac{a}{3}\left( {y - \frac{{2a}}{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow y = \frac{{ - 5a}}{6}.\)
Vậy \(M\left( {a;\frac{{ - 5a}}{6}} \right)\).
Từ đó \(M\) là điểm nằm trên phần kéo dài của \(BC\) về phía \(C\) sao cho \(CM = \frac{{5a}}{6}\).
Ta có biến đổi tích vô hướng như sau:
\(2\overrightarrow {AE} \cdot \overrightarrow {BH} = (\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AH} ) \cdot (\overrightarrow {BM} + \overrightarrow {MH} )\)
\( = \overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {MH} + \overrightarrow {AH} \cdot \overrightarrow {BM} \)
\( = \overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {MH} + (\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MH} ) \cdot \overrightarrow {BM} \)
\( = \overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {MH} + \overrightarrow {MH} \cdot \overrightarrow {MC} \)
\( = \overrightarrow {HM} \cdot \overrightarrow {MH} + \overrightarrow {MH} \cdot \overrightarrow {MH} \)
\( = {\overrightarrow {MH} ^2} + {\overrightarrow {MH} ^2} = 0.\)
Suy ra \(AE \bot BH\) (đpcm).
Suy ra \(\overrightarrow {AE} .\overrightarrow {BH} = 0\)
Bạn có thích hoạt động này không?
Hãy lưu hoặc chia sẻ nội dung này đến mọi người.
Gợi ý cho bạn
Ý tưởng của bạn, bài học của bạn
Tự thiết kế đề thi, bài giảng hoặc flashcard theo cách riêng.
