Đề kiểm tra Tích vô hướng của hai vectơ lớp 10 (có lời giải) - Đề 1
22 câu hỏi
Phần 1. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi, thí sinh chỉ chọn 1 phương án.
Cho hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) khác \(\vec 0\). Xác định góc \(\alpha \) giữa hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) khi \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = - \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\)
\(\alpha = {180^{\rm{o}}}\).
\(\alpha = {0^{\rm{o}}}\).
\(\alpha = {90^{\rm{o}}}\).
\(\alpha = {45^{\rm{o}}}\).
Chọn A
Ta có \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.cos\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\).
Mà theo giả thiết \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = - \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\), suy ra cosa→,b→=−1→a→,b→=1800
Cho hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) thỏa mãn \(\left| {\vec a} \right| = 3,\)\(\left| {\vec b} \right| = 2\) và \(\vec a.\vec b = - 3.\) Xác định góc \(\alpha \) giữa hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b.\)
\(\alpha = {30^{\rm{o}}}\).
\(\alpha = {45^{\rm{o}}}\).
\(\alpha = {60^{\rm{o}}}\).
\(\alpha = {120^{\rm{o}}}\).
Chọn D
Ta có a→.b→=a→.b→.cosa→,b→→cosa→,b→=a→.b→a→.b→=−33.2=−12→a→,b→=1200
Cho tam giác đều \(ABC\) có cạnh bằng \(a.\) Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} .\)
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 2{a^2}.\)
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = - \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\)
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = - \frac{{{a^2}}}{2}\)
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \frac{{{a^2}}}{2}\)
Chọn D
Xác định được góc \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)\) là góc \(\widehat A\) nên \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = {60^0}.\)
Do đó \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.cos\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = a.a.cos{60^0} = \frac{{{a^2}}}{2}.\)
Cho \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ \(\overrightarrow 0 \). Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\).
\(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 0\).
\(\overrightarrow a .\overrightarrow b = - 1\).
\(\overrightarrow a .\overrightarrow b = - \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\).
Chọn A
Do \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là hai vectơ cùng hướng nên a→,b→=00→cosa→,b→=1.
Vậy \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\).Cho \(M,{\rm{ }}N,{\rm{ }}P,{\rm{ }}Q\) là bốn điểm tùy ý.
Tam giác \(ABC\) vuông ở \(A\) và có góc \(\widehat B = {50^{\rm{o}}}\). Hệ thức nào sau đây là sai?
\(\left( {\overrightarrow {AB} ,{\rm{ }}\overrightarrow {BC} } \right) = {130^{\rm{o}}}\).
\(\left( {\overrightarrow {BC} ,{\rm{ }}\overrightarrow {AC} } \right) = {40^{\rm{o}}}\).
\(\left( {\overrightarrow {AB} ,{\rm{ }}\overrightarrow {CB} } \right) = {50^{\rm{o}}}\).
\(\left( {\overrightarrow {AC} ,{\rm{ }}\overrightarrow {CB} } \right) = {120^{\rm{o}}}\)
Chọn D
Phương án A:\(\left( {\overrightarrow {AB} ,{\rm{ }}\overrightarrow {BC} } \right) = {180^0} - \left( {\overrightarrow {AB} ,{\rm{ }}\overrightarrow {CB} } \right) = {130^{\rm{o}}}\) nên loại A.
Phương án B:\(\left( {\overrightarrow {BC} ,{\rm{ }}\overrightarrow {AC} } \right) = \left( {\overrightarrow {CB} ,{\rm{ }}\overrightarrow {CA} } \right) = {40^{\rm{o}}}\) nên loại B.
Phương án C:\(\left( {\overrightarrow {AB} ,{\rm{ }}\overrightarrow {CB} } \right) = \left( {\overrightarrow {BA} ,{\rm{ }}\overrightarrow {BC} } \right) = {50^{\rm{o}}}\) nên loại C.
Phương án D:\(\left( {\overrightarrow {AC} ,{\rm{ }}\overrightarrow {CB} } \right) = {180^0} - \left( {\overrightarrow {CA} ,{\rm{ }}\overrightarrow {CB} } \right) = {140^{\rm{o}}}\)nên chọn D.
Cho hình vuông \(ABCD\), tính \[{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CA} } \right)\]
\(\frac{1}{2}\).
\( - \frac{1}{2}\).
\(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
\( - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Chọn D
Đầu tiên ta đi tìm số đo của góc \[\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CA} } \right)\] sau đó mới tính \[{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CA} } \right)\]
Vì \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CA} } \right) = {180^{\rm{o}}} - \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CA} } \right) = {135^{\rm{o}}} \Rightarrow {\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CA} } \right) = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Cho tam giác\(ABC\) vuông cân tại \(A\) có \(BC = a\sqrt 2 \).Tính \(\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} \)
\(\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} = {a^2}\).
\(\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} = a\).
\(\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
\(\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} = a\sqrt 2 \).
Chọn A
Ta có \(\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} = a.a\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 2 }}{2} = {a^2}\).
Cho hình vuông \(ABCD\) có cạnh \(a\). Tính \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} \,\,\,\]
\[0\].
\(a\).
\(\frac{{{\user2{a}^2}}}{2}\).
\({a^2}\).
Chọn A
Ta có \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} \,\,\, = a.a.\cos {90^{\rm{o}}} = 0\].
Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \)và \(\vec b\). Biết \(\left| {\vec a} \right|\) =2, \(\left| {\vec b} \right|\)= \(\sqrt 3 \) và \(\left( {\vec a,\vec b} \right) = {120^{\rm{o}}}\).Tính\(\left| {\vec a + \vec b} \right|\)
\(\sqrt {7 + \sqrt 3 } \).
\(\sqrt {7 - \sqrt 3 } \).
\(\sqrt {7 - 2\sqrt 3 } \).
\(\sqrt {7 + 2\sqrt 3 } \).
Chọn C
Ta có \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \sqrt[{}]{{{{\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)}^2}}} = \sqrt[{}]{{{{\overrightarrow a }^2} + {{\overrightarrow b }^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b }} = \sqrt[{}]{{{{\left| {\overrightarrow a } \right|}^2} + {{\left| {\overrightarrow b } \right|}^2} + 2\left| {\overrightarrow a } \right|\left| {\overrightarrow b } \right|\;cos\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)}} = \sqrt {7 - 2\sqrt 3 } \).
Cho hai điểm \(B,C\) phân biệt. Tập hợp những điểm \(M\)thỏa mãn \(\overrightarrow {CM} .\overrightarrow {CB} = {\overrightarrow {CM} ^2}\) là :
Đường tròn đường kính\(BC\).
Đường tròn\(\left( {B;BC} \right)\).
Đường tròn \(\left( {C;CB} \right)\).
Một đường khác.
Chọn A
\(\overrightarrow {CM} .\overrightarrow {CB} = {\overrightarrow {CM} ^2} \Leftrightarrow \overrightarrow {CM} .\overrightarrow {CB} - {\overrightarrow {CM} ^2} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {CM} .\overrightarrow {MB} = 0\).
Tập hợp điểm \(M\) là đường tròn đường kính \(BC\).
Cho ba điểm \(A,B,C\) phân biệt. Tập hợp những điểm \(M\) mà \(\overrightarrow {CM} .\overrightarrow {CB} = \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} \)là :
Đường tròn đường kính\(AB\).
Đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với\(BC\).
Đường thẳng đi qua \(B\) và vuông góc với\(AC\).
Đường thẳng đi qua \(C\) và vuông góc với\(AB\).
Chọn B
\[\overrightarrow {CM} .\overrightarrow {CB} = \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} \Leftrightarrow \overrightarrow {CM} .\overrightarrow {CB} - \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} = 0 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {CM} - \overrightarrow {CA} } \right).\overrightarrow {CB} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {CB} = 0\].
Tập hợp điểm \(M\) là đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(BC\).
Cho hai điểm \(A\left( {2,2} \right)\), \(B\left( {5, - 2} \right)\). Tìm \(M\) trên tia \(Ox\) sao cho \(\widehat {AMB{\rm{ }}} = {\rm{ }}{90^{\rm{o}}}\)
\(M\left( {1,6} \right)\).
\(M\left( {6,0} \right)\).
\(M\left( {1,0} \right)\) hay \(M\left( {6,0} \right)\).
\(M\left( {0,1} \right)\).
Chọn C
Gọi \(M\left( {x;0} \right)\), với \(x \in \mathbb{R}\). Khi đó \(\overrightarrow {AM} = \left( {x - 2; - 2} \right),\;\overrightarrow {BM} = \left( {x - 5;2} \right)\). Theo YCBT ta có \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BM} = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x - 5} \right) - 4 = {x^2} - 7{\rm{x}} + 6 = 0\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow M\left( {1;0} \right)\\x = 6 \Rightarrow M\left( {6;0} \right)\end{array} \right.\),nên chọn C.
Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho các vectơ \(\vec a = ( - 2;3),\vec b = (4;1)\). Khi đó:
a) \(\vec a(\vec a - \vec b) = 12\)
b) \((\vec a + \vec b)(2\vec a - \vec b) = 4\)
c) Vectơ \(\vec c = m\vec i + \vec j\) vuông góc với \(\vec a\) khi \(m = \frac{3}{2}\)
d) Tọa độ vectơ \(\vec d\) sao cho \(\vec a.\vec d = 4,\vec b.\vec d = - 2\) bằng \(\left( { - \frac{5}{7};\frac{6}{7}} \right)\)
a) Sai | b) Đúng | c) Đúng | d) Đúng |
a) Ta có: \(\vec a - \vec b = ( - 6;2) \Rightarrow \vec a(\vec a - \vec b) = - 2( - 6) + 3.2 = 18\);
\(\vec a + \vec b = (2;4),2\vec a - \vec b = ( - 8;5) \Rightarrow (\vec a + \vec b)(2\vec a - \vec b) = 2( - 8) + 4.5 = 4\).
b) Ta có: \(\vec c = (m;1)\). Vì \(\vec c \bot \vec a\) nên \(\vec a \cdot \vec c = 0 \Rightarrow - 2m + 3 \cdot 1 = 0 \Rightarrow m = \frac{3}{2}\).
c) Gọi \(\vec d = (x;y)\). Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\vec a \cdot \vec d = 4}\\{\vec b \cdot \vec d = - 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2x + 3y = 4}\\{4x + y = - 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - \frac{5}{7}}\\{y = \frac{6}{7}}\end{array}} \right.} \right.} \right.\) Vậy \(\vec d = \left( { - \frac{5}{7};\frac{6}{7}} \right)\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho các vectơ \(\vec a = (2;5),\vec b = (3; - 7)\), \(\vec c = (1;1)\). Khi đó:
a) \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 29\)
b) \((\vec a,\vec b) = 15^\circ \)
c) \((\vec a,\vec c) \approx 23,1986^\circ \)
d) Để \(\vec d = (4x + 1)\vec i + (x + 4)\vec j\) tạo với vectơ \(\vec c\) một góc \(45^\circ \) thì \(x = - \frac{1}{4}.\)
a) Sai | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng |
a) Ta có: \(\cos (\vec a,\vec b) = \frac{{\vec a \cdot \vec b}}{{|\vec a| \cdot |\vec b|}} = \frac{{2.3 + 5( - 7)}}{{\sqrt {{2^2} + {5^2}} \cdot \sqrt {{3^2} + {{( - 7)}^2}} }} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow (\vec a,\vec b) = 135^\circ \); \(\cos (\vec a,\vec c) = \frac{{\vec a \cdot \overrightarrow c }}{{|\vec a| \cdot |\overrightarrow c |}} = \frac{{2.1 + 5.1}}{{\sqrt {{2^2} + {5^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{{7\sqrt {58} }}{{58}} \Rightarrow (\vec a,\vec c) \approx 23,1986^\circ \).
b) Ta có: \(\vec d = (4x + 1;x + 4)\) tạo với \(\vec c\) một góc \(45^\circ \) nên:
\(\cos (\vec d,\vec c) = \frac{{\vec d \cdot \vec c}}{{|\vec d| \cdot |\vec c|}} = \frac{{4x + 1 + x + 4}}{{\sqrt 2 \cdot \sqrt {{{(4x + 1)}^2} + {{(x + 4)}^2}} }} = \cos 45^\circ \)\(\)
\( \Leftrightarrow \frac{{5x + 5}}{{\sqrt 2 \cdot \sqrt {17{x^2} + 16x + 17} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow 5x + 5 = \sqrt {17{x^2} + 16x + 17} \)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge - 1}\\{17{x^2} + 16x + 17 = 25{x^2} + 50x + 25}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge - 1}\\{8{x^2} + 34x + 8 = 0}\end{array} \Leftrightarrow x = - \frac{1}{4}.} \right.} \right.\)
Cho hình chữ nhật \(ABCD,AB = 4a,AD = 3a\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB,G\) là trọng tâm tam giác \(ACM\) (Hình).
a) \(\overrightarrow {CM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} - 3\overrightarrow {BC} \)
b) \(\overrightarrow {BG} = \frac{3}{2}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} .\)
c) \(\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {BA} = 0\)
d) \(\overrightarrow {BG} \cdot \overrightarrow {CM} = - {a^2}.\)
a) Sai | b) Sai | c) Đúng | d) Sai |
Ta có: \(\overrightarrow {CM} = \overrightarrow {BM} - \overrightarrow {BC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BC} \).
Vì \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ACM\) nên
\(3\overrightarrow {BG} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} = \frac{3}{2}\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} \Rightarrow \overrightarrow {BG} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} .\)
Vì \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(BC = AD = 3a,\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {BA} = 0\).
Ta có: \(\overrightarrow {BG} \cdot \overrightarrow {CM} = \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} } \right) \cdot \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BC} } \right) = \frac{1}{4}{\overrightarrow {BA} ^2} - \frac{1}{3}\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} - \frac{1}{3}{\overrightarrow {BC} ^2}\)
\( = \frac{1}{4}{(4a)^2} - \frac{1}{3} \cdot 4a \cdot 3a - \frac{1}{3}{(3a)^2} = - 3{a^2}.\)
Cho hai vectơ |a→|=3,|b→|=4,(a→,b→)=150°. Khi đó:
a) \(\vec a \cdot \vec b = - 6\sqrt 3 \)
b) \((\vec a + \vec b) \cdot (\vec a - \vec b) = 7.\)
c) \((3\vec a + \vec b) \cdot (\vec a - 2\vec b) = - 5 + 30\sqrt 3 \)
d) \((3\vec a + \vec b) \cdot (\vec a - 2\vec b) = 5 + 30\sqrt 3 \)
a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Sai |
Ta có: a→⋅b→=|a→|⋅|b→|⋅cos(a→,b→)=3⋅4⋅cos150°=−63
\(\begin{array}{l}(\vec a + \vec b) \cdot (\vec a - \vec b) = {{\vec a}^2} - {{\vec b}^2} = |\vec a{|^2} - |\vec b{|^2} = {3^2} - {4^2} = - 7.\\\begin{array}{*{20}{l}}{(3\vec a + \vec b) \cdot (\vec a - 2\vec b)}&{ = 3{{\vec a}^2} - 5\vec a \cdot \vec b - 2{{\vec b}^2} = 3|\vec a{|^2} - 5\vec a \cdot \vec b - 2|\vec b{|^2}}\\{}&{ = 3 \cdot {3^2} - 5( - 6\sqrt 3 ) - 2 \cdot {4^2} = - 5 + 30\sqrt 3 .}\end{array}\end{array}\)
Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6
Cho hình thang vuông \(ABCD\) có đáy lớn \(AB = 8a\); đáy nhỏ \(CD = 4a\); đường cao \(AD = 6a\); \[I\] là trung điểm của \(AD\). Tính \((\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} ) \cdot \overrightarrow {ID} \).
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {IA} \cdot \overrightarrow {ID} + \overrightarrow {IB} \cdot \overrightarrow {ID} \\ = - {\overrightarrow {IA} ^2} + IB \cdot ID \cdot \cos BID\\ = - I{A^2} - IB \cdot ID \cdot \cos BIA\\ = - I{A^2} - IB \cdot ID \cdot \frac{{IA}}{{IB}}\\ = - I{A^2} - I{A^2} = - 2I{A^2} = - 2 \cdot {(3a)^2} = - 18{a^2}.\end{array}\)
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = a,AC = 2\sqrt 3 a\) và \(AM\) là trung tuyến. Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {AM} \).
Tam giác \(AMB\) có \(AM = BM = AB\) nên là tam giác đều. Suy ra MAB^=60°
BA→⋅AM→=−AB→⋅AM→=−|AB→|⋅|AM→|⋅cos(AB→,AM→)=−a⋅a⋅cos60°=−a22
Cho \(A(1;2)\) và \(B( - 1;3)\). Cho điểm \(P(0,b)\). Tính \(\cos APB\) theo tung độ của \(P\).
Vì \(P\) thuộc trục tung nên \(P(0,b)\). Khi đó \(\overrightarrow {PA} = (1;2 - b)\) và \(\overrightarrow {PB} = ( - 1;3 - b)\).
\(\overrightarrow {PA} \cdot \overrightarrow {PB} = 1.( - 1) + (2 - b)(3 - b) = {b^2} - 5b + 5\)
\(\cos APB = \frac{{\overrightarrow {PA} \cdot \overrightarrow {PB} }}{{|\overrightarrow {PA} | \cdot |\overrightarrow {PB} |}} = \frac{{{b^2} - 5b + 5}}{{\sqrt {{{(b - 2)}^2} + 1} \cdot \sqrt {{{(b - 3)}^2} + 1} }}\).
Cho tam giác \(ABC\), trung tuyến \(AM\). Khi đó \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = A{M^2} - kB{C^2}.\) Vậy \(k = ?\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \frac{{{{(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} )}^2} - {{(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} )}^2}}}{4}\\ = \frac{{4A{M^2} - B{C^2}}}{4} = A{M^2} - \frac{1}{4}B{C^2}.\end{array}\)
Cho hình vuông \(ABCD\); \(E\) là trung điểm của \(AB,F\) là điểm sao cho \(\overrightarrow {AF} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} \). Xác định vị trí của điểm \(M\) trên đường thẳng \(BC\) sao cho \(\widehat {EFM} = {90^^\circ }\).
Gọi \(a\) là độ dài cạnh hình vuông.
Xét hệ trục toạ độ \(xOy\) sao cho \(D \equiv O = (0;0),C = (a;0),A = (0;a)\).
Dễ thấy \(E = \left( {\frac{a}{2};a} \right);F = \left( {0;\frac{{2a}}{3}} \right)\).
Giả sử \(M = (a;y)\quad (y \in \mathbb{R}).\) Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {FE} = \left( {\frac{a}{2};\frac{a}{3}} \right)}\\{\overrightarrow {FM} = \left( {a;y - \frac{{2a}}{3}} \right)}\end{array}} \right.\)
Vậy ta có biến đổi tương đương:
\(EF \bot FM\)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {FE} \cdot \overrightarrow {FM} = 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{{{a^2}}}{2} + \frac{a}{3}\left( {y - \frac{{2a}}{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow y = \frac{{ - 5a}}{6}.\)
Vậy \(M\left( {a;\frac{{ - 5a}}{6}} \right)\).
Từ đó \(M\) là điểm nằm trên phần kéo dài của \(BC\) về phía \(C\) sao cho \(CM = \frac{{5a}}{6}\).
Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A;M\) là trung điểm của \(BC,H\) là hình chiếu của \(M\) trên \(AC;E\) là trung điểm của \(MH\). Tính \(\overrightarrow {AE} .\overrightarrow {BH} \)
Ta có biến đổi tích vô hướng như sau:
\(2\overrightarrow {AE} \cdot \overrightarrow {BH} = (\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AH} ) \cdot (\overrightarrow {BM} + \overrightarrow {MH} )\)
\( = \overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {MH} + \overrightarrow {AH} \cdot \overrightarrow {BM} \)
\( = \overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {MH} + (\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MH} ) \cdot \overrightarrow {BM} \)
\( = \overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {MH} + \overrightarrow {MH} \cdot \overrightarrow {MC} \)
\( = \overrightarrow {HM} \cdot \overrightarrow {MH} + \overrightarrow {MH} \cdot \overrightarrow {MH} \)
\( = {\overrightarrow {MH} ^2} + {\overrightarrow {MH} ^2} = 0.\)
Suy ra \(AE \bot BH\) (đpcm).
Suy ra \(\overrightarrow {AE} .\overrightarrow {BH} = 0\)
