Bài tập Cách tính tích vô hướng của hai vectơ lớp 10 (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Do ABCD là hình vuông nên BD vuông góc với AC $\Rightarrow \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=0$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Do ABCD là hình chữ nhật nên ta có: BC = AD = a, AB = CD = 2a

Xét tam giác ABC vuông tại B

Áp dụng định lí Pythagore ta có:

AC² = AB² + BC² = (2a)² + a² = 5a²

⇔ AC = a$\sqrt{5}$

$\Rightarrow AO=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}.a\sqrt{5}=\frac{a\sqrt{5}}{2}$

Ta có:

$\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AO}\right)=\widehat{BAO}=\widehat{BAC}$

Suy ra $\cos \widehat{BAO}=\cos \widehat{BAC}=\frac{AB}{AC}=\frac{2a}{a\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$

$\left|\overrightarrow{AB}\right|=AB=2a$

$\left|\overrightarrow{AO}\right|=AO=\frac{a\sqrt{5}}{2}$

Ta có: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AO}=\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AO}\right|\cos \widehat{BAO}=2a.\frac{a\sqrt{5}}{2}.\frac{2}{\sqrt{5}}=2a^2$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Do tam giác ABC đều nên:

AH vừa là đường cao vừa là trung tuyến

$\Rightarrow BH=CH=\frac{BC}{2}=\frac{a}{2}$

Xét tam giác AHC vuông tại H

Áp dụng định lí Pythagore có:

AH² + CH² = AC² ⇔ AH²  = AC² – CH² = $a^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=\frac{3a^2}{4}\iff AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

$\left(\overrightarrow{AH},\overrightarrow{AC}\right)=\widehat{HAC}$; $\cos \widehat{HAC}=\frac{AH}{AC}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Ta có: $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{AC}=\left|\overrightarrow{AH}\right|.\left|\overrightarrow{AC}\right|.\cos HAC=\frac{a\sqrt{3}}{2}.a.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{4}{a}^2$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Do tam giác ABC đều nên:

AH vừa là đường cao vừa là trung tuyến

$\Rightarrow BH=CH=\frac{BC}{2}=\frac{a}{2}$

Ta có:

$\overrightarrow{BH}=\overrightarrow{HC}\Rightarrow \left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{HC}\right)=\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BH}\right)=\widehat{ABH}=60°\Rightarrow cos\widehat{ABH}=\frac{1}{2}$

$\left|\overrightarrow{BA}\right|=AB=a;\left|\overrightarrow{HC}\right|=HC=\frac{a}{2}$

Vậy $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{HC}=\left|\overrightarrow{BA}\right|.\left|\overrightarrow{HC}\right|.\cos \widehat{ABH}=a.\frac{a}{2}.\frac{1}{2}=\frac{a^2}{4}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Kẻ DH vuông góc với BC, nối B với D.

Do ABCD là hình thang vuông có đường cao AB nên AB = DH = 2a và AB // DH

Xét tam giác BAD vuông tại A

Áp dụng định lí Pythagore ta có:

BD² = AB²  + AD² = (2a)² + (2a)² = 8a²

$\Rightarrow BD=2\sqrt{2}a$

$\left(\overrightarrow{BD},\overrightarrow{BC}\right)=\widehat{DBC}=\widehat{DBH}$

$\Rightarrow \cos \left(\overrightarrow{BD},\overrightarrow{BC}\right)=\cos \widehat{DBH}=\frac{BH}{BD}=\frac{2a}{2\sqrt{2}a}=\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Ta có:

$\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BC}=\left|\overrightarrow{BD}\right|.\left|\overrightarrow{BC}\right|.\cos \widehat{DBH}=2\sqrt{2}a.3a.\frac{1}{\sqrt{2}}=6a^2$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Xét tam giác ABC vuông tại A

Ta có:

$\left(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA}\right)=\widehat{CBA}=90°-\widehat{BCA}=90°-60°=30°$

$\Rightarrow \cos \left(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA}\right)=\cos \widehat{CBA}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Lại có: $BA=BC.\sin \widehat{BCA}=BC.\sin 60°=\frac{\sqrt{3}a}{2}$.

$\left|\overrightarrow{BC}\right|=BC=a,\left|\overrightarrow{BA}\right|=BA=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Vậy ta có:

$\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BA}=\left|\overrightarrow{BC}\right|.\left|\overrightarrow{BA}\right|.\cos \widehat{CBA}=a.\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{4}{a}^2$.