Đề kiểm tra Tích của một vecto với một số lớp 10 (có lời giải) - Đề 3

Chọn D

M là trung điểm AB nên \(\overrightarrow {AB}  = 2\overrightarrow {AM} \),\(\overrightarrow {AC}  = 2\overrightarrow {AN}  \Leftrightarrow 3\overrightarrow {AB}  + 2\overrightarrow {AC}  - 12\overrightarrow {AK}  = \overrightarrow 0 \)

\( \Leftrightarrow 6\overrightarrow {AM}  + 6\overrightarrow {AN}  - 12\overrightarrow {AK}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \overrightarrow {AK}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {AN} } \right)\)\( \Rightarrow \) K là trung điểm của MN.

Chọn C

Gọi K là trung điểm BC\( \Rightarrow \overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {NC}  = 2\overrightarrow {NK} \)

Nên \(2\overrightarrow {NA}  + \overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {NC}  = \overrightarrow 0 \)\( \Leftrightarrow 2\overrightarrow {NA}  + 2\overrightarrow {NK}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \overrightarrow {NA}  + \overrightarrow {NK}  = \overrightarrow 0 \)\( \Rightarrow \) N là trung điểm AK

Chọn D

\(\overrightarrow {MA}  + 2\overrightarrow {MB}  = \overrightarrow {CB}  \Leftrightarrow \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MB}  = \overrightarrow {CM}  + \overrightarrow {MC} \)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {0 \Rightarrow } \) M là trọng tâm \(\Delta ABC\)

Xét tam giác \(ABD\) nội tiếp đường tròn đường kính \(AD\) nên \(AB \bot BD\); mặt khác \(AB \bot CH\) nên \(BD//CH\) (1).

Tương tự, tam giác \(ACD\) nội tiếp đường tròn đường kính \(AD\) nên \(AC \bot CD\); mặt khác \(AC \bot BH\) nên \(CD//BH\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(BDCH\) là hình bình hành.

Ta có: \(\overrightarrow {HA}  + \overrightarrow {HB}  + \overrightarrow {HC}  = \overrightarrow {HA}  + \overrightarrow {HD}  = 2\overrightarrow {HO} \) (vì \(O\) là trung điểm \(AD\)).

Ta có: \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {OH}  + \overrightarrow {HA}  + \overrightarrow {OH}  + \overrightarrow {HB}  + \overrightarrow {OH}  + \overrightarrow {HC} \)

\( = 3\overrightarrow {OH}  + (\overrightarrow {HA}  + \overrightarrow {HB}  + \overrightarrow {HC} ) = 3\overrightarrow {OH}  + 2\overrightarrow {HO}  = \overrightarrow {OH} {\rm{. }}\)

a) Ta có: \(|\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  - 2\overrightarrow {MC} | = |\overrightarrow {AM}  - \overrightarrow {AB} | \Leftrightarrow |\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  - 3\overrightarrow {MC} | = |\overrightarrow {BM} |\) \( \Leftrightarrow |3\overrightarrow {MG}  - 3\overrightarrow {MC} | = BM \Leftrightarrow |3(\overrightarrow {MG}  - \overrightarrow {MC} )| = BM \Leftrightarrow 3|\overrightarrow {CG} | = BM \Leftrightarrow BM = 3CG\).

Nhận xét: Ba điểm \(B,C,G\) cố định. Vậy tập hợp điểm \(M\) là đường tròn tâm \(B\), bán kính \(R = 3CG\).

b) Ta có: \(2|\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} | = 3|\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} | \Leftrightarrow 2|3\overrightarrow {MG} | = 3|2\overrightarrow {MI} |\)

(với \(I\) là trung điểm của \(BC\) ).

\( \Leftrightarrow 6MG = 6MI \Leftrightarrow MG = MI{\rm{. }}\)

Nhận xét: Hai điểm \(G,I\) cố định. Vậy tập hợp điểm \(M\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(GI\).

c) Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(G\) cố định.

Ta có: \(|\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} | = 2028 \Leftrightarrow |3\overrightarrow {MG} | = 2028 \Leftrightarrow 3MG = 2028 \Leftrightarrow MG = 676\).

Vậy tập hợp điểm \(M\) là đường tròn tâm \(G\), bán kính \(R = 676\).

d) Ta có: \(3\overrightarrow {AM}  - 3\overrightarrow {AC}  = 3(\overrightarrow {AM}  - \overrightarrow {AC} ) = 3\overrightarrow {CM} \) (1).

Gọi \(I\) thỏa mãn \(\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {IB}  = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {AB}  = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AI}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \).

Suy ra \(I\) là điểm cố định. Khi đó:

\(\overrightarrow {MA}  + 2\overrightarrow {MB}  = \overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA}  + 2(\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} ) = 3\overrightarrow {MI}  + (\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {IB} ) = 3\overrightarrow {MI}  + \vec 0 = 3\overrightarrow {MI} {\rm{ (2)}}{\rm{. }}\)

Thay (1) và (2) vào hệ thức \(|3\overrightarrow {AM}  - 3\overrightarrow {AC} | = |\overrightarrow {MA}  + 2\overrightarrow {MB} |\), ta được:

\(|3\overrightarrow {CM} | = |3\overrightarrow {MI} | \Leftrightarrow 3CM = 3MI \Leftrightarrow MC = MI.\)

Vậy tập hợp điểm \(M\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(IC\).

Ta có: \(AE = CD = \frac{1}{2}AB,AE//CD\) nên \(AECD\) là hình bình hành (*).

Hoàn toàn tương tự, ta chứng minh được \(BCDE\) là hình bình hành (**).

a) Mệnh đề đúng.

b) Mệnh đề sai (do \((**))\).

c) Mệnh đề đúng (tính chất trung điểm).

d) Mệnh đề đúng (do (*)).

e) Mệnh đề đúng. Vì \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {EB}  = 2\overrightarrow {EB}  + \overrightarrow {EB}  = 3\overrightarrow {EB}  = 3\overrightarrow {DC} \).

f) Mệnh đề đúng (tính chất trung điểm).

Ta có: \(\overrightarrow {OA}  =  - 3\overrightarrow {OP}  \Leftrightarrow \overrightarrow {OA}  + 3\overrightarrow {OP}  = \vec 0\).

Khi đó: \(3\overrightarrow {AP}  - 2\overrightarrow {AC}  = 3(\overrightarrow {AO}  + \overrightarrow {OP} ) - 2.2\overrightarrow {AO}  = \overrightarrow {OA}  + 3\overrightarrow {OP}  = \vec 0\).

Ta có: \(\overrightarrow {OP}  =  - \frac{1}{3}\overrightarrow {OA}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {OC}  \Rightarrow P\) là trọng tâm của tam giác \(BCD\), do vậy trung tuyến \(BN\) của tam giác \(BCD\) đi qua trọng tâm \(P\) đó. Vậy ba điểm \(B,P,N\) thẳng hàng.

Nhận xét: \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại tâm \(O\) là trung điểm của mỗi đường.

Mặt khác \(:\overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {ON}  = \frac{1}{2}(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB} ) + \frac{1}{2}(\overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD} ) = \frac{1}{2}(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OC} ) + \frac{1}{2}(\overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OD} ) = \vec 0\).

Do đó \(O\) là trung điểm của \(MN\) hay \(AC,BD,MN\) đồng quy tại \(O\).

\(\overrightarrow {MB}  + 2\overrightarrow {MC}  = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AM}  + 2(\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AM} ) = \overrightarrow 0 \)

\( \Leftrightarrow 3\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  + 2\overrightarrow {AC}  \Leftrightarrow \overrightarrow {AM}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \).

Cách \(1:MC = 2MB,\overrightarrow {MB} \) và \(\overrightarrow {MC} \) ngược hướng nên \(\overrightarrow {MC}  =  - 2\overrightarrow {MB}  \Leftrightarrow 3\overrightarrow {AM}  = 2\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  \Leftrightarrow \overrightarrow {AM}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \).

Cách 2: \(\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BM}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{1}{3}(\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} ) = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \).

\(\alpha \overrightarrow {IA}  + \beta \overrightarrow {IB}  = \vec 0 \Leftrightarrow  - \alpha \overrightarrow {AI}  + \beta (\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AI} ) = \vec 0 \Leftrightarrow (\alpha  + \beta )\overrightarrow {AI}  = \beta \overrightarrow {AB} \) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AI}  = \frac{\beta }{{\alpha  + \beta }}\overrightarrow {AB} \).

Do \(A,B\) cố định, \(\frac{\beta }{{\alpha  + \beta }}\overrightarrow {AB} \) không đổi nên tồn tại duy nhất điểm \[I\] thỏa: \(\alpha \overrightarrow {IA}  + \beta \overrightarrow {IB}  = \vec 0\).

Ta phân tích \(\overrightarrow {AE} \) và \(\overrightarrow {AF} \) theo 2 vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AD} \).

\(\overrightarrow {AE}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BE}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} \)

\(\overrightarrow {AF}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BF}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{1}{4}(\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} ) = \frac{3}{4}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} \).

Xét hệ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {AE}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} }\\{\overrightarrow {AF}  = \frac{3}{4}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} }\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {AE}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} }\\{\frac{4}{3}\overrightarrow {AF}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} }\end{array} \Rightarrow \overrightarrow {AE}  = \frac{4}{3}\overrightarrow {AF} } \right.} \right.\)

\(\begin{array}{l}3\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {IC}  - 2\overrightarrow {ID}  = \vec 0 \Leftrightarrow 3\overrightarrow {IA}  + 2(\overrightarrow {IC}  - \overrightarrow {ID} ) = \vec 0\\ \Leftrightarrow 3\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {DC}  = \vec 0 \Leftrightarrow 3\overrightarrow {AI}  + 2\overrightarrow {AB}  = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AI}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \\\overrightarrow {JA}  - 2\overrightarrow {JB}  + 2\overrightarrow {JC}  = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AJ}  + 2(\overrightarrow {JC}  - \overrightarrow {JB} ) = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AJ}  = 2\overrightarrow {BC}  \Leftrightarrow \overrightarrow {AJ}  = 2\overrightarrow {AD} \\\overrightarrow {IO}  = \overrightarrow {AO}  - \overrightarrow {AI}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}  - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB}  = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} ) - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB}  =  - \frac{1}{6}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \end{array}\)

\(\overrightarrow {IJ}  = \overrightarrow {AJ}  - \overrightarrow {AI}  = 2\overrightarrow {AD}  - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB}  =  - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB}  + 2\overrightarrow {AD} \)

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}\overrightarrow {IO}  =  - \frac{1}{6}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \\\overrightarrow {IJ}  =  - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB}  + 2\overrightarrow {AD} \end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}6\overrightarrow {IO}  =  - \overrightarrow {AB}  + 3\overrightarrow {AD} \\\frac{3}{2}\overrightarrow {IJ}  =  - \overrightarrow {AB}  + 3\overrightarrow {AD} \end{array}\end{array} \Rightarrow 6\overrightarrow {IO}  = \frac{3}{2}\overrightarrow {IJ}  \Leftrightarrow \overrightarrow {IJ}  = 4\overrightarrow {IO} } \right.} \right.\)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {IA}  + 3\overrightarrow {IC}  = \vec 0 \Leftrightarrow  - \overrightarrow {AI}  + 3(\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AI} ) = \vec 0 \Leftrightarrow 4\overrightarrow {AI}  = 3\overrightarrow {AC}  \Leftrightarrow \overrightarrow {AI}  = \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} .\\\overrightarrow {BI}  = \overrightarrow {AI}  - \overrightarrow {AB}  = \frac{3}{4}\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB}  =  - \overrightarrow {AB}  + \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} .\\\overrightarrow {JA}  + 2\overrightarrow {JB}  + 3\overrightarrow {JC}  = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {BA}  - \overrightarrow {BJ}  - 2\overrightarrow {BJ}  + 3(\overrightarrow {BC}  - \overrightarrow {BJ} ) = \vec 0\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {BA}  - \overrightarrow {BJ}  - 2\overrightarrow {BJ}  + 3\overrightarrow {BC}  - 3\overrightarrow {BJ}  = \vec 0 \Leftrightarrow 6\overrightarrow {BJ}  = \overrightarrow {BA}  + 3\overrightarrow {BC} \\ \Leftrightarrow 6\overrightarrow {BJ}  =  - \overrightarrow {AB}  + 3(\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} ) \Leftrightarrow 6\overrightarrow {BJ}  =  - 4\overrightarrow {AB}  + 3\overrightarrow {AC}  \Leftrightarrow \overrightarrow {BJ}  =  - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \end{array}\)

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {BI}  =  - \overrightarrow {AB}  + \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} }\\{\overrightarrow {BJ}  =  - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} }\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {BI}  =  - \overrightarrow {AB}  + \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} }\\{\frac{3}{2}\overrightarrow {BJ}  =  - \overrightarrow {AB}  + \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} }\end{array} \Rightarrow \overrightarrow {BI}  = \frac{3}{2}\overrightarrow {BJ} } \right.} \right.\)