Đề kiểm tra Tích của một vecto với một số lớp 10 (có lời giải) - Đề 2
22 câu hỏi
Phần 1. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi, thí sinh chỉ chọn 1 phương án.
Cho tam giác \(ABC\). Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(AC\). Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai?
\(\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {AM} \)
\(\overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {CN} \)
\(\overrightarrow {BC} = - 2\overrightarrow {NM} \)
\(\overrightarrow {CN} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \)
Chọn B
Cho \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \) và điểm \(O\). Gọi \(M,N\) lần lượt là hai điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {OM} = 3\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow {ON} = - 4\overrightarrow a \). Khi đó:
\(\overrightarrow {MN} = 7\overrightarrow a \)
\(\overrightarrow {MN} = - 5\overrightarrow a \)
\(\overrightarrow {MN} = - 7\overrightarrow a \)
\(\overrightarrow {MN} = - 5\overrightarrow a \)
Chọn C
Ta có: \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {ON} - \overrightarrow {OM} = - 4\overrightarrow a - 3\overrightarrow a = - 7\overrightarrow a \).
Tìm giá trị của \(m\) sao cho \(\overrightarrow a = m\overrightarrow b \), biết rằng \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) ngược hướng và \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 5,\left| {\overrightarrow b } \right| = 15\)
\(m = 3\)
\(m = - \frac{1}{3}\)
\(m = \frac{1}{3}\)
\(m = - 3\)
Chọn B
Do \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) ngược hướng nên \(m = - \frac{{\left| {\overrightarrow a } \right|}}{{\left| {\overrightarrow b } \right|}} = - \frac{5}{{15}} = - \frac{1}{3}\).
Cho tam giác \(ABC\). Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\). Tìm điểm \(M\) thỏa mãn hệ thức \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \).
\(M\) là trung điểm của \(BC\)
\(M\)là trung điểm của \(IC\)
\(M\) là trung điểm của \(IA\)
\(M\) là điểm trên cạnh \(IC\) sao cho \(IM = 2MC\)
Chọn B
\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MI} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \)\(M\)là trung điểm của \(IC\).
Cho \(\Delta ABC\) có trọng tâm G. Gọi \({A_1},{B_1},{C_1}\) lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chọn đẳng thức sai.
\(\overrightarrow {G{A_1}} + \overrightarrow {G{B_1}} + \overrightarrow {G{C_1}} = \overrightarrow 0 \)
\(\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {CG} = \overrightarrow 0 \)
\(\overrightarrow {A{A_1}} + \overrightarrow {B{B_1}} + \overrightarrow {C{C_1}} = \overrightarrow 0 \)
\(\overrightarrow {GC} = 2\overrightarrow {G{C_1}} \)
Chọn D
Cho \(\Delta ABC\) với H, O, G lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp trọng tâm. Hệ thức nào sau đây là đúng?
\(\overrightarrow {OH} = \frac{3}{2}\overrightarrow {OG} \)
\(\overrightarrow {HO} = 3\overrightarrow {OG} \)
\(\overrightarrow {OG} = \frac{1}{2}\overrightarrow {GH} \)
\(2\overrightarrow {GO} = - 3\overrightarrow {OH} \)
Chọn C
Ta có \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \Rightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 3\overrightarrow {OG} \) (1)
Gọi I là trung điểm BC, \(A'\) đối xứng với A qua O.
Dễ thấy \(HBA'C\) là hình bình hành
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow {HA'} \Leftrightarrow \overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HA'} = 2\overrightarrow {HO} \)
\( \Leftrightarrow 3\overrightarrow {HO} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 2\overrightarrow {HO} \Leftrightarrow \overrightarrow {OH} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} \) (2)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \overrightarrow {OH} = 3\overrightarrow {OG} \Leftrightarrow \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {GH} = 3\overrightarrow {OG} \Leftrightarrow \overrightarrow {GH} = 2\overrightarrow {OG} \Leftrightarrow \overrightarrow {OG} = \frac{1}{2}\overrightarrow {GH} \).
Cho 4 điểm A, B, C,D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Đẳng thức nào sau đây là sai?
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = 2\overrightarrow {IJ} \)
\(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {IJ} \)
\(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow {IJ} \)
\(2\overrightarrow {IJ} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow 0 \)
Chọn A
+ B đúng vì \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IJ} + \overrightarrow {JC} + \overrightarrow {BI} + \overrightarrow {IJ} + \overrightarrow {JD} \)
\( = 2\overrightarrow {IJ} + \left( {\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {BI} } \right) + \left( {\overrightarrow {JC} + \overrightarrow {JD} } \right) = 2\overrightarrow {IJ} \)
+ C đúng vì \(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IJ} + \overrightarrow {JD} + \overrightarrow {BI} + \overrightarrow {IJ} + \overrightarrow {JC} = 2\overrightarrow {IJ} \)
+ D đúng vì \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {IJ} \Leftrightarrow 2\overrightarrow {IJ} + \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {DB} = \overrightarrow 0 \)
Cho \(\Delta ABC\), M là một điểm trên cạnh BC. Khi đó đẳng thức nào sau đây là đúng?
\(\overrightarrow {AM} = \frac{{MC}}{{BC}}.\overrightarrow {AB} + \frac{{MB}}{{BC}}.\overrightarrow {AC} \)
\(\overrightarrow {BM} = \frac{{MA}}{{AB}}.\overrightarrow {AC} + \frac{{MB}}{{AB}}.\overrightarrow {BC} \)
\(3\overrightarrow {CM} = \frac{{MB}}{{AC}}.\overrightarrow {AB} + \frac{{MA}}{{AB}}.\overrightarrow {AC} \)
\(2\overrightarrow {AM} = \frac{{MC}}{{BC}}.\overrightarrow {AB} + \frac{{MB}}{{BC}}.\overrightarrow {AC} \)
Chọn A
Kẻ \(MN//AC,N \in AB\).
Áp dụng định lí Ta-lét ta có \(\overrightarrow {AN} = \frac{{AN}}{{AB}}.\overrightarrow {AB} = \frac{{MC}}{{BC}}.\overrightarrow {AB} \). \(\overrightarrow {NM} = \frac{{NM}}{{AC}}.\overrightarrow {AC} = \frac{{MB}}{{BC}}.\overrightarrow {AC} \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AN} + \overrightarrow {NM} = \frac{{MC}}{{BC}}.\overrightarrow {AB} + \frac{{MB}}{{BC}}.\overrightarrow {AC} \).
Cho \(\Delta ABC\). Trên đường thẳng BC lấy điểm M sao cho \(\overrightarrow {MB} = 3\overrightarrow {MC} \). Điểm M được vẽ đúng trong hình nào sau đây?
Chọn B
Cho \(\Delta ABC\) có G là trọng tâm. Xác định điểm M sao cho: \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \).
Điểm M là trung điểm cạnh AC.
Điểm M là trung điểm cạnh GC.
Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số 4.
Điểm M chia đoạn GC thỏa mãn \(\overrightarrow {GC} = 4\overrightarrow {GM} \).
Chọn D
\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} + 2\overrightarrow {MG} + 2\overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \)
\( \Leftrightarrow 4\overrightarrow {MG} + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {GC} = 4\overrightarrow {GM} \)
Cho \(\Delta ABC\), I là trung điểm của AC. Vị trí điểm N thỏa mãn \(\overrightarrow {NA} + 2\overrightarrow {NB} = \overrightarrow {CB} \) xác định bởi hệ thức:
\(\overrightarrow {BN} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BI} \)
\(\overrightarrow {BN} = 2\overrightarrow {BI} \)
\(\overrightarrow {BN} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BI} \)
\(\overrightarrow {BN} = 3\overrightarrow {BI} \)
Chọn C
Ta có: \(\overrightarrow {NA} + 2\overrightarrow {NB} = \overrightarrow {CB} \Leftrightarrow \overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NB} = \overrightarrow {CN} + \overrightarrow {NB} \)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NC} = - \overrightarrow {NB} \Leftrightarrow 2\overrightarrow {NI} = - \overrightarrow {NB} \Rightarrow \overrightarrow {BN} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BI} \)
Cho 2 điểm A, B là hai số thực a, b sao cho \(a + b \ne 0\). Xét các mệnh đề:
(I) Tồn tại duy nhất một điểm M thỏa mãn \(a\overrightarrow {MA} + b\overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \).
(II) \(\overrightarrow {MA} = - \frac{b}{{a + b}}\overrightarrow {AB} \).
(III) M là điểm nằm trên đường thẳng AB.
Trong các mệnh đề trên thì:
(I) và (III) tương đương nhau
(II) và (III) tương đương nhau
(I) và (II) tương đương nhau
(I), (II), (III) tương đương nhau
Chọn C
\(a\overrightarrow {AM} + b\overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow a\overrightarrow {MA} + b\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} } \right) = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} = - \frac{b}{{a + b}}\overrightarrow {AB} \)
Do giả thiết M được xác định duy nhất trên đường thẳng AB.
Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho tam giác \(ABC\) có hai đường trung tuyến \(BN,CP\). Khi đó:
a) \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\), ta có: \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \vec 0\)
b) \(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} = 3\overrightarrow {BN} \)
c) \(\overrightarrow {AB} = - \frac{2}{3} \cdot \overrightarrow {BN} - \frac{2}{3}\overrightarrow {CP} \)
d) \(\overrightarrow {BC} = - \frac{2}{3}\overrightarrow {CP} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BN} {\rm{. }}\)
a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng |
Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\), ta có: \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \vec 0 \Rightarrow \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = - \overrightarrow {GA} \)
Khi đó:
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {GB} - \overrightarrow {GA} = \overrightarrow {GB} + (\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} )\)
\( = 2\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = - 2 \cdot \frac{2}{3} \cdot \overrightarrow {BN} - \frac{2}{3}\overrightarrow {CP} \)\(\)
\( = - \frac{4}{3}\overrightarrow {BN} - \frac{2}{3}\overrightarrow {CP} ;\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {GC} - \overrightarrow {GB} = - \frac{2}{3}\overrightarrow {CP} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BN} {\rm{. }}\)
Cho hình bình hành \(ABCD\) có tâm \(O,M\) là một điểm bất kỳ. Khi đó:
a) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \)
b) \(\overrightarrow {AB} + 5\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 6\overrightarrow {AC} \)
c) \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = \overrightarrow {MO} \)
d) \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = 4\overrightarrow {MO} \)
a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng |
Ta có: \(\overrightarrow {AB} + 5\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = (\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} ) + 5\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AC} + 5\overrightarrow {AC} = 6\overrightarrow {AC} \).
Ta có: \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} \)
\(\begin{array}{l} = \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OD} \\ = 4\overrightarrow {MO} + (\underbrace {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} }_0) + (\underbrace {\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} }_{\vec 0}) = 4\overrightarrow {MO} .\end{array}\)
Cho tứ giác \(OABC\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(OB\) và \(OC\). Khi đó:
a) \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {AB} \)
b) \(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} \);
c) \(\overrightarrow {BN} = \frac{1}{3}\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OB} \);
d) \(\overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OB} )\).
a) Sai | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng |
\(2\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {AB} \)
Ta có: \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {OM} - \overrightarrow {OA} = \frac{1}{2}\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} \).
Ta có: \(\overrightarrow {BN} = \overrightarrow {ON} - \overrightarrow {OB} = \frac{1}{2}\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OB} \)
Ta có: \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {ON} - \overrightarrow {OM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {OC} - \frac{1}{2}\overrightarrow {OB} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OB} )\).
Cho \(\Delta ABC\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,AC\). Khi đó:
a) \[2\overrightarrow {CM} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CA} \]
b) \(\overrightarrow {AB} = - \frac{2}{3}\overrightarrow {CM} - \frac{4}{3}\overrightarrow {BN} \)
c) \(\overrightarrow {AC} = \frac{4}{3}\overrightarrow {CM} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BN} \)
d) \(\overrightarrow {MN} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BN} - \frac{1}{3}\overrightarrow {CM} \).
a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng |
Ta có: \( - \frac{2}{3}\overrightarrow {CM} - \frac{4}{3}\overrightarrow {BN} = - \frac{1}{3}(\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} ) - \frac{2}{3}(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} )\)
\( = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} - \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \)\(\)
\( = \frac{1}{3}(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BC} ) + \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AB} {\rm{. }}\)
Ta có: \( - \frac{4}{3}\overrightarrow {CM} - \frac{2}{3}\overrightarrow {BN} = - \frac{2}{3}(\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} ) - \frac{1}{3}(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} ) = \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \) \( = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} = \frac{1}{3}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} ) + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AC} \)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} = - \frac{2}{3}\overrightarrow {CM} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BN} \Leftrightarrow \overrightarrow {BC} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BN} - \frac{2}{3}\overrightarrow {CM} \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MN} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BN} - \frac{2}{3}\overrightarrow {CM} .\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {MN} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BN} - \frac{1}{3}\overrightarrow {CM} .\end{array}\)
Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6
Một chất điểm A chịu tác dụng của ba lực \(\overrightarrow {{F_1},} \overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} \) như hình vẽ biết chất điểm \(A\) đang ở trạng thái cân bằng. Tính độ lớn của các lực \(\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} \) biết rằng lực \(\overrightarrow {{F_1}} \) có độ lớn 12N
Đặt \({\vec F_1} = \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow {AE} \). Vẽ hình chữ nhật \(ABCD\). Từ giả thiết:
\({\vec F_1} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \vec 0{\rm{ }}\)(vật ở trạng tháng cân bằng)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AE} = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} = - \overrightarrow {AE} {\rm{. }}\)
Ta có AB=12,CAD^=180°−120°=60° ⇒BAC→=30°.
Tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) nên: BC=ABtan30°=12⋅33=43=AD;
Độ lớn lực \(\overrightarrow {{F_2}} \) bằng \(4\sqrt 3 \;N\).
\(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{{12}^2} + {{(4\sqrt 3 )}^2}} = 8\sqrt 3 \). Do vậy \(\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = |\overrightarrow {AE} | = AC = 8\sqrt 3 \;N\).
Cho tam giác \(ABC\). Gọi \(M\) là một điểm trên cạnh \(BC\) sao cho \(MB = 2MC\). Phân tích \(\overrightarrow {AM} \) theo \(\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} \).
Ta có
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CM} = \overrightarrow {AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \\ = \overrightarrow {AC} - \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \end{array}\)
Cho tứ giác \(ABCD\). Gọi \(I,J\) lần lượt là trung điểm của \(AC\) và \(BD\). Biết \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = k\overrightarrow {IJ} \), khi đó \(k = ?\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {IJ} = \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BJ} \left( 1 \right)\\\overrightarrow {IJ} = \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DJ} \left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Cộng theo vế (1) và (2), ta được:
\(\begin{array}{l}2\overrightarrow {IJ} = (\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IC} ) + (\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} ) + (\overrightarrow {BJ} + \overrightarrow {DJ} )\\ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {IJ} = \vec 0 + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \vec 0 = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} \end{array}\)
Suy ra \(k = 2\)
Cho \(\Delta ABC\) có trọng tâm \(G\). Các điểm \(D,E,F\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(BC,CA,AB\) và \(I\) là giao điểm của \(AD\) và \(EF\). Đặt \(\vec u = \overrightarrow {AE} ,\vec v = \overrightarrow {AF} \). Hãy phân tích các vectơ \(\overrightarrow {AI} \) theo hai vectơ \(\vec u\) và \(\vec v\).
Theo tính chất đường trung bình thì
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{DE//AB}\\{DF//AC}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{DE//AF}\\{DF//AE}\end{array}} \right.} \right.\)
Suy ra: \(AEDF\) là hình bình hành \( \Rightarrow AD = AE + AF\).
Từ giả thiết ta có \(I\) là tâm của hình bình hành \(AEDF\).
Khi đó: \(\overrightarrow {AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {AF} ) = \frac{1}{2}(\vec u + \vec v) = \frac{1}{2}\vec u + \frac{1}{2}\vec v\);
Nếu \(G\) và \({G^\prime }\) lần lượt là trọng tâm tam giác \(ABC\) và \({A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }\) thì \(k\overrightarrow {G{G^\prime }} = \overrightarrow {A{A^\prime }} + \overrightarrow {B{B^\prime }} + \overrightarrow {C{C^\prime }} \), khi đó \(k = ?\)
Ta có
\(\begin{array}{l}{\rm{ }}\overrightarrow {A{A^\prime }} + \overrightarrow {B{B^\prime }} + \overrightarrow {C{C^\prime }} = \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {G{G^\prime }} + \overrightarrow {{G^\prime }{A^\prime }} + \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {G{G^\prime }} + \overrightarrow {{G^\prime }{B^\prime }} + \overrightarrow {CG} + \overrightarrow {G{G^\prime }} + \overrightarrow {{G^\prime }{C^\prime }} \\ = 3\overrightarrow {G{G^\prime }} + (\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {CG} ) + \left( {\overrightarrow {{G^\prime }{A^\prime }} + \overrightarrow {{G^\prime }{B^\prime }} + \overrightarrow {{G^\prime }{C^\prime }} } \right) = 3\overrightarrow {G{G^\prime }} + \vec 0 + \vec 0 = 3\overrightarrow {G{G^\prime }} .\end{array}\)
Suy ra \(k = 3\)
Một vật đang ở vị trí \(O\) chịu hai lực tác dụng ngược chiều nhau là \({\vec F_1}\) và \(\overrightarrow {{F_2}} \), trong đó độ lớn lực \({\vec F_2}\) lớn gấp đôi độ lớn lực \({\vec F_1}\). Người ta muốn vật dừng lại nên cần tác dụng vào vật hai lực \({\vec F_3},{\vec F_4}\) có phương hợp với lực \({\vec F_1}\) các góc 450 như hình vẽ, chúng có độ lớn bằng nhau và bằng \(20\;N\). Tìm độ lớn của mỗi lực \({\vec F_1},\overrightarrow {{F_2}} \).
Ta có: \(\overrightarrow {{F_2}} = - 2{\vec F_1}\). Để vật trở về trạng thái cân bằng thì hợp lực bằng \(\vec 0\). \( \Leftrightarrow {\vec F_1} + {\vec F_2} + {\vec F_3} + {\vec F_4} = \vec 0 \Leftrightarrow {\vec F_1} - 2{\vec F_1} + {\vec F_3} + {\vec F_4} = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {{F_3}} + {\vec F_4} = {\vec F_1}\).
Đặt \({\vec F_1} = \overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {OB} ,{\vec F_3} = \overrightarrow {OC} ,\overrightarrow {{F_4}} = \overrightarrow {OD} \).
Ta có: \({\vec F_3} + {\vec F_4} = {\vec F_1} \Leftrightarrow \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow {OA} \). Do đó \(OCAD\) là hình bình hành.
Mặt khác: \(OC = OD = 20\) và COD^=45°+45°=90° nên \(OCAD\) là hình vuông. Khi đó: \(\left| {{{\vec F}_1}} \right| = OA = 20\sqrt 2 \;N,\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = 2\left| {{{\vec F}_1}} \right| = 40\sqrt 2 \;N\).
