Đề kiểm tra Tích của một vecto với một số lớp 10 (có lời giải) - Đề 1
22 câu hỏi
Phần 1. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi, thí sinh chỉ chọn 1 phương án.
Khẳng định nào sai?
\(1.\overrightarrow a = \overrightarrow a \)
\(k\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow a \) cùng hướng khi \(k > 0\)
\(k\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow a \) cùng hướng khi \(k < 0\)
Hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \ne \overrightarrow 0 \) cùng phương khi có một số \(k\) để \(\overrightarrow a = k\overrightarrow b \)
Chọn C
(Dựa vào định nghĩa tích của một số với một vectơ)
Trên đường thẳng \(MN\) lấy điểm \(P\) sao cho \(\overrightarrow {MN} = - 3\overrightarrow {MP} \). Điểm \(P\) được xác định đúng trong hình vẽ nào sau đây:
Hình 3
Hình 4
Hình 1
Hình 2
Chọn A
\(\overrightarrow {MN} = - 3\overrightarrow {MP} \Rightarrow \overrightarrow {MN} \) ngược hướng với \(\overrightarrow {MP} \) và \(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = 3\left| {\overrightarrow {MP} } \right|\).
Cho ba điểm phân biệt \(A,B,C\). Nếu \(\overrightarrow {AB} = - 3\overrightarrow {AC} \) thì đẳng thức nào dưới đây đúng?
\(\overrightarrow {BC} = - 4\overrightarrow {AC} \)
\(\overrightarrow {BC} = - 2\overrightarrow {AC} \)
\(\overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow {AC} \)
\(\overrightarrow {BC} = 4\overrightarrow {AC} \)
Chọn D
Cho tam giác \(ABC\). Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\).Khẳng định nào sau đây đúng
\(\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {IC} \)
\(3\overrightarrow {BI} = 2\overrightarrow {IC} \)
\(\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {2IC} \)
\(\overrightarrow {2BI} = \overrightarrow {IC} \)
Chọn A
Vì \(I\) là trung điểm của \(BC\) nên \(BI = CI\) và \(\overrightarrow {BI} \) cùng hướng với \(\overrightarrow {IC} \) do đó hai vectơ \(\overrightarrow {BI} \),\(\overrightarrow {IC} \) bằng nhau hay \(\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {IC} \).
Cho hai tam giác \(\Delta ABC\) và \(\Delta A'B'C'\) có trọng tâm lần lượt là G và \(G'\). Đẳng thức nào sau đây đúng?
\(\overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {B'B} + \overrightarrow {C'C} = 3\overrightarrow {GG'} \)
\(\overrightarrow {AB'} + \overrightarrow {BC'} + \overrightarrow {CA'} = 3\overrightarrow {GG'} \)
\(\overrightarrow {AC'} + \overrightarrow {BA'} + \overrightarrow {CB'} = 3\overrightarrow {GG'} \)
\(\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'} = 3\overrightarrow {GG'} \)
Chọn D
\[\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'} = {\rm{ }}\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {G'A'} + \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {G'B'} + \overrightarrow {CG} + \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {G'C'} = 3\overrightarrow {GG'} \]
Cho 5 điểm A, B C, D, E. Đẳng thức nào sau đây là đúng?
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {EA} = 2\left( {\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {ED} } \right)\)
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {EA} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {ED} } \right)\)
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {EA} = \frac{3}{2}\left( {\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {ED} } \right)\)
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {EA} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {ED} \)
Chọn D
\[\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {EA} = \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} } \right) + \overrightarrow {CD} + \left( {\overrightarrow {ED} + \overrightarrow {DA'} } \right) = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {ED} + \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} } \right) + \overrightarrow {DA} \\ = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {ED} + \left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DA} } \right) = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {ED} \end{array}\]
Cho \(\Delta ABC\) và một điểm M tùy ý. Chọn hệ thức đúng?
\(2\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} - 3\overrightarrow {MC} = \overrightarrow {AC} + 2\overrightarrow {BC} \)
\(2\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} - 3\overrightarrow {MC} = 2\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BC} \)
\(2\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} - 3\overrightarrow {MC} = 2\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} \)
\(2\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} - 3\overrightarrow {MC} = 2\overrightarrow {CB} - \overrightarrow {CA} \)
Chọn C
\[2\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} - 3\overrightarrow {MC} = 2\overrightarrow {MC} + 2\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {CB} - 3\overrightarrow {MC} = 2\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} \]
Cho hình chữ nhật ABCD, I, K lần lượt là trung điểm của BC và CD. Chọn đẳng thức đúng.
\(\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {AK} = 2\overrightarrow {AC} \)
\(\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {AK} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \)
\(\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {AK} = \overrightarrow {IK} \)
\(\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {AK} = \frac{3}{2}\overrightarrow {AC} \)
Chọn D
\[\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {AK} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AC} } \right)\]\[ = \overrightarrow {AC} + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) = \frac{3}{2}\overrightarrow {AC} \]
Cho hai điểm A và B. Tìm điểm I sao cho \(\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \).
Điểm I ngoài đoạn AB sao cho \(IB = \frac{1}{3}AB\)
Điểm I thuộc đoạn AB sao cho \(IB = \frac{1}{3}AB\)
Điểm I là trung điểm đoạn AB
Điểm I nằm khác phía với B đối với A và \(IB = \frac{1}{3}AB\).
Chọn B
\(\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {IA} = - 2\overrightarrow {IB} \).
Vậy I thuộc đoạn AB sao cho \(IB = \frac{1}{3}AB\).
Cho đoạn thẳng AB. Hình nào sau đây biểu diễn điểm I sao cho \(\overrightarrow {AI} = - \frac{3}{5}\overrightarrow {BA} \).
Chọn B
Trên đường thẳng MN lấy điểm P sao cho \(\overrightarrow {MN} = - 3\overrightarrow {MP} \). Hình vẽ nào sau đây xác định đúng vị trí điểm M.
Chọn C
Ta có: \(MN = 3MP\) và P, N khác đối với M
Cho đoạn thẳng AB và điểm M là một điểm trong đoạn AB sao cho \(AM = \frac{1}{5}AB\). Tìm k để \(\overrightarrow {MA} = k\overrightarrow {MB} \).
\(k = \frac{1}{4}\)
\(k = 4\)
\(k = - \frac{1}{4}\)
\(k = - 4\)
Chọn C
Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hình bình hành \(ABCD\) và các điểm \(M,N,P\) thoả mãn \(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AN} = \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AP} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} \). Khi đó:
a) \(\overrightarrow {AN} = \frac{1}{6}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} )\)
b) \(\overrightarrow {MN} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{6}\overrightarrow {AD} .\)
c) \(\overrightarrow {MP} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \)
d) Ba điểm \(M,N,P\) thẳng hàng.
a) Đúng | b) Sai | c) Sai | d) Đúng |
Ta có: \(\overrightarrow {AN} = \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} = \frac{1}{6}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} )\). \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AM} = \frac{1}{6}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} ) - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = \frac{{ - 1}}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{6}\overrightarrow {AD} .\) \(\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {AP} - \overrightarrow {AM} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \)
Ta có: \(\overrightarrow {MN} = \frac{1}{6}(\overrightarrow {AD} - 2\overrightarrow {AB} ) = \frac{1}{6} \cdot 4 \cdot \frac{1}{4}(\overrightarrow {AD} - 2\overrightarrow {AB} ) = \frac{2}{3}\overrightarrow {MP} \).
Suy ra \(\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} \) cùng phương.
Vậy ba điểm \(M,N,P\) thẳng hàng.
Cho ngũ giác ABCDE. Các điểm M,N,P,Q,R,S theo thứ tự là trung điểm của các đoạn EA,AB,BC,CD,MP,NQ. Khi đó:
a) \(\overrightarrow {RS} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} )\)
b) \(\overrightarrow {RS} = \frac{1}{3}\overrightarrow {ED} .\)
c) \(RS\)cắt \(ED\)
d) \(RS = \frac{1}{4}ED\)
a) Đúng | b) Sai | c) Sai | d) Đúng |
Ta có: \(\overrightarrow {RS} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} ) = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {EB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BD} } \right) = \frac{1}{4}(\overrightarrow {EB} + \overrightarrow {BD} ) = \frac{1}{4}\overrightarrow {ED} .\)
Vậy \(RS//ED\) và \(RS = \frac{1}{4}ED\).
Cho bốn điểm A,B,C,D có M,N là trung điểm của AB,CD. Khi đó:
a) \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \vec 0\)
b) \(\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {ND} = \vec 0{\rm{. }}\)
c) \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AC} \)
d) \(2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} {\rm{. }}\)
a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng |
Do \(M\) và \(N\) là trung điểm của \(AB,CD\) nên ta có các đẳng thúc:
\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \vec 0,\quad \overrightarrow {NC} + \overrightarrow {ND} = \vec 0{\rm{. }}\)
Ta lại có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CN} }\\{\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DN} }\end{array}} \right.\)
Cộng hai đẳng thức trên vế theo vế, ta chứng minh được \(2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} \).
Cho tam giác \(ABC\) có \(G\) là trọng tâm. Gọi \(D\) là điểm đối xứng của \(B\) qua \(G,M\) là trung điểm của \(BC\). Khi đó:
a) \(\overrightarrow {MD} = \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GD} \)
b) \(\overrightarrow {AG} = 2\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \)
c) \(\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BN} \)
d) \(\overrightarrow {MD} = - \frac{5}{6}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} {\rm{. }}\)
a) Đúng | b) Sai | c) Sai | d) Đúng |
Ta có: \(\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} ) = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \).
Ta có: \(\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} + \frac{4}{3}\overrightarrow {BN} \)
Ta có: \(\overrightarrow {MD} = \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GD} = - \frac{1}{3}\overrightarrow {AM} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BN} = - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} ) + \frac{2}{3}(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AN} )\)
\( = - \frac{1}{6}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} = - \frac{5}{6}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} {\rm{. }}\)
Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6
Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\) có A^=30°,AB=a. Gọi \(I\) là trung điểm của \(AC\). Hãy tính:\(|\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} |\)
Xét \(\Delta ABC\) vuông tại B:tanA=BCAB⇒BC=AB⋅tanA=atan30°=a33
Ta có: \(|\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} | = |2\overrightarrow {BI} | = 2|\overrightarrow {BI} | = 2BI = 2 \cdot \frac{{AC}}{2} = AC = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\).
Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\) có \(\hat A = {30^^\circ },AB = a\). Gọi \(I\) là trung điểm của \(AC\). Hãy tính:
\(|\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} |\).
Xét \(\Delta ABC\) vuông tại B:tanA=BCAB⇒BC=AB⋅tanA=atan30°=a33
Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), ta có:
\(|\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} | = |2\overrightarrow {AM} | = 2|\overrightarrow {AM} | = 2AM = 2\sqrt {A{B^2} + B{M^2}} \)
\( = 2\sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{6}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {39} }}{3}.\)
Cho tứ giác \(ABCD\). Gọi \(I,J\) theo thứ tự là trung điểm của \(AB,CD\) và \(IJ = \frac{5}{4}\).
Gọi \(M,N\) theo thứ tự là trung điểm của \(BC,AC\). Tính \(|\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CI} |\)?
Ta có: \(2\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \) (1), \(2\overrightarrow {BN} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} \) (2), \(2\overrightarrow {CI} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} \) (3). Cộng theo vế (1), (2), (3): \(2(\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CI} ) = (\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BA} ) + (\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CA} ) + (\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CB} ) = \vec 0{\rm{. }}\)
Suy ra: \(\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CI} = \vec 0\). Do vậy \(|\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CI} | = 0\).
Cho tam giác \(ABC\) và một điểm \(M\) tùy ý, \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\). Điểm \(N\) thỏa mãn \(\overrightarrow {MN} = 4\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} \). Đường thẳng \(MN\) luôn qua một điểm cố định. Khi đó điểm cố định đó là điểm nào?
Ta có: \(\overrightarrow {MN} = 4\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} \Leftrightarrow \overrightarrow {MN} = 3\overrightarrow {MA} + (\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} )\) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {MN} = 3\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MG} \Leftrightarrow \overrightarrow {MN} = 3(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MG} ) \Leftrightarrow \overrightarrow {MN} = 6\overrightarrow {MI} \)
(với \(I\) là trung điểm \(AG\)).
Vậy hai vectơ \(\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MI} \) cùng phương nên ba điểm \(M,N,I\) thẳng hàng.
Do đó đường thẳng \(MN\) luôn qua điểm \(I\) cố định.
Cho tam giác \(ABC\) và một điểm \(M\) tùy ý không thuộc các đường thẳng \(AB,BC,AC\). Gọi \({A^\prime },{B^\prime },{C^\prime }\) theo thứ tự là các điểm đối xứng của \(M\) qua các trung điểm \(J,K,I\) của cạnh \(BC,AC,AB\).
Biết ba đường thẳng \(A{A^\prime },B{B^\prime },C{C^\prime }\) đồng quy tại một điểm (đặt điểm đó là \(N\)).
Khi đó \(MN\) luôn đi qua một điểm cố định khi \(M\) di động. Vậy điểm cố định đó là điểm nào?
Xét tứ giác \(MB{A^\prime }C\) có hai đường chéo \(BC,{A^\prime }M\) cắt nhau tại trung điểm \(J\) của mỗi đường nên \(MB{A^\prime }C\) là hình bình hành, suy ra: \(\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {M{A^\prime }} \) (1); mặt khác\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {M{A^\prime }} = 2\overrightarrow {MN} \) (2).
Cộng theo vế (1) và (2):
\(\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {M{A^\prime }} = \overrightarrow {M{A^\prime }} + 2\overrightarrow {MN} \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 2\overrightarrow {MN} \) (3).
Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\), ta có: \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} \) (4).
Từ (3) và (4) suy ra \(2\overrightarrow {MN} = 3\overrightarrow {MG} \Leftrightarrow \overrightarrow {MN} = \frac{3}{2}\overrightarrow {MG} \).
Vậy \(MN\) luôn đi qua điểm \(G\) cố định khi \(M\) di động.
Một người đi xe máy từ Tây sang hướng Đông với vận tốc 40 km/h được biểu thị bởi vectơ \(\overrightarrow {{v_1}} \), một người khác đi xe máy từ hướng Đông sang hướng Tây với vận tốc 60 km/h được biểu thị bởi vectơ \(\overrightarrow {{v_2}} \). Hãy biểu diễn vectơ \(\overrightarrow {{v_2}} \) theo \(\overrightarrow {{v_1}} \).
Ta có: \(\overrightarrow {{v_2}} \) ngược hướng với \(\overrightarrow {{v_1}} \) và có độ lớn bằng \(\frac{{60}}{{40}} = \frac{3}{2}\) lần độ lớn vectơ \(\overrightarrow {{v_1}} \).
Vì vậy \(\overrightarrow {{v_2}} = - \frac{3}{2}\overrightarrow {{v_1}} \).
