Đề kiểm tra Thực hành tính xác suất theo định nghĩa cổ điển lớp 10 (có lời giải) - Đề 3

Gọi \(A\) là biến cố: “2 người được chọn có đúng một người nữ”.

Khi đó hai người được chọn gồm một nam và một nữ.

Vậy \(n\left( A \right) = C_3^1.C_7^1 = 21.\)

\(\Omega  = \left\{ {SSS,SSN,SNS,SNN,NNN,NNS,NSS,NSN} \right\} \Rightarrow \left| \Omega  \right| = 8\).

Gọi \(A\) là biến cố “có \(3\) mặt giống nhau”. \(\Omega \left( A \right) = \left\{ {SSS,NNN} \right\} \Rightarrow \left| {\Omega \left( A \right)} \right| = 2 \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\).

Khi đó \[\overline A \] là biến cố: “\(3\) đồng xu xuất hiện mặt khác nhau”

Không gian mẫu có \(C_{10}^3 = 120\).

Gọi \(A\) là biến cố: “Chọn ba bi có ít nhất một bi xanh”, suy ra \(\overline A \) là biến cố “Chọn ba bi không có bi xanh”.

Ta có \(n\left( {\overline A } \right) = C_7^3 \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = \frac{{C_7^3}}{{C_{10}^3}} = \frac{7}{{24}}\) \( \Rightarrow P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = \frac{{17}}{{24}}\).

Chọn ngẫu nhiên 6 viên bi trong 14 viên bi, có \(C_{14}^6\) cách.

Vậy số phần tử của không gian mẫu \(n(\Omega ) = C_{14}^6 = 3003\)

a) Gọi A: "6 viên được chọn có đúng một màu".

\(n(A) = C_7^6\). Suy ra \(P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{C_7^6}}{{C_{14}^6}} = \frac{1}{{429}}\).

b) Gọi biến cố B: "6 viên được chọn có đúng hai màu đỏ và vàng".

Số trường hợp thuận lợi cho \(B\) là:

Trường hợp 1: Chọn được 1 vàng và 5 đỏ, có \(C_2^1 \cdot C_5^5 = 2\) cách.

Trường hợp 2: Chọn được 2 vàng và 4 đỏ, có \(C_2^2 \cdot C_5^4 = 5\) cách.

\(n(B) = 2 + 5 = 7\). Suy ra \(P(B) = \frac{{n(B)}}{{n(\Omega )}} = \frac{7}{{C_{14}^6}} = \frac{1}{{429}}\).

c) Gọi C: "6 viên được chọn có ít nhất 1 bi đỏ".

Biến cố đối \(\bar C\): "Tất cả 6 viên được chọn đều không có bi đỏ".

\(n(\bar C) = C_9^6 = 84\). Suy ra \(P(\bar C) = \frac{{n(\bar C)}}{{n(\Omega )}} = \frac{4}{{143}}\).

\(P(C) + P(\bar C) = 1 \Rightarrow P(C) = 1 - P(\bar C) = \frac{{139}}{{143}}\)

d) Gọi biến cố D: "6 viên được chọn có ít nhất 2 bi xanh".

Biến cố đối \(\bar D\): "6 viên được chọn có nhiều nhất 1 bi xanh".

Số trường hợp thuận lợi cho \(\bar D\) là:

Trường hợp 1: Chọn được 6 bi đo,vàng, có \(C_7^6 = 7\) cách.

Trường hợp 2: Chọn được 1 bi xanh và 5 bi đỏ,vàng, có \(C_7^1 \cdot C_7^5 = 147\) cách.

\(n(\bar D) = 7 + 147 = 154\). Suy ra \(P(\bar D) = \frac{{n(\bar D)}}{{n(\Omega )}} = \frac{2}{{39}}\).

\(P(D) + P(\bar D) = 1 \Rightarrow P(D) = 1 - P(\bar D) = \frac{{37}}{{39}}\)

a) Ta có số phần tử của không gian mẫu là \(n(\Omega ) = C_{10}^2 = 45\).

Gọi \(A\): "2 người được chọn không có nữ" thì \(A\): "2 người được chọn đều là nam".

Ta có \(n(A) = C_7^2 = 21\). Vậy \(P(A) = \frac{{21}}{{45}} = \frac{7}{{15}}\).

b) Gọi \(B\): "2 người được chọn là nữ".

Ta có \(n(B) = C_3^2 = 3\).

Vậy \(P(B) = \frac{3}{{45}} = \frac{1}{{15}}\).

c) Số phần tử của không gian mẫu là: \(n(\Omega ) = C_{10}^2\).

Gọi biến cố \(D\): "Hai người được chọn có ít nhất một người nữ".

\( \Rightarrow \bar D\): "Hai người được chọn không có nữ" \( \Rightarrow n(\bar D) = C_7^2\).

Vậy xác suất cần tìm là: \(P(D) = 1 - P(\bar D) = 1 - \frac{{n(\Omega )}}{{n(\bar D)}} = 1 - \frac{{C_7^2}}{{C_{10}^2}} = \frac{8}{{15}}\).

a) Phép thử chọn ngẫu nhiên ba quả cầu.

Ta có \(n(\Omega ) = C_{10}^3 = 120\).

Gọi \(A\) là biến cố rút "Được ba quả toàn màu xanh".

\(\begin{array}{l} \Rightarrow n(A) = C_4^3 = 4.\\ \Rightarrow P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{1}{{30}}.\end{array}\)

b) Gọi \(B\) là biến cố "được hai quả xanh, một quả trắng".

\(\begin{array}{l} \Rightarrow n(B) = C_4^2 \cdot C_6^1 = 36.\\ \Rightarrow P(B) = \frac{{n(B)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{36}}{{120}} = \frac{3}{{10}}.\end{array}\)

c) Gọi \(C\) là biến cố "Rút được ba qua cầu cùng màu".

Trường hợp 1: Rút được 3 màu xanh \(C_4^3 = 4\).

Trường hợp 2: Rút được 3 màu trắng \(C_6^3 = 20\).

\(\begin{array}{*{20}{l}}{n(C)}&{ = 4 + 20 = 24.}\\ \Rightarrow &{P(C) = \frac{{n(C)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{24}}{{120}} = \frac{1}{5}.}\end{array}\)

d) Gọi \(D\) là biến cố "lấy được có ít nhất 1 quả màu trắng".

Gọi \(\bar D\) là biến cố "lấy 3 quả cầu không có quả cầu trắng"

Ta có: \(n(\bar D) = C_4^3\).

Nên số cách chọn có ít nhất 1 quả cầu đỏ là \(n(D) = C_{10}^3 - C_4^3\).

Xác xuất cần tìm: \(P(D) = \frac{{C_{10}^3 - C_4^3}}{{C_{10}^3}} = \frac{{29}}{{30}}\).

Ta có \(n(\Omega ) = 36\).

Gọi \(A\) là biến cố tổng số chấm trên hai viên xúc xắc bằng \(9.\)

\(A = \{ (3;6),(4;5);(5;4);(6;3)\} \). Do đó, ta có \(n(A) = 4.\)

Vậy xác suất của biến cố \(A\) là: \(P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{4}{{36}} = \frac{1}{9}\).

Số cách chọn ngẫu nhiên 8 sản phẩm là: \(C_{14}^8 = 3003\).

Số cách chọn ngẫu nhiên 8 sản phẩm mà không có phế phẩm là: \(C_{12}^8 = 495\).

Số cách chọn ngẫu nhiên 8 sản phẩm mà trong đó có đúng 1 phế phẩm là: \(C_2^1 \cdot C_{12}^7 = 1584\)

Suy ra số cách chọn ngẫu nhiên 8 sản phẩm mà trong đó có không quá 1 phế phẩm là: \(495 + 1584 = 2079\).

Vậy xác suất của biến cố "Trong 8 sản phẩm được chọn có không quá 1 phế phẩm" là: \(\frac{{2079}}{{3003}} = \frac{9}{{13}}\).

Số các số tự nhiên gồm ba chữ số là 900.

Mỗi số \(\overline {abc} \) thoả mãn \(a > b > c\) tương ứng với một tổ hợp chập 3 của tập hợp gồm 10 chữ số vì 3 chữ số được chọn đôi một khác nhau và chỉ có duy nhất một cách xếp \(a > b > c\). Suy ra số các kết quả thuận lợi của biến cố là: \(C_{10}^3 = 120\).

Vậy xác suất của biến cố "Viết được số \(\overline {abc} \) thoả mãn \(a > b > c\) " là: \(\frac{{120}}{{900}} = \frac{2}{{15}}\).

Số phần tử không gian mẫu là \(n(\Omega ) = 6 \times 6 = 36\).

Xét biến cố \(A\): "Phương trình \({x^2} + bx + c = 0\) có nghiệm".

Ta có: \(\Delta  = {b^2} - 4c\). Điều kiện bài toán là: \(\Delta  = {b^2} - 4c \ge 0 \Rightarrow c \le \frac{{{b^2}}}{4}\).

Trường hợp 1: \(b \ge 5\). Khi đó \(c\) nhận giá trị tùy ý từ 1 đến 6, nên có tất cả \(2.6 = 12\) kết quả thuận lợi cho biến cố \(A\).

Trường hợp 2: \(b = 4\). Khi đó \(c \le 4\), nên có \(1.4 = 4\) kết quả thuận lợi cho biến cố \(A\).

Trường hợp 3: \(b < 4\). Ta thấy có ba kết quả thỏa mãn là \((3;1),(3;2),(2;1)\). Vậy \(n(A) = 12 + 4 + 3 = 19\).

Xác suất để phương trình có nghiệm là \(P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{19}}{{36}}\).

Ta có \(n(\Omega ) = 40\). Ta mô phỏng lớp học 40 em này bằng biểu đồ Ven như sau:

Số phần tử không gian mẫu là \(n(\Omega ) = 8\) !.

Gọi \(A\) là biến cố: "Các viên bi cùng màu luôn đứng cạnh nhau".

Số cách sắp xếp bi trong mỗi nhóm bi đỏ và nhóm bi xanh lần lượt là \(5!,3\) !.

Số cách hoán đổi vị trí hai nhóm bi xanh, đỏ là 2 !.

Vì vậy \(n(A) = 5!3!2!\). Suy ra \(P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{5!3!2!}}{{8!}} = \frac{1}{{28}}\).