Đề kiểm tra Thực hành tính xác suất theo định nghĩa cổ điển lớp 10 (có lời giải) - Đề 2

Ta có, số phần tử của không gian mẫu là: \(n\left( \Omega  \right) = A_6^2\).

Gọi A là biến cố: “Mặt ngửa xuất hiện đúng 1 lần”.

Liệt kê ta có: \[A = \left\{ {NS;SN} \right\}\].

Số phần tử không gian mẫu là \(n\left( \Omega  \right) = 15.\)

Gọi A là biến cố “ viên bi lấy ra có số chia hết cho 3”. Khi đó \(A = \left\{ {3;\,6;\,9;\,12;\,15} \right\}\), \(n\left( A \right) = 5\)

Xác suất biến cố A là \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{1}{3}\).

Gọi \[A\] là biến cố: “Trong 4 đồng xu có ít nhất \[1\] đồng xu xuất hiện mặt ngửa ”

Khi đó \[\overline A \] là biến cố: “4 đồng xu đều xuất hiện mặt sấp ”

Vậy \[P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right)\] \[ = 1 - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^4} = \frac{{15}}{{16}}\].

Không gian mẫu là lấy 2 quả cầu trong hộp một cách lần lượt ngẫu nhiên.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là \[\left| \Omega  \right| = C_{20}^1.C_{19}^1 = 380\].

Gọi \(A\) biến cố \(''\)2 quả cầu được lấy cùng màu\(''\). Ta có các trường hợp thuận lợi cho biến cố \(A\) như sau:

● TH1: Lần thứ nhất lấy quả màu trắng và lần thứ hai cũng màu trắng.

Do đó trường hợp này có \(C_8^1.C_7^1\) cách.

● TH2: Lần thứ nhất lấy quả màu đen và lần thứ hai cũng màu đen.

Do đó trường hợp này có \(C_{12}^1.C_{11}^1\) cách.

Suy ra số phần tử của biến cố \(A\) là \(\left| {{\Omega _A}} \right| = C_8^1.C_7^1 + C_{12}^1.C_{11}^1\).

Vậy xác suất cần tính \[P\left( A \right) = \frac{{\left| {{\Omega _A}} \right|}}{{\left| \Omega  \right|}} = \frac{{C_8^1.C_7^1 + C_{12}^1.C_{11}^1}}{{C_{20}^1.C_{19}^1}} = \frac{{47}}{{95}}.\]

Không gian mẫu là số sách lấy tùy ý 2 viên từ hộp chứa 12 viên bi.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là \[\left| \Omega  \right| = C_{12}^2 = 66\].

Gọi \(A\) là biến cố \(''\)2 viên bi được lấy vừa khác màu vừa khác số\(''\).

● Số cách lấy 2 viên bi gồm: 1 bi xanh và 1 bi đỏ là \(4.4 = 16\) cách.

● Số cách lấy 2 viên bi gồm: 1 bi xanh và 1 bi vàng là \(3.4 = 12\) cách.

● Số cách lấy 2 viên bi gồm: 1 bi đỏ và 1 bi vàng là \(3.3 = 9\) cách.

Suy ra số phần tử của biến cố \(A\) là \(\left| {{\Omega _A}} \right| = 16 + 12 + 9 = 37\).

Vậy xác suất cần tính \[P\left( A \right) = \frac{{\left| {{\Omega _A}} \right|}}{{\left| \Omega  \right|}} = \frac{{37}}{{66}}\].

Không gian mẫu là số cách lấy ngẫu nhiên \(3\) chiếc thẻ từ \(10\) chiếc thẻ.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là \[\left| \Omega  \right| = C_{10}^3 = 120\].

Gọi \(A\) là biến cố \(''\)\(3\) chữ số trên \(3\) chiếc thẻ được lấy ra có thể ghép thành một số chia hết cho \(5\)\(''\). Để cho biến cố \(A\) xảy ra thì trong \(3\) thẻ lấy được phải có thẻ mang chữ số \(0\) hoặc chữ số \(5\). Ta đi tìm số phần tử của biến cố \(\overline A \), tức \(3\) thẻ lấy ra không có thẻ mang chữ số \(0\) và cũng không có thẻ mang chữ số \(5\) là \(C_8^3\) cách.

Suy ra số phần tử của biến cố \(A\) là \[\left| {{\Omega _A}} \right| = C_{10}^3 - C_8^3\].

Vậy xác suất cần tính \[P\left( A \right) = \frac{{\left| {{\Omega _A}} \right|}}{{\left| \Omega  \right|}} = \frac{{C_{10}^3 - C_8^3}}{{C_{10}^3}} = \frac{8}{{15}}.\]

Số phần tử của tập \(S\) là \[9.A_9^8\].

Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên \(1\) số từ tập \(S\).

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là \[\left| \Omega  \right| = 9.A_9^8 = 3265920\].

Gọi \[X\] là biến cố \[''\]Số được chọn gồm \(4\) chữ số lẻ và chữ số \(0\) luôn đứng giữa hai chữ số lẻ\(''\). Do số \(0\) luôn đứng giữa \(2\) số lẻ nên số \(0\) không đứng ở vị trí đầu tiên và vị trí cuối cùng. Ta có các khả năng

● Chọn \(1\) trong \(7\) vị trí để xếp số \(0\), có \[C_7^1\] cách.

● Chọn \(2\) trong \(5\) số lẻ và xếp vào \(2\) vị trí cạnh số \(0\) vừa xếp, có \[A_5^2\] cách.

● Chọn \(2\) số lẻ trong \(3\) số lẻ còn lại và chọn \(4\) số chẵn từ \(\left\{ {2;{\rm{ }}4;{\rm{ }}6;{\rm{ }}8} \right\}\) sau đó xếp \(6\) số này vào \(6\) vị trí trống còn lại có \[C_3^2.C_4^4.6!\] cách.

Suy ra số phần tử của biến cố \(X\) là \[\left| {{\Omega _X}} \right| = C_7^1.A_5^2.C_3^2.C_4^4.6! = 302400\].

Vậy xác suất cần tính \[P\left( X \right) = \frac{{\left| {{\Omega _X}} \right|}}{{\left| \Omega  \right|}} = \frac{{C_7^1.A_5^2.C_3^2.C_4^4.6!}}{{9.A_9^8}} = \frac{5}{{54}}.\]

Không gian mẫu là số cách sắp xếp tất cả \(12\) học sinh thành một hàng ngang. Suy ra số phần tử của không gian mẫu là \[\left| \Omega  \right| = 12!\].

Gọi \(A\) là biến cố \(''\)Xếp các học sinh trên thành một hàng ngang mà \(2\) học sinh nữ không đứng cạnh nhau\(''\). Ta mô tả khả năng thuận lợi của biến cố \(A\) như sau:

● Đầu tiên xếp \(8\) học sinh nam thành một hàng ngang, có \(8!\) cách.

● Sau đó xem \(8\) học sinh này như \(8\) vách ngăn nên có \(9\) vị trí để xếp \(4\) học sinh nữ thỏa yêu cầu bài toán. Do đó có \[A_9^4\] cách xếp \(4\) học sinh nữ.

Suy ra số phần tử của biến cố \(A\) là \[\left| {{\Omega _A}} \right| = 8!.A_9^4\].

Vậy xác suất cần tính \[P\left( A \right) = \frac{{\left| {{\Omega _A}} \right|}}{{\left| \Omega  \right|}} = \frac{{8!A_9^4}}{{12!}} = \frac{{14}}{{55}}.\]

Xếp 3 cuốn sách Toán kề nhau. Xem 3 cuốn sách Toán là 3 vách ngăn, giữa 3 cuốn sách Toán có 2 vị trí trống và thêm hai vị trí hai đầu, tổng cộng có 4 vị trí trống.

Bước 1. Chọn 3 vị trí trống trong 4 vị trí để xếp 3 cuốn Lý, có \(C_4^3\) cách.

Bước 2. Giữa 6 cuốn Lý và Toán có 5 vị trí trống và thêm 2 vị trí hai đầu, tổng cộng có 7 vị trí trống. Chọn 3 vị trí trong 7 vị trí trống để xếp 3 cuốn Hóa, có \(C_7^3\) cách.

Bước 3. Giữa 9 cuốn sách Toán, Lý và Hóa đã xếp có 8 vị trí trống và thêm 2 vị trí hai đầu, tổng cộng có 10 vị trí trống. Chọn 3 vị trí trong 10 vị trí trống để xếp 3 cuốn Sinh, có \(C_{10}^3\) cách. Vậy theo quy tắc nhân có \(C_4^3.C_7^3.C_{10}^3 = 16800\) cách.

Không gian mẫu là số cách lấy \(3\) đoạn thẳng từ 5 đoạn thẳng.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là \(\left| \Omega  \right| = C_5^3 = 10\).

Gọi \(A\) là biến cố \(''\)3 đoạn thẳng lấy ra lập thành một tam giác\(''\). Để ba đoạn thẳng tạo thành một tam giác chỉ có các trường hợp: \(\left( {4cm,{\rm{ }}6cm,{\rm{ }}8cm} \right)\) hoặc \(\left( {6cm,{\rm{ }}8cm,{\rm{ }}10cm} \right)\) hoặc \(\left( {4cm,{\rm{ }}8cm,{\rm{ }}10cm} \right)\).

Suy ra số phần tử của biến cố \(A\) là \(\left| {{\Omega _A}} \right| = 3\).

Vậy xác suất cần tìm \(P\left( A \right) = \frac{{\left| {{\Omega _A}} \right|}}{{\left| \Omega  \right|}} = \frac{3}{{10}}\).

Gọi số đoàn viên trong chi đoàn đó là \[n{\rm{ }}\left( {n \ge 7,n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\].

Suy ra số đoàn viên nam trong chi đoàn là \(n - 3\).

Xác suất để lập đội TNTN trong đó có 3 nữ là \[\frac{{C_3^3.C_{n - 3}^1}}{{C_n^4}}\].

Xác suất để lập đội TNTN có toàn nam là \[\frac{{C_{n - 3}^4}}{{C_n^4}}\].

Theo giả thiết, ta có

Vậy cho đoàn có \(9\) đoàn viên.

Số cách chọn ra 2 bạn trong 40 bạn lớp 10B là: \(C_{40}^2 = 780\)(cách).

Do đó, \(n(\Omega ) = 780\).

Số cách chọn ra 2 bạn trong lớp 10B mà không bạn nào thuộc nhóm siêu quậy là:\(C_{36}^2 = 630\) (cách). Suy ra \(n(A) = 630\).

Xác suất của biến cố \(A\) là: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{630}}{{780}} = \frac{{21}}{{26}}\).

Số cách chọn một bạn trong nhóm siêu quậy là 4 cách. Số cách chọn một bạn

không phải trong nhóm siêu quậy là \(C_{36}^1 = 36\) (cách).

Do đó, ta có \(n(B) = 4 \cdot 36 = 144\).

Xác suất của biến cố \(B\) là: \(P(B) = \frac{{n(B)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{144}}{{780}} = \frac{{12}}{{65}}\).

Số cách để cả hai bạn được gọi đều trong nhóm siêu quậy là: \(C_4^2 = 6\) (cách).

Suy ra \(n(C) = 6\).

Xác suất của biến cố \(C\) là: \(P(C) = \frac{{n(C)}}{{n(\Omega )}} = \frac{6}{{780}} = \frac{1}{{130}}\)

a) Số phần tử không gian mẫu là \(n(\Omega ) = 6 \times 6 = 36\).

b) Gọi biến cố \(A\): "Tổng số chấm thu được từ hai con súc sắc bằng 6".

Ta có: \(A = \{ (1;5),(2;4),(3;3),(5;1),(4;2)\}  \Rightarrow n(A) = 5\).

Do vậy \(P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{5}{{36}}\).

c) Gọi biến cố \(B\): "Hiệu số chấm thu được từ hai con súc sắc bằng 2".

Ta có: \(B = \{ (1;3),(2;4),(3;5),(4;6),(3;1),(4;2),(5;3),(6;4)\} \).

Suy ra \(n(B) = 8\). Khi đó \(P(B) = \frac{{n(B)}}{{n(\Omega )}} = \frac{8}{{36}} = \frac{2}{9}\).

d) Gọi biến cố \(C\): "Tích số chấm trên hai con súc sắc là một số chính phương"

Ta có: \(C = \{ (1;1),(2;2),(3;3),(4;4),(5;5),(6;6),(1;4),(4;1)\}  \Rightarrow n(C) = 8\).

Vậy \(P(C) = \frac{{n(C)}}{{n(\Omega )}} = \frac{8}{{36}} = \frac{2}{9}\).

a) Số phần tử không gian mẫu là: \(n(\Omega ) = 9.9 \cdot 8.7 \cdot 6 = 27216\).

b) \(A\): "Chọn được số tự nhiên lẻ từ tập \(X\) ".

Gọi số tự nhiên năm chữ số là \(\overline {abcde} \). Chọn \(d \in \{ 1;3;5;7;9\} \): có 5 cách.

Số cách chọn \(a,b,c,d\) lần lượt là \(8,8,7,6\) nên số các số tự nhiên thỏa mãn là 5.8.8.7.6 \( = 13440\) hay \(n(A) = 13440\).

Do đó: \(P(A) = \frac{{13440}}{{27216}} = \frac{{40}}{{81}}\).

c) Gọi biến cố \(B\): "Số được chọn chia hết cho 10 ".

Số tự nhiên được chọn phải có dạng \(\overline {abcd0} \).

Số cách chọn \(a,b,c,d\) lần lượt là \(9,8,7,6\) nên \(n(B) = 9\).8.7.6 \( = 3024\).

Do vậy \(P(B) = \frac{{n(B)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{3024}}{{27216}} = \frac{1}{9}\).

d) Gọi biến cố \(C\): "Số có năm chữ số khác nhau lớn hơn 59000 ".

Gọi số có năm chữ số khác nhau lớn hơn 59000 là: \(\overline {abcde} \).

Trường hợp 1: \(a = 5 \Rightarrow b = 9\). Chọn \(c,d,e\) thì lần lượt có \(8,7,6\) cách.

Suy ra số cách chọn trường hợp này là 8.7.6 \( = 336\).

Trường hợp 2: \(a > 5 \Rightarrow a \in \{ 6;7;8;9\} \) nên có 4 cách chọn \(a\).

Số cách chọn \(b,c,d\), e lần lượt là \(9,8,7,6\). Suy ra có 4.9.8.7.6 \( = 12096\)

cách chọn trong trường hợp này.

Do vậy \(n(C) = 336 + 12096 = 12432\).

Suy ra \(P(C) = \frac{{n(C)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{12432}}{{27216}} = \frac{{37}}{{81}}\).

a)

Kí hiệu \(X\) là thẻ xanh, Đ thẻ là đỏ và \(V\) là thẻ vàng. Các kết quả có thể xảy ra trong 3 lần lấy thẻ từ hộp có thể được mô tả bởi sơ đồ hình cây ở trên.

b) Số các kết quả có thể xảy ra của phép thử là \(n(\Omega ) = 12\) Biến cố \(A\): "Trong 3 thẻ lây ra có ít nhất 1 thẻ màu đỏ". \(n(A) = 10\). Xác suất của biến cố \(A:P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{5}{6}\).

c) Số các kết quả có thể xảy ra \(n(\Omega ) = 12\)

Biến cố B: "Trong 3 thẻ lây ra có nhiêu nhất 1 thẻ màu xanh". \(n(B) = 10\). Xác suất của biến cố \(B:P(B) = \frac{{n(B)}}{{n(\Omega )}} = \frac{5}{6}\).

d) \(P(D) = \frac{1}{{12}}\)

Gọi \(A\) là biến cố "Mặt 6 chấm không xuất hiện lần nào". Suy ra \(\bar A\) là biến cố "Mặt

6 chấm xuất hiện ít nhất một lần".

Ta có: \(n(\Omega ) = 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 = 7776,n(A) = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 3125\).

Do đó, xác suất của biến cố \(A\) là: \(P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{3125}}{{7776}}\)

Vậy xác suất của biến cố "Mặt 6 chấm xuất hiện ít nhất một lần" là: \(P(\bar A) = 1 - \frac{{3125}}{{7776}} = \frac{{4651}}{{7776}}.\)

Không gian mẫu được mô tả như sau:

Gọi A là biến cố “Tấm thẻ rút ra từ hộp I được đánh số nhỏ hơn tấm thẻ rút ra từ

hộp II”

Ta có: \(n(\Omega ) = 5 \cdot 10 = 50,n(A) = 35\).

Vậy xác suất của biến cố \(A\) là: \(P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{35}}{{50}} = \frac{7}{{10}}\).

Số viên bi có trong hộp là: \(4 + 4 + 2 = 10\) (viên bi).

Lấy ra ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp mà không quan trọng thứ tự nên số phần tử của không gian mẫu là: \(n(\Omega ) = C_{10}^2 = 45\).

Gọi \(E\) là biến cố lấy được hai viên bi vàng. Vì chỉ có một cách lấy ra được hai viên bi vàng từ hộp nên ta có \(n(E) = 1\). Vậy xác suất của biến cố \(E\) là: \(P(E) = \frac{{n(E)}}{{n(\Omega )}} = \frac{1}{{45}}\).

Số cách để rút ra ngẫu nhiên 2 quân bài từ bộ bài tây gồm 52 quân bài mà không

quan trọng thứ tự là: \(C_{52}^2 = 1326\) (cách). Do đó, ta có \(n(\Omega ) = 1326\).

Gọi \(A\) là biến cố rút được hai quân bài khác màu.

Vì bộ bài tây gồm 26 quân bài đỏ và 26 quân bài đen nên số cách rút được hai quân

bài khác màu là: \(C_{26}^1 \cdot C_{26}^1 = 676\) (cách). Do đó, ta có \(n(A) = 676\).

Vậy xác suất của biến cố \(A\) là: \(P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{676}}{{1326}} = \frac{{26}}{{51}}\).

Số cách chọn 6 quân bài từ bộ bài 52 quân là \(C_{52}^6\).

Trong bộ bài có 13 tứ quý nên số cách chọn được 1 tứ quý là 13.

Sau khi chọn được 1 tứ quý thì bộ bài còn 48 quân. Số cách chọn 2 quân bài trong 48 quân bài còn lại là \(C_{48}^2\).

Vậy xác suất của biến cố "Trong 6 quân bài chọn được có 1 tứ quý " là:

\(\frac{{13C_{48}^2}}{{C_{52}^6}} = \frac{3}{{4165}}.\)

Số cách chọn mua 3 vé là: \(C_{100}^3 = 161700\).

Gọi \(A\) là biến cố "Người mua đó trúng thưởng ít nhất 300000 đồng" thì biến cố đối của \(A\) là \(\bar A\): "Người mua đó trúng thưởng nhiều nhất 200000 đồng".

Các khả năng của biến cố \(\bar A\) là:

- Không trúng thưởng: Số khả năng xảy ra là: \(C_{84}^3 = 95284\).

- Trúng thưởng 100000 đồng: Số khả năng xảy ra là: \(C_{84}^2 \cdot C_{10}^1 = 34860\).

- Trúng thưởng 200000 đồng: Số khả năng xảy ra là: \(C_{84}^1 \cdot C_{10}^2 = 3780\).

Suy ra xác suất của biến cố \(\bar A\) là: \(P(\bar A) = \frac{{95284 + 34860 + 3780}}{{161700}} = \frac{{4783}}{{5775}}\).

Vậy xác suất của biến cố \(A\) là: \(P(A) = 1 - P(\bar A) = 1 - \frac{{4783}}{{5775}} = \frac{{992}}{{5775}}\).