Đề kiểm tra Phép tính lũy thừa (có lời giải) - Đề 3

Ta có: \(\sqrt[n]{a}.\sqrt[m]{a} = {a^{\frac{1}{n}}}.{a^{\frac{1}{m}}} = {a^{\frac{1}{n} + \frac{1}{m}}} = {a^{\frac{{m + n}}{{n.m}}}} = \sqrt[{n.m}]{{{a^{m + n}}}}\) .

Ta có: \(P = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{ - 10}}{.27^{ - 3}} = {3^{10}}{.3^{ - 9}} = 3\)

Ta có: \({b^{\frac{5}{3}}}:\sqrt[3]{b} = {b^{\frac{5}{3}}}:{b^{\frac{1}{3}}} = {b^{\frac{5}{3} - \frac{1}{3}}} = {b^{\frac{4}{3}}}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{{{(2 - \sqrt 3 )}^{2023}}}}{{{{(2 + \sqrt 3 )}^{ - 2024}}}} = {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^{2023}}.{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{2024}} = {\left[ {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)\left( {2 + \sqrt 3 } \right)} \right]^{2023}}.\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {1^{2023}}.\left( {2 + \sqrt 3 } \right) = 2 + \sqrt 3 \end{array}\)

Căn bậc chẵn xác định khi biểu thức trong căn không âm.

Căn bậc lẻ xác định với mọi biểu thức trong căn.

Ta có: \[P = \sqrt[3]{{x\sqrt[4]{{{x^3}.{x^{\frac{1}{2}}}}}}} = \sqrt[3]{{x\sqrt[4]{{{x^{\frac{7}{2}}}}}}} = \sqrt[3]{{x.{x^{\frac{7}{8}}}}} = \sqrt[3]{{{x^{\frac{{15}}{8}}}}} = {x^{\frac{{15}}{{24}}}}\].

Ta có: \[\left( {{a^{\frac{2}{3}}} + 1} \right)\left( {{a^{\frac{4}{9}}} + {a^{\frac{2}{9}}} + 1} \right)\left( {{a^{\frac{2}{9}}} - 1} \right) = \left( {{a^{\frac{2}{3}}} + 1} \right)\left[ {{{\left( {{a^{\frac{2}{9}}}} \right)}^3} - 1} \right] = \left( {{a^{\frac{2}{3}}} + 1} \right)\left( {{a^{\frac{2}{3}}} - 1} \right) = {a^{\frac{4}{3}}} - 1\].

Với \(x > 0;y > 0\) ta có:

\[P = {\left( {{x^{\frac{1}{2}}} - {y^{\frac{1}{2}}}} \right)^2}{\left( {1 - 2\sqrt {\frac{y}{x}}  + \frac{y}{x}} \right)^{ - 1}} = {\left( {\sqrt x  - \sqrt y } \right)^2}{\left( {1 - \sqrt {\frac{y}{x}} } \right)^{ - 2}}\].

\[ = {\left( {\sqrt x  - \sqrt y } \right)^2}{\left( {\frac{{\sqrt x  - \sqrt y }}{{\sqrt x }}} \right)^{ - 2}} = x\].

Ta có: \({4^a} + 3 = {\left( {{2^a}} \right)^2} + 3 = {3^2} + 3 = 12\).

Ta có:

2x.10y+2y.10x10x+y=2x.10y+2y.10x10x.10y=2x.10y10x.10y+2y.10x10x.10y                                                                       =2x10x+2y10y=15x+15y=2+3=5

Với \(t = 20\) thì dân số quốc gia này sau 20 năm nữa là

\(A = {19.2^{\frac{{20}}{{30}}}} \approx 30\,\) (triệu người)

Ta có: \({T_0} = 200\)

\(r = 5\% \)

\(n = 2\) (một năm nhận lãi 2 lần do kì hạn 6 tháng)

\(N = 4\) (do gửi 2 năm thì tính là 4 kì hạn)

Thế vào công thức ta được số tiền cả vốn lẫn lãi sau 2 năm là

\({T_N} = 200.{\left( {1 + \frac{{5\% }}{2}} \right)^4} \approx 220,7\) (triệu đồng)

Ta có: \({9^{\frac{2}{5}}} \cdot {27^{\frac{2}{5}}} = {(9 \cdot 27)^{\frac{2}{5}}} = {\left( {{3^2} \cdot {3^3}} \right)^{\frac{2}{5}}} = {\left( {{3^5}} \right)^{\frac{2}{5}}} = {3^2} = 9\).

Ta có: \({144^{\frac{3}{4}}}:{9^{\frac{3}{4}}} = {\left( {\frac{{144}}{9}} \right)^{\frac{3}{4}}} = {16^{\frac{3}{4}}} = {\left( {{2^4}} \right)^{\frac{3}{4}}} = {2^3} = 8\).

Ta có: \({\left( {{5^{ - \frac{2}{3}}}} \right)^{ - 3}} + {\left[ {{{(0,2)}^{\frac{3}{5}}}} \right]^{ - 5}} = {5^2} + {(0,2)^{ - 3}} = {5^2} + {\left( {\frac{1}{5}} \right)^{ - 3}} = {5^2} + {5^3} = 150\).

Ta có: \({81^{ - 0,75}} + {\left( {\frac{1}{{625}}} \right)^{ - \frac{1}{4}}} - {\left( {\frac{1}{{32}}} \right)^{ - \frac{3}{5}}} = {\left( {{3^4}} \right)^{ - \frac{3}{4}}} + {\left( {{5^{ - 4}}} \right)^{ - \frac{1}{4}}} - {\left( {{2^{ - 5}}} \right)^{ - \frac{3}{5}}} = {3^{ - 3}} + 5 - {2^3} =  - \frac{{80}}{{27}}\).

Ta có: \(\sqrt {\sqrt 5  \cdot {{(\sqrt[4]{{\sqrt 5 }}:\sqrt {\sqrt[5]{5}} )}^{10}}}  = \sqrt {{5^{\frac{1}{2}}}{{\left( {{5^{\frac{1}{8}}}:{5^{\frac{1}{{10}}}}} \right)}^{10}}} \)

\( = \sqrt {{5^{\frac{1}{2}}}{{\left( {{5^{\frac{1}{{40}}}}} \right)}^{10}}}  = \sqrt {{5^{\frac{1}{2}}} \cdot {5^{\frac{1}{4}}}}  = \sqrt {{5^{\frac{3}{4}}}}  = {5^{\frac{3}{8}}}.\)

\({\left( {\frac{3}{4}} \right)^{ - 2}}{.3^2}{.12^0} = \frac{{{4^2}}}{{{3^2}}}{.3^2}.1 = 16\).

\(A = \frac{{{{\left( {{{10}^2}} \right)}^\alpha } \cdot {{\left( {{{10}^{ - 3}}} \right)}^\beta }}}{{{{10}^{ - \alpha }} \cdot {{10}^{2\beta }}}} = \frac{{{{10}^{2\alpha }}}}{{{{10}^{ - \alpha }}}} \cdot \frac{{{{10}^{ - 3\beta }}}}{{{{10}^{2\beta }}}} = {10^{2\alpha  - ( - \alpha )}} \cdot {10^{ - 3\beta  - 2\beta }}\)

\( = {10^{3\alpha }} \cdot {10^{ - 5\beta }} = {\left( {{{10}^\alpha }} \right)^3} \cdot {\left( {{{10}^\beta }} \right)^{ - 5}} = {3^3} \cdot {7^{ - 5}} = \frac{{{3^3}}}{{{7^5}}} = \frac{{27}}{{16807}}{\rm{. }}\)

\(P = \frac{{\sqrt a  + \sqrt[4]{a}}}{{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}} - \frac{{\sqrt a  - \sqrt b }}{{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}}} = \frac{{{{(\sqrt[4]{a})}^2} + \sqrt[4]{{ab}}}}{{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}} - \frac{{{{(\sqrt[4]{a})}^2} - {{(\sqrt[4]{b})}^2}}}{{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}}}\)

\( = \frac{{\sqrt[4]{a}(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})}}{{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}} - \frac{{(\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})}}{{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}}} = \sqrt[4]{a} - (\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}) =  - \sqrt[4]{b}\)

Xét tỉ lệ:

\(\frac{{2,{{2.10}^{ - 3}}}}{{1,{{94.10}^{ - 7}}}} \approx 11300\) (làm tròn đến hang trăm).

Vậy cần chồng \(11300\) là vàng như trên để có độ dày bằng đồng xu loại \(5000\) đồng.

Giá trị còn lại của máy sau 2 năm kể từ khi đưa vào sử dụng là:

\(P\left( 2 \right) = 500.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{2}{3}}} = 315\) (triệu đồng).

Giá trị còn lại của máy sau 2 năm 3 tháng kể từ khi đưa vào sử dụng là:

\(P\left( {\frac{9}{4}} \right) = 500.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{3}{4}}} = 297\) (triệu đồng).

Vì sau 3 phút thì số lượng vi khuẩn \(A\) là 625 nghìn con nên: \(625000 = {s_0} \cdot {2^3}\)

Số lượng vi khuẩn \(V\) sau 9 phút là:

\(s(t) = \frac{{625000}}{{{2^3}}} \cdot {2^9} = 625000 \cdot {2^6} = 4 \cdot {10^7}\)(con)