Đề kiểm tra Phép tính lũy thừa (có lời giải) - Đề 1
22 câu hỏi
Với \(a\) là số thực dương tùy ý, \(\sqrt {{a^3}} \) bằng
\({a^6}\).
\({a^{\frac{3}{2}}}\).
\({a^{\frac{2}{3}}}\).
\({a^{\frac{1}{6}}}\).
Với \(a > 0\) ta có \(\sqrt {{a^3}} = {a^{\frac{3}{2}}}.\)
Cho \(a > 0,m,n \in \mathbb{R}\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\({a^m} + {a^n} = {a^{m + n}}.\).
\({a^m}.{a^n} = {a^{m - n}}.\).
\({({a^m})^n} = {({a^n})^m}.\).
\(\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{n - m}}.\).
Tính chất lũy thừa.
Rút gọn biểu thức \(Q = {b^{\frac{5}{3}}}:\sqrt[3]{b}\) với \(b > 0\).
\(Q = {b^{ - \frac{4}{3}}}\).
\(Q = {b^{\frac{4}{3}}}\).
\(Q = {b^{\frac{5}{9}}}\).
\(Q = {b^2}\).
\(Q = {b^{\frac{5}{3}}}:\sqrt[3]{b} = {b^{\frac{5}{3}}}:{b^{\frac{1}{3}}} = {b^{\frac{4}{3}}}\).
Cho a là số thực dương. Viết và rút gọn biểu thức \[{a^{\frac{3}{{2024}}}}.\sqrt[{2024}]{a}\] dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ. Tìm số mũ của biểu thức rút gọn đó.
\(\frac{2}{{1005}}\).
\(\frac{1}{{506}}\).
\(\frac{3}{{2012}}\).
\(\frac{3}{{{{2024}^2}}}\)
\({a^{\frac{4}{{2024}}}} = {a^{\frac{1}{{506}}}}\). Vậy số mũ của biểu thức rút gọn bằng \(\frac{1}{{506}}\) .
Cho \(a\) là số thực dương khác \(1\). Khi đó \(\sqrt[4]{{{a^{\frac{2}{3}}}}}\) bằng:
\(\sqrt[3]{{{a^2}}}\).
\({a^{\frac{8}{3}}}\).
\({a^{\frac{3}{8}}}\).
\(\sqrt[6]{a}\).
Ta có: \(\sqrt[4]{{{a^{\frac{2}{3}}}}} = {\left( {{a^{\frac{2}{3}}}} \right)^{\frac{1}{4}}} = {a^{\frac{2}{3}.\frac{1}{4}}} = {a^{\frac{1}{6}}} = \sqrt[6]{a}\)
So sánh ba số: \({\left( {0,2} \right)^{0,3}}\), \({\left( {0,7} \right)^{3,2}}\) và \({\sqrt 3 ^{0,2}}\) ta được:
\[{\left( {0,7} \right)^{3,2}} < {\left( {0,2} \right)^{0,3}} < {\sqrt 3 ^{0,2}}\].
\[{\left( {0,2} \right)^{0,3}} < {\left( {0,7} \right)^{3,2}} < {\sqrt 3 ^{0,2}}\].
\[{\sqrt 3 ^{0,2}} < {\left( {0,2} \right)^{0,3}} < {\left( {0,7} \right)^{3,2}}\].
\[{\left( {0,2} \right)^{0,3}} < {\sqrt 3 ^{0,2}} < {\left( {0,7} \right)^{3,2}}\].
\({\left( {0,2} \right)^{0,3}} = {\left( {0,2} \right)^{\frac{3}{{10}}}} = {\left[ {{{\left( {0,2} \right)}^3}} \right]^{\frac{1}{{10}}}} = {\left( {0,008} \right)^{\frac{1}{{10}}}}\).
\({\left( {0,7} \right)^{3,2}} = {\left( {0,7} \right)^{\frac{{32}}{{10}}}} = {\left[ {{{\left( {0,7} \right)}^{32}}} \right]^{\frac{1}{{10}}}}\).
\({\sqrt 3 ^{0,2}} = {\left( 3 \right)^{\frac{1}{2}.\frac{2}{{10}}}} = {3^{\frac{1}{{10}}}}\).
Do \({\left( {0,7} \right)^{32}} < 0,008 < 3\) nên \[{\left( {0,7} \right)^{3,2}} < {\left( {0,2} \right)^{0,3}} < {\sqrt 3 ^{0,2}}\].
Nếu \({\left( {a - 2} \right)^{\frac{1}{4}}} < {\left( {a - 2} \right)^{\frac{1}{3}}}\) thì khẳng định nào sau đây là đúng?
\(2 < a < 3\).
\(a > 2\).
\(a < 3\).
\(a > 3\).
Ta có: \(\frac{1}{4} < \frac{1}{3}\) và \({\left( {a - 2} \right)^{\frac{1}{4}}} < {\left( {a - 2} \right)^{\frac{1}{3}}}\) nên \(a - 2 > 1 \Leftrightarrow a > 3\).
Cho \[x,y > 0\] và \[\alpha ,\beta \in \mathbb{R}\]. Tìm đẳng thức sai dưới đây?
\[{\left( {xy} \right)^\alpha } = {x^\alpha }.{y^\alpha }\].
\[{x^\alpha } + {y^\alpha } = {\left( {x + y} \right)^\alpha }\].
\[{\left( {{x^\alpha }} \right)^\beta } = {x^{\alpha \beta }}\].
\[{x^\alpha }.{x^\beta } = {x^{\alpha + \beta }}\].
Theo tính chất của lũy thừa thì đẳng thức \[{x^\alpha } + {y^\alpha } = {\left( {x + y} \right)^\alpha }\] Sai.
Cho biểu thức \(P = \sqrt[3]{{x\sqrt[4]{{{x^3}\sqrt x }}}}\), với \(x > 0\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
\(P = {x^{\frac{1}{2}}}\).
\(P = {x^{\frac{7}{{12}}}}\).
\(P = {x^{\frac{5}{8}}}\).
\(P = {x^{\frac{7}{{24}}}}\).
\(P = \sqrt[3]{{x\sqrt[4]{{{x^3}\sqrt x }}}} = {{\rm{[}}x{({x^3}.{x^{\frac{1}{2}}})^{\frac{1}{4}}}{\rm{]}}^{\frac{1}{3}}}{\rm{ = [}}x{({x^{\frac{7}{2}}})^{\frac{1}{4}}}{{\rm{]}}^{\frac{1}{3}}}{\rm{ = }}{x^{\frac{1}{3}}}.{x^{\frac{7}{{24}}}}{\rm{ = }}{x^{\frac{5}{8}}}\)
Cho \({\pi ^\alpha } > {\pi ^\beta }\). Kết luận nào sau đây đúng?
\(\alpha .\beta = 1\).
\(\alpha > \beta \).
\(\alpha < \beta \).
\(\alpha + \beta = 0\).
Vì \[\pi \approx 3,14 > 0\] nên \[{\pi ^\alpha } > {\pi ^\beta } \Leftrightarrow \alpha > \beta .\]
Một người lần đầu gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng với kì hạn 3 tháng, lãi suất 2% một quý. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi quý số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính lãi cho quý tiếp theo. Sau đúng 6 tháng, người đó gửi thêm 100 triệu đồng với kỳ hạn và lãi suất như trước đó. Tổng số tiền người đó nhận được 1 năm sau khi gửi tiền gần nhất với kết quả nào sau đây?
210 triệu.
220 triệu.
212 triệu.
216 triệu.
Số tiền nhận về sau 1 năm của 100 triệu gửi trước là \[100{\left( {1 + 2\% } \right)^4}\] triệu.
Số tiền nhận về sau 6 tháng của 100 triệu gửi sau là \[100{\left( {1 + 2\% } \right)^2}\] triệu.
Vậy tổng số tiền là \[100{\left( {1 + 2\% } \right)^4} + 100{\left( {1 + 2\% } \right)^2} = 212,283216\left( { \approx 212,283} \right)\] triệu.
Bác Nam đem gửi tổng số tiền 320 triệu đồng ở hai loại kỳ hạn khác nhau. Bác gửi 140 triệu đồng theo kỳ hạn ba tháng với lãi suất \[2,1\% \] một quý. Số tiền còn lại bác Nam gửi theo kỳ hạn một tháng với lãi suất \[0,73\% \] một tháng. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi kỳ hạn số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính lãi cho kỳ hạn tiếp theo. Sau 15 tháng kể từ ngày gửi bác Nam đi rút tiền. Tính gần đúng đến hàng đơn vị tổng số tiền lãi thu được của bác Nam.
\[36080251\] đồng.
\[36080254\] đồng.
\[36080255\] đồng.
\[36080253\] đồng.
Số tiền nhận về sau 15 tháng của 140 triệu gửi trước là \[140.\,{\left( {1 + 2,1\% } \right)^5}\] triệu.
Số tiền nhận về sau 15 tháng của 180 triệu gửi sau là \[180.\,{\left( {1 + 0,73\% } \right)^{15}}\] triệu.
Suy ra tổng số tiền cả vốn lẫn lãi mà bác Nam thu được là
\[140.\,{\left( {1 + 2,1\% } \right)^5} + 180.\,{\left( {1 + 0,73\% } \right)^{15}} \approx 356,080253\] triệu.
Suy ra số tiền lãi: \[356,080253 - 320 = 360,80253 = 36080253\] đồng.
Cho biểu thức \(\sqrt[5]{{2 \cdot \sqrt[3]{{2 \cdot \sqrt 2 }}}} = {2^{\frac{a}{b}}}\) và \(\sqrt[6]{{3 \cdot \sqrt[3]{{3 \cdot \sqrt 3 }}}} = {3^{\frac{m}{n}}}\) trong đó (\(\frac{a}{b},\frac{m}{n}\) là các phân số tối giản), khi đó:
\(a + b = 13\)
\(m - n = 3\)
\(\frac{a}{b} + \frac{m}{n} = \frac{{11}}{{20}}\)
\(\frac{a}{b} - \frac{m}{n} = \frac{1}{{20}}\)
a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng |
Ta có: \(\sqrt[5]{{2 \cdot \sqrt[3]{{2 \cdot \sqrt 2 }}}} = \sqrt[5]{{2 \cdot \sqrt[3]{{2 \cdot {2^{\frac{1}{2}}}}}}} = \sqrt[5]{{2 \cdot \sqrt[3]{{{2^{\frac{3}{2}}}}}}} = \sqrt[5]{{2 \cdot {2^{\frac{1}{2}}}}} = \sqrt[5]{{{2^{\frac{3}{2}}}}} = {2^{\frac{3}{{10}}}}\).
Ta có: \(\sqrt[6]{{3 \cdot \sqrt[3]{{3 \cdot \sqrt 3 }}}} = \sqrt[6]{{3 \cdot \sqrt[3]{{3 \cdot {3^{\frac{1}{2}}}}}}} = \sqrt[6]{{3 \cdot \sqrt[3]{{{3^{\frac{3}{2}}}}}}} = \sqrt[6]{{3 \cdot {3^{\frac{1}{2}}}}} = \sqrt[6]{{{3^{\frac{3}{2}}}}} = {3^{\frac{1}{4}}}\).
Cho biểu thức \(A = {3^{2x - 1}} \cdot {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{2x - 1}} + {9^{x + 1}}\). Vậy:
Cho \({3^x} = 2\). Thì \(A = 37\)
Cho \({3^x} = 1\). Thì \(A = 10\)
Cho \({3^x} = 3\). Thì \(A = 80\)
Cho \({3^x} = 4\). Thì \(A = 144\)
a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Sai |
Ta có: \(A = {\left( {3 \cdot \frac{1}{3}} \right)^{2x - 1}} + 9 \cdot {9^x} = 1 + 9{\left( {{3^x}} \right)^2}\).
Cho a > 0 . Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Đúng | b) Sai | c) Sai | d) Sai |
Rút gọn biểu thức \(A = \frac{{\sqrt[3]{{{a^7}}}.{a^{\frac{{11}}{3}}}}}{{{a^4}.\sqrt[7]{{{a^{ - 5}}}}}}\) với \(a > 0\) ta được kết quả \(A = {a^{\frac{m}{n}}}\), trong đó \(m\), \(n \in \mathbb{N}*\) và \(\frac{m}{n}\) là phân số tối giản. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
\({m^2} - {n^2} = - 312\).
\({m^2} - {n^2} = 312\).
\({m^2} + {n^2} = 543\).
\({m^2} + {n^2} = 409\).
a) Sai | b) Đúng | c) Sai | d) Sai |
Ta có: \(A = \frac{{\sqrt[3]{{{a^7}}}.{a^{\frac{{11}}{3}}}}}{{{a^4}.\sqrt[7]{{{a^{ - 5}}}}}}\)\( = \frac{{{a^{\frac{7}{3}}}.{a^{\frac{{11}}{3}}}}}{{{a^4}.{a^{ - \frac{5}{7}}}}}\)\( = {a^{\frac{{19}}{7}}}\).
Suy ra \(m = 19\), \(n = 7\) \( \Rightarrow {m^2} - {n^2} = 312\).
Rút gọn biểu thức sau: \(B = \frac{{{a^{\frac{4}{3}}}\left( {{a^{ - \frac{1}{3}}} + {a^{\frac{2}{3}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{4}}}\left( {{a^{\frac{3}{4}}} + {a^{ - \frac{1}{4}}}} \right)}}\) với \(a > 0\).
Ta có: \(B = \frac{{{a^{\frac{4}{3}}}\left( {{a^{ - \frac{1}{3}}} + {a^{\frac{2}{3}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{4}}}\left( {{a^{\frac{3}{4}}} + {a^{ - \frac{1}{4}}}} \right)}} = \frac{{a + {a^2}}}{{a + 1}} = \frac{{a(a + 1)}}{{a + 1}} = a\).
Cho \(P = \sqrt {{x^2} + \sqrt[3]{{{x^4}{y^2}}}} + \sqrt {{y^2} + \sqrt[3]{{{x^2}{y^4}}}} \) và \(Q = 2\sqrt {{{\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{{{y^2}}}} \right)}^3}} \) với \(x,y\) là các số thực khác 0 . So sánh \(P\) và \(Q\)
Ta có \({x^2},{y^2},\sqrt[3]{{{x^4}{y^2}}},\sqrt[3]{{{x^2}{y^4}}}\) là những số thực dương với mọi \(x,y \ne 0\).
\(\begin{array}{l}Q = 2\sqrt {{{\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{{{y^2}}}} \right)}^3}} = 2\sqrt {{x^2} + 3\sqrt[3]{{{x^4}{y^2}}} + 3\sqrt[3]{{{x^2}{y^4}}} + {y^2}} \\ = \sqrt {{x^2} + 3\sqrt[3]{{{x^4}{y^2}}} + 3\sqrt[3]{{{x^2}{y^4}}} + {y^2}} + \sqrt {{x^2} + 3\sqrt[3]{{{x^4}{y^2}}} + 3\sqrt[3]{{{x^2}{y^4}}} + {y^2}} \\ > \sqrt {{x^2} + 3\sqrt[3]{{{x^4}{y^2}}}} + \sqrt {3\sqrt[3]{{{x^2}{y^4}}} + {y^2}} > \sqrt {{x^2} + \sqrt[3]{{{x^4}{y^2}}}} + \sqrt {\sqrt[3]{{{x^2}{y^4}}} + {y^2}} = P.\\\end{array}\)
Vậy với điều kiện trên của \(x,y\) thì \(P < Q\).
Tính giá trị của biểu thức \(P = \frac{{{2^3} \cdot {2^{ - 1}} + {5^{ - 3}} \cdot {5^4}}}{{{{10}^{ - 3}}:{{10}^{ - 2}} - 0,{1^0}}}\).
Ta có \(P = \frac{{{2^3} \cdot {2^{ - 1}} + {5^{ - 3}} \cdot {5^4}}}{{{{10}^{ - 3}}:{{10}^{ - 2}} - 0,{1^0}}} = \frac{{{2^2} + 5}}{{{{10}^{ - 1}} - 1}} = - 10\).
Một người gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất \(8\% /\) năm. Biết rằng nếu người đó không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn để tính lãi cho năm tiếp theo. Số tiền người đó nhận sau \(n\) năm sẽ được tính theo công thức \({T_n} = 100{(1 + r)^n}\) (triệu đồng), trong đó \(r(\% )\) là lãi suất và \(n\) là số năm gửi tiền.
Hỏi số tiền lãi thu được của người đó sau 10 năm là bao nhiêu?
(Các kết quả trong bài được tính chính xác đến hàng phần trăm)
Số tiền người đó nhận sau 10 năm là: \({T_{10}} = 100{\left( {1 + \frac{8}{{100}}} \right)^{10}} \approx 215,89\) (triệu đồng).
Số tiền lãi sau 10 năm gửi tiền xấp xỉ là: \(215,89 - 100 = 115,89\) (triệu đồng).
Một khu rừng có trữ lượng gỗ là \({4.10^5}\;{m^3}\). Biết tốc độ sinh trưởng của các cây lấy gỗ trong khu rừng này là \(4\% \) mỗi năm. Hỏi sau 5 năm không khai thác, khu rừng sẽ có số mét khối gỗ là bao nhiêu?
Nếu trữ lượng gỗ của khu rừng ban đầu là \(A\) thì sau năm thứ nhất, lượng gỗ có được là \(A + Ar = A(1 + r)\) với \(r\) là tốc độ tăng trưởng mỗi năm.
Sau năm thứ hai, lượng gỗ có được là \(A(1 + r) + A(1 + r) \cdot r = A{(1 + r)^2}\).
Theo phương pháp quy nạp, ta chứng minh được công thức tính lượng gỗ trong khu rừng là \({T_n} = A{(1 + r)^n}\) với \(A\) là lượng gỗ ban đầu, \(r\) là tốc độ tăng trưởng mỗi năm và \(n\) là số năm tăng trưởng của rừng.
Vậy sau 5 năm, lượng gỗ trong khu rừng là:
\({T_5} = 4 \cdot {10^5}{\left( {1 + \frac{4}{{100}}} \right)^5} = 486661,161\left( {\;{m^3}} \right)\)
Số lượng của loại vi khuẩn \(A\) trong một phòng thí nghiệm được tính theo công thức \(s(t) = s(0) \cdot {2^t}\), trong đó \(s(0)\) là số lượng vi khuẩn \(A\) lúc ban đầu, \(s(t)\) là số lượng vi khuẩn \(A\) có sau \(t\) phút. Biết sau 3 phút thì số lượng vi khuẩn \(A\) là 625 nghìn con. Hỏi sau 10 phút thì số lượng vi khuẩn \(A\) là bao nhiêu?
Sau 3 phút, số lượng vi khuẩn \(A\) là 625 nghìn con nên \(s(3) = s(0) \cdot {2^3}\) \( \Rightarrow s(0) = \frac{{s(3)}}{{{2^3}}} = \frac{{625000}}{8} = 78125\) (tức là ban đầu có 78125 con vi khuẩn \(A\) trong phòng thí nghiệm).
Sau 10 phút, số lượng vi khuẩn là: \(s(10) = 78125 \cdot {2^{10}} = 80 \cdot {10^6}\) (con).
