Đề kiểm tra Phép tính lũy thừa (có lời giải) - Đề 2
22 câu hỏi
Trong các biểu thức sau, biểu thức nào không có nghĩa?
\[{\left( { - \frac{1}{4}} \right)^{\rm{o}}}\].
\({\left( { - 3} \right)^{ - 5}}\).
\({\left( { - \frac{3}{4}} \right)^{\frac{1}{3}}}\).
\({2^{\frac{3}{2}}}\).
Chọn C
Cho \(x\), \(y\) là hai số thực dương và \(m\), \(n\) là hai số thực tùy ý. Đẳng thức nào sau đây là sai?
\({x^m}.{x^m} = {x^{m + n}}\).
\({\left( {{x^m}} \right)^n} = {x^{m.n}}\).
\({x^m}.{y^n} = {\left( {xy} \right)^{m + n}}\).
\({\left( {xy} \right)^n} = {x^n}.{y^n}\).
Chọn C
Cho số thực \(a > 1\) và các số thực \(\alpha \), \(\beta \). Kết luận nào sau đây đúng?
\[{a^\alpha } > 1,\,\forall \alpha \in \mathbb{R}\].
\[{a^\alpha } > {a^\beta } \Leftrightarrow \alpha > \beta \].
\[\frac{1}{{{a^\alpha }}} < 0,\,\forall \alpha \in \mathbb{R}\].
\[{a^\alpha } < 1,\,\forall \alpha \in \mathbb{R}\]
Cho \(a > 1\) Mệnh đề nào sau đây là đúng?
\({a^{ - \sqrt 5 }} > \frac{1}{{{a^{\sqrt 7 }}}}\).
\({a^{\frac{1}{4}}} > \sqrt[3]{a}\).
\(\frac{{\sqrt[3]{{{a^2}}}}}{{{a^2}}} > \,\,1\).
\(\frac{1}{{{a^{2022}}}} < \frac{1}{{{a^{2023}}}}\)
Chọn A
Ta có \({a^{ - \sqrt 5 }} > \frac{1}{{{a^{\sqrt 7 }}}}\,\,{\,^{(1)}} \Leftrightarrow \,{a^{ - \sqrt 5 }}\, > \,{a^{ - \sqrt 7 }}{\,^{(2)}}\). Vì \(a > 1\) mà \( - \sqrt 5 > \, - \sqrt 7 \) nên \((2)\) đúng.
Suy ra \((1)\) đúng.
Giá trị của biểu thức \(P = \frac{{{2^5}{{.2}^{ - 3}} + {5^{ - 4}}{{.5}^5}}}{{{{10}^{ - 3}}:{{10}^{ - 2}} - {{\left( {0,1} \right)}^0}}}\) là
\[ - 10\].
\(10\).
\( - \frac{1}{{10}}\).
\(\frac{1}{{10}}\).
Chọn A
Ta có \(P = \frac{{{2^5}{{.2}^{ - 3}} + {5^{ - 4}}{{.5}^5}}}{{{{10}^{ - 3}}:{{10}^{ - 2}} - {{\left( {0,1} \right)}^0}}} = \frac{{{2^{5 - 3}} + {5^{5 - 4}}}}{{{{10}^{ - 3 + 2}} - 1}} = \frac{{4 + 5}}{{\frac{1}{{10}} - 1}} = - 10\).
Rút gọn biểu thức \(Q = {b^{\frac{7}{2}}}:\sqrt b \) với b > 0
\(Q = {b^{\frac{9}{2}}}\).
\(Q = {b^3}\).
\(Q = {b^{\frac{7}{4}}}\).
\(Q = {b^4}\).
Chọn B
Ta có. \(Q = {b^{\frac{7}{2}}}:\sqrt b = {b^{\frac{7}{2}}}:{b^{\frac{1}{2}}} = {b^3}\)
Xét a , b là các số thực thỏa mãn . Khẳng định nào sau đây sai?
\(\sqrt[3]{{\sqrt {ab} }} = \sqrt[6]{{ab}}\).
\(\sqrt[4]{{ab}} = \sqrt[4]{a}.\sqrt[4]{b}\).
\(\sqrt[3]{{ab}} = {\left( {ab} \right)^{\frac{1}{3}}}\).
\(\sqrt[{10}]{{{{\left( {ab} \right)}^{10}}}} = ab\).
Chọn B
Vì \(ab > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\b > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\b < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\).
Với \(a < 0;\,b < 0\) thì \(\sqrt[4]{a}\), \(\sqrt[4]{b}\) vô nghĩa. Nên khẳng định \(\sqrt[4]{{ab}} = \sqrt[4]{a}.\sqrt[4]{b}\) là sai.
Cho \(a,\,b\) là các số thực dương thỏa mãn \({a^{2b}} = 5\). Tính \[K = 2{{\rm{a}}^{8b}} - 4\]
\(K = 621\).
\(K = 629\).
\(K = 1246\).
\(K = 1254\).
Chọn D
\[K = 2{a^{8b}} + 4 = 2{\left( {{a^{2b}}} \right)^4} + 4 = 1250 + 4 = 1254\].
Rút gọn biểu thức thức \(P = \frac{{{x^{\frac{5}{4}}}y + {y^{\frac{5}{4}}}x}}{{\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y}}},\,\left( {x,\,y > 0} \right)\)
\[P = xy\].
\[P = \frac{x}{y}\].
\[P = \sqrt[4]{{xy}}\].
\(P = \sqrt[4]{{\frac{x}{y}}}\).
Chọn A
\(P = \frac{{{x^{\frac{5}{4}}}y + {y^{\frac{5}{4}}}x}}{{\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y}}} = \frac{{xy\left( {\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y}} \right)}}{{\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y}}} = xy\).
Tờ tiền mệnh giá \(500000\)VND có kích thước chiều dài \[1,{52.10^{ - 1}}m\]; chiều rộng \[6,{5.10^{ - 2}}m\]; bề dày \[{10^{ - 4}}m\]; nặng \[{10^{ - 3}}kg\]. Ngày 05/07/2023 công ty Xổ số điện toán Việt Nam thông báo ông An ở thành phố Thái Bình trúng thưởng trị giá \(39\) tỷ đồng. Công ty Xổ số điện toán Việt Nam đã trả thưởng cho ông An bằng tiền mặt toàn loại tiền mệnh giá \(500000\) VND. Ông An nhận được số kilogam tiền là
\(78\).
\(7,8\).
\(780\).
\(87\).
Ta có \(39.000.000.000 = 3,{9.10^{10}};500000 = {5.10^5}\).
Số tờ tiền mệnh giá \(500000\)VND mà ông An nhận được \(\frac{{3,{{9.10}^{10}}}}{{{{5.10}^5}}} = 7,{8.10^4}\) tờ.
Một tờ tiền mệnh giá \(500000\)VND nặng \[{10^{ - 3}}kg\] nên \(7,{8.10^4} \times {10^{ - 3}} = 78kg\).
Vậy ông An nhận được \(78kg\) tiền.
Nếu một khoản tiền gốc \(P\) được gửi ngân hàng với lăi suất hằng năm \(r\), được tính lãi \(n\) lần trong một năm, thỉ tồng số tiền \(A\) nhận được sau \(N\) kì gửi cho bởi công thức sau \(A = P{\left( {1 + \frac{r}{n}} \right)^N}\). Bác An gửi tiết kiệm theo kì hạn một năm với lãi suất không đổi là \(7.2\% \) một năm thì sau \(5\) năm bác thu được số tiền là \(141.570.878\) đồng. Số tiền ban đầu bác An đã gửi là?.
\(100.000.000\).
\(120.000.000\).
\(110.000.000\).
\(90.000.000\).
Gọi \(P\) là số tiền gửi ban đầu thì \(n = 1;N = 5;r = 0,072\) ta có \[141.570.878 = P.{\left( {1 + 0,072} \right)^5} \Rightarrow P = \frac{{141.570.878}}{{{{\left( {1 + 0,072} \right)}^5}}} = 99999999,7\] đồng.
Cho biểu thức \(\sqrt[3]{{\frac{2}{5} \cdot \sqrt[7]{{\frac{2}{5} \cdot \sqrt[3]{{\frac{2}{5}}}}}}} \cdot \frac{2}{5}\)
\(\sqrt[3]{{\frac{2}{5}}} - {\left( {\frac{2}{5}} \right)^{\frac{1}{3}}} = 0\)
\(\sqrt[7]{{\frac{2}{5} \cdot \sqrt[3]{{\frac{2}{5}}}}} = {\left( {\frac{2}{5}} \right)^{\frac{a}{b}}}\), (\(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản), khi đó: \(a + b = 24\)
\(\sqrt[3]{{\frac{2}{5} \cdot \sqrt[7]{{\frac{2}{5} \cdot \sqrt[3]{{\frac{2}{5}}}}}}} = {\left( {\frac{2}{5}} \right)^{\frac{a}{b}}}\), (\(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản), khi đó: \(a + b = 88\)
\(\sqrt[3]{{\frac{2}{5} \cdot \sqrt[7]{{\frac{2}{5} \cdot \sqrt[3]{{\frac{2}{5}}}}}}} \cdot \frac{2}{5} = {\left( {\frac{2}{5}} \right)^{\frac{a}{b}}}\), (\(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản), khi đó: \(a + b = 151\)
a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng |
Ta có: \(\sqrt[3]{{\frac{2}{5} \cdot \sqrt[7]{{\frac{2}{5} \cdot \sqrt[3]{{\frac{2}{5}}}}}}} \cdot \frac{2}{5} = \sqrt[3]{{\frac{2}{5} \cdot \sqrt[7]{{\frac{2}{5} \cdot {{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^{\frac{1}{3}}}}}}} \cdot \frac{2}{5} = \sqrt[3]{{\frac{2}{5} \cdot \sqrt[7]{{{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^{\frac{4}{3}}}}}}} \cdot \frac{2}{5}\)
\( = \sqrt[3]{{\frac{2}{5} \cdot {{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^{\frac{4}{{21}}}}}} \cdot \frac{2}{5} = {\left( {\frac{2}{5}} \right)^{\frac{{25}}{{63}}}} \cdot \frac{2}{5} = {\left( {\frac{2}{5}} \right)^{\frac{{88}}{{63}}}}.\)
Tờ tiền mệnh giá \(500000\)VND có kích thước chiều dài \[1,{52.10^{ - 1}}m\]; chiều rộng \[6,{5.10^{ - 2}}m\]; bề dày \[{10^{ - 4}}m\]; nặng \[{10^{ - 3}}kg\]. Ngày 05/07/2023 công ty Xổ số điện toán Việt Nam thông báo ông An ở thành phố Thái Bình trúng thưởng trị giá \(39\) tỷ đồng. Công ty Xổ số điện toán Việt Nam đã trả thưởng cho ông An bằng tiền mặt toàn loại tiền mệnh giá \(500000\) VND. Ông An nhận được số kilogam tiền là
\(78\).
\(7,8\).
\(780\).
\(87\).
Ta có \(39.000.000.000 = 3,{9.10^{10}};500000 = {5.10^5}\).
Số tờ tiền mệnh giá \(500000\)VND mà ông An nhận được \(\frac{{3,{{9.10}^{10}}}}{{{{5.10}^5}}} = 7,{8.10^4}\) tờ.
Một tờ tiền mệnh giá \(500000\)VND nặng \[{10^{ - 3}}kg\] nên \(7,{8.10^4} \times {10^{ - 3}} = 78kg\).
Vậy ông An nhận được \(78kg\) tiền.
Cho biểu thức \(A = {\left( {\frac{{{a^{\sqrt 5 }}}}{{{b^{\sqrt 5 - 2}}}}} \right)^{\sqrt 5 + 2}} \cdot \frac{{{a^{ - 2 - \sqrt 5 }}}}{{{b^{ - 1}}}}\) với \(a,b > 0\). Vậy:
Sau khi rút gọn, thì biểu thức \(A\) chỉ chứa biến \(b\)
Với \(a = 2,b = 1 + 5\sqrt 2 \) thì \(A = \frac{{113}}{3}\)
Khi \(A = {a^m}.{b^n}\) thì \(m + n = 3 + \sqrt 5 \)
Khi \(A = {a^m}.{b^n}\) thì \(m - n = 2 + \sqrt 5 \)
a) Sai | b) Sai | c) Đúng | d) Sai |
Ta có: \(A = \frac{{{{\left( {{a^{\sqrt 5 }}} \right)}^{\sqrt 5 + 2}}}}{{{{\left( {{b^{\sqrt 5 - 2}}} \right)}^{\sqrt 5 + 2}}}} \cdot \frac{b}{{{a^{2 + \sqrt 5 }}}} = \frac{{{a^{5 + 2\sqrt 5 }} \cdot b}}{{b \cdot {a^{2 + \sqrt 5 }}}} = {a^{3 + \sqrt 5 }}\).
Cho biểu thức \(P = \frac{{{a^{\frac{1}{3}}}\sqrt b + {b^{\frac{1}{3}}}\sqrt a }}{{\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}}} - \sqrt[3]{{ab}}\) với \(a,b > 0\).Vậy:
\(P = a + 2b\)
Với \(a = \sqrt 5 ,b = \sqrt 3 \) thì \(P = \sqrt 5 + 2\sqrt 3 \)
\(P = k\)(\(k\) là hằng số)
Với \(a = \sqrt {22} ,b = 4\) thì \(P = 0\)
a) Sai | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng |
Ta có: \(P = \frac{{{a^{\frac{1}{3}}}\sqrt b + {b^{\frac{1}{3}}}\sqrt a }}{{\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}}} - \sqrt[3]{{ab}} = \frac{{{a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{2}}} + {b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{2}}}}}{{{a^{\frac{1}{6}}} + {b^{\frac{1}{6}}}}} - {(ab)^{\frac{1}{3}}}\)
\( = \frac{{{a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}}\left( {{b^{\frac{1}{6}}} + {a^{\frac{1}{6}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{6}}} + {b^{\frac{1}{6}}}}} - {(ab)^{\frac{1}{3}}} = {a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}} - {(ab)^{\frac{1}{3}}} = 0.\)
Cho biểu thức \(Q = (\sqrt x - \sqrt[4]{x} + 1)(\sqrt x + \sqrt[4]{x} + 1)(x - \sqrt x + 1)\) với \(x \ge 0\). Vậy:
Khi \(x = 2\) thì \(Q = 7\)
Phương trình \(Q = 0 \Rightarrow x = 1 + \sqrt 2 \)
Phương trình \(Q = 0\) có 2 nghiệm dương phân biệt
Khi \(x = 3\) thì \(Q\) là một số nguyên tố
a) Đúng | b) Sai | c) Sai | d) Đúng |
Ta có: \(Q = (\sqrt x + 1 - \sqrt[4]{x})(\sqrt x + 1 + \sqrt[4]{x})(x - \sqrt x + 1)\)
\(\begin{array}{l} = \left[ {{{(\sqrt x + 1)}^2} - {{(\sqrt[4]{x})}^2}} \right](x + 1 - \sqrt x ) = [(x + 2\sqrt x + 1) - \sqrt x ](x + 1 - \sqrt x )\\ = (x + 1 + \sqrt x )(x + 1 - \sqrt x ) = {(x + 1)^2} - {(\sqrt x )^2} = {x^2} + x + 1\end{array}\)
Rút gọn biểu thức \(T = \left( {1 - 2\sqrt {\frac{b}{a}} + \frac{b}{a}} \right):{\left( {{a^{\frac{1}{2}}} - {b^{\frac{1}{2}}}} \right)^2}{\rm{ }}\) với \({\rm{ }}a > 0,b > 0.\)
Ta có
\(\begin{array}{*{20}{l}}T&{ = \left( {1 - 2\sqrt {\frac{b}{a}} + \frac{b}{a}} \right):{{\left( {{a^{\frac{1}{2}}} - {b^{\frac{1}{2}}}} \right)}^2} = {{\left( {1 - \sqrt {\frac{b}{a}} } \right)}^2}:{{(\sqrt a - \sqrt b )}^2}}\\{}&{ = \frac{{{{(\sqrt a - \sqrt b )}^2}}}{{{{(\sqrt a )}^2}}}\frac{1}{{{{(\sqrt a - \sqrt b )}^2}}} = \frac{1}{a}}\end{array}\)
Tính giá trị của biểu thức \(P = {(5 + 2\sqrt 6 )^{2024}} \cdot {(5 - 2\sqrt 6 )^{2025}}\).
Ta có: \((5 + 2\sqrt 6 )(5 - 2\sqrt 6 ) = 25 - 24 = 1\).
Do đó:
\(P = {(5 + 2\sqrt 6 )^{2024}} \cdot {(5 - 2\sqrt 6 )^{2025}} = {[(5 + 2\sqrt 6 )(5 - 2\sqrt 6 )]^{2024}} \cdot (5 - 2\sqrt 6 ) = 5 - 2\sqrt 6 \)
Biết \({4^x} + {4^{ - x}} = 23\), tính giá trị biểu thức \(P = {2^x} + {2^{ - x}}\).
Đặt \(P = {2^x} + {2^{ - x}} \Rightarrow P > 0\).
Ta có \({P^2} = {\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)^2} = {4^x} + {4^{ - x}} + 2 \cdot {2^x} \cdot {2^{ - x}} = 23 + 2 = 25\).
Do đó \(P = 5\).
Giả sử số tiền gốc là \(A\), lãi suất là \(r\% /\) kì hạn gửi (có thể là tháng, quý hay năm) thì tồng số tiền nhận được cả gốc và lãi sau \(n\) kì hạn gửi là \(A{(1 + r)^n}\). Bà Hạnh gửi 100 triệu vào tài khoản định kỳ tính lãi kép với lãi suất là \(8\% /\) năm. Tính số tiền lãi thu được sau 10 năm.
Áp dụng công thức tính lãi kép, sau 10 năm số tiền cả gốc và lãi bà Hạnh thu về là : \(A{(1 + r)^n} = 100{(1 + 0,08)^{10}} \approx 215,892\) triệu đồng.
Suy ra số tiền lãi bà Hạnh thu về sau 10 năm là \(215,892 - 100 = 115,892\) triệu đồng.
Số lượng của loại vi khuẩn A trong một phòng thí nghiệm được tính theo công thức \(s(t) = s(0) \cdot {2^t}\), trong đó \(s(0)\) là số lượng vi khuẩn \(A\) lúc ban đầu, \(s(t)\) là số lượng vi khuẩn \(A\) có sau \(t\) phút. Biết sau 3 phút thì số lượng vi khuẩn \(A\) là 625 con. Hỏi sau bao lâu, kể từ lúc ban đầu, số lượng vi khuẩn A là 10 triệu con?
Ta có: \(s(3) = s(0) \cdot {2^3} \Rightarrow s(0) = \frac{{s(3)}}{8} = 78,125\) nghìn con.
Do đó \(s(t) = 10\) triệu con \( = 10000\) nghìn con khi:
\(10000 = s(0) \cdot {2^t} \Rightarrow {2^t} = \frac{{10000}}{{78,125}} = 128 = {2^7} \Rightarrow t = 7{\rm{ ph\'u t}}{\rm{. }}\)
Công ty FTK về mua bán xe ô tô đã qua sử dụng, sau khi khảo sát thị trường 6 tháng đã đưa ra công thức chung về giá trị còn lại của ô tô 4 chỗ kể từ khi đưa vào sử dụng (các loại xe 4 chỗ không sử dụng mục đích kinh doanh) được tính \(P(t) = A \cdot {\left( {\frac{3}{4}} \right)^{\frac{t}{4}}}\). Trong đó \(A\) là giá tiền ban đầu mua xe, \(t\) là số năm kể từ khi đưa vào sử dụng.
Tính giá trị còn lại của xe ô tô sau 30 tháng đưa vào sử dụng. Biết giá trị mua xe ban đầu là 920 triệu.
Ta có: \(A = 920\) triệu; \(t = 2,5\) năm
Vậy giá trị còn lại của xe ô tô sau 30 tháng đưa vào sử dụng là:
\(P(2,5) = 920.{\left( {\frac{3}{4}} \right)^{\frac{{2,5}}{4}}} = 768.601.304\)
