Đề kiểm tra Phép tính lôgarit (có lời giải) - Đề 3

Ta có \(r = 8\%  = 0.08\). Do đó thời gian cần thiết để tăng gấp đôi khoản đầu tư là:

Ta có: \[S = {S_0}{.2^n}\].

Suy ra \[671088640 = {40.2^n} \Leftrightarrow {2^n} = \frac{{671088640}}{{40}} = 16777216 \Leftrightarrow n = {\log _2}16777216 = 24\].

Để số lượng vi khuẩn là \[671088640\]con thì vi khuẩn đã có 24 lần nhân đôi.

Do đó, thời gian mà vi khuẩn đã thực hiện 24 lần nhân đôi đó là \[20.24 = 480\]phút (8 giờ).

Ta có: \(P = {\log _2}8 + {\log _3}27 - {\log _5}{5^3} = {\log _2}{2^3} + {\log _3}{3^3} - {\log _5}{5^3} = 3 + 3 - 3 = 3\).

a) Biểu thức \(\log (x - 3)\) xác định khi và chỉ khi \(x - 3 > 0 \Leftrightarrow x > 3\).

b) Biểu thức \({\log _2}\left( {4 - {x^2}} \right)\) xác định khi và chỉ khi \(4 - {x^2} > 0 \Leftrightarrow  - 2 < x < 2\).

c) Biểu thức \(\ln (2x) - \lg (10 - x)\) xác định khi và chỉ khi

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x > 0}\\{10 - x > 0}\end{array} \Leftrightarrow 0 < x < 10} \right.\)

d) Biểu thức \({\log _x}\frac{1}{{x - 2}}\) xác định khi và chỉ khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > 0,x \ne 1}\\{\frac{1}{{x - 2}} > 0}\end{array} \Leftrightarrow x > 2} \right.\).

a) Biểu thức \(\log (x + 1)\) có nghĩa khi và chỉ khi \(x + 1 > 0 \Leftrightarrow x >  - 1\).

b) Biểu thức \(\ln {(x - 1)^2}\) có nghĩa khi và chỉ khi \({(x - 1)^2} > 0 \Leftrightarrow x \ne 1\).

c) Biểu thức \({\log _{x - 1}}x\) có nghĩa khi và chỉ khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > 0}\\{x - 1 > 0}\\{x - 1 \ne 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > 1}\\{x \ne 2}\end{array}} \right.} \right.\).

Ta có: \({e^{\ln a - \ln b}} = {e^{\ln \frac{a}{b}}} = \frac{a}{b}.\) Đáp án a Đúng.

\(\ln \,({a^2}{b^4}) = \ln \,({a^2}{b^2}{b^2}) = \ln \,{(ab)^2} + \ln \,{b^2} = 2\ln \,(ab) + 2\ln \,b.\) Đáp án c Đúng.

\[a\ln \frac{1}{b} = a\ln \,({b^{ - 1}}) =  - a\ln \,b = \ln \,({b^{ - a}}).\] Đáp án d Đúng.

Ta có: \({\log _a}\sqrt a = {\log _a}{a^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2}\).

Ta có: \[F = {\log _{ab}}\left( {\frac{{{a^2}}}{b}} \right) = \frac{{{{\log }_2}\left( {\frac{{{a^2}}}{b}} \right)}}{{{{\log }_2}\left( {ab} \right)}} = \frac{{2{{\log }_2}a - {{\log }_2}b}}{{{{\log }_2}a + {{\log }_2}b}} = \frac{{2.3 - 7}}{{3 + 7}} =  - \frac{1}{{10}}\].

\[T = {a^{\log _3^27}} + {b^{\log _7^211}} + {c^{\log _{11}^225}} = {\left( {{a^{{{\log }_3}7}}} \right)^{{{\log }_3}7}} + {\left( {{b^{{{\log }_7}11}}} \right)^{{{\log }_7}11}} + {\left( {{c^{{{\log }_{11}}25}}} \right)^{{{\log }_{11}}25}}\].

\[ = {\left( 9 \right)^{{{\log }_3}7}} + {\left( 7 \right)^{{{\log }_7}11}} + {\left( {11} \right)^{{{\log }_{11}}25}} = {7^2} + 11 + 25 = 85\].

Vì sau 5h có 300 con vi khuẩn, nên suy ra \[300 = 100.{{\rm{e}}^{5r}} \Leftrightarrow r = \frac{{\ln 3}}{5}\].

Để vi khuẩn tăng gấp đôi thì ta có phương trình:

\[200 = 100.{{\rm{e}}^{\frac{1}{5}\ln 3.t}} \Leftrightarrow {{\rm{e}}^{\frac{1}{5}\ln 3.t}} = 2 \Leftrightarrow {3^{\frac{1}{5}.t}} = 2\] \[ \Leftrightarrow t = 5{\log _3}2 \Leftrightarrow t \approx 3,15\]

Vậy thời gian để số vi khuẩn tăng gấp đôi số vi khuẩn ban đầu là 3 giờ 9 phút.

Theo bài ta có \[65 = 100.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{{3754}}{A}}}\] \[ \Leftrightarrow 0,65 = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{{3754}}{A}}} \Leftrightarrow \frac{{3754}}{A} = {\log _{\frac{1}{2}}}0,65 \Leftrightarrow A = \frac{{3754}}{{{{\log }_{\frac{1}{2}}}0,65}}\]

Do mẫu gỗ còn \[79\% \] lượng Cacbon 14 nên ta có: \[79 = 100.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{t}{A}}} \Leftrightarrow 0,79 = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{t}{A}}}\]

\[ \Leftrightarrow \frac{t}{A} = {\log _{\frac{1}{2}}}0,79 \Leftrightarrow t = A.{\log _{\frac{1}{2}}}0,79 = \frac{{3754}}{{{{\log }_{\frac{1}{2}}}0,65}}.{\log _{\frac{1}{2}}}0,79 \approx 2054\].

Ta có:\({S_0} = 500\)(con) ; \(5\) giờ \( = \)\(300\) phút.

Sau \(5\)giờ số vi khuẩn là:\(S\left( {300} \right) = 500.\,\,{e^{300r}}\)\( \Leftrightarrow 1500 = 500.\,\,{e^{300r}}\) \( \Leftrightarrow r = \frac{{\ln 3}}{{300}}\)

Vậy khoảng thời gian \[t\] kể từ lúc bắt đầu có \(500\)con vi khuẩn đến khi số lượng vi khuẩn đạt \(121500\) con thỏa mãn \(121500 = 500.{e^{r\,.\,{t_{}}}}\)

\( \Leftrightarrow t = \frac{{\ln 243}}{r} = \frac{{300\ln 243}}{{\ln 3}} = 1500\)(phút)\( = 25\)(giờ).