Đề kiểm tra Phép tính lôgarit (có lời giải) - Đề 3
22 câu hỏi
Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số dương, \(a \ne 1\). Đẳng thức nào sau đây đúng?
\({\log _a}\left( {\frac{b}{c}} \right) = {\log _a}c - {\log _a}b\).
\({\log _a}\left( {\frac{b}{c}} \right) = {\log _a}b - {\log _a}c\).
\({\log _a}\left( {\frac{b}{c}} \right) = {\log _b}a - {\log _b}c\).
\({\log _a}\left( {\frac{b}{c}} \right) = {\log _a}b + {\log _a}c\).
Theo quy tắc tính logarit của một thương thì ta có: \({\log _a}\left( {\frac{b}{c}} \right) = {\log _a}b - {\log _a}c\).
Cho các số thực dương \(a\) và \(b\) thỏa mãn \({a^2} - 8b = 0\). Tính giá trị của biểu thức \(P = {\log _{\sqrt 2 }}a - {\log _2}b - 1\).
\(P = 2\).
\(P = 4\).
\(P = 16\).
\(P = \sqrt 2 \).
Ta có:
\(P = {\log _{\sqrt 2 }}a - {\log _2}b - 1 = 2{\log _2}a - ({\log _2}b + {\log _2}2) = {\log _2}{a^2} - {\log _2}2b = {\log _2}\frac{{{a^2}}}{{2b}} = {\log _2}\frac{{8b}}{{2b}} = 2\)
Cho các số thực dương \(a\), \(b\) thỏa mãn \(3\log a + 2\log b = 1\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
\({a^3} + {b^2} = 1\).
\(3a + 2b = 10\).
\({a^3}{b^2} = 10\).
\({a^3} + {b^2} = 10\)
Ta có: \(3\log a + 2\log b = 1\)\( \Leftrightarrow \log {a^3} + \log {b^2} = 1\)\( \Leftrightarrow \log \left( {{a^3}{b^2}} \right) = 1\)\( \Leftrightarrow {a^3}{b^2} = 10\).
Với mọi số thực \[a\] dương thì \[{\log _{\frac{1}{{{a^2}}}}}\left( {a\sqrt a } \right)\] bằng
\[\frac{3}{4}\].
\[ - \frac{3}{4}\].
\[3\].
\[ - 3\].
Ta có: \[{\log _{\frac{1}{{{a^2}}}}}\left( {a\sqrt a } \right) = {\log _{{a^{ - 2}}}}\left( {{a^{\frac{3}{2}}}} \right) = - \frac{3}{4}\].
Cho \[a,b\] là các số thực dương thỏa mãn\[{\log _2}a = 3\], \[{\log _2}b = 5\]. Giá trị của biểu thức \[C = {\log _2}\left( {{a^2}b} \right)\] là
\[1\].
\[11\].
\[\frac{{13}}{2}\].
\[8\].
Ta có: \[C = {\log _2}\left( {{a^2}b} \right) = {\log _2}{a^2} + {\log _2}b = 2{\log _2}a + {\log _2}b = 2.3 + 5 = 11\].
Với \(\log 2 = a\), giá trị của \(\log \sqrt[5]{{\frac{8}{5}}}\) bằng
\(4a + 1\).
\(4a - 1\).
\(\frac{{2a - 1}}{3}\).
\(\frac{{4a - 1}}{5}\).
Ta có: \(\log \sqrt[5]{{\frac{8}{5}}} = \frac{1}{5}\log \frac{{16}}{{10}} = \frac{1}{5}\left( {4\log 2 - 1} \right) = \frac{{4a - 1}}{5}\).
Với \(a,{\rm{ }}b\) là các số thực dương tuỳ ý và \(a \ne 1\), \({\log _{\frac{1}{a}}}\frac{1}{{{b^5}}}\) bằng
\(5{\log _a}b\).
\({\log _a}b\).
\( - 5{\log _a}b\).
\(\frac{1}{5}{\log _a}b\).
Ta có: \({\log _{\frac{1}{a}}}\frac{1}{{{b^5}}} = {\log _{{a^{ - 1}}}}{b^{ - 5}} = \frac{1}{{ - 1}}.{\log _a}{b^{ - 5}} = - 1.( - 5).{\log _a}b = 5{\log _a}b\)
Cho \(a > 0\) và \(a \ne 1\), khi đó \({\log _a}\sqrt[4]{a}\) bằng
\(4\).
\(\frac{1}{4}\).
\(\frac{{ - 1}}{4}\).
\( - 4\).
Ta có \({\log _a}\sqrt[4]{a} = {\log _a}{a^{1/4}} = \frac{1}{4}.{\log _a}a = \frac{1}{4}\)
Đặt \(a = {\log _2}7\). Hãy tính \({\log _2}56\) theo \(a\)
\({\log _2}56 = 2 + a\).
\({\log _2}56 = 3 + 2a\).
\({\log _2}56 = 1 + 3a\).
\({\log _2}56 = 3 + a\).
Ta có: \({\log _2}56 = {\log _2}\left( {{2^3}.7} \right) = {\log _2}{2^3} + {\log _2}7 = 3 + {\log _2}7 = 3 + a\)
Cho \[a = {\log _2}5\], \[b = {\log _2}3\]. Biểu diễn của \[P = {\log _2}\frac{{40}}{3}\] theo \[a\] và \[b\] là
\(P = 3 + a - 2b\).
\(P = 3 + a - b\).
\(P = \frac{{3a}}{{2b}}\).
\(P = 3 + a - \sqrt b \).
Ta có \[P = {\log _2}\frac{{40}}{3}\]\[ = {\log _2}40 - {\log _2}3\]\[ = {\log _2}8 + {\log _2}5 - b\]\[ = 3 + a - b\].
Biết thời gian cần thiết (tính theo năm) để tăng gấp đôi số tiền đầu tư theo thể thức lãi kép liên tục với lãi suất không đổi \(r\) mỗi năm được cho bởi công thức \(t = \frac{{\ln 2}}{r}\). Tính thời gian cần thiết để tăng gấp đôi số tiền đầu tư khi lãi suất là 8% mỗi năm (làm tròn kết quả đến số thập phân thứ nhất)
\[8.7\] năm.
\[8.6\] năm.
\[8\] năm.
\[8.67\] năm.
Ta có \(r = 8\% = 0.08\). Do đó thời gian cần thiết để tăng gấp đôi khoản đầu tư là:
\(t = \frac{{\ln 2}}{r} = \frac{{\ln 2}}{{0.08}} \approx 8.7\) (năm).
Biết rằng vi khuẩn E. coli là vi khuẩn gây tiêu chảy đường ruột, gây đau bụng dữ dội, ngoài ra cứ sau 20 phút thì số lượng vi khuẩn tăng gấp đôi, nghĩa là số lượng tính theo công thức \[S = {S_0}{.2^n}\], \[{S_0}\]là số lượng ban đầu, \[n\] là số lần nhân đôi. Ban đầu chỉ có 40 con vi khuẩn nói trên trong đường ruột, hỏi sau bao lâu số lượng vi khuẩn là \[671088640\]con?
\[20\] giờ.
\[8\] giờ.
\[12\] giờ.
\[6\] giờ.
Ta có: \[S = {S_0}{.2^n}\].
Suy ra \[671088640 = {40.2^n} \Leftrightarrow {2^n} = \frac{{671088640}}{{40}} = 16777216 \Leftrightarrow n = {\log _2}16777216 = 24\].
Để số lượng vi khuẩn là \[671088640\]con thì vi khuẩn đã có 24 lần nhân đôi.
Do đó, thời gian mà vi khuẩn đã thực hiện 24 lần nhân đôi đó là \[20.24 = 480\]phút (8 giờ).
Vậy, sau 8 giờ số lượng vi khuẩn là \[671088640\]con.
Cho các biểu thức sau: \(P = {\log _2}8 + {\log _3}27 - {\log _5}{5^3}\); \(Q = \ln (2e) - \log 100\). Khi đó:
\(P + Q = 2\ln 2\)
\(Q - P = \ln 2 - 4\)
\(3Q + P = 3\ln 2\)
\(2Q + P = 2\ln 2 + 1\)
a) Sai | b) Đúng | c) Đúng | d) Đúng |
Ta có: \(P = {\log _2}8 + {\log _3}27 - {\log _5}{5^3} = {\log _2}{2^3} + {\log _3}{3^3} - {\log _5}{5^3} = 3 + 3 - 3 = 3\).
Ta có: \(Q = \ln (2e) - \log 100 = \ln 2 + \ln e - \log {10^2} = \ln 2 + 1 - 2 = \ln 2 - 1\).
Tìm được \(x\) để các biểu thức sau có nghĩa. Vậy:
\(\log (x - 3)\) có nghĩa khi và chỉ khi \(x > 3\)
\({\log _2}\left( {4 - {x^2}} \right)\) có nghĩa khi và chỉ khi \(x < 2\)
\(\ln (2x) - \lg (10 - x)\) có nghĩa khi và chỉ khi \(0 < x < 10\)
\({\log _x}\frac{1}{{x - 2}}\) có nghĩa khi và chỉ khi \(x > 0\)
a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Sai |
a) Biểu thức \(\log (x - 3)\) xác định khi và chỉ khi \(x - 3 > 0 \Leftrightarrow x > 3\).
b) Biểu thức \({\log _2}\left( {4 - {x^2}} \right)\) xác định khi và chỉ khi \(4 - {x^2} > 0 \Leftrightarrow - 2 < x < 2\).
c) Biểu thức \(\ln (2x) - \lg (10 - x)\) xác định khi và chỉ khi
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x > 0}\\{10 - x > 0}\end{array} \Leftrightarrow 0 < x < 10} \right.\)
d) Biểu thức \({\log _x}\frac{1}{{x - 2}}\) xác định khi và chỉ khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > 0,x \ne 1}\\{\frac{1}{{x - 2}} > 0}\end{array} \Leftrightarrow x > 2} \right.\).
Cho các biểu thức: \(P = {\log _a}{b^3} + {\log _{{a^2}}}{b^6}\) với \(a,b\) là các số dương và \(a\) khác 1 ;
Tìm được \(x\) để biểu thức sau có nghĩa. Vậy:
\(\log (x + 1)\) có nghĩa khi và chỉ khi \(x > - 1\).
\(\ln {(x - 1)^2}\)có nghĩa khi và chỉ khi \(x \ne 1\).
\({\log _{x - 1}}x\) có nghĩa khi và chỉ khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > 1}\\{x \ne 2}\end{array}} \right.\).
\({\log ^2}\frac{1}{{x - {x^2}}}\) có nghĩa khi và chỉ khi \(0 < x < 1\).
a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Đúng |
a) Biểu thức \(\log (x + 1)\) có nghĩa khi và chỉ khi \(x + 1 > 0 \Leftrightarrow x > - 1\).
b) Biểu thức \(\ln {(x - 1)^2}\) có nghĩa khi và chỉ khi \({(x - 1)^2} > 0 \Leftrightarrow x \ne 1\).
c) Biểu thức \({\log _{x - 1}}x\) có nghĩa khi và chỉ khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > 0}\\{x - 1 > 0}\\{x - 1 \ne 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > 1}\\{x \ne 2}\end{array}} \right.} \right.\).
d) Biểu thức \({\log ^2}\frac{1}{{x - {x^2}}}\) có nghĩa khi và chỉ khi \(\frac{1}{{x - {x^2}}} > 0 \Leftrightarrow x - {x^2} > 0 \Leftrightarrow 0 < x < 1\).
Cho \(a,\,b\) là các số thực dương. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
\({e^{\ln a - \ln b}} = \frac{a}{b}.\)
\(\ln \frac{a}{{\sqrt[3]{b}}} = \ln a - 3\ln b.\)
\(\ln \,({a^2}{b^4}) = 2\ln \,(ab) + 2\ln \,b.\)
\(a\ln \frac{1}{b} = \ln \,({b^{ - a}}).\)
a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng |
Ta có: \({e^{\ln a - \ln b}} = {e^{\ln \frac{a}{b}}} = \frac{a}{b}.\) Đáp án a Đúng.
\(\ln \,({a^2}{b^4}) = \ln \,({a^2}{b^2}{b^2}) = \ln \,{(ab)^2} + \ln \,{b^2} = 2\ln \,(ab) + 2\ln \,b.\) Đáp án c Đúng.
\[a\ln \frac{1}{b} = a\ln \,({b^{ - 1}}) = - a\ln \,b = \ln \,({b^{ - a}}).\] Đáp án d Đúng.
\(\ln \frac{a}{{\sqrt[3]{b}}} = \ln \,a - \ln \,\sqrt[3]{b} = \ln a - \ln \,{b^{\frac{1}{3}}} = \ln \,a - \frac{1}{3}\ln \,b.\) Đáp án b Sai.
Với \[a\] là số dương tùy ý khác 1, \({\log _a}\sqrt a \) bằng
Ta có: \({\log _a}\sqrt a = {\log _a}{a^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2}\).
Cho \[a,b\] là các số thực dương thỏa mãn\[{\log _2}a = 3\], \[{\log _2}b = 7\]. Giá trị của biểu thức \[F = {\log _{ab}}\left( {\frac{{{a^2}}}{b}} \right)\] là
Ta có: \[F = {\log _{ab}}\left( {\frac{{{a^2}}}{b}} \right) = \frac{{{{\log }_2}\left( {\frac{{{a^2}}}{b}} \right)}}{{{{\log }_2}\left( {ab} \right)}} = \frac{{2{{\log }_2}a - {{\log }_2}b}}{{{{\log }_2}a + {{\log }_2}b}} = \frac{{2.3 - 7}}{{3 + 7}} = - \frac{1}{{10}}\].
Cho \(a\), \(b\), \(c\) là các số thực dương thỏa \[{a^{{{\log }_3}7}} = 9\], \[{b^{{{\log }_7}11}} = 7\], \[{c^{{{\log }_{11}}25}} = 11\]. Tính giá trị biểu thức \[T = {a^{\log _3^27}} + {b^{\log _7^211}} + {c^{\log _{11}^225}}\].
\[T = {a^{\log _3^27}} + {b^{\log _7^211}} + {c^{\log _{11}^225}} = {\left( {{a^{{{\log }_3}7}}} \right)^{{{\log }_3}7}} + {\left( {{b^{{{\log }_7}11}}} \right)^{{{\log }_7}11}} + {\left( {{c^{{{\log }_{11}}25}}} \right)^{{{\log }_{11}}25}}\].
\[ = {\left( 9 \right)^{{{\log }_3}7}} + {\left( 7 \right)^{{{\log }_7}11}} + {\left( {11} \right)^{{{\log }_{11}}25}} = {7^2} + 11 + 25 = 85\].
Sự tăng trưởng của loại vi khuẩn tuân theo công thức \(S = A{e^{r.t}}\), trong đó \(A\) là số lượng vi khuẩn ban đầu, \(r\) là tỉ lệ tăng trưởng (\(r > 0\)), \(t\) là thời gian tăng trưởng. Biết số vi khuẩn ban đầu là 100 con và sau 5 giờ có 300 con. Thời gian để số vi khuẩn tăng gấp đôi số vi khuẩn ban đầu gần nhất với kết quả nào trong các kết quả sau đây ?
Vì sau 5h có 300 con vi khuẩn, nên suy ra \[300 = 100.{{\rm{e}}^{5r}} \Leftrightarrow r = \frac{{\ln 3}}{5}\].
Để vi khuẩn tăng gấp đôi thì ta có phương trình:
\[200 = 100.{{\rm{e}}^{\frac{1}{5}\ln 3.t}} \Leftrightarrow {{\rm{e}}^{\frac{1}{5}\ln 3.t}} = 2 \Leftrightarrow {3^{\frac{1}{5}.t}} = 2\] \[ \Leftrightarrow t = 5{\log _3}2 \Leftrightarrow t \approx 3,15\]
Vậy thời gian để số vi khuẩn tăng gấp đôi số vi khuẩn ban đầu là 3 giờ 9 phút.
Gọi \(N\left( t \right)\)là số phần trăm cacbon 14 còn lại trong một bộ phận của một cây sinh trưởng từ \[t\] năm trước đây thì ta có công thức \[N\left( t \right) = 100.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{t}{A}}}\left( \% \right)\] với \[A\]là hằng số. Biết rằng một mẫu gỗ có tuổi khoảng 3754 năm thì lượng cacbon 14 còn lại là \[65\% \]. Phân tích mẫu gỗ từ một công trình kiến trúc cổ, người ta thấy lượng cacbon 14 còn lại trong mẫu gỗ là \[79\% \]. Hãy xác định tuổi của mẫu gỗ được lấy từ công trình đó.
Theo bài ta có \[65 = 100.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{{3754}}{A}}}\] \[ \Leftrightarrow 0,65 = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{{3754}}{A}}} \Leftrightarrow \frac{{3754}}{A} = {\log _{\frac{1}{2}}}0,65 \Leftrightarrow A = \frac{{3754}}{{{{\log }_{\frac{1}{2}}}0,65}}\]
Do mẫu gỗ còn \[79\% \] lượng Cacbon 14 nên ta có: \[79 = 100.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{t}{A}}} \Leftrightarrow 0,79 = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{t}{A}}}\]
\[ \Leftrightarrow \frac{t}{A} = {\log _{\frac{1}{2}}}0,79 \Leftrightarrow t = A.{\log _{\frac{1}{2}}}0,79 = \frac{{3754}}{{{{\log }_{\frac{1}{2}}}0,65}}.{\log _{\frac{1}{2}}}0,79 \approx 2054\].
Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn trong phòng thí nghiệm được tính theo công thức \[S(t) = {S_0}.\,{e^{r.\,\,t}}\]. Trong đó \[{S_0}\] là số lượng vi khuẩn ban đầu, \(S\left( t \right)\) là số lượng vi khuẩn có sau \(t\)( phút), \[r\]là tỷ lệ tăng trưởng \[\left( {r > 0} \right)\],\(t\) ( tính theo phút) là thời gian tăng trưởng. Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu có \(500\) con và sau \(5\) giờ có \[1500\] con. Hỏi sau bao nhiêu giờ kể từ lúc ban đầu có\(500\) con để số lượng vi khuẩn đạt \(121500\) con?
Ta có:\({S_0} = 500\)(con) ; \(5\) giờ \( = \)\(300\) phút.
Sau \(5\)giờ số vi khuẩn là:\(S\left( {300} \right) = 500.\,\,{e^{300r}}\)\( \Leftrightarrow 1500 = 500.\,\,{e^{300r}}\) \( \Leftrightarrow r = \frac{{\ln 3}}{{300}}\)
Vậy khoảng thời gian \[t\] kể từ lúc bắt đầu có \(500\)con vi khuẩn đến khi số lượng vi khuẩn đạt \(121500\) con thỏa mãn \(121500 = 500.{e^{r\,.\,{t_{}}}}\)
\( \Leftrightarrow t = \frac{{\ln 243}}{r} = \frac{{300\ln 243}}{{\ln 3}} = 1500\)(phút)\( = 25\)(giờ).
