Đề kiểm tra Phép tính lôgarit (có lời giải) - Đề 2
22 câu hỏi
Cho các số thực dương \(a\), \(b\) thỏa mãn \({\log _2}a = x\), \({\log _2}b = y\). Tính \(P = {\log _2}\left( {{a^2}{b^3}} \right)\).
\(P = 6xy\).
\(P = 2x + 3y\).
\(P = {x^2}{y^3}\).
\(P = {x^2} + {y^3}\).
Với \[a\] là số thực dương khác \[1\] tùy ý, \[{\log _{{a^5}}}{a^4}\] bằng
\[\frac{4}{5}\].
\[20\].
\[\frac{5}{4}\].
\[\frac{1}{5}\].
Cho \(\log a = 10;\)\(\log b = 100\). Khi đó \(\log \left( {a.{b^3}} \right)\)bằng
\(290\).
\(310\).
\( - 290\).
\[30\].
Với \(a,\;b,\;c\) là các số thực dương tùy ý và \(a \ne 1\), \({\log _{\sqrt a }}b\) bằng
\(2 + {\log _a}b\).
\(2{\log _a}b\).
\(\frac{1}{2} + {\log _a}b\).
\(\frac{1}{2}{\log _a}b\).
Với \(a > 0;\,a \ne 1\), giá trị của biểu thức \({a^{{{\log }_{\sqrt a }}5}}\)là
\(\frac{1}{5}\).
\(5\).
\(\sqrt {5\,} \).
\(25\).
Với \(m = {\log _6}2\), \(n = {\log _6}5\) thì \({\log _3}5\)bằng
\(\frac{n}{{m - 1}}\)
\(\frac{n}{{m + 1}}\)
\(\frac{n}{{1 - m}}\)
\(\frac{m}{n}\)
Rút gọn \[P = {3^{{{\log }_9}4 + {{\log }_3}5}}\]
\(P = 80\).
\(P = 7\).
\(P = 10\).
\(P = 21\).
Ta có : \[{\log _9}4 = {\log _{{3^2}}}{2^2} = {\log _3}2\].
\[{\log _9}4 + {\log _3}5 = {\log _3}2 + {\log _3}5 = {\log _3}\left( {2.5} \right) = {\log _3}10\].Cho \({\log _6}45 = a + \frac{{{{\log }_2}5 + b}}{{{{\log }_2}3 + c}}\), với \(a,\,b,\,c \in \mathbb{Z}\). Tính tổng \(a + b + c\).
\( - 4\)
\(2\)
\(0\)
\(1\)
Ta có \({\log _6}45 = {\log _6}\left( {{3^2}.5} \right)\)\( = \frac{{{{\log }_2}\left( {{3^2}5} \right)}}{{{{\log }_2}6}}\)\( = \frac{{2{{\log }_2}3 + {{\log }_2}5}}{{{{\log }_2}\left( {2.3} \right)}}\)\( = \frac{{2{{\log }_2}3 + {{\log }_2}5}}{{1 + {{\log }_2}3}}\)\( = \frac{{2\left( {{{\log }_2}3 + 1} \right) + {{\log }_2}5 - 2}}{{{{\log }_2}3 + 1}}\) \( = 2 + \frac{{{{\log }_2}5 - 2}}{{{{\log }_2}3 + 1}}\)
Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 2\\c = 1\end{array} \right.\) \( \Rightarrow a + b + c = 2 - 2 + 1 = 1\).Rút gọn biểu thức \(P = {3^{2{{\log }_3}a}} - {\log _5}{a^2}.{\log _a}25\), với \(a\) là số thực dương khác \(1\) ta được:
\(P = {a^2} - 4\).
\(P = {a^2} - 2\).
\(P = {a^2} + 2\).
\(P = {a^2} + 4\).
Ta có: \[P = {\left( {{3^{{{\log }_3}a}}} \right)^2} - 2{\log _5}a.2{\log _a}5 = {a^2} - 4\].
Cho \[{\log _2}5 = a;\,\,{\log _3}5 = b\]. Khi đó \[{\log _6}5\] tính theo \(a\) và \(b\) là
\(a + b\).
\[\frac{{ab}}{{a + b}}\].
\[\frac{1}{{a + b}}\].
\[{a^2} + {b^2}\].
Cho áp suất không khí \(P\) (đo bằng milimet thuỷ ngân, kí hiệu là mmHg) suy giảm mũ so với độ cao \(x\) (đo bằng mét), tức \(P\) giảm theo công thức \[P = {P_0}{{\rm{e}}^{xi}}\] trong đó \({P_0} = 760mmHg\) là áp suất ở mực nước biển \(\left( {x = 0} \right)\), \(i\) là hệ số suy giảm. Biết rằng ở độ cao \(1000m\) thì áp suất của không khí là \(672,71mmHg\). Hỏi áp suất không khí ở độ cao \(3580m\) gần với số nào sau đây nhất
\(491\,mmHg\).
\(490\,mmHg\).
\(492\,mmHg\).
\(493\,mmHg\).
Áp dụng công thức \[P = {P_0}{{\rm{e}}^{xi}}\]
Ở độ cao \(1000m\), ta có :\({P_0} = 760mmHg,x = 1000m,P = 672,71mmHg\), từ giả thiết này ta tìm được hệ số suy giảm \(i\). Ta có \[672,71 = 760{{\rm{e}}^{1000 \times i}} \Leftrightarrow 1000i = \ln \frac{{672,71}}{{760}} \Leftrightarrow i = \frac{1}{{1000}}\ln \frac{{672,71}}{{760}}\]
Khi đó ở độ cao \(3580m\), áp suất của không khí là: \[P = 760{{\rm{e}}^{\frac{1}{{1000}}\ln \frac{{672,71}}{{760}} \times 3580}} \approx 491,04\].Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn tuân theo công thức \[S = A.{{\rm{e}}^{rt}}\], trong đó \(A\) là số lượng vi khuẩn ban đầu, \(r\) là tỉ lệ tăng trưởng, \(t\) là thời gian tăng trưởng. Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu là \(100\) con và sau \(5\) giờ có \(300\) con. Hỏi số con vi khuẩn sau \(10\) giờ ?
\(800\).
\(900\).
\(950\).
\(1000\).
Trước tiên, ta tìm tỉ lệ tăng trưởng mỗi giờ của loại vi khuẩn này.
Từ giả thiết ta có: \[300 = 100.{{\rm{e}}^{5r}}\]\[ \Leftrightarrow r = \frac{{\ln 300 - \ln 100}}{5} = \frac{{\ln 3}}{5}\].
Sau \(10\) giờ, từ \(100\) con vi khuẩn sẽ có \[100.{{\rm{e}}^{10.\frac{{\ln 3}}{5}}} = 900\] con.Cho các biểu thức sau: \(A = {\log _{{2^{2030}}}}4 - \frac{1}{{1015}} + \ln {e^{2035}}\); \(B = {\log _5}3 \cdot {\log _2}5 - \frac{{\ln 9}}{{\ln 4}}\)
\(A\) chia hết cho 5
\(A - B = 2036\)
\(A + 2024B = 2035\)
\(A - 2024B = 2035\)
a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng |
Ta có: \(A = {\log _{{2^{2030}}}}4 - \frac{1}{{1015}} + \ln {e^{2035}} = {\log _{{2^{2030}}}}{2^2} - \frac{1}{{1015}} + 2035\)
\( = \frac{2}{{2030}} - \frac{1}{{1015}} + 2035 = 2035.{\rm{ }}\)
Ta có: \(B = {\log _5}3.{\log _2}5 - \frac{{\ln 9}}{{\ln 4}} = {\log _2}5.{\log _5}3 - {\log _4}9\)
\( = {\log _2}3 - {\log _{{2^2}}}{3^2} = {\log _2}3 - {\log _2}3 = 0.\)
Tính được giá trị của các biểu thức sau (biết \(a > 0,a \ne 1\)). Vậy:
\(A = {2^{{{\log }_2}3}} - {\log _{\sqrt 3 }}3\) có \(A > 2\)
\(B = \ln 2 \cdot {\log _2}4 \cdot {\log _4}3 \cdot {\log _3}2 - {5^{{{\log }_5}(\ln 2)}}\) có \(B = 0\)
\(C = {\log _a}\sqrt {a\sqrt {a\sqrt a } } \) có \(C > 1\)
\(D = {\log _a}\frac{{\sqrt {{a^3}} }}{{a\sqrt[4]{a}}}\) có \(D > 1\)
a) Sai | b) Đúng | c) Sai | d) Sai |
a) Ta có: \({2^{{{\log }_2}3}} - {\log _{\sqrt 3 }}3 = 3 - {\log _{{3^{\frac{1}{2}}}}}3 = 3 - 2 = 1\).
b) Ta có: \(\ln 2 \cdot {\log _2}4 \cdot {\log _4}3 \cdot {\log _3}2 - {5^{{{\log }_5}(\ln 2)}}\)
\(\begin{array}{l} = \ln 2 \cdot {\log _2}3 \cdot {\log _3}2 - \ln 2\\ = \ln 2 - \ln 2 = 0\end{array}\)
c) Ta có: \({\log _a}\sqrt {a \cdot \sqrt {a \cdot \sqrt a } } = {\log _a}{\left[ {a \cdot {{\left( {a \cdot {a^{\frac{1}{2}}}} \right)}^{\frac{1}{2}}}} \right]^{\frac{1}{2}}} = {\log _a}{a^{\frac{7}{8}}} = \frac{7}{8}\).
d) Ta có: \({\log _a}\frac{{\sqrt {{a^3}} }}{{a \cdot \sqrt[4]{a}}} = {\log _a}\frac{{{a^{\frac{3}{2}}}}}{{a \cdot {a^{\frac{1}{4}}}}} = {\log _a}{a^{\frac{3}{2} - \left( {1 + \frac{1}{4}} \right)}} = {\log _a}{a^{\frac{1}{4}}} = \frac{1}{4}\).Với \[\;a\] là số thực dương bất kì. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
\[I\].
\(\ln \left( {3 + a} \right) = \ln 3 + \ln a\).
\[SC\].
\(\ln {a^5} = \frac{1}{5}\ln a\).
a) Đúng | b) Sai | c) Sai | d) Sai |
A đúng vì \(\ln 3a = \ln 3 + \ln a\).
B sai vì \(\ln \left( {3 + a} \right) \ne \ln 3 + \ln a\).
C sai vì \(\ln \frac{a}{3} = \ln a - \ln 3\).
D sai vì \(\ln {a^5} = 5\ln a\)Cho \[a > 0\], \[b > 0\] và \[{a^2} + {b^2} = 7ab\]. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
\[2\left( {\ln a + \ln b} \right) = \ln \left( {7ab} \right)\].
\[3\ln \left( {a + b} \right) = \frac{1}{2}\left( {\ln a + \ln b} \right)\].
\[\ln \left( {\frac{{a + b}}{3}} \right) = \frac{1}{2}\left( {\ln a + \ln b} \right)\].
\[\ln \left( {a + b} \right) = \frac{3}{2}\left( {\ln a + \ln b} \right)\].
a) Sai | b) Sai | c) Đúng | d) Sai |
Với \[a > 0\], \[b > 0\], ta có \[{a^2} + {b^2} = 7ab \Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^2} = 9ab\]
\[ \Leftrightarrow {\left( {\frac{{a + b}}{3}} \right)^2} = ab \Leftrightarrow \ln {\left( {\frac{{a + b}}{3}} \right)^2} = \ln \left( {ab} \right)\]
\[ \Leftrightarrow 2\ln \left( {\frac{{a + b}}{3}} \right) = \ln a + \ln b \Leftrightarrow \ln \left( {\frac{{a + b}}{3}} \right) = \frac{1}{2}\left( {\ln a + \ln b} \right)\].Ta có: \[{a^{{{\log }_{\sqrt a }}5}} = {a^{2{{\log }_a}5}} = {\left( {{a^{{{\log }_a}5}}} \right)^2} = {5^2} = 25\].
Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{\log _3}a + {\log _4}{b^2} = 5\\{\log _3}{a^3} - {\log _4}b = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _3}a + 2{\log _4}b = 5\\3{\log _3}a - {\log _4}b = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _3}a = 1\\{\log _4}b = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 16\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow H = a + b = 3 + 16 = 19\].
\({\log _x}w = 12\)\( \Rightarrow {\log _w}x = \frac{1}{{12}}\)
\({\log _y}w = 20\)\( \Rightarrow {\log _w}y = \frac{1}{{20}}\).
Lại do
\({\log _{xyz}}w = 6\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\log }_{_w}}\left( {xyz} \right)}} = 6\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\log }_{_w}}x + {{\log }_{_w}}y + {{\log }_{_w}}z}} = 6\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\log }_{_w}}x + {{\log }_{_w}}y + {{\log }_{_w}}z}} = 6\)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{{\frac{1}{{12}} + \frac{1}{{20}} + {{\log }_{_w}}z}} = 6\)\( \Leftrightarrow {\log _{_w}}z = \frac{1}{{30}}\)\( \Rightarrow {\log _z}w = 30\).
Theo bài ra ta xét phương trình:
\({P_n} = {115.10^6} \Leftrightarrow {P_0}.{e^{nr}} = {115.10^6} \Leftrightarrow \ln {P_0} + nr = \ln \left( {{{115.10}^6}} \right)\)
Suy ra \(n = \frac{{\ln \left( {{{115.10}^6}} \right) - \ln {P_0}}}{r} \approx 23,8\).
Như vậy đến năm 2025 dân số nước ta sẽ ở mức 115 triệu người.
Theo bài ta có
\({Q_0}.\left( {1 - {e^{ - t\sqrt 2 }}} \right) = 0,9.{Q_0} \Leftrightarrow 1 - {e^{ - t\sqrt 2 }} = 0,9 \Leftrightarrow {e^{ - t\sqrt 2 }} = 0,1\)\( \Leftrightarrow t = - \frac{{\ln \left( {0,1} \right)}}{{\sqrt 2 }} \approx 1,63\).
Vậy sau khoảng thời gian \(t \approx 1,63\) giờ thì dung lượng pin của điện thoại tính từ lúc cạn hết pin sẽ nạp được \(90\% \) dung lượng pin tối đa.
Do ở độ cao 1000 m, áp suất của không khí là 672,72 mmHg nên ta có:
\(672,72 = 760{e^{1000i}} \Leftrightarrow i = \frac{1}{{1000}}\ln \frac{{672,72}}{{760}}\)
Khi ở độ cao 15 km tức là 15000 m thì áp suất của không khí:
\[P = 760{{\rm{e}}^{15000 \times \frac{1}{{1000}}\ln \frac{{672,72}}{{760}}}} \approx 121,93399\]
Vậy, áp suất của không khí ở độ cao 15 km gần nhất với số 122.
