Đề kiểm tra Phép tính lôgarit (có lời giải) - Đề 2

Áp dụng công thức \[P = {P_0}{{\rm{e}}^{xi}}\]

Ở độ cao \(1000m\), ta có :\({P_0} = 760mmHg,x = 1000m,P = 672,71mmHg\), từ giả thiết này ta tìm được hệ số suy giảm \(i\). Ta có \[672,71 = 760{{\rm{e}}^{1000 \times i}} \Leftrightarrow 1000i = \ln \frac{{672,71}}{{760}} \Leftrightarrow i = \frac{1}{{1000}}\ln \frac{{672,71}}{{760}}\]

Trước tiên, ta tìm tỉ lệ tăng trưởng mỗi giờ của loại vi khuẩn này.

Từ giả thiết ta có: \[300 = 100.{{\rm{e}}^{5r}}\]\[ \Leftrightarrow r = \frac{{\ln 300 - \ln 100}}{5} = \frac{{\ln 3}}{5}\].

a) Ta có: \({2^{{{\log }_2}3}} - {\log _{\sqrt 3 }}3 = 3 - {\log _{{3^{\frac{1}{2}}}}}3 = 3 - 2 = 1\).

b) Ta có: \(\ln 2 \cdot {\log _2}4 \cdot {\log _4}3 \cdot {\log _3}2 - {5^{{{\log }_5}(\ln 2)}}\)

\(\begin{array}{l} = \ln 2 \cdot {\log _2}3 \cdot {\log _3}2 - \ln 2\\ = \ln 2 - \ln 2 = 0\end{array}\)

c) Ta có: \({\log _a}\sqrt {a \cdot \sqrt {a \cdot \sqrt a } }  = {\log _a}{\left[ {a \cdot {{\left( {a \cdot {a^{\frac{1}{2}}}} \right)}^{\frac{1}{2}}}} \right]^{\frac{1}{2}}} = {\log _a}{a^{\frac{7}{8}}} = \frac{7}{8}\).

A đúng vì \(\ln 3a = \ln 3 + \ln a\).

B sai vì \(\ln \left( {3 + a} \right) \ne \ln 3 + \ln a\).

C sai vì \(\ln \frac{a}{3} = \ln a - \ln 3\).

Với \[a > 0\], \[b > 0\], ta có \[{a^2} + {b^2} = 7ab \Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^2} = 9ab\]

\[ \Leftrightarrow {\left( {\frac{{a + b}}{3}} \right)^2} = ab \Leftrightarrow \ln {\left( {\frac{{a + b}}{3}} \right)^2} = \ln \left( {ab} \right)\]

Ta có: \[{a^{{{\log }_{\sqrt a }}5}} = {a^{2{{\log }_a}5}} = {\left( {{a^{{{\log }_a}5}}} \right)^2} = {5^2} = 25\].

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{\log _3}a + {\log _4}{b^2} = 5\\{\log _3}{a^3} - {\log _4}b = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _3}a + 2{\log _4}b = 5\\3{\log _3}a - {\log _4}b = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _3}a = 1\\{\log _4}b = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 16\end{array} \right.\]

\[ \Rightarrow H = a + b = 3 + 16 = 19\].

\({\log _x}w = 12\)\( \Rightarrow {\log _w}x = \frac{1}{{12}}\)

\({\log _y}w = 20\)\( \Rightarrow {\log _w}y = \frac{1}{{20}}\).

Lại do

\({\log _{xyz}}w = 6\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\log }_{_w}}\left( {xyz} \right)}} = 6\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\log }_{_w}}x + {{\log }_{_w}}y + {{\log }_{_w}}z}} = 6\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\log }_{_w}}x + {{\log }_{_w}}y + {{\log }_{_w}}z}} = 6\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{\frac{1}{{12}} + \frac{1}{{20}} + {{\log }_{_w}}z}} = 6\)\( \Leftrightarrow {\log _{_w}}z = \frac{1}{{30}}\)\( \Rightarrow {\log _z}w = 30\).

Theo bài ra ta xét phương trình:

\({P_n} = {115.10^6} \Leftrightarrow {P_0}.{e^{nr}} = {115.10^6} \Leftrightarrow \ln {P_0} + nr = \ln \left( {{{115.10}^6}} \right)\)

Suy ra \(n = \frac{{\ln \left( {{{115.10}^6}} \right) - \ln {P_0}}}{r} \approx 23,8\).

Như vậy đến năm 2025 dân số nước ta sẽ ở mức 115 triệu người.

Theo bài ta có

\({Q_0}.\left( {1 - {e^{ - t\sqrt 2 }}} \right) = 0,9.{Q_0} \Leftrightarrow 1 - {e^{ - t\sqrt 2 }} = 0,9 \Leftrightarrow {e^{ - t\sqrt 2 }} = 0,1\)\( \Leftrightarrow t =  - \frac{{\ln \left( {0,1} \right)}}{{\sqrt 2 }} \approx 1,63\).

Vậy sau khoảng thời gian \(t \approx 1,63\) giờ thì dung lượng pin của điện thoại tính từ lúc cạn hết pin sẽ nạp được \(90\% \) dung lượng pin tối đa.

Do ở độ cao 1000 m, áp suất của không khí là 672,72 mmHg nên ta có:

\(672,72 = 760{e^{1000i}} \Leftrightarrow i = \frac{1}{{1000}}\ln \frac{{672,72}}{{760}}\)

Khi ở độ cao 15 km tức là 15000 m thì áp suất của không khí:

\[P = 760{{\rm{e}}^{15000 \times \frac{1}{{1000}}\ln \frac{{672,72}}{{760}}}} \approx 121,93399\]

Vậy, áp suất của không khí ở độ cao 15 km gần nhất với số 122.