Đề kiểm tra Phép tính lôgarit (có lời giải) - Đề 2
22 câu hỏi
Cho các số thực dương \(a\), \(b\) thỏa mãn \({\log _2}a = x\), \({\log _2}b = y\). Tính \(P = {\log _2}\left( {{a^2}{b^3}} \right)\).
\(P = 6xy\).
\(P = 2x + 3y\).
\(P = {x^2}{y^3}\).
\(P = {x^2} + {y^3}\).
\(P = {\log _2}\left( {{a^2}{b^3}} \right)\)\( = {\log _2}{a^2} + {\log _2}{b^3}\)\( = 2{\log _2}a + 3{\log _2}b\)\( = 2x + 3y\).
Với \[a\] là số thực dương khác \[1\] tùy ý, \[{\log _{{a^5}}}{a^4}\] bằng
\[\frac{4}{5}\].
\[20\].
\[\frac{5}{4}\].
\[\frac{1}{5}\].
Ta có: \[{\log _{{a^5}}}{a^4} = \frac{4}{5}.{\log _a}a = \frac{4}{5}.1 = \frac{4}{5}\].
Cho \(\log a = 10;\)\(\log b = 100\). Khi đó \(\log \left( {a.{b^3}} \right)\)bằng
\(290\).
\(310\).
\( - 290\).
\[30\].
\[\log \left( {a.{b^3}} \right) = \log \left( a \right) + \log \left( {{b^3}} \right) = \log \left( a \right) + 3\log \left( b \right) = 310\].
Với \(a,\;b,\;c\) là các số thực dương tùy ý và \(a \ne 1\), \({\log _{\sqrt a }}b\) bằng
\(2 + {\log _a}b\).
\(2{\log _a}b\).
\(\frac{1}{2} + {\log _a}b\).
\(\frac{1}{2}{\log _a}b\).
Ta có: \({\log _{\sqrt a }}b = {\log _{{a^{1/2}}}}b = 2{\log _a}b\)
Với \(a > 0;\,a \ne 1\), giá trị của biểu thức \({a^{{{\log }_{\sqrt a }}5}}\)là
\(\frac{1}{5}\).
\(5\).
\(\sqrt {5\,} \).
\(25\).
Ta có \[{a^{{{\log }_{\sqrt a }}5}} = {a^{2{{\log }_a}5}} = {\left( {{a^{{{\log }_a}5}}} \right)^2} = {5^2} = 25\]
Với \(m = {\log _6}2\), \(n = {\log _6}5\) thì \({\log _3}5\)bằng
\(\frac{n}{{m - 1}}\)
\(\frac{n}{{m + 1}}\)
\(\frac{n}{{1 - m}}\)
\(\frac{m}{n}\)
Ta có \({\log _3}5 = \frac{{{{\log }_6}5}}{{{{\log }_6}3}}\)\( = \frac{{{{\log }_6}5}}{{{{\log }_6}6 - {{\log }_6}2}}\)\( = \frac{n}{{1 - m}}\)
Rút gọn \[P = {3^{{{\log }_9}4 + {{\log }_3}5}}\]
\(P = 80\).
\(P = 7\).
\(P = 10\).
\(P = 21\).
Ta có : \[{\log _9}4 = {\log _{{3^2}}}{2^2} = {\log _3}2\].
\[{\log _9}4 + {\log _3}5 = {\log _3}2 + {\log _3}5 = {\log _3}\left( {2.5} \right) = {\log _3}10\].
Cho \({\log _6}45 = a + \frac{{{{\log }_2}5 + b}}{{{{\log }_2}3 + c}}\), với \(a,\,b,\,c \in \mathbb{Z}\). Tính tổng \(a + b + c\).
\( - 4\)
\(2\)
\(0\)
\(1\)
Ta có \({\log _6}45 = {\log _6}\left( {{3^2}.5} \right)\)\( = \frac{{{{\log }_2}\left( {{3^2}5} \right)}}{{{{\log }_2}6}}\)\( = \frac{{2{{\log }_2}3 + {{\log }_2}5}}{{{{\log }_2}\left( {2.3} \right)}}\)\( = \frac{{2{{\log }_2}3 + {{\log }_2}5}}{{1 + {{\log }_2}3}}\)\( = \frac{{2\left( {{{\log }_2}3 + 1} \right) + {{\log }_2}5 - 2}}{{{{\log }_2}3 + 1}}\) \( = 2 + \frac{{{{\log }_2}5 - 2}}{{{{\log }_2}3 + 1}}\)
Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 2\\c = 1\end{array} \right.\) \( \Rightarrow a + b + c = 2 - 2 + 1 = 1\).
Rút gọn biểu thức \(P = {3^{2{{\log }_3}a}} - {\log _5}{a^2}.{\log _a}25\), với \(a\) là số thực dương khác \(1\) ta được:
\(P = {a^2} - 4\).
\(P = {a^2} - 2\).
\(P = {a^2} + 2\).
\(P = {a^2} + 4\).
Ta có: \[P = {\left( {{3^{{{\log }_3}a}}} \right)^2} - 2{\log _5}a.2{\log _a}5 = {a^2} - 4\].
Cho \[{\log _2}5 = a;\,\,{\log _3}5 = b\]. Khi đó \[{\log _6}5\] tính theo \(a\) và \(b\) là
\(a + b\).
\[\frac{{ab}}{{a + b}}\].
\[\frac{1}{{a + b}}\].
\[{a^2} + {b^2}\].
Ta có \[{\log _6}5 = \frac{1}{{{{\log }_5}6}} = \frac{1}{{{{\log }_5}\left( {2.3} \right)}} = \frac{1}{{{{\log }_5}2 + {{\log }_5}3}} = \frac{1}{{\frac{1}{{{{\log }_2}5}} + \frac{1}{{{{\log }_3}5}}}} = \frac{1}{{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}} = \frac{{ab}}{{a + b}}\].
Cho áp suất không khí \(P\) (đo bằng milimet thuỷ ngân, kí hiệu là mmHg) suy giảm mũ so với độ cao \(x\) (đo bằng mét), tức \(P\) giảm theo công thức \[P = {P_0}{{\rm{e}}^{xi}}\] trong đó \({P_0} = 760mmHg\) là áp suất ở mực nước biển \(\left( {x = 0} \right)\), \(i\) là hệ số suy giảm. Biết rằng ở độ cao \(1000m\) thì áp suất của không khí là \(672,71mmHg\). Hỏi áp suất không khí ở độ cao \(3580m\) gần với số nào sau đây nhất
\(491\,mmHg\).
\(490\,mmHg\).
\(492\,mmHg\).
\(493\,mmHg\).
Áp dụng công thức \[P = {P_0}{{\rm{e}}^{xi}}\]
Ở độ cao \(1000m\), ta có :\({P_0} = 760mmHg,x = 1000m,P = 672,71mmHg\), từ giả thiết này ta tìm được hệ số suy giảm \(i\). Ta có \[672,71 = 760{{\rm{e}}^{1000 \times i}} \Leftrightarrow 1000i = \ln \frac{{672,71}}{{760}} \Leftrightarrow i = \frac{1}{{1000}}\ln \frac{{672,71}}{{760}}\]
Khi đó ở độ cao \(3580m\), áp suất của không khí là: \[P = 760{{\rm{e}}^{\frac{1}{{1000}}\ln \frac{{672,71}}{{760}} \times 3580}} \approx 491,04\].
Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn tuân theo công thức \[S = A.{{\rm{e}}^{rt}}\], trong đó \(A\) là số lượng vi khuẩn ban đầu, \(r\) là tỉ lệ tăng trưởng, \(t\) là thời gian tăng trưởng. Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu là \(100\) con và sau \(5\) giờ có \(300\) con. Hỏi số con vi khuẩn sau \(10\) giờ ?
\(800\).
\(900\).
\(950\).
\(1000\).
Trước tiên, ta tìm tỉ lệ tăng trưởng mỗi giờ của loại vi khuẩn này.
Từ giả thiết ta có: \[300 = 100.{{\rm{e}}^{5r}}\]\[ \Leftrightarrow r = \frac{{\ln 300 - \ln 100}}{5} = \frac{{\ln 3}}{5}\].
Sau \(10\) giờ, từ \(100\) con vi khuẩn sẽ có \[100.{{\rm{e}}^{10.\frac{{\ln 3}}{5}}} = 900\] con.
Cho các biểu thức sau: \(A = {\log _{{2^{2030}}}}4 - \frac{1}{{1015}} + \ln {e^{2035}}\); \(B = {\log _5}3 \cdot {\log _2}5 - \frac{{\ln 9}}{{\ln 4}}\)
\(A\) chia hết cho 5
\(A - B = 2036\)
\(A + 2024B = 2035\)
\(A - 2024B = 2035\)
a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng |
Ta có: \(A = {\log _{{2^{2030}}}}4 - \frac{1}{{1015}} + \ln {e^{2035}} = {\log _{{2^{2030}}}}{2^2} - \frac{1}{{1015}} + 2035\)
\( = \frac{2}{{2030}} - \frac{1}{{1015}} + 2035 = 2035.{\rm{ }}\)
Ta có: \(B = {\log _5}3.{\log _2}5 - \frac{{\ln 9}}{{\ln 4}} = {\log _2}5.{\log _5}3 - {\log _4}9\)
\( = {\log _2}3 - {\log _{{2^2}}}{3^2} = {\log _2}3 - {\log _2}3 = 0.\)
Tính được giá trị của các biểu thức sau (biết \(a > 0,a \ne 1\)). Vậy:
\(A = {2^{{{\log }_2}3}} - {\log _{\sqrt 3 }}3\) có \(A > 2\)
\(B = \ln 2 \cdot {\log _2}4 \cdot {\log _4}3 \cdot {\log _3}2 - {5^{{{\log }_5}(\ln 2)}}\) có \(B = 0\)
\(C = {\log _a}\sqrt {a\sqrt {a\sqrt a } } \) có \(C > 1\)
\(D = {\log _a}\frac{{\sqrt {{a^3}} }}{{a\sqrt[4]{a}}}\) có \(D > 1\)
a) Sai | b) Đúng | c) Sai | d) Sai |
a) Ta có: \({2^{{{\log }_2}3}} - {\log _{\sqrt 3 }}3 = 3 - {\log _{{3^{\frac{1}{2}}}}}3 = 3 - 2 = 1\).
b) Ta có: \(\ln 2 \cdot {\log _2}4 \cdot {\log _4}3 \cdot {\log _3}2 - {5^{{{\log }_5}(\ln 2)}}\)
\(\begin{array}{l} = \ln 2 \cdot {\log _2}3 \cdot {\log _3}2 - \ln 2\\ = \ln 2 - \ln 2 = 0\end{array}\)
c) Ta có: \({\log _a}\sqrt {a \cdot \sqrt {a \cdot \sqrt a } } = {\log _a}{\left[ {a \cdot {{\left( {a \cdot {a^{\frac{1}{2}}}} \right)}^{\frac{1}{2}}}} \right]^{\frac{1}{2}}} = {\log _a}{a^{\frac{7}{8}}} = \frac{7}{8}\).
d) Ta có: \({\log _a}\frac{{\sqrt {{a^3}} }}{{a \cdot \sqrt[4]{a}}} = {\log _a}\frac{{{a^{\frac{3}{2}}}}}{{a \cdot {a^{\frac{1}{4}}}}} = {\log _a}{a^{\frac{3}{2} - \left( {1 + \frac{1}{4}} \right)}} = {\log _a}{a^{\frac{1}{4}}} = \frac{1}{4}\).
Với \[\;a\] là số thực dương bất kì. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
\[I\].
\(\ln \left( {3 + a} \right) = \ln 3 + \ln a\).
\[SC\].
\(\ln {a^5} = \frac{1}{5}\ln a\).
a) Đúng | b) Sai | c) Sai | d) Sai |
A đúng vì \(\ln 3a = \ln 3 + \ln a\).
B sai vì \(\ln \left( {3 + a} \right) \ne \ln 3 + \ln a\).
C sai vì \(\ln \frac{a}{3} = \ln a - \ln 3\).
D sai vì \(\ln {a^5} = 5\ln a\)
Cho \[a > 0\], \[b > 0\] và \[{a^2} + {b^2} = 7ab\]. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
\[2\left( {\ln a + \ln b} \right) = \ln \left( {7ab} \right)\].
\[3\ln \left( {a + b} \right) = \frac{1}{2}\left( {\ln a + \ln b} \right)\].
\[\ln \left( {\frac{{a + b}}{3}} \right) = \frac{1}{2}\left( {\ln a + \ln b} \right)\].
\[\ln \left( {a + b} \right) = \frac{3}{2}\left( {\ln a + \ln b} \right)\].
a) Sai | b) Sai | c) Đúng | d) Sai |
Với \[a > 0\], \[b > 0\], ta có \[{a^2} + {b^2} = 7ab \Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^2} = 9ab\]
\[ \Leftrightarrow {\left( {\frac{{a + b}}{3}} \right)^2} = ab \Leftrightarrow \ln {\left( {\frac{{a + b}}{3}} \right)^2} = \ln \left( {ab} \right)\]
\[ \Leftrightarrow 2\ln \left( {\frac{{a + b}}{3}} \right) = \ln a + \ln b \Leftrightarrow \ln \left( {\frac{{a + b}}{3}} \right) = \frac{1}{2}\left( {\ln a + \ln b} \right)\].
Cho số thực \[a > 0\] và \[a \ne 1\]. Giá trị của biểu thức \[{a^{{{\log }_{\sqrt a }}5}}\] bằng
Ta có: \[{a^{{{\log }_{\sqrt a }}5}} = {a^{2{{\log }_a}5}} = {\left( {{a^{{{\log }_a}5}}} \right)^2} = {5^2} = 25\].
Cho \[a,b\] là các số thực dương thỏa mãn \[{\log _3}a + {\log _4}{b^2} = 5\], \[{\log _3}{a^3} - {\log _4}b = 1\]. Giá trị của biểu thức \[H = a + b\] là
Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{\log _3}a + {\log _4}{b^2} = 5\\{\log _3}{a^3} - {\log _4}b = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _3}a + 2{\log _4}b = 5\\3{\log _3}a - {\log _4}b = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _3}a = 1\\{\log _4}b = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 16\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow H = a + b = 3 + 16 = 19\].
Cho \[x\], \(y\) và \(\,z\) là các số thực lớn hơn \(1\) và gọi \({\rm{w}}\)là số thực dương sao cho \({\log _x}w = 12\), \({\log _y}w = 20\) và \({\log _{xyz}}w = 6\). Tính \({\log _z}w\).
\({\log _x}w = 12\)\( \Rightarrow {\log _w}x = \frac{1}{{12}}\)
\({\log _y}w = 20\)\( \Rightarrow {\log _w}y = \frac{1}{{20}}\).
Lại do
\({\log _{xyz}}w = 6\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\log }_{_w}}\left( {xyz} \right)}} = 6\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\log }_{_w}}x + {{\log }_{_w}}y + {{\log }_{_w}}z}} = 6\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\log }_{_w}}x + {{\log }_{_w}}y + {{\log }_{_w}}z}} = 6\)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{{\frac{1}{{12}} + \frac{1}{{20}} + {{\log }_{_w}}z}} = 6\)\( \Leftrightarrow {\log _{_w}}z = \frac{1}{{30}}\)\( \Rightarrow {\log _z}w = 30\).
Dân số thế giới được ước tính theo công thức \({P_n} = {P_0}.{e^{nr}}\), trong đó \({P_0}\) là dân số của năm lấy làm mốc, \({P_n}\) là dân số sau \(n\) năm, \(r\) là tỉ lệ tăng dân số hàng năm. Biết rằng năm 2001 dân số Việt Nam là 76.685.800 người và tỉ lệ tăng dân số năm đó là \(1,7\% \). Hỏi cứ tăng dân số với tỉ lệ như vậy thì đến năm nào dân số nước ta ở mức 115 triệu người
Theo bài ra ta xét phương trình:
\({P_n} = {115.10^6} \Leftrightarrow {P_0}.{e^{nr}} = {115.10^6} \Leftrightarrow \ln {P_0} + nr = \ln \left( {{{115.10}^6}} \right)\)
Suy ra \(n = \frac{{\ln \left( {{{115.10}^6}} \right) - \ln {P_0}}}{r} \approx 23,8\).
Như vậy đến năm 2025 dân số nước ta sẽ ở mức 115 triệu người.
Một điện thoại đang nạp pin, dung lượng pin nạp được tính theo công thức \(Q\left( t \right) = {Q_0}.\left( {1 - {e^{ - t\sqrt 2 }}} \right)\) với \[t\] là khoảng thời gian tính bằng giờ và \({Q_0}\) là dung lượng nạp tối đa (pin đầy). Hãy tính thời gian nạp pin của điện thoại tính từ lúc cạn hết pin cho đến khi điện thoại đạt được \(90\% \) dung lượng pin tối đa (kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm)
Theo bài ta có
\({Q_0}.\left( {1 - {e^{ - t\sqrt 2 }}} \right) = 0,9.{Q_0} \Leftrightarrow 1 - {e^{ - t\sqrt 2 }} = 0,9 \Leftrightarrow {e^{ - t\sqrt 2 }} = 0,1\)\( \Leftrightarrow t = - \frac{{\ln \left( {0,1} \right)}}{{\sqrt 2 }} \approx 1,63\).
Vậy sau khoảng thời gian \(t \approx 1,63\) giờ thì dung lượng pin của điện thoại tính từ lúc cạn hết pin sẽ nạp được \(90\% \) dung lượng pin tối đa.
Áp suất không khí \[P\](đo bằng milimet thủy ngân, kí hiệu mmHg) là một đại lượng được tính theo công thức \(P = {P_0}{{\rm{e}}^{xi}}\) trong đó \[x\] là độ cao (đo bằng mét, so với mực nước biển), \({P_0} = 760\,{\rm{mmHg}}\)là áp suất ở mực nước biển, \[i\] là hệ số suy giảm. Biết rằng, ở độ cao 1000 m thì áp suất của không khí là 672,72 mmHg. Hỏi áp suất của không khí ở độ cao 15 km gần nhất với số nào trong các số sau ?
Do ở độ cao 1000 m, áp suất của không khí là 672,72 mmHg nên ta có:
\(672,72 = 760{e^{1000i}} \Leftrightarrow i = \frac{1}{{1000}}\ln \frac{{672,72}}{{760}}\)
Khi ở độ cao 15 km tức là 15000 m thì áp suất của không khí:
\[P = 760{{\rm{e}}^{15000 \times \frac{1}{{1000}}\ln \frac{{672,72}}{{760}}}} \approx 121,93399\]
Vậy, áp suất của không khí ở độ cao 15 km gần nhất với số 122.
