Đề kiểm tra Phép tính lôgarit (có lời giải) - Đề 1
22 câu hỏi
Giá trị \[A = {\log _9}\sqrt[4]{{27}}\] bằng:
\[\frac{1}{2}\]
\[\frac{3}{8}\]
\[\frac{5}{4}\]
2
\[A = {\log _9}\sqrt[4]{{27}} = {\log _{{3^2}}}{3^{\frac{3}{4}}} = \frac{3}{8}\]
Giá trị \[A = {\log _{\frac{1}{a}}}\sqrt[3]{{{a^8}}}\] với \(0 < a \ne 1\)bằng:
\[ - \frac{8}{3}\]
\[ - 2\]
\[\frac{5}{3}\]
4
\[A = {\log _{\frac{1}{a}}}\sqrt[3]{{{a^8}}} = {\log _{{a^{ - 1}}}}{a^{\frac{8}{3}}} = - \frac{8}{3}\]
Xét số thực dương \(a\)khác \(1\), giá trị của biểu thức \(N = {\log _a}\sqrt {a\sqrt a } \)bằng
\( - \frac{3}{4}\).
\(\frac{3}{4}\).
\[\frac{4}{3}\].
\(\frac{3}{2}\).
Chọn B
Ta có \(N = {\log _a}\sqrt {a\sqrt a } = {\log _a}{a^{\frac{3}{4}}} = \frac{3}{4}\).
Giá trị \[A = {\log _a}\left( {\frac{{{a^2}\sqrt[3]{{{a^5}}}\sqrt[5]{{{a^9}}}}}{{\sqrt[{15}]{{{a^7}}}}}} \right)\] với \(0 < a \ne 1\) bằng:
\(5\)
\[\frac{{12}}{5}\]
\[\frac{9}{5}\]
\(2\)
\[A = {\log _a}\left( {\frac{{{a^2}\sqrt[3]{{{a^5}}}\sqrt[5]{{{a^9}}}}}{{\sqrt[{15}]{{{a^7}}}}}} \right) = {\log _a}\frac{{{a^2}.{a^{\frac{5}{3}}}.{a^{\frac{9}{5}}}}}{{{a^{\frac{7}{{15}}}}}} = {\log _a}{a^5} = 5\]
Giá trị \[{a^{2 - 3{{\log }_a}b}}\] (\(0 < a \ne 1\), \(b > 0\)) bằng:
\[{a^2}{b^{ - 3}}\]
\[{a^2}b\]
\[{a^2}{b^3}\]
\[a{b^2}\]
\[{a^{2 - 3{{\log }_a}b}} = \frac{{{a^2}}}{{{a^{3{{\log }_a}b}}}} = \frac{{{a^2}}}{{{b^3}}} = {a^2}{b^{ - 3}}\]
Cho \(\log 5 = a\) thì \[A = {\mathop{\rm l}\nolimits} og\frac{1}{{125}}\] theo a?
\(3a\)
\( - 3a\)
\(4 - 3a\)
\(6(a - 1)\)
\[A = {\mathop{\rm l}\nolimits} og\frac{1}{{125}} = \log {5^{ - 3}} = - 3\log 5 = - 3a\]
Cho \(\log 2 = a\) thì \(A = \log 20\) bằng?
\(a + 1\)
\(a + 2\)
\(2\left( {1 - a} \right)\)
\(2\left( {1 + a} \right)\)
\(A = \log 20 = \log 2.10 = \log 2 + \log 10 = \log 2 + 1 = a + 1\)
Cho \[a\] là số thực dương tùy ý, \[\ln \left( {9a} \right) - \ln \left( {7a} \right)\] bằng?
\[\frac{{\ln \left( {9a} \right)}}{{\ln \left( {7a} \right)}}\].
\[\ln \frac{9}{7}\].
\[\ln \left( {2a} \right)\].
\[\frac{{\ln 9}}{{\ln 7}}\].
Với \[0 < a,a \ne 1\] và \[{b_1},{b_2} > 0\] ta có \[{\log _a}\left( {\frac{{{b_1}}}{{{b_2}}}} \right) = {\log _a}{b_1} - {\log _a}{b_2}\]
\[ \Rightarrow \ln \left( {9a} \right) - \ln \left( {7a} \right) = \ln \left( {\frac{{9a}}{{7a}}} \right) = \ln \frac{9}{7}\]
Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?
\(\ln \left( {2{{\rm{e}}^2}} \right) = 2 + \ln 2\).
\(\ln \left( {\frac{2}{{\rm{e}}}} \right) = \ln 2 - 1\).
\(\ln \sqrt {4{\rm{e}}} = 1 + \ln 2\).
\(\ln \left( {\rm{e}} \right) = 1\).
\(\ln \sqrt {4{\rm{e}}} = \ln \sqrt 4 + \ln \sqrt e = \ln 2 + \frac{1}{2}\)
Cho \[{3^a} = 5\], khi đó \[{\log _{25}}81\] bằng
\(\frac{1}{{2a}}\).
\(\frac{a}{2}\).
\(\frac{2}{a}\).
\(2a\).
Ta có \[{3^a} = 5 \Leftrightarrow a = {\log _3}5;\,\,{\log _{25}}81 = 2{\log _5}3 = \frac{2}{{{{\log }_3}5}} = \frac{2}{a}\].
Gọi \[I\left( t \right)\] là số ca bị nhiễm bệnh Covid-19 ở quốc gia X sau \(t\) ngày khảo sát. Khi đó ta có công thức \[I\left( t \right) = A.{e^{{r_0}\left( {t - 1} \right)}}\] với \[A\] là số ca bị nhiễm trong ngày khảo sát đầu tiên, \[{r_0}\] là hệ số lây nhiễm. Biết rằng ngày đầu tiên khảo sát có 500 ca bị nhiễm bệnh và ngày thứ 10 khảo sát có 1000 ca bị nhiễm bệnh. Hỏi ngày thứ 20 số ca nhiễm bệnh gần nhất với số nào dưới đây, biết rằng trong suốt quá trình khảo sát hệ số lây nhiễm là không đổi?
\(2000\).
\(2160\).
\(2340\).
\(2520\).
Theo giả thiết ta có \[I\left( 1 \right) = A = 500\].
Ngày thứ 10 có 1000 ca nên \(I\left( {10} \right) = A.{{\rm{e}}^{9{r_0}}} \Leftrightarrow 1000 = 500.{{\rm{e}}^{9{r_0}}} \Leftrightarrow {r_0} = \frac{{\ln 2}}{9}\).
Vậy ngày thứ 20 số ca nhiễm bệnh là \(I\left( {20} \right) = 500.{{\rm{e}}^{\frac{{19\ln 2}}{9}}} \approx 2160\).
Người ta thả một lượng bèo vào một hồ nước. Kết quả cho thấy sau \(9\) giờ bèo sẽ sinh sôi kín cả mặt hồ. Biết rằng sau mỗi giờ, lượng bèo tăng gấp \(10\) lần lượng bèo trước đó và tốc độ tăng không đổi. Hỏi sau mấy giờ thì lượng bèo phủ kín \(\frac{1}{3}\) mặt hồ?
\[3\] giờ.
\[9 - \log 3\] giờ.
\[\frac{{{{10}^9}}}{3}\] giờ.
\[\frac{9}{{\log 3}}\] giờ.
Gọi \[A\] là lượng bèo ban đầu. Sau mỗi giờ, lượng lá bèo tăng gấp \(10\) lần nên sau \(9\) giờ ta lượng bèo là \[A{.10^9}.\]
Gọi \[t\] là số giờ để lượng bèo trong hồ phủ kín \[\frac{1}{3}\] mặt hồ. Khi đó ta có:
\[A{.10^t} = \frac{1}{3} \times A{.10^9} \Rightarrow t = \log \frac{{{{10}^9}}}{3} = 9 - \log 3.\]
Cho các biểu thức sau: \(A = {\left( {{a^3}\sqrt a } \right)^{{{\log }_a}b}} + {\left( {\sqrt[3]{{{b^2}}}} \right)^{{{\log }_b}a}}\) với \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a,b > 0}\\{a \ne 1,b \ne 1}\end{array}} \right.\) và\(B = \log \frac{a}{b} + \log \frac{b}{c} + \log \frac{c}{d} - \log \frac{a}{d}\) với \(a,b,c,d\) là các số dương. Khi đó:
\(A = \sqrt[3]{a} + \sqrt {{b^4}} \)
\(B = \frac{a}{b}\)
\(A + B\sqrt a = \sqrt[3]{{{a^2}}} + \sqrt {{b^7}} .\)
\(A - B\sqrt b = 2\sqrt[3]{{{a^2}}} + \sqrt {{b^7}} .\)
a) Sai | b) Sai | c) Đúng | d) Sai |
Ta có: \(A = {\left( {{a^3} \cdot {a^{\frac{1}{2}}}} \right)^{{{\log }_a}b}} + {\left( {{b^{\frac{2}{3}}}} \right)^{{{\log }_b}a}} = {\left( {{a^{\frac{7}{2}}}} \right)^{{{\log }_a}b}} + {\left( {{b^{\frac{2}{3}}}} \right)^{{{\log }_b}a}}\)
\( = {\left( {{a^{{{\log }_a}b}}} \right)^{\frac{7}{2}}} + {\left( {{b^{{{\log }_b}a}}} \right)^{\frac{2}{3}}} = {b^{\frac{7}{2}}} + {a^{\frac{2}{3}}} = \sqrt[3]{{{a^2}}} + \sqrt {{b^7}} .\)
Ta có: \(B = \log \left( {\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{c}{d}} \right) - \log \frac{a}{d} = \log \left( {\frac{a}{d}:\frac{a}{d}} \right) = \log 1 = 0\).
Biết rằng \(m\), \(n\) là các số nguyên thỏa mãn \({\log _{360}}5 = 1 + m.{\log _{360}}2 + n.{\log _{360}}3\). Các mệnh đề sau đúng hay sai?
\(3m + 2n = 0\).
\({m^2} + {n^2} = 25\).
\(m.n = 4\).
\(m + n = - 5\).
a) Sai | b) Sai | c) Sai | d) Đúng |
Ta có \({\log _{360}}5 - 1 = {\log _{360}}5 - {\log _{360}}360 = {\log _{360}}\frac{5}{{360}}\)
\( = - {\log _{360}}72 = - {\log _{360}}\left( {{2^3}{{.3}^2}} \right) = - 3{\log _{360}}2 - 2{\log _{360}}3\).
Do đó \({\log _{360}}5 = 1 - 3{\log _{360}}2 - 2{\log _{360}}3\). Vậy \[m = - 3\], \[n = - 2\].
Cho \[0 < a < 1 < b\]và đặt \[S = {\log _a}b + \log _a^2b + ... + \log _a^{2018}b,P = \log _a^{2017}b.\] Xác định tính đúng, sai của các khẳng định sau khi nói về phương trình \[{x^2} + 2Sx + P = 0?\]
Phương trình có 2 nghiệm âm phân biệt
Phương trình có nghiệm kép.
Phương trình có 2 nghiệm trái dấu.
Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.
a) Sai | b) Sai | c)Đúng | d) Sai |
Theo giả thiết \[0 < a < 1 < b\] ta có \[{\log _a}b < {\log _a}1 = 0 \Rightarrow P = \log _a^{2017}b < 0 \Rightarrow \]Phương trình có hai nghiệm trái dấu.
Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Với mọi \(a > b > 1\), ta có \({a^b} > {b^a}\).
Với mọi \(a > b > 1\), ta có \({\log _a}b < {\log _b}a\).
Với mọi \(a > b > 1\), ta có \({a^{a - b}} > {b^{b - a}}\).
Với mọi \(a > b > 1\), ta có \({\log _a}\frac{{a + b}}{2} < 1\).
a) Sai | b) Đúng | c) Đúng | d) Đúng |
Xét đáp án A: \(a > b > 1\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^b} > {b^b}\\{b^a} > {b^b}\end{array} \right.\) nên không thể kết luận được, ta có thể chọn \(a = 5\); \(b = 2\) sẽ thấy mệnh đề sai.
Xét đáp án C: \(a > b > 1\)\( \Rightarrow {a^{a - b}} > {b^{a - b}} > {b^{b - a}}\) nên C đúng.
Xét đáp án B: \(a > b > 1\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _a}b < {\log _a}a = 1\\{\log _b}a > {\log _b}b = 1\end{array} \right. \Rightarrow {\log _a}b < {\log _b}a\) nên B đúng.
Xét đáp án D: \({\log _a}\frac{{a + b}}{2} < 1\)\( \Leftrightarrow \frac{{a + b}}{2} < a \Rightarrow \frac{b}{2} < \frac{a}{2}\) nên D đúng.
Cho \(a,b > 0\) và đều khác 1 thoả mãn \(\ln a + \ln (8b) = 2\ln (a + 2b)\).
Rút gọn biểu thức: \(P = {\log _b}(2a) + {\log _{\frac{a}{2}}}(2b) - \frac{1}{{{{\log }_8}b}}\).
Với \(a,b\) là các số thực dương khác 1, ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}}{\ln a + \ln (8b) = 2\ln (a + 2b)}&{ \Leftrightarrow \ln (8ab) = \ln {{(a + 2b)}^2} \Leftrightarrow 8ab = {{(a + 2b)}^2}}\\{}&{ \Leftrightarrow {{(a - 2b)}^2} = 0 \Leftrightarrow a = 2b.}\end{array}\)
Khi đó: \(P = {\log _b}(2a) + {\log _{\frac{a}{2}}}(2b) - \frac{1}{{{{\log }_8}b}} = {\log _b}(4b) + {\log _b}(2b) - {\log _b}8\)
\( = {\log _b}\frac{{8{b^2}}}{8} = {\log _b}{b^2} = 2.{\rm{ }}\)
Cho \({\log _a}b = 2\) và \({\log _a}c = 3\). Tính \(Q = {\log _a}\left( {{b^2}{c^3}} \right)\).
Ta có: \(Q = {\log _a}\left( {{b^2}{c^3}} \right) = {\log _a}{b^2} + {\log _a}{c^3} = 2{\log _a}b + 3{\log _a}c = 2.2 + 3.3 = 13\).
Cho các số thực dương \(x,y\) thoả mãn \({x^2} + {y^2} = 14xy\). Khi đó:
\({\log _2}(x + y) = a + \frac{{{{\log }_2}xy}}{a}{\rm{. }}\)Tìm \(a\)
Ta có: \({x^2} + {y^2} = 14xy \Leftrightarrow {(x + y)^2} = 16xy \Leftrightarrow {\log _2}{(x + y)^2} = {\log _2}(16xy)\)
\( \Leftrightarrow 2{\log _2}(x + y) = 4 + {\log _2}(xy) \Leftrightarrow {\log _2}(x + y) = 2 + \frac{{{{\log }_2}(xy)}}{2}.\)
Giả sử số lượng một bầy ruồi tại thời điểm \(t\) được tính theo công thức là \[N\left( t \right) = {N_o}.{{\rm{e}}^{kt}}\], trong đó \({N_o}\) là số lượng bầy ruồi tại thời điểm \(t = 0\) và \(k\) là hằng số tăng trưởng của bầy ruồi. Biết số lượng bầy ruồi tăng lên gấp đôi sau \(9\) ngày và biết \({N_0} = 100\) con. Hỏi sau bao nhiêu ngày bầy ruồi có \(800\) con ?
Ta có: \[2{N_0} = {N_0}.{{\rm{e}}^{9k}} \Leftrightarrow k = \frac{{\ln 2}}{9}\]
Để được \(800\)con ruồi, ta có: \[800 = 100.{{\rm{e}}^{t.\frac{{\ln 2}}{9}}} \Leftrightarrow t = \frac{{\ln 8}}{{\ln 2}}.9 = 27\] ngày.
Trong nông nghiệp bèo hoa dâu được dùng làm phân bón, nó rất tốt cho cây trồng. Mới đây, các nhà khoa học Việt Nam đã phát hiện ra bèo hoa dâu có thể dùng để chiết xuất ra chất có tác dụng kích thích hệ miễn dịch và hỗ trợ điều trị bệnh ung thư. Bèo hoa dâu được thả nuôi trên mặt nước. Một người đã thả một lượng bèo hoa dâu chiếm \(4\% \) diện tích mặt hồ. Biết rằng cứ sau đúng một tuần bèo phát triển thành 3 lần số lượng đã có và giả sử tốc độ phát triển của bèo ở mọi thời điểm như nhau. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày bèo sẽ vừa phủ kín mặt hồ?
Số lượng bèo ban đầu chiếm 0,04 diện tích mặt hồ.
Sau 1 tuần số lượng bèo là \(0,04 \times 3\) diện tích mặt hồ.
Sau 2 tuần số lượng bèo là \(0,04 \times {3^2}\) diện tích mặt hồ.
Sau \(n\) tuần số lượng bèo là \(0,04 \times {3^n}\) diện tích mặt hồ.
Để bèo phủ kín mặt hồ thì: \(0,04 \times {3^n} = 1 \Rightarrow {3^n} = 25 \Rightarrow n = {\log _3}25\) (tuần).
Số ngày tương ứng là \(7n = 7{\log _3}25 \approx 20,51\) (ngày).
Vậy sau ít nhất 21 ngày thì bèo hoa dâu sẽ phủ kín mặt hồ.
Cường độ một trận động đất \(M\) (độ Richter) được cho bởi công thức \(M = \log A - \log {A_0}\), với \(A\) là biên độ rung chấn tối đa và \({A_0}\) là một biên độ chuẩn (hằng số). Đầu thế kỉ 20 , một trận động đất ở San Francisco có cường độ 8 độ Richter. Trong cùng năm đó, một trận động đất khác ở Nam Mỹ có biên độ rung chấn mạnh hơn gấp 4 lần. Hỏi cường độ của trận động đất ở Nam Mỹ là bao nhiêu (kết quả được làm tròn đến hàng phần chục)?
Gọi \({M_1},{M_2}\) lần lượt là cường độ của trận động đất ở San Francisco và ở Nam Mỹ. Trận động đất ở San Francisco có cường độ là 8 độ Richter nên:
\({M_1} = \log A - \log {A_0} \Leftrightarrow 8 = \log A - \log {A_0}.\)Trận động đất ở Nam Mỹ có biên độ là \(4A\), khi đó cường độ của trận động đất ở Nam Mỹ là:
\({M_2} = \log (4A) - \log {A_0} = \log 4 + \left( {\log A - \log {A_0}} \right) = \log 4 + 8 \approx 8,602{\rm{ }}{\rm{. }}\)(độ Richter)
