Đề kiểm tra Hàm số mũ. Hàm số lôgarit (có lời giải) - Đề 3
22 câu hỏi
Cho các số thực dương \(a\), \(b\) thỏa mãn \({\log _2}a = x\), \({\log _2}b = y\). Tính \(P = {\log _2}\left( {{a^2}{b^3}} \right)\).
\(P = {x^2}{y^3}\)
\(P = {x^2} + {y^3}\)
\(P = 6xy\)
\(P = 2x + 3y\)
\(P = {\log _2}\left( {{a^2}{b^3}} \right)\)\( = {\log _2}{a^2} + {\log _2}{b^3}\)\( = 2{\log _2}a + 3{\log _2}b\)\( = 2x + 3y\).
Cho \[a,b > 0\]và \(a,b \ne 1\), biểu thức \(P = {\log _{\sqrt a }}{b^3}.{\log _b}{a^4}\) có giá trị bằng bao nhiêu?
\(18\).
\(24\).
\(12\).
\(6\).
\(P = {\log _{\sqrt a }}{b^3}.{\log _b}{a^4}\)\( = \left( {6{{\log }_a}b} \right).\left( {4{{\log }_b}a} \right) = 24\).
Cho \(b\) là số thực dương khác \(1\). Tính \(P = {\log _b}\left( {{b^2}.{b^{\frac{1}{2}}}} \right)\).
\(P = \frac{3}{2}\).
\(P = 1\).
\(P = \frac{5}{2}\).
\(P = \frac{1}{4}\).
Ta có \(P = {\log _b}\left( {{b^2}.{b^{\frac{1}{2}}}} \right)\)\( = {\log _b}{b^{\frac{5}{2}}}\)\( = \frac{5}{2}{\log _b}b\)\( = \frac{5}{2}\).
Giá trị biểu thức \(A = {2^{{{\log }_4}9 + {{\log }_2}5}}\) là:
\(A = 8\).
\(A = 15\).
\(A = 405\).
\(A = 86\).
Ta có \(A = {2^{{{\log }_4}9 + {{\log }_2}5}} = {2^{{{\log }_4}9}}{.2^{{{\log }_2}5}} = {2^{{{\log }_2}3}}{.2^{{{\log }_2}5}} = 3.5 = 15\).
P= -9
P = -1
P =1
P =9
Cho \(a\) là số thực dương và \(b\) là số thực khác \[0\]. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
log33a3b2=1+13log3a−2log3b.
\({\log _3}\left( {\frac{{3{a^3}}}{{{b^2}}}} \right) = 1 + 3{\log _3}a - 2{\log _3}b\).
\({\log _3}\left( {\frac{{3{a^3}}}{{{b^2}}}} \right) = 1 + 3
log33a3b2=1+3log3a+2log3b
Ta có \({\log _3}\left( {\frac{{3{a^3}}}{{{b^2}}}} \right) = {\log _3}\left( {3{a^3}} \right) - {\log _3}{b^2}\) \({\log _3}\left( {\frac{{3{a^3}}}{{{b^2}}}} \right) = 1 + \frac{1}{3}{\log _3}a - 2{\log _3}\left| b \right|\).
\( = {\log _3}3 + {\log _3}{a^3} - {\log _3}b\) \( = 1 + 3{\log _3}a - 2{\log _3}\left| b \right|\).
Cho \(\log 3 = a\). Tính \(\log 9000\) theo \(a\).
\[6a\]
\({a^2} + 3\).
\(3{a^2}\).
\(2a + 3\).
Cách 1: \(\log 9000 = \log 9 + \log 1000 = 2\log 3 + 3 = 2a + 3\).
Cách 2: Gán \(\log 3 = a\). Tính \(\log 9000 - \left( {2a + 3} \right) = 0\).
Cho \({\log _6}9 = a.\) Tính \({\log _3}2\) theo \[a\]
\(\frac{a}{{2 - a}}.\)
\(\frac{{a + 2}}{a}.\)
\(\frac{{a - 2}}{a}.\)
\(\frac{{2 - a}}{a}.\)
Ta có: \({\log _6}9 = 2{\log _{2.3}}3\)\( \Leftrightarrow a = \frac{2}{{{{\log }_3}2.3}}\)\( \Leftrightarrow {\log _3}2 + 1 = \frac{2}{a}\)\( \Leftrightarrow {\log _3}2 = \frac{{2 - a}}{a}.\)
Cho \(a,b > 0\). Rút gọn biểu thức \({\log _a}{b^2} + {\log _{{a^2}}}{b^4}\)
\(2{\log _a}b\)
\(0\)
\({\log _a}b\)
\(4{\log _a}b\)
Ta có \({\log _a}{b^2} + {\log _{{a^2}}}{b^4}\)\( = 2{\log _a}b + \frac{1}{2}.4.{\log _a}b\)\( = 4{\log _a}b\).
Với \(a = {\log _2}5\) và \(b = {\log _3}5\), giá trị của \({\log _6}5\) bằng
\(\frac{{ab}}{{a + b}}\).
\(\frac{{a + b}}{{ab}}\).
\(\frac{1}{{a + b}}\).
\(a + b\).
Ta có \({\log _6}5 = \frac{1}{{{{\log }_5}6}}\)\( = \frac{1}{{{{\log }_5}2 + {{\log }_5}3}} = \frac{1}{{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}}\)\( = \frac{1}{{{{\log }_5}2 + {{\log }_5}3}} = \frac{1}{{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}}\)\( = \frac{{ab}}{{a + b}}\).
Ông A có số tiền \(120\) triệu đồng gửi tiết kiệm theo thể thức lãi suất kép, có hai loại để lựa chọn: loại kì hạn \(12\) tháng với lãi suất \(12,5\% \) trên một năm và loại kì hạn 1 tháng với lãi suất \(1\% \) trên một tháng. Ông A muốn gửi \(12\) năm. Theo anh chị ông A gửi loại nào sau \(12\) năm sẽ nhận được tổng số tiền nhiều hơn và nhiều hơn bao nhiêu (làm tròn đến hàng nghìn)?
Gửi theo kì hạn năm lãi hơn kì hạn tháng \(9879000\) đồng.
Gửi theo kì hạn tháng lãi hơn kì hạn năm \(9687000\) đồng.
Gửi theo hai loại bằng nhau.
Gửi theo kì hạn năm lãi hơn kì hạn tháng \(9678000\) đồng.
Loại kì hạn \(12\) tháng:
Số tiền có được sau 1 năm: \({120.10^6} + {120.10^6}.0,125 = {120.10^6}.\left( {1 + 0,125} \right)\)
Số tiền có được sau 2 năm: \({120.10^6}.\left( {1 + 0,125} \right) + {120.10^6}.\left( {1 + 0,125} \right).0,125 = {120.10^6}.{\left( {1 + 0,125} \right)^2}\)
Tương tự vậy số tiền có được sau \(12\) năm: \({120.10^6}.{\left( {1 + 0,125} \right)^{12}} \approx 493186000\) đồng
Loại kì hạn 1 tháng (\(12\) năm là \(144\) tháng): Số tiền có được sau \(12\) năm: \({120.10^6}.{\left( {1 + 0,01} \right)^{144}} \approx 502873000\)
Vậy số tiền gửi theo kì hạn 1 tháng nhiều hơn kì hạn năm: \(502873000 - 493186000 = 9687000\) đồng
Ông B vay ngân hàng 600 triệu đồng và trả góp hàng tháng. Cuối mỗi tháng bắt đầu từ tháng thứ nhất anh trả 10 triệu đồng và chịu lãi suất 0,8% trên tháng cho số tiền chưa trả. Với hình thức hoàn nợ như vậy thì sao bao lâu ông B sẽ trả hết số nợ ngân hàng
\[50\].
\(55\).
\(60\).
\(65\).
Số tiền còn lại sau 1 tháng: \({600.10^6} + {600.10^6}.0,8\% - {10.10^6}\)
Khi đó ta có thể gọi số tiền vay là \(A\), lãi suất là \(r\), số tiền trả mỗi cuối tháng là \(m\) và \(n\) là số tháng để trả hết tiền.
Vậy số tiền còn nợ cuối tháng 1: \(A + Ar - m = A\left( {1 + r} \right) - m\)
Số tiền còn nợ cuối tháng 2: \(A\left( {1 + r} \right) - m + \left[ {A\left( {1 + r} \right) - m} \right]r - m = A{\left( {1 + r} \right)^2} - \frac{m}{r}\left[ {{{\left( {1 + r} \right)}^2} - 1} \right]\)
Số tiền còn nợ cuối tháng \(n\): \(A{\left( {1 + r} \right)^n} - \frac{m}{r}\left[ {{{\left( {1 + r} \right)}^n} - 1} \right]\)
Có nghĩa là khi trả hết tiền thì: \(A{\left( {1 + r} \right)^n} - \frac{m}{r}\left[ {{{\left( {1 + r} \right)}^n} - 1} \right] = 0 \Leftrightarrow {600.10^6}\left( {1 + 0.8\% } \right) - \frac{{{{10.10}^6}}}{{0,8}}\left[ {{{\left( {1 + 0,8\% } \right)}^n} - 1} \right] = 0\)
\( \Leftrightarrow {\left( {1 + 0,8\% } \right)^n} = 1,48384 \Rightarrow n = {\log _{1 + 0,8\% }}1,48384 \approx 49,5\)
Vậy sau \(50\) tháng thì ông B trả hết nợ.
Tìm được tập xác định các hàm số sau. Vậy:
\(y = {2^x}\) có tập xác định \(D = \mathbb{R}\).;
\(y = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x} + 2{e^x}\) có tập xác định \(D = \mathbb{R}\).
\(y = {\log _2}\left( {x - 3{x^2}} \right)\) có tập xác định \(D = \left( {0;\frac{1}{3}} \right)\)
\(y = \ln {x^2} + 3\log (x + 2)\) có tập xác định \(D = ( - 2; + \infty )\)
a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Sai |
a) Hàm số \(y = {2^x}\) xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}\) nên có tập xác định \(D = \mathbb{R}\).
b) Vì mỗi hàm số \({\left( {\frac{1}{3}} \right)^x},{e^x}\) đều xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}\) nên hàm số \(y = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x} + 2{e^x}\) có tập xác định \(D = \mathbb{R}\).
c) Hàm số xác định khi và chỉ khi \(x - 3{x^2} > 0 \Leftrightarrow 0 < x < \frac{1}{3}\).
Tập xác định hàm số là \(D = \left( {0;\frac{1}{3}} \right)\).
d) Hàm số xác định khi và chỉ khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} > 0}\\{x + 2 > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ne 0}\\{x > - 2}\end{array}} \right.} \right.\).
Tập xác định hàm số là \(D = ( - 2; + \infty )\backslash \{ 0\} \).
Cho hàm số \(y = {2^x}\)
Hàm số có tập xác định \(D = \mathbb{R}\).
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\)
Đồ thị hàm số đi qua điểm \(A\left( {2;4} \right)\)
Đồ thị hàm số có hình sau bên:
a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng |
Xét hàm số \(y = {2^x}\). Ta có bảng giá trị:
Đồ thị hàm số \(y = {2^x}\) :
Cho hàm số \(y = {\log _{0,5}}x\).
Hàm số có tập xác định \(D = \mathbb{R}\)
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm \(A\left( {1;0} \right)\)
Đồ thị hàm số đi qua điểm \(N\left( {\frac{1}{2};1} \right)\)
a) Sai | b) Đúng | c) Đúng | d) Đúng |
Xét hàm số \(y = {\log _{0,5}}x\). Ta có bảng giá trị:
Xét được tính đơn điệu của các hàm số trên tập xác định. Vậy:
Hàm số \(y = {\left( {\frac{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}{3}} \right)^x}\)đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Hàm số \(y = {\log _2}x\) đồng biến trên khoảng \((0; + \infty )\).
Hàm số \(y = {\left( {\frac{e}{\pi }} \right)^x}\)nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).
Hàm số \(y = \log \frac{1}{x}\) đồng biến trên khoảng \((0; + \infty )\).
a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Sai |
a) Do \(\frac{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}{3} > 1\) nên hàm số \(y = {\left( {\frac{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}{3}} \right)^x}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
b) Do \(2 > 1\) nên hàm số \(y = {\log _2}x\) đồng biến trên khoảng \((0; + \infty )\).
c) Do \(\frac{e}{\pi } < 1\) nên hàm số \(y = {\left( {\frac{e}{\pi }} \right)^x}\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).
d) Có \(y = \log \frac{1}{x} = {\log _{\frac{1}{{10}}}}x\) và \(\frac{1}{{10}} < 1\) nên hàm số nghịch biến trên khoảng \((0; + \infty )\).
Tìm tập xác định của các hàm số \(y = {\log _2}\left( {3 - 2x} \right)\);
Hàm số \(y = {\log _2}\left( {3 - 2x} \right)\)xác định khi \(3 - 2x > 0 \Leftrightarrow x < \frac{3}{2}\).
Vậy hàm số có tập xác định \(D = \left( { - \infty ;\frac{3}{2}} \right)\)
Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y = \sqrt {\ln \left( {{x^2} + mx + 1} \right)} \) xác định trên \(\mathbb{R}\).
Hàm số đã cho xác định \( \Leftrightarrow \ln \left( {{x^2} + mx + 1} \right) \ge 0\)\( \Leftrightarrow {x^2} + mx + 1 \ge 1\)\( \Leftrightarrow {x^2} + mx \ge 0\).
Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow {x^2} + mx \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow \Delta = {m^2} - 4.1.0 \le 0\)\( \Leftrightarrow {m^2} \le 0\)\( \Leftrightarrow m = 0\).
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = \log \left( {{x^2} - 2mx + 9} \right)\) xác định với mọi \[x \in \mathbb{R}.\]
Hàm số xác định với mọi \(x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow {x^2} - 2mx + 9 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\)
\( \Leftrightarrow \Delta ' < 0 \Leftrightarrow {m^2} - 9 < 0 \Leftrightarrow - 3 < m < 3\).
Độ chấn động \(M\) trong thang đo độ Richter của một địa chấn có biên độ dao động \(I\) được xác định bởi công thức \(M = \log \frac{I}{{{I_0}}} = \log I - \log {I_0}\), trong đó \({I_0}\) là biên độ của dao động bé hơn \(1\,{\rm{\mu m}}\)trên máy đo địa chấn, đặt cách tâm địa chấn 100 km, \({I_0}\)được lấy làm chuẩn. Đầu thế kỷ 20, một trận động đất ở San Francisco có cường độ 8 độ Richter. Ngày 6/2/2023, một trận động đất mạnh 7,8 độ Richter xảy ra ở thành phố Gaziantep của Thổ Nhĩ Kỳ, gần biên giới Syria. Hỏi trận động đất ở San Francisco có biên độ gấp bao nhiêu lần biên độ trận động đất ở Thổ Nhĩ Kỳ?
Trận động đất ở San Francisco có cường độ 8 độ Richter, tức là \(8 = \log {I_1} - \log {I_0}\)với \({I_1}\) là biên độ của trận động đất ở San Francisco.
Trận động đất ở Thổ Nhĩ Kỳ có cường độ \(7,8\) độ Richter, tức là \(7,8 = \log {I_2} - \log {I_0}\)với \({I_2}\) là biên độ của trận động đất ở Thổ Nhĩ Kỳ. Từ sđó ta có
\(0,2 = \log {I_1} - \log {I_2} \Leftrightarrow \log \frac{{{I_1}}}{{{I_2}}} = 0,2 \Leftrightarrow \frac{{{I_1}}}{{{I_2}}} = {10^{0,2}} \approx 1,58.\)
Vậy trận động đất ở San Francisco có biên độ gấp \(1,58\) lần biên độ trận động đất ở Thổ Nhĩ Kỳ.
Áp suất không khí \(P\) (đo bằng milimet thủy ngân, kí hiệu là mmHg) suy giảm theo với độ cao \(x\) (so với mặt nước biển, đo bằng mét) theo công thức \(P = {P_0}.{e^{\,xi}}\), trong đó \({P_0} = 760\,{\rm{mmHg}}\) là áp suất ở mực nước biển \(\left( {x = 0} \right)\), \(i\) là hệ số suy giảm. Biết rằng ở độ cao \(1000\,{\rm{m}}\) thì áp suất của không khí là \(672,71\,{\rm{mmHg}}\). Hỏi áp suất không khí trên đỉnh Phanxipăng ở độ cao \(3143\,{\rm{m}}\) là bao nhiêu (làm tròn đến hàng phần trăm)?
Ở độ cao \(1000\,{\rm{m}}\) thì áp suất của không khí là \(672,71\,{\rm{mmHg}}\)nên
\(672,71 = 760.{e^{1000i}}\)\( \Leftrightarrow {e^{1000i}} = \frac{{672,71}}{{760}} \Leftrightarrow i = \frac{1}{{1000}}\ln \frac{{672,71}}{{760}}\).
Áp suất không khí trên đỉnh Phanxipăng ở độ cao \(3143\,{\rm{m}}\)là \(P = 760.{e^{\frac{{3143}}{{1000}}\ln \frac{{672,71}}{{760}}}}\)
\( \Rightarrow P \approx \)517,94 mmHg.
Năm 2020, dân số thế giới là \(7,795\) tỉ người và tốc độ tăng dân số \(1,05\% \)/năm. Nếu tốc độ tăng này tiếp tục duy trì ở những năm tiếp theo thì đến năm bao nhiêu năm dân số đạt 10 tỉ người.
Dân số thế giới sau 1 năm tính từ năm 2020 là \(7,795.{\left( {1 + 1,05\% } \right)^1} = 7,795.1,{0105^1}\) tỉ người.
Dân số thế giới sau 2 năm tính từ năm 2020 là \(7,795.1,0105.{\left( {1 + 1,05\% } \right)^1} = 7,795.1,{0105^2}\) tỉ người.
….
Dân số thế giới sau \(t\) năm tính từ năm 2020 là \(P\left( t \right) = 7,795.1,{0105^t}\) tỉ người.
Giả sử sau ít nhất \(t\) năm tính từ năm 2020 thì dân số thế giới đạt \(10\) tỉ người.
Khi đó \(7,795.1,{0105^t} = 10 \Leftrightarrow t \approx 23,85\).
Do đó sau ít nhất \(24\) năm thì dân số thế giới đạt \(10\) tỉ người.
Vậy đến năm \(2020 + 24 = 2044\) dân số đạt \(10\) tỉ người.
