Đề kiểm tra Hàm số mũ. Hàm số lôgarit (có lời giải) - Đề 3

Ta có \({\log _3}\left( {\frac{{3{a^3}}}{{{b^2}}}} \right) = {\log _3}\left( {3{a^3}} \right) - {\log _3}{b^2}\) \({\log _3}\left( {\frac{{3{a^3}}}{{{b^2}}}} \right) = 1 + \frac{1}{3}{\log _3}a - 2{\log _3}\left| b \right|\).

Cách 1: \(\log 9000 = \log 9 + \log 1000 = 2\log 3 + 3 = 2a + 3\).

Cách 2: Gán \(\log 3 = a\). Tính \(\log 9000 - \left( {2a + 3} \right) = 0\).

Loại kì hạn \(12\) tháng:

Số tiền có được sau 1 năm: \({120.10^6} + {120.10^6}.0,125 = {120.10^6}.\left( {1 + 0,125} \right)\)

Số tiền có được sau 2 năm: \({120.10^6}.\left( {1 + 0,125} \right) + {120.10^6}.\left( {1 + 0,125} \right).0,125 = {120.10^6}.{\left( {1 + 0,125} \right)^2}\)

Tương tự vậy số tiền có được sau \(12\) năm: \({120.10^6}.{\left( {1 + 0,125} \right)^{12}} \approx 493186000\) đồng

Loại kì hạn 1 tháng (\(12\) năm là \(144\) tháng): Số tiền có được sau \(12\) năm: \({120.10^6}.{\left( {1 + 0,01} \right)^{144}} \approx 502873000\)

Số tiền còn lại sau 1 tháng: \({600.10^6} + {600.10^6}.0,8\%  - {10.10^6}\)

Khi đó ta có thể gọi số tiền vay là \(A\), lãi suất là \(r\), số tiền trả mỗi cuối tháng là \(m\) và \(n\) là số tháng để trả hết tiền.

Vậy số tiền còn nợ cuối tháng 1: \(A + Ar - m = A\left( {1 + r} \right) - m\)

Số tiền còn nợ cuối tháng 2: \(A\left( {1 + r} \right) - m + \left[ {A\left( {1 + r} \right) - m} \right]r - m = A{\left( {1 + r} \right)^2} - \frac{m}{r}\left[ {{{\left( {1 + r} \right)}^2} - 1} \right]\)

Số tiền còn nợ cuối tháng \(n\): \(A{\left( {1 + r} \right)^n} - \frac{m}{r}\left[ {{{\left( {1 + r} \right)}^n} - 1} \right]\)

Có nghĩa là khi trả hết tiền thì: \(A{\left( {1 + r} \right)^n} - \frac{m}{r}\left[ {{{\left( {1 + r} \right)}^n} - 1} \right] = 0 \Leftrightarrow {600.10^6}\left( {1 + 0.8\% } \right) - \frac{{{{10.10}^6}}}{{0,8}}\left[ {{{\left( {1 + 0,8\% } \right)}^n} - 1} \right] = 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {1 + 0,8\% } \right)^n} = 1,48384 \Rightarrow n = {\log _{1 + 0,8\% }}1,48384 \approx 49,5\)

a) Hàm số \(y = {2^x}\) xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}\) nên có tập xác định \(D = \mathbb{R}\).

b) Vì mỗi hàm số \({\left( {\frac{1}{3}} \right)^x},{e^x}\) đều xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}\) nên hàm số \(y = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x} + 2{e^x}\) có tập xác định \(D = \mathbb{R}\).

c) Hàm số xác định khi và chỉ khi \(x - 3{x^2} > 0 \Leftrightarrow 0 < x < \frac{1}{3}\).

Tập xác định hàm số là \(D = \left( {0;\frac{1}{3}} \right)\).

d) Hàm số xác định khi và chỉ khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} > 0}\\{x + 2 > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ne 0}\\{x >  - 2}\end{array}} \right.} \right.\).

a) Do \(\frac{{\sqrt 3  + \sqrt 2 }}{3} > 1\) nên hàm số \(y = {\left( {\frac{{\sqrt 3  + \sqrt 2 }}{3}} \right)^x}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

b) Do \(2 > 1\) nên hàm số \(y = {\log _2}x\) đồng biến trên khoảng \((0; + \infty )\).

c) Do \(\frac{e}{\pi } < 1\) nên hàm số \(y = {\left( {\frac{e}{\pi }} \right)^x}\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

Hàm số \(y = {\log _2}\left( {3 - 2x} \right)\)xác định khi \(3 - 2x > 0 \Leftrightarrow x < \frac{3}{2}\).

Vậy hàm số có tập xác định \(D = \left( { - \infty ;\frac{3}{2}} \right)\)

Hàm số đã cho xác định \( \Leftrightarrow \ln \left( {{x^2} + mx + 1} \right) \ge 0\)\( \Leftrightarrow {x^2} + mx + 1 \ge 1\)\( \Leftrightarrow {x^2} + mx \ge 0\).

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow {x^2} + mx \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow \Delta  = {m^2} - 4.1.0 \le 0\)\( \Leftrightarrow {m^2} \le 0\)\( \Leftrightarrow m = 0\).

Hàm số xác định với mọi \(x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow {x^2} - 2mx + 9 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow \Delta ' < 0 \Leftrightarrow {m^2} - 9 < 0 \Leftrightarrow  - 3 < m < 3\).

Trận động đất ở San Francisco có cường độ 8 độ Richter, tức là \(8 = \log {I_1} - \log {I_0}\)với \({I_1}\) là biên độ của trận động đất ở San Francisco.

Trận động đất ở Thổ Nhĩ Kỳ có cường độ \(7,8\) độ Richter, tức là \(7,8 = \log {I_2} - \log {I_0}\)với \({I_2}\) là biên độ của trận động đất ở Thổ Nhĩ Kỳ. Từ sđó ta có

\(0,2 = \log {I_1} - \log {I_2} \Leftrightarrow \log \frac{{{I_1}}}{{{I_2}}} = 0,2 \Leftrightarrow \frac{{{I_1}}}{{{I_2}}} = {10^{0,2}} \approx 1,58.\)

Vậy trận động đất ở San Francisco có biên độ gấp \(1,58\) lần biên độ trận động đất ở Thổ Nhĩ Kỳ.

Ở độ cao \(1000\,{\rm{m}}\) thì áp suất của không khí là \(672,71\,{\rm{mmHg}}\)nên

\(672,71 = 760.{e^{1000i}}\)\( \Leftrightarrow {e^{1000i}} = \frac{{672,71}}{{760}} \Leftrightarrow i = \frac{1}{{1000}}\ln \frac{{672,71}}{{760}}\).

Áp suất không khí trên đỉnh Phanxipăng ở độ cao \(3143\,{\rm{m}}\)là \(P = 760.{e^{\frac{{3143}}{{1000}}\ln \frac{{672,71}}{{760}}}}\)

\( \Rightarrow P \approx \)517,94 mmHg.

Dân số thế giới sau 1 năm tính từ năm 2020 là \(7,795.{\left( {1 + 1,05\% } \right)^1} = 7,795.1,{0105^1}\) tỉ người.

Dân số thế giới sau 2 năm tính từ năm 2020 là \(7,795.1,0105.{\left( {1 + 1,05\% } \right)^1} = 7,795.1,{0105^2}\) tỉ người.

….

Dân số thế giới sau \(t\) năm tính từ năm 2020 là   \(P\left( t \right) = 7,795.1,{0105^t}\) tỉ người.

Giả sử sau ít nhất \(t\) năm tính từ năm 2020 thì dân số thế giới đạt \(10\) tỉ người.

Khi đó \(7,795.1,{0105^t} = 10 \Leftrightarrow t \approx 23,85\).

Do đó sau ít nhất \(24\) năm thì dân số thế giới đạt \(10\) tỉ người.

Vậy đến năm \(2020 + 24 = 2044\) dân số đạt \(10\) tỉ người.