Đề kiểm tra Hàm số mũ. Hàm số lôgarit (có lời giải) - Đề 2
22 câu hỏi
Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số mũ?
\[y = \log _3^{}x\].
\[y = {x^2}\].
\[y = {\left( {\sqrt 2 } \right)^x}\].
\[y = {x^{\sqrt 7 }}\].
Ta có: \[y = {\left( {\sqrt 2 } \right)^x}\] là hàm số mũ.
Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lôgarit?
\[y = \log _3^{}x\].
\[y = {x^2}\].
\[y = {\left( {\sqrt 2 } \right)^x}\].
\[y = {x^{\sqrt 7 }}\].
Ta có: \[y = {\left( {\sqrt 2 } \right)^x}\] là hàm số lôgarit.
Tập xác định của hàm số \[y = {\log _2}x\]là:
\[\left[ {0\,;\, + \infty } \right)\].
\[\left( { - \infty \,;\, + \infty } \right)\].
\[\left( {0\,;\, + \infty } \right)\].
\[\left( {3\,;\, + \infty } \right)\].
Hàm số \[y = {\log _2}\left( {x - 3} \right)\]có nghĩa khi: \[x - 3 > 0 \Leftrightarrow x > 3\]
Tập xác định của hàm số là: \[\left( {3\,;\, + \infty } \right)\].
Tập xác định của hàm số \[y = {\left( {\sqrt 5 } \right)^x}\]là:
\[\left[ {5\,;\, + \infty } \right)\].
\[\left( { - \infty \,;\, + \infty } \right)\].
\[\left( {0\,;\, + \infty } \right)\].
\[\left( {5\,;\, + \infty } \right)\].
Hàm số \[y = {\left( {\sqrt 5 } \right)^x}\]có nghĩa \(\forall x \in \mathbb{R}\).
Tập xác định của hàm số là: \[\left( { - \infty \,;\, + \infty } \right)\].
Hàm số nào dưới đây có đồ thị như trong hình vẽ bên?
\(y = {3^x}\).
\(y = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x}\).
\(y = {\log _{\frac{1}{3}}}x\).
\(y = {\log _3}x\).
Hàm số có đồ thị như hình vẽ trên nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\) nên loại A, D, đồ thị nhận \(Ox\) làm tiệm cận ngang chọn hàm số \(y = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x}\).
Hàm số nào dưới đây có đồ thị như trong hình vẽ bên?
\(y = {2^x}\).
\(y = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}\).
\(y = {\log _{\frac{1}{2}}}x\).
\(y = {\log _2}x\).
Hàm số có đồ thị như hình vẽ trên đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) nên loại B, C, đồ thị nhận \(Oy\) làm tiệm cận đứng nên chọn hàm số \(y = {\log _2}x\).
Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)?
\(y = \log x\).
\(y = {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{5}} \right)^x}\).
\(y = \ln x\).
\(y = {\left( {\frac{1}{7}} \right)^{ - x}}\).
Hàm số \(y = {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{5}} \right)^x}\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) do \(0 < \frac{{\sqrt 2 }}{5} < 1\).
Cho hàm số \(y = {\left( {\sqrt 3 + 1} \right)^x}\) chọn mệnh đề sai?
Hàm số nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\).
Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là trục hoành.
Đồ thị hàm số đi qua điểm \(A\left( {0;1} \right)\).
Vì \(\sqrt 3 + 1 > 1\) nên hàm số luôn đồng biến trên \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\), vậy A sai.
Hàm số nào dưới đây có bảng biến thiên như hình bên dưới
\[y = {3^x}\].
\[y = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}\].
\[y = \log x\].
\[y = {\log _{\left( {\frac{1}{5}} \right)}}x\].
Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) nên loại đáp án A, C.
Đồ thị hàm số đi qua điểm \(A\left( {0;1} \right)\) nên chọn đáp án B
Hàm số nào dưới đây có bảng biến thiên như hình bên dưới
\[y = {3^x}\].
\[y = {\left( {\frac{1}{5}} \right)^x}\].
\[y = {\log _3}x\].
\[y = {\log _{\left( {\frac{1}{5}} \right)}}x\].
Hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) nên loại đáp án B, D
Đồ thị hàm số đi qua điểm \(A\left( {1;0} \right)\) nên chọn đáp án C
Dân số thế giới được ước tính theo công thức \(S = A.{e^{ni}}\), trong đó \(A\) là dân số của năm lấy mốc, \(S\) là dân số sau \(n\) năm, \(i\) là tỷ lệ gia tăng dân số hàng năm. Biết năm 2023 dân số thành phố Cần Thơ năm 2023 ước tính là \(1282000\) người và tỉ lệ gia tăng dân số là \(1,03\% \). Hỏi đến năm bao nhiêu thì dân số thành phố Cần Thơ đạt hơn \(1,5\) triệu người?
\(2038\).
\(2039\).
\(2040\).
\(2041\).
Lấy năm \(2023\) làm mốc, khi đó \(A = 1282000\). Giả sử sau \(n\) năm thì dân số thành phố Cần Thơ đạt hơn \(1500000\), tức là \(1500000 = 1282000.{e^{0,0103n}} \Rightarrow {e^{0,0103n}} = \frac{{750}}{{641}} \Rightarrow 0,0103n = \ln \frac{{750}}{{641}} \Rightarrow n \approx 15,25\)
Có nghĩa là theo tốc độ tăng dân số này thì sau \(16\) năm dân số thành phố sẽ đạt \(1500000\) người vào năm \(2039\).
Bạn Nam là sinh viên của một trường Đại học, muốn vay tiền ngân hàng với lãi suất ưu đãi trang trải kinh phí học tập hàng năm. Đầu mỗi năm học, bạn ấy vay ngân hàng số tiến 10 triệu đồng với lãi suất là \(4\% \). Tính số tiền mà Nam nợ ngân hàng sau 4 năm, biết rằng trong 4 năm đó, ngân hàng không thay đổi lãi suất (kết quả làm tròn đến nghìn đồng).
\(46794000\) đồng
\(44163000\) đồng
\(42465000\) đồng
\(41600000\) đồng
Tổng số tiền bạn Nam vay (gốc và lãi) sau 4 năm là:
\(\begin{array}{l}A = {10^7}{(1 + 0,04)^4} + {10^7}{(1 + 0,04)^3} + {10^7}{(1 + 0,04)^2} + {10^7}(1 + 0,04)\\ = {10^7}(1 + 0,04){\rm{[}}1 + (1 + 0,04) + {(1 + 0,04)^2} + {(1 + 0,04)^3}{\rm{]}}\\ = {10^7}(1 + 0,04).\frac{{1 - {{(1 + 0,04)}^4}}}{{1 - (1 + 0,04)}} = 44163225,6\end{array}\)
Nên \(A \simeq 44163000\) đồng
Cho hàm số \(y = {\log _4}x\)
Hàm số có tập xác định \(D = \mathbb{R}\)
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)
Hàm số đi qua điểm \(A\left( {\frac{1}{4}; - 1} \right)\)
Đồ thị hàm số cắt đường thẳng \(y = 1\) tại điểm có hoành độ bằng \(3\)
a) Sai | b) Đúng | c) Đúng | d) Sai |
Xét hàm số \(y = {\log _4}x\).
Ta có bảng giá trị:
Đồ thị của hàm số \(y = {\log _4}x\):
Sử dụng tính chất của hàm lôgarít, hàm mũ so sánh các cặp số. Vậy:
\({\log _2}3 > {\log _2}\frac{5}{2}\)
\({\log _{\frac{1}{e}}}2 > {\log _{\frac{1}{e}}}\frac{5}{4}\)
\({\left( {\frac{1}{3}} \right)^{4000}} > {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{3999}}\)
\({\pi ^{{n^2}}} > {\pi ^{{n^2} - 1}}\)
a) Đúng | b) Sai | c) Sai | d) Đúng |
a) Xét hàm số \(y = {\log _2}x\) có cơ số \(2 > 1\) nên hàm số đồng biến trên khoảng \((0; + \infty )\).
Mặt khác \(3 > \frac{5}{2}\) nên \({\log _2}3 > {\log _2}\frac{5}{2}\).
b) Xét hàm số \(y = {\log _{\frac{1}{e}}}x\) có cơ số \(\frac{1}{e} \in (0;1)\) nên hàm số nghịch biến trên khoảng \((0; + \infty )\).
Mặt khác \(2 > \frac{5}{4}\) nên \({\log _{\frac{1}{e}}}2 < {\log _{\frac{1}{e}}}\frac{5}{4}\).
c) Xét hàm số \(y = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x}\) có cơ số \(\frac{1}{3} \in (0;1)\) nên hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).
Mặt khác \(4000 > 3999\) nên \(\frac{1}{{{3^{4000}}}} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{4000}} < {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{3999}} = \frac{1}{{{3^{3999}}}}\).
d) Xét hàm số \(y = {\pi ^x}\) có cơ số \(\pi > 1\) nên hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Mặt khác \({n^2} > {n^2} - 1,\forall n \in \mathbb{R}\) nên \({\pi ^{{n^2}}} > {\pi ^{{n^2} - 1}}\).
Tìm được tập xác định của các hàm số sau. Vậy:
\(y = {\log _{\frac{1}{8}}}x\)có tập xác định hàm số là \(D = (0; + \infty )\).
\(y = \ln \frac{1}{{{x^2}}}\) có tập xác định hàm số là: \(D = \mathbb{R}\backslash \{ 0\} \).
\(y = {e^{2x}}\) có tập xác định hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\).
\(y = \frac{{{6^x}}}{{\log x}} + \log \left( {{x^2} - x} \right)\) có tập xác định hàm số là \(D = {\rm{[}}1; + \infty )\).
a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Sai |
a) Hàm số xác định khi và chỉ khi \(x > 0\). Tập xác định hàm số là \(D = (0; + \infty )\).
b) Hàm số xác định khi và chỉ khi \(\frac{1}{{{x^2}}} > 0 \Leftrightarrow {x^2} > 0 \Leftrightarrow x \ne 0\).
Tập xác định hàm số là: \(D = \mathbb{R}\backslash \{ 0\} \).
c) Hàm số xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Tập xác định hàm số là \(D = \mathbb{R}\).
d) Hàm số xác định khi và chỉ khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\log x \ne 0}\\{x > 0}\\{{x^2} - x > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ne 1}\\{x > 0}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x < 0}\\{x > 1}\end{array}} \right.}\end{array} \Leftrightarrow x > 1} \right.} \right.\).
Tập xác định hàm số là \(D = (1; + \infty )\).
So sánh được các cặp số sau. Khi đó:
\({a^{\sqrt 2 }} < {a^{\sqrt 3 }}\) suy ra \(a > 1\)
\({\log _b}30 < {\log _b}29,7\) suy ra \(0 < b < 1\)
\({a^{\frac{{\sqrt 3 }}{4}}} > {a^{\frac{{\sqrt 2 }}{3}}}\) suy ra \(a < 1\)
\({\log _b}7 < {\log _b}2\) suy ra \(b > 1\)
a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Sai |
a) \({a^{\sqrt 2 }} < {a^{\sqrt 3 }}\) suy ra \(a > 1\)
b) \({\log _b}30 < {\log _b}29,7\) suy ra \(0 < b < 1\)
c) Ta có \({a^{\frac{{\sqrt 3 }}{4}}} > {a^{\frac{{\sqrt 2 }}{3}}}\) và \(\frac{{\sqrt 3 }}{4} < \frac{{\sqrt 2 }}{3}\) nên hàm số \(y = {a^x}\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\). Vậy \(0 < a < 1\).
d) Ta có \({\log _b}7 < {\log _b}2\) và \(7 > 2\) nên hàm số \(y = {\log _b}x\) nghịch biến trên \((0; + \infty )\). Vậy \(0 < b < 1\).
Tìm tất cả giá trị \(m\) để: Hàm số \(y = \frac{1}{{\sqrt {2m + 1 - x} }} + {\log _3}\sqrt {x - m} \) xác định trên khoảng \((2;3)\).
Hàm số xác định trên khoảng \((2;3)\) khi và chỉ khi: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2m + 1 - x > 0}\\{x - m > 0}\end{array},\forall x \in (2;3)} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x < 2m + 1}\\{x > m}\end{array},\forall x \in (2;3) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \le 2}\\{2m + 1 \ge 3}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \le 2}\\{m \ge 1}\end{array} \Leftrightarrow 1 \le m \le 2.} \right.} \right.} \right.\)
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left( { - 2023;\,2023} \right)\) để hàm số \(y = \ln \left( {{x^2} - 6x + m - 2} \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\)?
Hàm số \(y = \ln \left( {{x^2} - 6x + m - 2} \right)\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi \({x^2} - 6x + m - 2 > 0\),\(\forall x \in \mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow \Delta ' < 0\)\( \Leftrightarrow 9 - m + 2 < 0 \Leftrightarrow m > 11\). Do đó, tập các giá trị nguyên của tham số \(m\) thỏa mãn là \(\left\{ {12,\,13,14,...,2022} \right\}\). Vậy có \(2011\) số nguyên.
Tìm tập xác định của hàm số: \(y = {2019^{\sqrt {4 - {x^2}} }} + {\log _2}\left( {2{x^2} - 5x + 2} \right)\).
Hàm số đã cho xác định khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4 - {x^2} \ge 0}\\{2{x^2} - 5x + 2 > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2 \le x \le 2}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > 2}\\{x < \frac{1}{2}}\end{array}} \right.}\end{array} \Leftrightarrow - 2 \le x < \frac{1}{2}} \right.} \right.\).
Vậy \(D = \left[ { - 2;\frac{1}{2}} \right)\).
Các nhà tâm lí học sử dụng mô hình hàm số mũ để mô phỏng quá trình học tập của một học sinh như sau: \[f\left( t \right) = c\left( {1 - {e^{ - kt}}} \right),\] trong đó \[c\] là tổng đơn vị kiến thức học sinh phải học, \[k\] (kiến thức/ngày) là tốc độ tiếp thu của học sinh, \[t\] (ngày) là thời gian học và \[f\left( t \right)\] là số đơn vị kiến thức học sinh đã học được (Nguồn: R.I. Charles et al., Algebra 2, Pearson). Giả sử một em học sinh phải tiếp thu 25 đơn vị kiến thức mới. Biết rằng tốc độ tiếp thu của em học sinh là \[k = 0,2.\] Hỏi em học sinh sẽ nhớ được (khoảng) bao nhiêu đơn vị kiến thức mới sau 2 ngày? Sau 8 ngày?
Áp dụng công thức \[f\left( t \right) = c\left( {1 - {e^{ - kt}}} \right)\]
Sau 2 ngày, em học sinh tiếp thu được \[f\left( t \right) = 25\left( {1 - {e^{ - 0,2.2}}} \right) \approx 8\](đơn vị kiến thức mới)
Sau 8 ngày, em học sinh tiếp thu được \[f\left( t \right) = 25\left( {1 - {e^{ - 0,2.8}}} \right) \approx 20\](đơn vị kiến thức mới).
Trong một phòng thí nghiệm, người ta nuôi một loại vi khuẩn. Lúc đầu có 300 vi khuẩn. Sau một giờ, số vi khuẩn là \(705\)con. Giả sử số vi khuẩn tăng lên theo công thức tăng trưởng mũ, số vi khuẩn sau \(x\) giờ là \(f(x) = C \cdot {e^{kx}}\).
Hỏi số vi khuẩn có được sau 5 giờ?
Lúc đầu có 300 vi khuẩn. Sau một giờ, số vi khuẩn là 705 con.
\({\rm{ Ta c\'o }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f(0) = 300 = C.{e^{k.0}} = C}\\{f(1) = 705 = C.{e^{k.1}} = C.{e^k}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{C = 300}\\{{e^k} = \frac{{705}}{{300}} = 2,35}\end{array}} \right.} \right.{\rm{. }}\)Vậy \(f(x) = 300 \cdot {(2,35)^x}\).
Số vi khuẩn có được sau 5 giờ là \(f(5) = 300 \cdot {(2,35)^5} \approx 21501\) con.
Nếu \({D_0}\) là chênh lệch nhiệt độ ban đầu giữa một vật \(M\) và các vật xung quanh, và nếu các vật xung quanh có nhiệt độ \({T_S}\), thì nhiệt độ của vật \(M\) tại thời điểm \(t\) được mô hình hóa bởi hàm số: \(T(t) = {T_S} + {D_0} \cdot {e^{ - kt}}(1)\) (trong đó \(k\) là hằng số dương phụ thuộc vào vật \(M\)).
Một con gà tây nướng được lấy từ lò nướng khi nhiệt độ của nó đã đạt đến 195°F và được đặt trên một bàn trong một căn phòng có nhiệt độ là 65°F.
Nếu nhiệt độ của gà tây là 150°F sau nửa giờ, nhiệt độ của nó sau 60 phút là bao nhiêu?
Ta có \({T_S} = 65\) và độ chênh lệch nhiệt độ là \({D_0} = 195 - 65 = 130\)
Sau nửa giờ \((t = 0,5)\) thì nhiệt độ của gà là \(T = 150\).
Áp dụng công thức (1): \(150 = 65 + 130 \cdot {e^{ - k(0,5)}} \Leftrightarrow {e^{ - k}} = {\left( {\frac{{17}}{{26}}} \right)^2}\).
Vậy \(T(t) = 65 + 130 \cdot {\left( {\frac{{17}}{{26}}} \right)^{2t}}\).
Suy ra nhiệt độ của gà sau 60 phút \(\left( {t = 1} \right.\) giờ) là 65+130⋅17262.1≈121°F.
