Đề kiểm tra Hàm số mũ. Hàm số lôgarit (có lời giải) - Đề 2

Hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) nên loại đáp án B, D

Lấy năm \(2023\) làm mốc, khi đó \(A = 1282000\). Giả sử sau \(n\) năm thì dân số thành phố Cần Thơ đạt hơn \(1500000\), tức là \(1500000 = 1282000.{e^{0,0103n}} \Rightarrow {e^{0,0103n}} = \frac{{750}}{{641}} \Rightarrow 0,0103n = \ln \frac{{750}}{{641}} \Rightarrow n \approx 15,25\)

Tổng số tiền bạn Nam vay (gốc và lãi) sau 4 năm là:

\(\begin{array}{l}A = {10^7}{(1 + 0,04)^4} + {10^7}{(1 + 0,04)^3} + {10^7}{(1 + 0,04)^2} + {10^7}(1 + 0,04)\\ = {10^7}(1 + 0,04){\rm{[}}1 + (1 + 0,04) + {(1 + 0,04)^2} + {(1 + 0,04)^3}{\rm{]}}\\ = {10^7}(1 + 0,04).\frac{{1 - {{(1 + 0,04)}^4}}}{{1 - (1 + 0,04)}} = 44163225,6\end{array}\)

Nên \(A \simeq 44163000\) đồng

a) Xét hàm số \(y = {\log _2}x\) có cơ số \(2 > 1\) nên hàm số đồng biến trên khoảng \((0; + \infty )\).

Mặt khác \(3 > \frac{5}{2}\) nên \({\log _2}3 > {\log _2}\frac{5}{2}\).

b) Xét hàm số \(y = {\log _{\frac{1}{e}}}x\) có cơ số \(\frac{1}{e} \in (0;1)\) nên hàm số nghịch biến trên khoảng \((0; + \infty )\).

Mặt khác \(2 > \frac{5}{4}\) nên \({\log _{\frac{1}{e}}}2 < {\log _{\frac{1}{e}}}\frac{5}{4}\).

c) Xét hàm số \(y = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x}\) có cơ số \(\frac{1}{3} \in (0;1)\) nên hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

Mặt khác \(4000 > 3999\) nên \(\frac{1}{{{3^{4000}}}} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{4000}} < {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{3999}} = \frac{1}{{{3^{3999}}}}\).

d) Xét hàm số \(y = {\pi ^x}\) có cơ số \(\pi  > 1\) nên hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

a) Hàm số xác định khi và chỉ khi \(x > 0\). Tập xác định hàm số là \(D = (0; + \infty )\).

b) Hàm số xác định khi và chỉ khi \(\frac{1}{{{x^2}}} > 0 \Leftrightarrow {x^2} > 0 \Leftrightarrow x \ne 0\).

Tập xác định hàm số là: \(D = \mathbb{R}\backslash \{ 0\} \).

c) Hàm số xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Tập xác định hàm số là \(D = \mathbb{R}\).

d) Hàm số xác định khi và chỉ khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\log x \ne 0}\\{x > 0}\\{{x^2} - x > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ne 1}\\{x > 0}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x < 0}\\{x > 1}\end{array}} \right.}\end{array} \Leftrightarrow x > 1} \right.} \right.\).

a) \({a^{\sqrt 2 }} < {a^{\sqrt 3 }}\) suy ra \(a > 1\)

b) \({\log _b}30 < {\log _b}29,7\) suy ra \(0 < b < 1\)

c) Ta có \({a^{\frac{{\sqrt 3 }}{4}}} > {a^{\frac{{\sqrt 2 }}{3}}}\) và \(\frac{{\sqrt 3 }}{4} < \frac{{\sqrt 2 }}{3}\) nên hàm số \(y = {a^x}\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\). Vậy \(0 < a < 1\).

d) Ta có \({\log _b}7 < {\log _b}2\) và \(7 > 2\) nên hàm số \(y = {\log _b}x\) nghịch biến trên \((0; + \infty )\). Vậy \(0 < b < 1\).

Hàm số xác định trên khoảng \((2;3)\) khi và chỉ khi: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2m + 1 - x > 0}\\{x - m > 0}\end{array},\forall x \in (2;3)} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x < 2m + 1}\\{x > m}\end{array},\forall x \in (2;3) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \le 2}\\{2m + 1 \ge 3}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \le 2}\\{m \ge 1}\end{array} \Leftrightarrow 1 \le m \le 2.} \right.} \right.} \right.\)

Hàm số \(y = \ln \left( {{x^2} - 6x + m - 2} \right)\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi \({x^2} - 6x + m - 2 > 0\),\(\forall x \in \mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow \Delta ' < 0\)\( \Leftrightarrow 9 - m + 2 < 0 \Leftrightarrow m > 11\). Do đó, tập các giá trị nguyên của tham số \(m\) thỏa mãn là \(\left\{ {12,\,13,14,...,2022} \right\}\). Vậy có \(2011\) số nguyên.

Hàm số đã cho xác định khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4 - {x^2} \ge 0}\\{2{x^2} - 5x + 2 > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2 \le x \le 2}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > 2}\\{x < \frac{1}{2}}\end{array}} \right.}\end{array} \Leftrightarrow  - 2 \le x < \frac{1}{2}} \right.} \right.\).

Vậy \(D = \left[ { - 2;\frac{1}{2}} \right)\).

Áp dụng công thức \[f\left( t \right) = c\left( {1 - {e^{ - kt}}} \right)\]

Sau 2 ngày, em học sinh tiếp thu được \[f\left( t \right) = 25\left( {1 - {e^{ - 0,2.2}}} \right) \approx 8\](đơn vị kiến thức mới)

Sau 8 ngày, em học sinh tiếp thu được \[f\left( t \right) = 25\left( {1 - {e^{ - 0,2.8}}} \right) \approx 20\](đơn vị kiến thức mới).

Lúc đầu có 300 vi khuẩn. Sau một giờ, số vi khuẩn là 705 con.

\({\rm{ Ta c\'o  }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f(0) = 300 = C.{e^{k.0}} = C}\\{f(1) = 705 = C.{e^{k.1}} = C.{e^k}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{C = 300}\\{{e^k} = \frac{{705}}{{300}} = 2,35}\end{array}} \right.} \right.{\rm{. }}\)Vậy \(f(x) = 300 \cdot {(2,35)^x}\).

Số vi khuẩn có được sau 5 giờ là \(f(5) = 300 \cdot {(2,35)^5} \approx 21501\) con.

Ta có \({T_S} = 65\) và độ chênh lệch nhiệt độ là \({D_0} = 195 - 65 = 130\)

Sau nửa giờ \((t = 0,5)\) thì nhiệt độ của gà là \(T = 150\).

Áp dụng công thức (1): \(150 = 65 + 130 \cdot {e^{ - k(0,5)}} \Leftrightarrow {e^{ - k}} = {\left( {\frac{{17}}{{26}}} \right)^2}\).

Vậy \(T(t) = 65 + 130 \cdot {\left( {\frac{{17}}{{26}}} \right)^{2t}}\).

Suy ra nhiệt độ của gà sau 60 phút \(\left( {t = 1} \right.\) giờ) là $65+130\cdot {\left(\frac{17}{26}\right)}^{2.1}\approx {121}^{°}F$.