Đề kiểm tra Hàm số mũ. Hàm số lôgarit (có lời giải) - Đề 1

Điều kiện xác định \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 3x + 2 > 0\\x + 2 > 0\end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}x \in \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( { - 1; + \infty } \right)\\x >  - 2\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \,x \in \left( { - 1; + \infty } \right)\).

Cường độ ánh sáng thay đổi khi từ độ sâu \[{x_1}\] đến độ sâu \[{x_2}\] là:

Vì cứ sau 20 phút (bằng \(\frac{1}{3}\) giờ) số lượng vi khuẩn tăng gấp đôi nên số lượng vi khuẩn tăng theo quy luật \({N_n} = {N_0}{.2^n} = {20.2^n} > 81920\)\( \Rightarrow n > 12\)

Hàm số \(y = {\log _3}x\) có cơ số \(a = 3 > 1\) nên đồng biến trên tập xác định, a đúng.

Đồ thị các hàm số \(y = {\left( {\sqrt 2 } \right)^x}\) và \(y = {\log _{\sqrt 2 }}x\) không cắt nhau do \({\left( {\sqrt 2 } \right)^x} > x,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\) và \({\log _{\sqrt 2 }}x < 1,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\). Thật vậy xét hàm số \(f\left( x \right) = {\left( {\sqrt 2 } \right)^x} - x\) trên khảng \(\left( {0; + \infty } \right)\), ta có \(f'\left( x \right) = {\left( {\sqrt 2 } \right)^x}\ln \sqrt 2  - 1 > 0,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\) , b sai.

Hàm số \(y = {a^x},{\rm{ }}\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) có \({a^{ - x}} \ne {a^x}\) nên không là hàm số chẵn, c sai.

a) Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{a^{\frac{{\sqrt 3 }}{3}}} > {a^{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}}}\\{\frac{{\sqrt 3 }}{3} < \frac{{\sqrt 2 }}{2}}\end{array} \Rightarrow 0 < a < 1} \right.\).

b) Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{(a - 1)}^{\frac{{ - 3}}{4}}} > {{(a - 1)}^{\frac{{ - 4}}{5}}}}\\{\frac{{ - 3}}{4} > \frac{{ - 4}}{5}}\end{array} \Rightarrow (a - 1) > 1 \Leftrightarrow a > 2} \right.\).

c) Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\log }_b}\frac{3}{4} < {{\log }_b}\frac{4}{5}}\\{\frac{3}{4} < \frac{4}{5}}\end{array} \Rightarrow b > 1} \right.\).

d) \({\log _a}5 > {\log _a}6\)\( \Rightarrow 0 < a < 1\)

a) \({a^{6,2}} > {a^{6,32}} \Rightarrow 0 < a < 1\)

b) \({\log _a}(\sqrt 3  - 1) < {\log _a}(\sqrt 2  + 1) \Rightarrow a > 1\)

c) Xét hàm số mũ \(y = {(2 - a)^x}\), trong đó \(2 - a > 0,\forall a < 2\).

Ta biết hàm số này đơn điệu trên \(\mathbb{R}\) (hoặc đồng biến, hoặc nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) ) và \({(2 - a)^{\frac{3}{4}}} > {(2 - a)^2}\) mà \(\frac{3}{4} < 2\) nên hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

Suy ra \((2 - a) \in (0;1) \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2 - a > 0}\\{2 - a < 1}\end{array} \Rightarrow 1 < a < 2} \right.\).

d) Xét hàm số mũ \(y = {(2 - a)^x}\), trong đó \(2 - a > 0,\forall a < 2\).

a) Hàm số \(y = {\log _{\frac{1}{3}}}x\) có bảng giá trị:

Đồ thị của hàm số \(y = {\log _{\frac{1}{3}}}x\):

b) Hàm số \(y = {4^x}\) có bảng giá trị:

Đồ thị của hàm số \(y = {4^x}\):

c) Hàm số \(y = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x}\) nghịch biến trên \(R\). Hàm số qua các điểm \((0;1),( - 1;3)\), \(\left( {1;\frac{1}{3}} \right)\) và nằm trên trục hoành. Đồ thị:

d) Hàm số \(y = {\log _3}x\) đồng biến trên \((0; + \infty )\). Hàm số qua các điểm \((1;0),(3;1)\), \(\left( {\frac{1}{3}; - 1} \right)\) và nằm bên phải trục tung. Đồ thị:

Hàm số xác định với mọi \(x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow {x^2} - 2mx + 4 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 1 > 0}\\{{\Delta ^\prime } = {m^2} - 4 < 0}\end{array} \Leftrightarrow  - 2 < m < 2.} \right.\)

Vậy \( - 2 < m < 2\) thoả mãn đề bài.

Hàm số đã cho xác định khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{9 - {x^2} > 0}\\{x - 1 > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 3 < x < 3}\\{x > 1}\end{array} \Leftrightarrow 1 < x < 3} \right.} \right.\).

Vậy \(D = (1;3)\).

Hàm số \[y = {\log _2}\left( {3 - x} \right)\]có nghĩa khi: \[3 - x > 0 \Leftrightarrow x < 3\]

Tập xác định của hàm số là: \[\left( { - \infty ;3} \right)\].

Đầu tiên ta tính giá trị của ngôi nhà sau \(12\) năm:

Giá trị ngôi nhà sau 2 năm: \({10^9} + {10^9}.0,05 = {10^9}.\left( {1 + 0,05} \right)\)

Giá trị ngôi nhà sau 4 năm: \({10^9} + {10^9}.0,05 + \left( {{{10}^9} + {{10}^9}.0,05} \right).0,05 = {10^9}.{\left( {1 + 0,05} \right)^2}\)

Lần lượt ta có giá trị ngôi nhà sau 12 năm: \({10^9} + {10^9}.0,05 + \left( {{{10}^9} + {{10}^9}.0,05} \right).0,05 = {10^9}.{\left( {1 + 0,05} \right)^6}\)

Sau khi chi tiêu hàng tháng thì số tiền tiết kiệm là \(40\% \) lương.

Có nghĩa là trong hai năm \(2023 - 2024\), số tiền tiết kiệm là: \(24.0,4a\)

Trong hai năm tiếp theo \(2025 - 2026\), số tiền tiết kiệm là: \(24.0,4a\left( {1 + 0,01} \right)\)

Tương tự vậy số tiền tiết kiệm được trong 12 năm là: \(24.0,4a\left[ {1 + \left( {1 + 0,1} \right) + {{\left( {1 + 0,1} \right)}^2} + {{\left( {1 + 0,1} \right)}^3} + {{\left( {1 + 0,1} \right)}^4} + {{\left( {1 + 0,1} \right)}^5}} \right] = 74,069856a\)

Để mua được nhà thì số tiền trên phải bằng số tiền sau \(12\) năm: \(74,069856a = {10^9}.1,{05^6} \Rightarrow a = 18092321\)

Vậy số \(a\) gần bằng \(18092000\).

Ta có: \(S = A \cdot {e^{nr}} \Leftrightarrow {e^{nr}} = \frac{S}{A} \Leftrightarrow nr = \ln \frac{S}{A} \Leftrightarrow n = \frac{1}{r}\ln \frac{S}{A}\)

với \(S = 93713700\) người; \(A = 80902400\) người; \(r = \frac{{1,47}}{{100}} = 0,0147/\)năm.

Suy ra \(n = \frac{1}{{0,0147}}\ln \frac{{93713000}}{{80902400}} \approx 10\).

Vậy tối thiểu đến năm 2015 thì dân số của Việt Nam có khoảng 93713000 người.

Khối lượng Poloni còn lại sau 100 ngày là:

\(m(100) = 100 \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{{100}}{{138}}}} \approx 60,515(\;g).\)