Đề kiểm tra Hàm số mũ. Hàm số lôgarit (có lời giải) - Đề 1
22 câu hỏi
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(a\) để hàm số \(y = {\left( {a + 1} \right)^x}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
\[a \ne - 1\].
\[a \in \mathbb{R}\].
\[a > - 1\].
\[a > 0\].
Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) \( \Leftrightarrow \,a + 1 > 1\, \Leftrightarrow a > 0\).
Tìm tập xác định \(D\) của hàm số \(y = {\left( {\frac{1}{5}} \right)^{\sqrt {x - 3} }}\).
\[D = \left[ {3; + \infty } \right)\].
\[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}\].
\[D = \left( {3; + \infty } \right)\].
\[D = \mathbb{R}\].
Điều kiện \(x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 3\).
Vậy tập xác định \(D = \left[ {3; + \infty } \right)\).
Tìm tập xác định \(D\) của hàm số \(y = {\log _5}\left( {2x + 6} \right)\).
\[D = \mathbb{R}\].
\[D = \left( {3; + \infty } \right)\].
\[D = \left( { - 3; + \infty } \right)\].
\[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 3} \right\}\].
Điều kiện \(2x + 6 > 0 \Leftrightarrow x > - 3\).
Vậy tập xác định \(D = \left( { - 3; + \infty } \right)\).
Tập giá trị của hàm số \(y = {3^{{x^2} + 1}}\) là
\[\mathbb{R}\].
\[\left( {0; + \infty } \right)\].
\(\left[ {3; + \infty } \right)\).
\[\left( {1; + \infty } \right)\].
Ta có \({x^2} + 1 \ge 1\)
Vì cơ số \(a = 3 > 1\) nên hàm số đồng biến \( \Rightarrow {3^{{x^2} + 1}} \ge {3^1} = 3\)
Vậy tập giá trị là \(\left[ {3; + \infty } \right)\).
Đường cong trong hình sau là đồ thị của hàm số nào?
\[y = \frac{1}{2}x + 3\].
\[y = {2^x}\].
\[y = {\left( {\sqrt 3 } \right)^x}\].
\[y = {\log _4}\left( {2x} \right)\].
Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ \[\left( {1;2} \right)\] (loại A, B, D) \[ \Rightarrow y = {2^x}\].
Tập giá trị của hàm số \(y = {5^x}\) là
\(\mathbb{R}\).
\(\left[ {0; + \infty } \right)\).
\[\left( {0; + \infty } \right)\].
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\).
Sử dụng tính chất: Hàm số \[y = {a^x}\left( {a > 0;a \ne 1} \right)\] có tập giá trị \(T = \left( {0; + \infty } \right)\).
Tìm tập xác định D của hàm số \(y = {\log _2}\left( {{x^2} - 2x - 3} \right)\).
\(D = \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right)\).
\(D = \left[ { - 1;3} \right]\).
\(D = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\).
\(D = \left( { - 1;3} \right)\).
Ta có điều kiện xác định \({x^2} - 2x - 3 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < - 1\\x > 3\end{array} \right.\) \( \Rightarrow D = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\).
Tập giá trị của hàm số \(y = {\log _{0,25}}\left( {{x^2} + 8} \right)\).
\[\mathbb{R}\].
\[\left( { - \infty ; - \frac{3}{2}} \right]\].
\[\left[ {\frac{3}{2}; + \infty } \right)\].
\[\left( {1; + \infty } \right)\]
Ta có \({x^2} + 8 \ge 8\)
Vì cơ số \(a = 0,25 < 1\) nên hàm số nghịch biến \( \Rightarrow {\log _{0,25}}\left( {{x^2} + 8} \right) \le {\log _{0,25}}8 = - \frac{3}{2}\)
Vậy tập giá trị là \(\left( { - \infty ; - \frac{3}{2}} \right]\).
Cho hàm số \(y = {a^x}\) và \(y = {b^x}\) có đồ thị như hình vẽ. Đường thẳng \(y = 4\) cắt trục tung, đồ thị \(y = {a^x}\), đồ thị \(y = {b^x}\) lần lượt tại các điểm \(A,B,C\) thỏa mãn \(AC = 3AB\). Khẳng định nào dưới đây đúng?
\[a = 3b\].
\[3a = b\].
\[{a^3} = b\].
\[a = {b^3}\].
Theo đề bài ta có tọa độ các điểm là \(A\left( {0;4} \right)\,,\,B\left( {{{\log }_a}4;4} \right)\) và \(C\left( {{{\log }_b}4;4} \right)\).
Theo giả thiết \(AC = 3AB \Leftrightarrow {\log _b}4 = 3{\log _a}4\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\log }_4}b}} = \frac{3}{{{{\log }_4}a}}\)
\( \Leftrightarrow {\log _4}a = 3{\log _4}b\, \Leftrightarrow \,a = {b^3}\)
Tìm tập xác định \(D\) của hàm số \(y = {\log _3}\left( {{x^2} + 3x + 2} \right) + {\log _4}\left( {x + 2} \right)\).
\[D = \left( { - 1; + \infty } \right)\].
\[D = \left( { - 2; + \infty } \right)\].
\[D = \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( { - 1; + \infty } \right)\].
\[D = \left( { - \infty ; - 2} \right)\].
Điều kiện xác định \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 3x + 2 > 0\\x + 2 > 0\end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}x \in \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( { - 1; + \infty } \right)\\x > - 2\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \,x \in \left( { - 1; + \infty } \right)\).
Vậy tập xác định \(D = \left( { - 1; + \infty } \right)\)
Cường độ ánh sáng đi qua môi trường khác không khí (chẳng hạn sương mù, nước,…) sẽ giảm dần tùy thuộc độ dày của môi trường và hằng số \[\mu \] gọi là khả năng hấp thu của môi trường, tùy thuộc môi trường thì khả năng hấp thu tính theo công thức \[I = {I_0}{e^{ - \mu x}}\] với \[x\] là độ dày của môi trường đó và được tính bằng đơn vị mét. Biết rằng nước biển có \[\mu = 1,4\]. Hãy tính cường độ ánh sáng giảm đi bao nhiêu khi từ độ sâu 2m xuống đến 20m?
\({e^{25,2}}\).
\[{e^{22,5}}\].
\({e^{32,5}}\).
\[{e^{52,5}}\].
Cường độ ánh sáng thay đổi khi từ độ sâu \[{x_1}\] đến độ sâu \[{x_2}\] là:
\[\frac{{{I_1}}}{{{I_2}}} = \frac{{{I_0}{e^{ - \mu {x_1}}}}}{{{I_0}{e^{ - \mu {x_2}}}}} = {e^{\mu \left( {{x_2} - {x_1}} \right)}} = {e^{25,2}}\].
E.coli là vi khuẩn đường ruột gây bệnh tiêu chảy, đau bụng dữ dội. Cứ sau 20 phút thì số lượng vi khuẩn E.coli tăng gấp đôi. Ban đầu có 20 vi khuẩn E.coli trong đường ruột. Hỏi sau bao nhiêu giờ, số lượng vi khuẩn E.coli lớn hơn \(81920\) con?
\[12\] giờ.
\[3\]giờ.
\[4\]giờ.
\[6\]giờ.
Vì cứ sau 20 phút (bằng \(\frac{1}{3}\) giờ) số lượng vi khuẩn tăng gấp đôi nên số lượng vi khuẩn tăng theo quy luật \({N_n} = {N_0}{.2^n} = {20.2^n} > 81920\)\( \Rightarrow n > 12\)
Vậy sau \(12.\frac{1}{3} = 4\) giờ thì số vi khuẩn đạt mức lớn hơn \(81920\) con.
Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Hàm số \(y = {\log _3}x\) đồng biến trên tập xác định.
Đồ thị các hàm số \(y = {\left( {\sqrt 2 } \right)^x}\) và \(y = {\log _{\sqrt 2 }}x\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
Hàm số \(y = {a^x}\), \(\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) là hàm số chẵn.
Đồ thị các hàm số \(y = {3^x}\) và \(y = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x}\) đối xứng với nhau qua trục tung \(Oy\).
a) Đúng | b) Sai | c) Sai | d) Đúng |
Hàm số \(y = {\log _3}x\) có cơ số \(a = 3 > 1\) nên đồng biến trên tập xác định, a đúng.
Đồ thị các hàm số \(y = {\left( {\sqrt 2 } \right)^x}\) và \(y = {\log _{\sqrt 2 }}x\) không cắt nhau do \({\left( {\sqrt 2 } \right)^x} > x,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\) và \({\log _{\sqrt 2 }}x < 1,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\). Thật vậy xét hàm số \(f\left( x \right) = {\left( {\sqrt 2 } \right)^x} - x\) trên khảng \(\left( {0; + \infty } \right)\), ta có \(f'\left( x \right) = {\left( {\sqrt 2 } \right)^x}\ln \sqrt 2 - 1 > 0,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\) , b sai.
Hàm số \(y = {a^x},{\rm{ }}\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) có \({a^{ - x}} \ne {a^x}\) nên không là hàm số chẵn, c sai.
Hàm số \(y = f\left( x \right) = {3^x}\) và \(y = g\left( x \right) = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x}\) có \({\left( {\frac{1}{3}} \right)^x} = {3^{ - x}} \Rightarrow g\left( x \right) = f\left( { - x} \right)\), d đúng
Tìm được điều kiện của \(a,b\) biết:
\({a^{\frac{{\sqrt 3 }}{3}}} > {a^{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}}\)\( \Rightarrow 0 < a < 1\).
\({(a - 1)^{\frac{{ - 3}}{4}}} > {(a - 1)^{\frac{{ - 4}}{5}}}\)\( \Rightarrow a > 2\).
\({\log _b}\frac{3}{4} < {\log _b}\frac{4}{5}\)\( \Rightarrow b > 1\)
\({\log _a}5 > {\log _a}6\)\( \Rightarrow a > 1\)
a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Sai |
a) Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{a^{\frac{{\sqrt 3 }}{3}}} > {a^{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}}}\\{\frac{{\sqrt 3 }}{3} < \frac{{\sqrt 2 }}{2}}\end{array} \Rightarrow 0 < a < 1} \right.\).
b) Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{(a - 1)}^{\frac{{ - 3}}{4}}} > {{(a - 1)}^{\frac{{ - 4}}{5}}}}\\{\frac{{ - 3}}{4} > \frac{{ - 4}}{5}}\end{array} \Rightarrow (a - 1) > 1 \Leftrightarrow a > 2} \right.\).
c) Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\log }_b}\frac{3}{4} < {{\log }_b}\frac{4}{5}}\\{\frac{3}{4} < \frac{4}{5}}\end{array} \Rightarrow b > 1} \right.\).
d) \({\log _a}5 > {\log _a}6\)\( \Rightarrow 0 < a < 1\)
So sánh được các cặp số sau. Khi đó:
\({a^{6,2}} > {a^{6,32}} \Rightarrow a < 1\)
\({\log _a}(\sqrt 3 - 1) < {\log _a}(\sqrt 2 + 1) \Rightarrow a > 1\)
\({(2 - a)^{\frac{3}{4}}} > {(2 - a)^2} \Rightarrow a > 1\)
\({(2 - a)^{ - \frac{1}{3}}} > {(2 - a)^{ - \frac{1}{2}}} \Rightarrow a < 1\).
a) Sai | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng |
a) \({a^{6,2}} > {a^{6,32}} \Rightarrow 0 < a < 1\)
b) \({\log _a}(\sqrt 3 - 1) < {\log _a}(\sqrt 2 + 1) \Rightarrow a > 1\)
c) Xét hàm số mũ \(y = {(2 - a)^x}\), trong đó \(2 - a > 0,\forall a < 2\).
Ta biết hàm số này đơn điệu trên \(\mathbb{R}\) (hoặc đồng biến, hoặc nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) ) và \({(2 - a)^{\frac{3}{4}}} > {(2 - a)^2}\) mà \(\frac{3}{4} < 2\) nên hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).
Suy ra \((2 - a) \in (0;1) \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2 - a > 0}\\{2 - a < 1}\end{array} \Rightarrow 1 < a < 2} \right.\).
d) Xét hàm số mũ \(y = {(2 - a)^x}\), trong đó \(2 - a > 0,\forall a < 2\).
Ta biết hàm số này đơn điệu trên \(\mathbb{R}\) và \({(2 - a)^{ - \frac{1}{3}}} > {(2 - a)^{ - \frac{1}{2}}}\) mà \( - \frac{1}{3} > - \frac{1}{2}\) nên hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\). Suy ra \(2 - a > 1 \Rightarrow a < 1\).
Vẽ được đồ thị của các hàm số sau. Khi đó:
Đồ thị \(y = {\log _{\frac{1}{3}}}x\) có dạng bên:
Đồ thị \(y = {4^x}\) có dạng bên:
Đồ thị \(y = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x}\)có dạng bên:
Đồ thị \(y = {\log _3}x\) có dạng bên:
a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Đúng |
a) Hàm số \(y = {\log _{\frac{1}{3}}}x\) có bảng giá trị:
Đồ thị của hàm số \(y = {\log _{\frac{1}{3}}}x\):
b) Hàm số \(y = {4^x}\) có bảng giá trị:
Đồ thị của hàm số \(y = {4^x}\):
c) Hàm số \(y = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x}\) nghịch biến trên \(R\). Hàm số qua các điểm \((0;1),( - 1;3)\), \(\left( {1;\frac{1}{3}} \right)\) và nằm trên trục hoành. Đồ thị:
d) Hàm số \(y = {\log _3}x\) đồng biến trên \((0; + \infty )\). Hàm số qua các điểm \((1;0),(3;1)\), \(\left( {\frac{1}{3}; - 1} \right)\) và nằm bên phải trục tung. Đồ thị:
Tìm \(m\) để hàm số \(y = \log \left( {{x^2} - 2mx + 4} \right)\) xác định với mọi \(x\) thuộc \(\mathbb{R}\) .
Hàm số xác định với mọi \(x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow {x^2} - 2mx + 4 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 1 > 0}\\{{\Delta ^\prime } = {m^2} - 4 < 0}\end{array} \Leftrightarrow - 2 < m < 2.} \right.\)
Vậy \( - 2 < m < 2\) thoả mãn đề bài.
Tìm tập xác định của hàm số: \(y = {\left( {9 - {x^2}} \right)^{\frac{1}{3}}} + {\log _2}(x - 1)\).
Hàm số đã cho xác định khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{9 - {x^2} > 0}\\{x - 1 > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 3 < x < 3}\\{x > 1}\end{array} \Leftrightarrow 1 < x < 3} \right.} \right.\).
Vậy \(D = (1;3)\).
Tập xác định của hàm số \[y = {\log _2}\left( {3 - x} \right)\]là:
Hàm số \[y = {\log _2}\left( {3 - x} \right)\]có nghĩa khi: \[3 - x > 0 \Leftrightarrow x < 3\]
Tập xác định của hàm số là: \[\left( { - \infty ;3} \right)\].
Một sinh viên ra trường đi làm ngày \(1/1/2023\) với mức lương khởi điểm là \(a\) đồng mỗi tháng và cứ sau 2 năm lại được tăng thêm \(10\% \) và chi tiêu hàng tháng của anh ta là \(60\% \) lương, phần còn lại tiết kiệm hết để mua nhà. Giá trị hiện tại của căn nhà là 1 tỷ đồng và cũng sau 2 năm thì giá trị tăng thêm \(5\% \). Với mức lương khởi điểm \(a\) là bao nhiêu thì sau \(12\) năm anh ta mua được nhà (kết quả quy tròn đến hàng nghìn đồng).
Đầu tiên ta tính giá trị của ngôi nhà sau \(12\) năm:
Giá trị ngôi nhà sau 2 năm: \({10^9} + {10^9}.0,05 = {10^9}.\left( {1 + 0,05} \right)\)
Giá trị ngôi nhà sau 4 năm: \({10^9} + {10^9}.0,05 + \left( {{{10}^9} + {{10}^9}.0,05} \right).0,05 = {10^9}.{\left( {1 + 0,05} \right)^2}\)
Lần lượt ta có giá trị ngôi nhà sau 12 năm: \({10^9} + {10^9}.0,05 + \left( {{{10}^9} + {{10}^9}.0,05} \right).0,05 = {10^9}.{\left( {1 + 0,05} \right)^6}\)
Sau khi chi tiêu hàng tháng thì số tiền tiết kiệm là \(40\% \) lương.
Có nghĩa là trong hai năm \(2023 - 2024\), số tiền tiết kiệm là: \(24.0,4a\)
Trong hai năm tiếp theo \(2025 - 2026\), số tiền tiết kiệm là: \(24.0,4a\left( {1 + 0,01} \right)\)
Tương tự vậy số tiền tiết kiệm được trong 12 năm là: \(24.0,4a\left[ {1 + \left( {1 + 0,1} \right) + {{\left( {1 + 0,1} \right)}^2} + {{\left( {1 + 0,1} \right)}^3} + {{\left( {1 + 0,1} \right)}^4} + {{\left( {1 + 0,1} \right)}^5}} \right] = 74,069856a\)
Để mua được nhà thì số tiền trên phải bằng số tiền sau \(12\) năm: \(74,069856a = {10^9}.1,{05^6} \Rightarrow a = 18092321\)
Vậy số \(a\) gần bằng \(18092000\).
Dân số thế giới được tính theo công thức \(S = A\). e \(^{nr}\) trong đó \(A\) là dân số của năm lấy làm mốc tính, \(S\) là dân số sau \(n\) năm, \(r\) là tỉ lệ tăng dân số hằng năm. Cho biết năm 2005 Việt Nam có khoảng 80902400 người và tỉ lệ tăng dân số là \(1,47\% \) một năm. Như vậy, nếu tỉ lệ tăng dân số hàng năm không đổi thì tối thiểu đến năm bao nhiêu dân của Việt Nam có khoảng 93713000 người?
Ta có: \(S = A \cdot {e^{nr}} \Leftrightarrow {e^{nr}} = \frac{S}{A} \Leftrightarrow nr = \ln \frac{S}{A} \Leftrightarrow n = \frac{1}{r}\ln \frac{S}{A}\)
với \(S = 93713700\) người; \(A = 80902400\) người; \(r = \frac{{1,47}}{{100}} = 0,0147/\)năm.
Suy ra \(n = \frac{1}{{0,0147}}\ln \frac{{93713000}}{{80902400}} \approx 10\).
Vậy tối thiểu đến năm 2015 thì dân số của Việt Nam có khoảng 93713000 người.
Trong vật lí, sự phân rã các chất phóng xạ được cho bởi công thức:
\(m(t) = {m_0}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{t}{T}}}\)Trong đó, \({m_0}\) là khối lượng chất phóng xạ ban đầu (tại thời điểm \(\left. {t = 0} \right),m(t)\) là khối lượng chất phóng xạ tại thời điểm \(t\) và \(T\) là chu kì bán rã.
Hạt nhân Poloni \((Po)\) là chất phóng xạ \(\alpha \) có chu kì bán rã 138 ngày. Giả sử lúc đầu có 100 Poloni. Tính khối lượng Poloni còn lại sau 100 ngày theo đơn vị gam (làm tròn kết quả đến phần nghìn).
Khối lượng Poloni còn lại sau 100 ngày là:
\(m(100) = 100 \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{{100}}{{138}}}} \approx 60,515(\;g).\)
