Đề kiểm tra Hàm số lớp 10 (có lời giải) - Đề 1

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;0} \right).\)

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right).\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).

Hàm số đã cho đồng biến trên \(\mathbb{R} \Leftrightarrow \) \[m - 4 > 0 \Leftrightarrow m > 4\]

Dựa vào biểu đồ, tập xác định của hàm số là \(D = \left\{ {1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12} \right\}\).

a) \({y_1} = f(1) = 4\)

b) \({y_2} = f(2) = 5\)

c) \({y_3} = f(3) = 10\)

d) \({y_4} = f(4) = 19\)

a) Hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 2x + 3}}{{x + 7}}\) xác định khi \(x + 7 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne  - 7\).

Vậy tập xác định của hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 2x + 3}}{{x + 7}}\) là \(D = \mathbb{R}\backslash \{  - 7\} \).

b) Hàm số \(y = \sqrt {x - 6} \) xác định khi \(x - 6 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 6\).

Vậy tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {x - 6} \) là \(D = [6; + \infty )\).

c) Tập xác định của hàm số \(y = 3{x^2}\) là \(D = \mathbb{R}\).

d) Hàm số \(y = \sqrt {1 - {x^2}} \) xác định khi \(1 - {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow  - 1 \le x \le 1\).

Vậy tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {1 - {x^2}} \) là \(D = [ - 1;1]\).

Dựa vào đồ thị ta có:

- Đồ thị của hàm số \(y =  - 2x + 3\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

- Đồ thị hàm số \(y = 2{x^2}\) nghịch biến trên khoảng \(( - \infty ;0)\) và đồng biến trên khoảng \((0; + \infty )\).

a) \(y = |2x - 3|;y\) là một hàm số của \(x\), vì ứng với mỗi giá trị thực \(x\) chỉ cho đúng một giá trị \(y\).

b) \({x^2} + {y^2} = 4;y\) không là hàm số của \(x\), vì khi \(x = 0\) thì ta tìm được hai giá trị là \(y = 2,y =  - 2\).

c) \(x = |y|;y\) không là hàm số của \(x\), vì khi \(x = 1\) thì ta tìm được hai giá trị là \(y = 1,y =  - 1\)

d) \(y = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{\sqrt 2 }}{x}}&{{\rm{ khi }}x \ne 0}\\0&{{\rm{ khi }}x = 0}\end{array}} \right.\); là một hàm số của \(x\), vì ứng với mỗi giá trị thực \(x\) chỉ cho đúng một giá trị \(y\).

Hàm số xác định khi và chỉ khi \(\frac{{3 - x}}{{x + 2}} \ge 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3 - x \ge 0}\\{x + 2 > 0}\end{array} \vee \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3 - x \le 0}\\{x + 2 < 0}\end{array}} \right.} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \le 3}\\{x >  - 2}\end{array} \vee \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 3}\\{x <  - 2}\end{array} \Leftrightarrow  - 2 < x \le 3} \right.} \right.\). Tập xác định hàm số: \(D = ( - 2;3]\).

Hàm số xác định trên \((0;1) \Leftrightarrow (0;1) \subset [m - 2;m - 1) \cup (m - 1; + \infty )\)

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{(0;1) \subset [m - 2;m - 1)}\\{(0;1) \subset (m - 1; + \infty )}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 2}\\{m - 1 \le 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 2}\\{m \le 1}\end{array}} \right.} \right.} \right.\).

Vậy \(m \in ( - \infty ;1] \cup \{ 2\} \) là giá trị cần tìm.

Xét \(T = \frac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}\) với mọi \({x_1},{x_2} \in \mathbb{R},{x_1} \ne {x_2}\).

Ta có: \(f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right) = \left[ {(2m - 1){x_2} + m + 3} \right] - \left[ {(2m - 1){x_1} + m + 3} \right] = (2m - 1)\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\).

Suy ra: \(T = \frac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = 2m - 1\). Điều kiện để hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) là \(T = 2m - 1 > 0 \Rightarrow m > \frac{1}{2}\). Vậy với \(m > \frac{1}{2}\) thì hàm số đã cho đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Xét một người mua \(x\) gói kẹo ( \(x\) nguyên dương). Khi đó: Gói thứ nhất người đó trả 60000 đồng.

Số gói kẹo còn lại là \(x - 1\) và người đó chỉ phải trả

\(60000 - 10\% 60000 = 54000\) đồng (mỗi gói).

Vậy số tiền phải trả khi mua kẹo được tính theo công thức \(y = 60000 + (x - 1) \cdot 54000 = 54000x + 6000\).

Số tiền bạn An dùng mua kẹo phải không quá 500000 đồng, suy ra: \(54000x + 6000 \le 500000 \Rightarrow x \le \frac{{247}}{{27}} \approx 9,148\).

Vậy, với số tiền hiện có, bạn An chỉ có thể mua được tối đa 9 gói kẹo.

Hàm số xác định \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 3a - 2 \ge 0}\\{a + 2 - x \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 2 - 3a}\\{x \le a + 2}\end{array}} \right.} \right.\).

Trường hợp 1: \(2 - 3a > a + 2 \Leftrightarrow a < 0\). Khi đó tập xác định hàm số \(D = \emptyset \) không thể chứa đoạn \([ - 1;1]\).

Trường hợp 2: \(2 - 3a \le a + 2 \Leftrightarrow a \ge 0\quad (*)\). Khi đó tập xác định hàm số \(D = [2 - 3a;a + 2]\)

Hàm số xác định \(\forall x \in [ - 1;1] \Leftrightarrow [ - 1;1] \subset [2 - 3a;a + 2]\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2 - 3a \le  - 1}\\{1 \le a + 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a \ge 1}\\{a \ge  - 1}\end{array} \Leftrightarrow a \ge 1} \right.} \right.\) (thỏa \(\left( * \right)\)).

Vậy với \(a \ge 1\) thì hàm số đã cho xác định với mọi \(x \in [ - 1;1]\).

ĐKXĐ: \(x \ne m\). Hàm số xác định trên \(( - 1;0) \Leftrightarrow m \notin ( - 1;0) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ge 0}\\{m \le  - 1}\end{array}} \right.\).