Đề kiểm tra Các khái niệm mở đầu lớp 10 (có lời giải) - Đề 2

Chọn C

Chọn D

Chọn D

Chọn A

Chọn D

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}MN{\rm{//}}PQ\\MN = PQ\end{array} \right.\) (do cùng song song và bằng \(\frac{1}{2}AC\)).

Do đó MNPQ là hình bình hành.

Chọn D

Ta có \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\).

Do đó $BC=2MN\stackrel{}{\to }\left|\overrightarrow{BC}\right|=2\left|\overrightarrow{MN}\right|.$

Chọn B

Ta có:

\(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {CD}  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB\parallel CD\\AB = CD\end{array} \right. \Rightarrow ABDC\) là hình bình hành.

Mặt khác, \(ABDC\) là hình bình hành \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB\parallel CD\\AB = CD\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {CD} \).

Do đó, điều kiện cần và đủ để \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {CD} \) là \(ABDC\) là hình bình hành.

Chọn C

Có 3 đường thẳng song song với MN là AC, AP, PC

Nên có 7 vectơ

\(\overrightarrow {NM} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {AP} ,\overrightarrow {PA} ,\overrightarrow {PC} ,\overrightarrow {CP} \)

Chọn A

Chọn C

Vì tam giác đều nên \(AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = 2a\)

Chọn A

a) Do \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\) nên \(MN = \frac{1}{2}BC\).

b) Điểm \(P\) đối xứng với điểm \(M\) qua \(N\) nên \(MP = 2MN = BC\), do đó \(|\overrightarrow {MP} | = |\overrightarrow {BC} |\). (1)

c) Xét nửa mặt phẳng bờ \(AB\) chứa \(C\), ta có \(N\) là trung điểm \(AC\) nên \(N\) và \(C\) cùng phía \(AB\) hay cùng phía \(MB\) do đó \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow {BC} \) cùng hướng. Lại có \(P\) đối xứng \(M\) qua \(N\) nên \(MP\) và \(MN\) cùng hướng, dễ thấy \(\overrightarrow {MN}  \ne \overrightarrow 0 \) nên \(MP\) và \(BC\) cùng hướng. (2)

d) Từ \((1)\) và \((2)\), suy ra \(\overrightarrow {MP}  = \overrightarrow {BC} \).

a) \(\overrightarrow {AB} \) cùng phương với \(\overrightarrow {MN} \)

b) Có 7 vec tơ khác vec tơ không và cùng phương với \(\overrightarrow {AB} \) là: \(\overrightarrow {AP} ,\overrightarrow {PA} ,\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BP} ,\overrightarrow {PB} ,\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {NM} \).

c) \(\overrightarrow {AP} \)cùng hướng \(\overrightarrow {PB} \)

d) Có 3 vectơ khác vectơ không cùng hướng với \(\overrightarrow {AB} \) là \(\overrightarrow {AP} ,\overrightarrow {PB} ,\overrightarrow {NM} \).

a) vectơ \(\overrightarrow {OA} \) cùng phương với \(\overrightarrow {OD} \)

b) Có 9 vectơ khác vectơ không và cùng phương với vectơ \(\overrightarrow {OA} \):\(\overrightarrow {AO} ,\overrightarrow {OD} ,\overrightarrow {DO} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {DA} ,\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CB} ,\overrightarrow {EF} ,\overrightarrow {FE} \).

c) vectơ \(\overrightarrow {AB} \)cùng hướng \(\overrightarrow {OC} \)

d) Có 4 vectơ khác vectơ không và cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow {AB} \) là: \(\overrightarrow {FO} ,\overrightarrow {OC} ,\overrightarrow {FC} ,\overrightarrow {ED} \).

a) Ta có \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\) nên: \(\left\{ \begin{array}{l}MN\parallel AC\\MN = \frac{1}{2}AC\end{array} \right.\left( 1 \right)\)

b) Tương tự, \(PQ\) là đường trung bình của tam giác \(ACD\) nên: \(\left\{ \begin{array}{l}PQ\parallel AC\\PQ = \frac{1}{2}AC\end{array} \right.\left( 2 \right)\)

c) Từ (1), (2) suy ra tứ giác \(MNPQ\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {QP} \).

Ta có \(MN//PQ,MN = PQ\) (do cùng song song và bằng \(\frac{1}{2}AC\) ). Do đó \(MNPQ\) là hình bình hành.

Vậy các vec tơ cùng hướng với vec tơ \(\overrightarrow {MN} \) là: \(\overrightarrow {QP} ,\overrightarrow {AC} \)

Ta có tứ giác \(DMBN\) là hình bình hành vì

\(DM = NB = \frac{1}{2}AB,DM//NB\).

Suy ra \(\overrightarrow {DM}  = \overrightarrow {NB} \).

Xét tam giác \(CDQ\) có \(M\) là trung điểm của \(DC\) và \(MP//QC\) do đó \(P\) là trung điểm của \(DQ\).

Tương tự xét tam giác \(ABP\) suy ra được \(Q\) là trung điểm của \(PB\)

Vì vậy \(DP = PQ = QB\) từ đó suy ra \(\overrightarrow {DP}  = \overrightarrow {PQ}  = \overrightarrow {QB} \)

Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AB//DC}\\{AB = DC}\end{array}} \right.\)

Mà \(AB//DC \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DC} \) cùng phương, do đó cùng hướng.

\(\begin{array}{*{20}{r}}{}&{\; \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DC} {\rm{\;c\`u ng}}\,{\rm{huong\;}}}\\{AB = DC}\end{array}} \right.}\\{}&{\; \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} }\end{array}\)

Vậy tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành khi và chỉ khi \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} \).

Tứ giác \({\rm{ABCD}}\) là một hình bình hành \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AD//BC}\\{AD = BC}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \) Hai vecto \(\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {BC} \) cùng hướng và \({\rm{AD}} = {\rm{BC}}\).

Tập hợp S là

\(S = \{ \overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {AD} ;\overrightarrow {AO} ;\overrightarrow {BA} ;\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BD} ;\overrightarrow {BO} ;\)\(\overrightarrow {CB} ;\overrightarrow {CA} ;\overrightarrow {CD} ;\overrightarrow {CO} ;\overrightarrow {DB} ;\overrightarrow {DC} ;\overrightarrow {DA} ;\overrightarrow {DO} ;\overrightarrow {OB} \)\(\overrightarrow {OC} ;\overrightarrow {OD} ;\overrightarrow {OA} \} \)

Các nhóm trong S là

\(\begin{array}{*{20}{r}}{}&{\;\left\{ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {DC} } \right\},\left\{ {\overrightarrow {BA} ;\overrightarrow {CD} } \right\},\left\{ {\overrightarrow {AD} ;\overrightarrow {BC} } \right\},\left\{ {\overrightarrow {DA} ;\overrightarrow {CB} } \right\}}\\{}&{\;\left\{ {\overrightarrow {AO} ;\overrightarrow {OC} } \right\},\left\{ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow {CO} } \right\},\left\{ {\overrightarrow {OB} ;\overrightarrow {DO} } \right\},\left\{ {\overrightarrow {BO} ;\overrightarrow {OD} } \right\}}\end{array}\)