10 Bài tập Chứng minh hai vectơ bằng nhau, hai vectơ đối nhau (có lời giải)

Đáp án đúng là: A.

Xét tam giác ABC có: N là trung điểm của AC, do đó: NA = CN \( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {NA} } \right| = \left| {\overrightarrow {CN} } \right|\)

Ta có: \(\overrightarrow {NA} \) và \(\overrightarrow {CN} \) có cùng giá là đường thẳng AC.

Nên hai vectơ \(\overrightarrow {NA} \) và \(\overrightarrow {CN} \) cùng phương.

Mà \(\overrightarrow {NA} \) và \(\overrightarrow {CN} \) cùng hướng từ phải sang trái.

Vậy \(\overrightarrow {NA} \) = \(\overrightarrow {CN} \).

Xét tam giác ABC có: M là trung điểm của AB, do đó: AM = BM \( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {BM} } \right| = \left| {\overrightarrow {AM} } \right|\)

Ta có: hai vectơ \(\overrightarrow {BM} \) và \(\overrightarrow {AM} \) có cùng giá là đường thẳng AB.

Mà \(\overrightarrow {BM} \)có hướng từ phải sang trái và \(\overrightarrow {AM} \) có hướng từ trái sang phải

Do đó, chúng ngược hướng.

Vậy hai vectơ \(\overrightarrow {BM} \) và \(\overrightarrow {AM} \) đối nhau.

Đáp án đúng là: B.

Xét tam giác ABC có:

N là trung điểm của AC có: NC = \(\frac{1}{2}\)AC (1)

M là trung điểm của AB, P là trung điểm của BC nên MP là đường trung bình của tam giác ABC, do đó: MP = \(\frac{1}{2}\)AC (2), MP // AC (3)

Từ (1) và (2) ta suy ra: NC = MP hay \(\left| {\overrightarrow {NC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MP} } \right|\).

Từ (3) ta có: hai vectơ \(\overrightarrow {NC} \) và \(\overrightarrow {MP} \) cùng phương, mà chúng cùng hướng đi từ trái sang phải.

Vậy \(\overrightarrow {NC} \) = \(\overrightarrow {MP} \).

Đáp án đúng là: D.

Xét tam giác ABC có:

M là trung điểm của AB có: MB = \(\frac{1}{2}\)AB (1)

P là trung điểm của BC, N là trung điểm của AC nên PN là đường trung bình của tam giác ABC, do đó: PN = \(\frac{1}{2}\)AB (2), PN // AB (3)

Từ (1) và (2) ta suy ra: MB = PN hay \(\left| {\overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {PN} } \right|\)

Từ (3) ta có: hai vectơ \(\overrightarrow {PN} \) và \(\overrightarrow {MB} \) cùng phương, mà chúng ngược hướng nhau.

Vậy hai vectơ \(\overrightarrow {PN} \) và \(\overrightarrow {MB} \) đối nhau.

Đáp án đúng là: A.

Xét hình vuông ABCD tâm O có:

OA = CO = \(\frac{1}{2}\)AC

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OA} } \right| = \left| {\overrightarrow {CO} } \right|\) (1)

Mặt khác, \(\overrightarrow {OA} \) và \(\overrightarrow {CO} \) có cùng giá là đường thẳng AC

Do đó, \(\overrightarrow {OA} \) và \(\overrightarrow {CO} \) cùng phương, mà chúng cùng hướng (2)

Từ (1) và (2) ta kết luận: \(\overrightarrow {CO} \) = \(\overrightarrow {OA} \).

Đáp án đúng là: D.

Xét hình vuông ABCD tâm O có:

OB = OD = \(\frac{1}{2}\)BD

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {OD} } \right|\) (1)

Mặt khác, hai vectơ \(\overrightarrow {OB} \) và \(\overrightarrow {OD} \) có cùng giá là đường thẳng BD

Do đó, hai vectơ \(\overrightarrow {OB} \) và \(\overrightarrow {OD} \) cùng phương, mà chúng ngược hướng (2)

Từ (1) và (2) ta kết luận: \(\overrightarrow {OB} \) = –\(\overrightarrow {OD} \).

Đáp án đúng là: C.

Xét hình vuông ABCD có:

BC // AD, do đó hai vectơ \(\overrightarrow {KC} \) và \(\overrightarrow {AN} \) cùng phương, mà chúng cùng hướng đi từ trái sang phải nên hai vectơ \(\overrightarrow {KC} \) và \(\overrightarrow {AN} \) cùng hướng (1).

Mặt khác: \(KC = \frac{1}{2}BC\) (do K là trung điểm của BC); \(AN = \frac{1}{2}AD\) (do N là trung điểm của AD).

Mà BC = AD (do ABCD là hình vuông)

\( \Rightarrow KC = AN \Rightarrow \left| {\overrightarrow {KC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AN} } \right|\)   (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\overrightarrow {KC} = \overrightarrow {AN} \).

Đáp án đúng là: A.

Xét hình vuông ABCD có: Q là trung điểm của AB và L là trung điểm của CD.

Nên QL là đường trung bình của hình vuông ABCD.

Suy ra: BC //= QL và QL đi qua tâm O của hình vuông.

Do đó: \(\overrightarrow {OQ} \) và \(\overrightarrow {KC} \) cùng phương, mà chúng có hướng ngược nhau nên hai vectơ  \(\overrightarrow {OQ} \) và \(\overrightarrow {KC} \) ngược hướng (1).

Mà: \(KC = \frac{1}{2}BC\); \(OQ = \frac{1}{2}QL\); BC = QL.

 \( \Rightarrow KC = OQ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {KC} } \right| = \left| {\overrightarrow {OQ} } \right|\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra, \(\overrightarrow {OQ} = - \overrightarrow {KC} \), vậy A sai.

Đáp án đúng là: B.

Xét hình thoi ABCD có:

AB = CD

Mà E là trung điểm của AB nên BE = \(\frac{1}{2}\)AB

G là trung điểm của CD nên GD = \(\frac{1}{2}\)CD

Do đó, BE = GD \( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {BE} } \right| = \left| {\overrightarrow {GD} } \right|\)   (1)

Và: AB // CD

Do đó, \(\overrightarrow {BE} ,\,\,\overrightarrow {GD} \) cùng phương, hơn nữa chúng cùng hướng  (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(\overrightarrow {BE} = \overrightarrow {GD} \).

Đáp án đúng là: A.

Xét tam giác ABD có:

AB = AD (do ABCD là hình thoi)

Do đó, tam giác ABD cân tại A.

E là trung điểm của AB

F là trung điểm của AD

Do đó, EF là đường trung bình của tam giác ABD.

Lại có AI là đường cao của tam giác cân ABD (do I là giao hai đường chéo của hình thoi nên AC vuông góc với BD tại I)

Mà EF cắt AI tại L.

Từ đó ta suy ra L là trung điểm của AI.

Xét tam giác BAC có:

BA = BC (do ABCD là hình thoi)

Do đó, tam giác BAC cân.

E là trung điểm của AB

H là trung điểm của BC

Do đó, EH là đường trung bình của tam giác BAC.

Tương tự, BI là đường cao của tam giác BAC.

Mà EH cắt BI tại J

Từ đó suy ra J là trung điểm của BI.

Xét tam giác AIB có:

J là trung điểm của BI

L là trung điểm của AI

Do đó, JL là đường trung bình của tam giác AIB

\( \Rightarrow JL = \frac{1}{2}AB\) (1), JL // AB (2)

Xét hình thoi ABCD có:

AB = CD (3)

AB // CD (4)

Do G là trung điểm của CD nên ta có: \(GD = \frac{1}{2}CD\) (5)

Từ (1), (3), (5) ta suy ra: JL = GD nên \(\left| {\overrightarrow {JL} } \right| = \left| {\overrightarrow {GD} } \right|\) (6)

Từ (2), (4) và (6) ta suy ra: \(\overrightarrow {JL} = \overrightarrow {GD} \) (do chúng cùng phương, cùng hướng và có độ dài bằng nhau).

Vậy A sai.