10 Bài tập Chứng minh hai vectơ bằng nhau, hai vectơ đối nhau (có lời giải)
10 câu hỏi
Cho tam giác ABC có M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC như hình vẽ.
Vectơ nào bằng vectơ NA→ ?
CN→
NB→
MN→
NC→
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A.
Xét tam giác ABC có: N là trung điểm của AC, do đó: NA = CN ⇒NA→=CN→
Ta có: NA→ và CN→ có cùng giá là đường thẳng AC.
Nên hai vectơ NA→ và CN→ cùng phương.
Mà NA→ và CN→ cùng hướng từ phải sang trái.
Vậy NA→ = CN→.
Cho tam giác ABC có M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Vectơ nào là vectơ đối của vectơ BM→ ?
CN→
NB→
AM→
AN→
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C.
Xét tam giác ABC có: M là trung điểm của AB, do đó: AM = BM ⇒BM→=AM→
Ta có: hai vectơ BM→ và AM→ có cùng giá là đường thẳng AB.
Mà BM→ có hướng từ phải sang trái và AM→ có hướng từ trái sang phải
Do đó, chúng ngược hướng.
Vậy hai vectơ BM→ và AM→ đối nhau.
Cho tam giác ABC có M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC, BC của tam giác ABC. Vectơ nào sau đây bằng vectơ NC→.
CN→
MP→
AM→
NA→
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B.
Xét tam giác ABC có:
N là trung điểm của AC có: NC = 12AC (1)
M là trung điểm của AB, P là trung điểm của BC nên MP là đường trung bình của tam giác ABC, do đó: MP = 12AC (2), MP // AC (3)
Từ (1) và (2) ta suy ra: NC = MP hay NC→=MP→.
Từ (3) ta có: hai vectơ NC→ và MP→ cùng phương, mà chúng cùng hướng đi từ trái sang phải.
Vậy NC→ = MP→.
Cho tam giác ABC có M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC, BC của tam giác ABC. Vectơ nào sau đây là vectơ đối của PN→.
CN→
MN→
MP→
MB→
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D.
Xét tam giác ABC có:
M là trung điểm của AB có: MB = 12AB (1)
P là trung điểm của BC, N là trung điểm của AC nên PN là đường trung bình của tam giác ABC, do đó: PN = 12AB (2), PN // AB (3)
Từ (1) và (2) ta suy ra: MB = PN hay MB→=PN→
Từ (3) ta có: hai vectơ PN→ và MB→ cùng phương, mà chúng ngược hướng nhau.
Vậy hai vectơ PN→ và MB→ đối nhau.
Cho hình vuông ABCD tâm O như hình vẽ sau:
Vectơ nào sau đây bằng vectơ OA→?
CO→
OD→
AO→
BO→
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A.
Xét hình vuông ABCD tâm O có:
OA = CO = 12AC
⇒OA→=CO→ (1)
Mặt khác, OA→ và CO→ có cùng giá là đường thẳng AC
Do đó, OA→ và CO→ cùng phương, mà chúng cùng hướng (2)
Từ (1) và (2) ta kết luận: CO→ = OA→.
Cho hình vuông ABCD tâm O.
Khẳng định nào sau đây là đúng ?
OC→= OA→;
OD→= OA→;
BC→=DA→;
OB→= –OD→.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D.
Xét hình vuông ABCD tâm O có:
OB = OD = 12BD
⇒OB→=OD→ (1)
Mặt khác, hai vectơ OB→ và OD→ có cùng giá là đường thẳng BD
Do đó, hai vectơ OB→ và OD→ cùng phương, mà chúng ngược hướng (2)
Từ (1) và (2) ta kết luận: OB→ = –OD→.
Cho hình vuông ABCD có tâm O. Các điểm Q, K, L, N lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA như hình vẽ.
Khẳng định nào sau đây là đúng ?
OQ→=KC→
OD→=OL→
KC→=AN→
OB→=OD→
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C.
Xét hình vuông ABCD có:
BC // AD, do đó hai vectơ KC→ và AN→ cùng phương, mà chúng cùng hướng đi từ trái sang phải nên hai vectơ KC→ và AN→ cùng hướng (1).
Mặt khác: KC=12BC (do K là trung điểm của BC); AN=12AD (do N là trung điểm của AD).
Mà BC = AD (do ABCD là hình vuông)
⇒KC=AN⇒KC→=AN→ (2)
Từ (1) và (2) suy ra KC→=AN→.
Cho hình vuông ABCD có tâm O. Các điểm Q, K, L, N lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA như hình vẽ.
Khẳng định nào sau đây là sai ?
OQ→=KC→
OD→=−OB→
KC→=AN→
OB→=−OD→
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A.
Xét hình vuông ABCD có: Q là trung điểm của AB và L là trung điểm của CD.
Nên QL là đường trung bình của hình vuông ABCD.
Suy ra: BC //= QL và QL đi qua tâm O của hình vuông.
Do đó: OQ→ và KC→ cùng phương, mà chúng có hướng ngược nhau nên hai vectơ OQ→ và KC→ ngược hướng (1).
Mà: KC=12BC; OQ=12QL; BC = QL.
⇒KC=OQ⇒KC→=OQ→ (2)
Từ (1) và (2) suy ra, OQ→=−KC→, vậy A sai.
Cho hình thoi ABCD tâm I như hình vẽ với E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD, CD, CB.
Khẳng định nào sau đây là đúng ?
HG→=FE→
BE→=GD→
IC→=IA→
EF→=−HG→
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B.
Xét hình thoi ABCD có:
AB = CD
Mà E là trung điểm của AB nên BE = 12AB
G là trung điểm của CD nên GD = 12CD
Do đó, BE = GD ⇒BE→=GD→ (1)
Và: AB // CD
Do đó, BE→, GD→ cùng phương, hơn nữa chúng cùng hướng (2).
Từ (1) và (2) suy ra BE→= GD→.
Cho hình thoi ABCD tâm I như hình vẽ với E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD, CD, CB và J, L, K, M lần lượt là giao điểm của HE với BD, EF với AC, FG với BD, GH với AC.
Khẳng định nào sau đây là sai ?
JL→≠GD→
JL→=MK→
JL→=BE→
JL→≠LK→
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A.
Xét tam giác ABD có:
AB = AD (do ABCD là hình thoi)
Do đó, tam giác ABD cân tại A.
E là trung điểm của AB
F là trung điểm của AD
Do đó, EF là đường trung bình của tam giác ABD.
Lại có AI là đường cao của tam giác cân ABD (do I là giao hai đường chéo của hình thoi nên AC vuông góc với BD tại I)
Mà EF cắt AI tại L.
Từ đó ta suy ra L là trung điểm của AI.
Xét tam giác BAC có:
BA = BC (do ABCD là hình thoi)
Do đó, tam giác BAC cân.
E là trung điểm của AB
H là trung điểm của BC
Do đó, EH là đường trung bình của tam giác BAC.
Tương tự, BI là đường cao của tam giác BAC.
Mà EH cắt BI tại J
Từ đó suy ra J là trung điểm của BI.
Xét tam giác AIB có:
J là trung điểm của BI
L là trung điểm của AI
Do đó, JL là đường trung bình của tam giác AIB
⇒JL=12AB (1), JL // AB (2)
Xét hình thoi ABCD có:
AB = CD (3)
AB // CD (4)
Do G là trung điểm của CD nên ta có: GD=12CD (5)
Từ (1), (3), (5) ta suy ra: JL = GD nên JL→=GD→ (6)
Từ (2), (4) và (6) ta suy ra: JL→=GD→ (do chúng cùng phương, cùng hướng và có độ dài bằng nhau).
Vậy A sai.
