Đề kiểm tra Các khái niệm mở đầu lớp 10 (có lời giải) - Đề 1

Chọn A

Cho vectơ \(\overrightarrow a \), có vô số vectơ \(\overrightarrow u \)cùng hướng và cùng độ dài với vectơ \(\overrightarrow a \). Nên có vô số vectơ \[\overrightarrow u \] mà \[\overrightarrow u  = \overrightarrow a \].

Chọn D

Hình bình hành \[ABGE\]\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {BA}  = \overrightarrow {GE} \].

Đáp án D

Các vectơ bằng vectơ \(\overrightarrow {AB} \) là:

\(\overrightarrow {FO} ,\overrightarrow {OC} ,\overrightarrow {ED} \)

a) Ta có: \(M\) là trung điểm của \(AD;N\) là trung điểm \(BC\).

\( \Rightarrow MN//CD\) (tính chất đường trung bình hình thang). Do đó:

b) Có 4 vectơ (khác \(\vec 0\)) cùng phương \(\overrightarrow {AB} \) mà giá không trùng với đường thẳng \(AB\)

là \(\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {NM} ,\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {DC} \).

c) Có 2 vectơ (khác \(\vec 0\)) cùng hướng \(\overrightarrow {AB} \) mà giá không trùng với đường thẳng \(AB\) là \(\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {DC} \).

a) Vì \(|\overrightarrow {AC} | = |\overrightarrow {BD} |\) nên hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) có độ dài bằng nhau,

b) suy ra hình thang \(ABCD\) cân.

c) Do đó hai cạnh bên \(AD\) và \(BC\) có độ dài bằng nhau hay \(|\overrightarrow {AD} | = |\overrightarrow {BC} |\).

d) Điều ngược lại không đúng, xét hình bình hành \(ABCD\) (cũng là hình thang có hai đáy \(AB\) và \(CD\)) có \(|\overrightarrow {AD} | = |\overrightarrow {BC} |\) nhưng \(|\overrightarrow {AC} | = |\overrightarrow {BD} |\).

a) Ngũ giác có 5 cạnh do đó có 10 vectơ tạo thành từ các cạnh.

b) Ngũ giác có 5 đường chéo do đó cũng có 10 vectơ tạo thành từ các đường chéo.

c) Có 6 vectơ (khác \(\vec 0\)) được lập ra từ các cạnh của tam giác \(ABC\)?

d) Có 4 vectơ (khác \(\vec 0\)) được lập ra từ các đường chéo của tứ giác \(ABCD\)

a) Có 4 vectơ gốc \(P\) là \(\overrightarrow {PA} ,\overrightarrow {PB} ,\overrightarrow {PC} ,\overrightarrow {PD} \); có 4 vectơ gốc \(A\) là \(\overrightarrow {AP} ,\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} \).

b) Tương tự, mỗi gốc \(B,C,D\) đều có 4 vectơ, vậy có \(5.4 = 20\) vectơ tạo thành từ 5

điểm phân biệt \(P,A,B,C,D\).

c) Vì \(A,B,C,D\) đều thuộc \(d\) nên tất cả các vectơ tạo thành từ 4 điểm \(A,B,C,D\)

đều cùng phương với \(\overrightarrow {AB} \). Ta có \(3.4 = 12\) vectơ tạo thành từ 4 điểm \(A,B,C,D\).

d) Vậy có 11 vectơ cùng phương với \(\overrightarrow {AB} \).

Có thể xảy ra truờng hợp hai thuyền đi ngược hướng khi \(\left| {\overrightarrow {{v_a}} } \right| < 5(\;km/h)\) còn \(\left| {\overrightarrow {{v_b}} } \right| > 5(\;km/h)\) khi đó thuyền \(A\) vẫn đi xuôi dòng nước còn thuyền \(B\) đi ngược dòng nước.

Ta có \(\vec u\) khác vectơ không và cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow {BD} \) nên \(\vec u\) là một trong hai vectơ \(\overrightarrow {BO} ,\overrightarrow {OD} \).

Áp dụng định lí Py-ta-go cho tam giác \(ABD\): \(B{D^2} = A{B^2} + A{D^2} = 3{a^2} + {a^2} = 4{a^2} \Rightarrow BD = 2a\).

Vì vậy: \(|\vec u| = |\overrightarrow {BO} | = |\overrightarrow {OD} | = \frac{{BD}}{2} = a\).

Gọi \(G\) là trung điểm của \(BE \Rightarrow GM\) là đường trung bình của \(\Delta BCE\) ứng với cạnh đáy \(EC \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}GM = \frac{1}{2}EC = AE\\GM\parallel AE\end{array} \right.\)

Suy ra: Tứ giác \(AGME\) là hình bình hành (vì có hai cạnh đối song song và bằng nhau).

Vì \(N\) là giao điểm hai đường chéo hình bình hành \(AGME\) nên \(N\) là trung điểm của \(AM\).

Do vậy hai vectơ \(\overrightarrow {NA} \) và \(\overrightarrow {NM} \) đối nhau.

Dễ thấy có 4 Vectơ-không là: \(\overrightarrow {AA} ,\overrightarrow {BB} ,\overrightarrow {CC} ,\overrightarrow {DD} \).

Từ mỗi đỉnh của hình chữ nhật, ta lập được 3 vectơ khác vectơ-không nhận đỉnh đó làm điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh còn lại. Chẳng hạn với đỉnh \(A\) ta có: \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} \).

Suy ra có 12 vectơ khác \(\vec 0\). Như vậy có tất cả 16 vectơ thỏa mãn.

Ta có \(|\overrightarrow {AB} | = AB = a\)

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), Ta có

\(\begin{array}{l}|\overrightarrow {AG} | = AG = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3}\sqrt {A{B^2} - B{M^2}}  = \frac{2}{3}\sqrt {{a^2} - \frac{{{a^2}}}{4}}  = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\\|\overrightarrow {BI} | = BI = \sqrt {B{M^2} + M{I^2}}  = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{3}}  = \frac{{a\sqrt {21} }}{6}\end{array}\)

Theo qui tắc hình bình hành: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} \)

Tam giác \(ABD\) đều canh \(a\), nên \(AO = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Vậy \(|\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} | = |\overrightarrow {AC} | = AC = 2AO = a\sqrt 3 \)