Đề kiểm tra Biến cố giao và quy tắc nhân xác suất (có lời giải) - Đề 3
22 câu hỏi
Một chiếc máy có hai chiếc động cơ \[I\]và \[II\] chạy độc lập nhau. Xác suất để động cơ \[I\]và \[II\]chạy tốt lần lượt là 0,8 và 0,7. Xác suất để cả hai động cơ chạy tốt là:
\(0,24\).
\(0,94\).
\[0,14\].
\(0,56\).
Chọn D
Xác suất để cả hai động cơ đều chạy tốt là: \(0,8.0,7 = 0,56\).
Một chiếc máy có hai chiếc động cơ \[I\]và \[II\] chạy độc lập nhau. Xác suất để động cơ \[I\]và \[II\]chạy tốt lần lượt là 0,8 và 0,7. Xác suất để cả hai động cơ chạy tốt là:
\(0,24\).
\(0,94\).
\[0,14\].
\(0,56\).
Chọn D
Xác suất để cả hai động cơ đều chạy tốt là: \(0,8.0,7 = 0,56\).
Cho \[A,B\] là hai biến cố liên quan đến một phép thử có hữu hạn các kết quả đồng khả năng xuất hiện. Nếu \(A \cap B = \emptyset \) thì \(A\) và \(B\) là hai biến cố:
độc lập.
giao.
xung khắc.
đối nhau.
Chọn C
Cho \[A,B\] là hai biến cố liên quan đến một phép thử có hữu hạn các kết quả đồng khả năng xuất hiện. Xét \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập. Mệnh đề nào sau đây là sai?
\(A\) và \(\overline B \) là hai biến cố độc lập.
\[P\left( {\overline A B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)\].
\[P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)\].
\[P\left( {\overline A B} \right) = \left( {1 - P\left( A \right)} \right).P\left( B \right)\]
Chọn B
Hai học sinh cùng giải 1 bài tập toán một cách độc lập. Xác suất giải đúng bài tập toán của 2 học sinh lần lượt là \[\frac{1}{2}\] và \[\frac{1}{3}\]. Xác suất để cả hai học sinh không giải được bài tập toán bằng
\[\frac{1}{2}.\]
\[\frac{1}{6}.\]
\[\frac{1}{3}.\]
\[\frac{5}{6}.\]
Chọn C
Xác suất để cả hai học sinh không giải được bài tập toán bằng \(\left( {1 - \frac{1}{2}} \right)\left( {1 - \frac{1}{3}} \right) = \frac{1}{3}\)
Một câu trắc nghiệm có \(4\) phương án độc lập, trong đó có \(1\) phương án đúng. Một học sinh tô ngẫu nhiên \[5\] câu trắc nghiệm. Xác suất để học sinh đó tô sai cả \[5\] câu bằng
\(\frac{{15}}{{1024}}\).
\(\frac{3}{4}\).
\(\frac{{243}}{{1024}}\).
\(\frac{1}{{1024}}\).
Xác suất tô sai \[1\] câu là \(\frac{3}{4}\)
Vậy Xác suất để học sinh đó tô sai cả \[5\] câu \({\left( {\frac{3}{4}} \right)^5} = \frac{{243}}{{1024}}\).
Hai vận động viên \(A\) và \(B\)cùng ném bóng vào rổ một cách độc lập với nhau. Xác suất ném bóng trúng vào rổ của hai vận động viên \(A\) và \(B\) lần lượt là \(\frac{1}{5}\) và \(\frac{2}{7}.\) Xác suất của biến cố\(''\)Cả hai cùng ném bóng trúng vào rổ\(''\)bằng
\(\frac{2}{{35}}\).
\(\frac{1}{{35}}\).
\(\frac{6}{{35}}\).
\(\frac{2}{7}\).
Do hai người ném bóng vào rổmột cách độc lập với nhau nên xác suất của biến cố \(''\)Cả hai cùng ném bóng trúng vào rổ\(''\)là \({\rm{P}} = \frac{1}{5}.\frac{2}{7} = \frac{2}{{35}}.\)
Một người có một chùm chìa khóa gồm 9 chiếc, bề ngoài chúng giống hệt nhau và chỉ có đúng hai chiếc mở được cửa nhà. Người đó thử ngẫu nhiên từng chìa. Xác suất để mở được cửa trong lần mở thứ ba bằng
\(\frac{1}{6}.\)
\(\frac{2}{7}.\)
\(\frac{{14}}{{81}}.\)
\(\frac{7}{{81}}.\)
Xác suất để mở được cửa trong lần mở thứ ba là \(P\left( A \right) = \frac{7}{9}.\frac{6}{8}.\frac{2}{7} = \frac{1}{6}\)
Hai xạ thủ cùng bắn vào bia. Xác suất người thứ nhất bắn trúng là \[80\% \]. Xác suất người thứ hai bắn trúng là \[70\% \]. Xác suất để cả hai người cùng bắn trúng là
\[50\% \].
\[32,6\% \].
\[60\% \].
\[56\% \].
Gọi \[{A_i}\] là biến cố người thứ \[i\] bắn trúng \[\left( {i = 1;2} \right)\]
\[A\] là biến cố cả hai người cùng bắn trúng. Lúc đó: \[A = {A_1}{A_2}\].
Vì \[{A_1}\], \[{A_2}\] là hai biến cố độc lập nên:
\[P\left( A \right) = P\left( {{A_1}{A_2}} \right) = P\left( {{A_1}} \right).P\left( {{A_2}} \right) = 0,8.0,7 = 0,56 = 56\% \].
Hai đối thủ ngang tài nhau, cùng thi đấu với nhau để tranh chức vô địch. Người thắng cuộc là người đầu tiên thắng được \(6\) ván đấu. Hết buổi sáng, người I đã thắng \(5\) ván, còn người II chỉ mới thắng \(3\) ván. Buổi chiều hai người sẽ tiếp tục thi đấu. Xác suất để người I vô địch bằng
\[\frac{5}{8}\].
\[\frac{1}{2}\].
\[\frac{3}{4}\].
\[\frac{7}{8}\].
Xét biến cố người I không vô địch xảy ra khi người II thắng liên tiếp ba ván buổi chiều
Xác suất là \(\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{8}\)
Vậy xác suất người I vô địch là \(1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}\)
Một bệnh truyền nhiễm có xác suất truyền bệnh là 0,8 nếu tiếp xúc với người bệnh mà không đeo khẩu trang; là 0,1 nếu tiếp xúc với người bệnh mà có đeo khẩu trang. Anh Quang tiếp xúc với 1 người bệnh hai lần, trong đó có một lần đeo khẩu trang và một lần không đeo khẩu trang. Tính xác suất anh Quang không bị lây bệnh từ người bệnh mà anh tiếp xúc đó.
\(0,18\).
\(0,02\).
\(0,08\).
\(0,82\).
Gọi \(A\) là biến cố “Anh Quang tiếp xúc với người bệnh, có đeo khẩu trang và bị lây bệnh”; \(B\) là biến cố “Anh Quang tiếp xúc với người bệnh, không đeo khẩu trang và bị lây bệnh”.
Ta có \(A\), \(B\) là các biến cố độc lập và
\[P\left( A \right) = 0,1\]; \[P\left( {\bar A} \right) = 1 - P\left( A \right) = 0,9\]; \[P\left( B \right) = 0,8\]; \[P\left( {\bar B} \right) = 1 - P\left( B \right) = 0,2\].
Suy ra xác suất anh Quang không bị lây bệnh từ người bệnh mà anh tiếp xúc là
\(P\left( {\overline A \,\overline B } \right) = P\left( {\overline A } \right).P\left( {\overline B } \right) = 0,9.0,2 = 0,18\).
Một bệnh truyền nhiễm có xác suất truyền bệnh là \(0,7\) nếu tiếp xúc với người bệnh mà không đeo khẩu trang; là \(0,2\) nếu tiếp xúc với người bệnh mà đeo khẩu trang. Xác suất anh An ít nhất một lần bị lây bệnh từ người bệnh mà anh tiếp xúc người bệnh \(2\) lần, trong đó có \(1\) lần không mang khẩu trang và có \(1\) lần mang khẩu trang.
\[0,57\].
\[0,76\].
\[0,97\].
\[0,799\].
Gọi biến cố \(B\): “ Anh An ít nhất một lần bị lây bệnh khi tiếp xúc người bệnh \(2\) lần, trong đó có \(1\) lần không mang khẩu trang và có \(1\) lần mang khẩu trang ”.
Biến cố \(\overline B \): “ Anh An không bị lây bệnh khi tiếp xúc người bệnh cả \(2\) lần, trong đó có \(1\) lần không mang khẩu trang và có \(1\) lần mang khẩu trang ”.
Xác suất nhiễm bệnh nếu tiếp xúc với người bệnh mà đeo khẩu trang là \(0,2.\)
Xác suất không bị nhiễm bệnh nếu tiếp xúc với người bệnh mà không đeo khẩu trang là \(1 - 0,7 = \,\,0,3.\)
Xác suất không bị nhiễm bệnh nếu tiếp xúc với người bệnh mà đeo khẩu trang là \(1 - 0,2 = \,\,0,8.\)
\(P\left( {\overline B } \right) = 0,3.0,8 = 0,24.\)
\( \Rightarrow P\left( B \right) = 1 - P\left( {\overline B } \right) = 1 - 0,24 = 0,76.\)
Cho \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập với nhau, biết \(P(A) = 0,2;P(B) = 0,3\). Khi đó:
\(P(AB) = 0,06\)
\(P(A\bar B) = 0,12\)
\(P(\bar A\bar B) = 0,56\)
\(P(\bar AB) = 0,24\)
a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng |
Vì \(A,B\) là hai biến cố độc lập nên \(A,B,\bar A,\bar B\) là các biến cố đôi một độc lập.
Ta có:
\(\begin{array}{l}P(AB) = P(A) \cdot P(B) = 0,2 \cdot 0,3 = 0,06\\P(A\bar B) = P(A) \cdot P(\bar B) = 0,2 \cdot 0,7 = 0,14\\P(\bar A\bar B) = P(\bar A) \cdot P(\bar B) = 0,8 \cdot 0,7 = 0,56\\P(\bar AB) = P(\bar A) \cdot P(B) = 0,8.0,3 = 0,24\end{array}\)
Một người vừa gieo một con xúc xắc để ghi lại số chấm xuất hiện, sau đó người này tiếp tục chọn ngẫu nhiên một lá bài từ bộ bài 52 lá. Tính xác suất để :
Gọi \(A\) là biến cố: "Số chấm của xúc xắc lớn nhất", khi đó: \(P(A) = \frac{1}{6}\)
Gọi \(B\) là biến cố: "Chọn được một lá bài tây", khi đó: \(P(B) = \frac{3}{{13}}\)
Xác suất để số chấm trên con xúc xắc là lớn nhất và chọn được một lá bài tây bằng:\(\frac{1}{{26}}\)
Xác suất để số chấm trên con xúc xắc và số của lá bài là giống nhau bằng: \(\frac{1}{{16}}\)
a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Sai |
Gọi \(A\) là biến cố: "Số chấm của xúc xắc lớn nhất", \(B\) là biến cố: "Chọn được một lá bài tây". Dễ thấy \(A,B\) là hai biến cố độc lập.
Ta có: \(A = \{ 6\} \Rightarrow n(A) = 1 \Rightarrow P(A) = \frac{1}{6}\).
Ta biết bộ bài 52 lá thì có 12 lá bài tây, nên xác suất chọn được một lá bài tây là \(P(B) = \frac{3}{{13}}\).
Suy ra \(P(AB) = P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{6} \cdot \frac{3}{{13}} = \frac{1}{{26}}\).
Để thu được số chấm trên con xúc xắc và số của lá bài giống nhau thì ta có 6 cách để có được số chấm một con xúc xắc, ứng với mỗi cách đó thì có đúng 4 cách tìm được lá bài thoả mãn.
Việc gieo xúc xắc và rút ngẫu nhiên lá bài là độc lập.
Gọi \(X\) là biến cố cần tính xác suất, ta có: \(P(X) = \frac{6}{6} \cdot \frac{4}{{52}} = \frac{1}{{13}}\).
Trên một bảng quảng cáo, người ta mắc hai hệ thống bóng đèn. Hệ thống \(I\) gồm 2 bóng mắc nối tiếp, hệ thống II gồm 2 bóng mắc song song. Khả năng bị hỏng của mỗi bóng đèn sau 6 giờ thắp sáng liên tục là 0,15 . Biết tình trạng của mỗi bóng đèn là độc lập. Khi đó xác suất để:
Hệ thống II bị hỏng (không sáng) bằng: \(0,0225\)
Từ đó suy ra xác suất để hệ thống II hoạt động bình thường bằng: \(0,9775\)
Hệ thống I bị hỏng (không sáng) bằng: \(0,5775\)
Cả hai hệ thống bị hỏng (không sáng) (kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm nghìn) bằng: \( \approx 0,02624.\)
a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Sai |
a) Nhận xét: Hệ thống II gồm 2 bóng được mắc song song nên nó chỉ hỏng khi cả hai bóng đều hỏng.
Gọi \(B\) là biến cố: "Hệ thống II bị hỏng", ta có: \(P(B) = 0,15 \cdot 0,15 = 0,0225\).
Xác suất để hệ thống II hoạt động bình thường: \(P(\bar B) = 1 - 0,0225 = 0,9775\).
b) Nhận xét: Hệ thống I chỉ hoạt động bình thường khi cả hai bóng bình thường.
Gọi \(A\) là biến cố: "Hệ thống \(I\) bị hỏng" . Khi đó xác suất để hệ thống \(I\) hoạt động bình thường là: \(P(\bar A) = 0,85 \cdot 0,85 = 0,7225\).
Suy ra \(P(A) = 1 - 0,7225 = 0,2775\).
c) Xác suất để cả hai hệ thống I, II đều bị hỏng là:
\(P(AB) = P(A) \cdot P(B) = 0,2775 \cdot 0,0225 = \frac{{999}}{{160000}} \approx 0,00624.\)
Gieo hai đồng xu \(A\) và \(B\) một cách độc lập. Đồng xu \(A\) được chế tạo cân đối. Đồng xu \(B\) được chế tạo không cân đối nên xác suất xuất hiện mặt sấp gấp 3 lần xác suất xuất hiện mặt ngửa. Khi đó xác suất để:
Đồng xu \(A\) xuất hiện mặt ngửa bằng: \(\frac{1}{2}\)
Đồng xu \(B\) xuất hiện mặt ngửa bằng: \(\frac{1}{4}\)
Khi gieo hai đồng xu một lần thì cả hai đều ngửa bằng: \[\frac{1}{{12}}\]
Khi gieo hai đồng xu hai lần thì cả hai đồng xu đều ngửa bằng: \(\frac{1}{{32}}\)
a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Sai |
Gọi \(X\) là biến cố: "Đồng xu \(A\) xuất hiện mặt ngửa".
Gọi \(Y\) là biến cố: "Đồng xu \(B\) xuất hiện mặt ngửa".
Vì đồng xu \(A\) chế tạo cân đối nên \(P(X) = \frac{1}{2}\).
Vì xác suất xuất hiện mặt sấp của đồng xu gấp 3 lần xác suất xuất hiện mặt ngửa của nó nên \(P(Y) = \frac{1}{4}\).
Xác suất khi gieo hai đồng xu một lần thì chúng đều ngửa:
\(P(XY) = P(X) \cdot P(Y) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8}{\rm{. }}\)
Xác suất để trong một lần gieo cả hai đồng xu đều ngửa là \(\frac{1}{8}\).
Suy ra xác suất khi gieo hai lần thì cả hai lần đó hai đồng xu đều ngửa là: \(\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{{64}}{\rm{. }}\)
Bạn An và Bình cùng nhau thi bắn cung. Xác suất bạn An bắn vào tâm là 0,7 , xác suất bạn Bình bắn được vào tâm là 0,45 . Tính xác suất trong một lần bắn nào đó, bạn An bắn được vào tâm còn bạn Bình thì không?
Gọi \(A\) là biến cố bạn An bắn vào tâm.
Gọi \(B\) là biến cố bạn Bình bắn được vào tâm.
Xác suất để bạn An bắn vào tâm là: \(P(A) = 0,7\).
Xác suất để bạn Bình bắn được vào tâm là: \(P(B) = 0,45\).
Xác suất để bạn Bình không bắn được vào tâm là: \(P(\bar B) = 0,55\).
Vì biến cố \(A\) và \(\bar B\) độc lập với nhau, để trong một lần bắn nào đó, xác suất bạn An bắn được vào tâm còn bạn Bình thì không là: \(P(A \cdot \bar B) = P(A) \cdot P(\bar B) = 0,7.0,55 = 0,385\).
Một bình đựng 7 viên bi trắng và 5 viên bi đen. Lần lượt lấy ngẫu nhiên ra 2 bi, sau khi lấy lần thứ nhất ta để lại viên bi vào bình rồi mới lấy tiếp lần thứ hai. Tính xác suất để lấy được bi thứ 1 màu trắng và bi thứ 2 màu đen?
Gọi \(A\) là biến cố lần thứ nhất lấy được bi màu trắng.
Gọi \(B\) là biến cố lần thứ hai lấy được bi màu đen.
\( \Rightarrow AB\) là biến cố lần thứ nhất lấy được bi màu trắng và lần thứ hai lấy được bi màu đen.
Vì sau khi lấy viên bi thứ nhất xong, ta để lại viên bi vào bình, nên không làm ảnh hưởng xác suất lấy viên bi lần thứ hai. Ta thấy 2 biến cố \(A\) và \(B\) độc lập với nhau.
Xác suất để lần thứ nhất lấy được bi màu trắng là: \(P(A) = \frac{7}{{12}}\).
Xác suất để lần thứ hai lấy được bi màu đen là \(P(B) = \frac{5}{{12}}\).
Áp dụng quy tắc nhân xác suất, xác suất để lấy được bi thứ 1 màu trắng và bi thứ 2 màu đen là:
\(P(AB) = P(A) \cdot P(B) = \frac{7}{{12}} \cdot \frac{5}{{12}} = \frac{{35}}{{144}}.\)
Hai người độc lập nhau ném bóng vào rổ. Mỗi người ném vào rổ của mình một quả bóng. Biết rằng xác suất ném bóng trúng vào rổ của từng người tương ứng là \(\frac{1}{3}\) và \(\frac{3}{7}\). Gọi \(A\) là biến cố: “Cả hai đều không ném bóng trúng vào rổ”. Khi đó, xác suất của biến cố \(A\) là bao nhiêu?
Gọi \(A\) là biến cố: "Cả hai đều không ném bóng trúng vào rổ".
Gọi \(X\) là biến cố: "Người thứ nhất ném trúng rổ. Ta có: \(P(X) = \frac{1}{3}\).
Gọi \(Y\) là biến cố: "Người thứ hai ném trúng rổ". Ta có: \(P(Y) = \frac{3}{7}\).
Ta thấy biến cố \(X,Y\) là 2 biến cố độc lập nhau nên \(\bar X\) và \(\bar Y\) độc lập, và \(A = \bar X \cdot \bar Y\).
Vậy xác suất để cả hai người đều không ném bóng vào rổ là:
\(P(A) = P(\bar X) \cdot P(\bar Y) = \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{7} = \frac{8}{{21}}{\rm{. }}\)
Một trường học có hai máy photocopy. Vào một ngày bất kỳ, máy \(A\) có \(8\% \) khả năng bị kẹt giấy và máy \(B\) có \(12\% \) khả năng bị kẹt giấy. Xác định xác suất để vào một ngày bất kỳ, cả hai máy sẽ:
a) Bị kẹt giấy. b) Làm việc liên tục.
Gọi \(A\) là biến cố "Máy \(A\) bị kẹt giấy".
Gọi \(B\) là biến cố "Biến cố máy \(B\) bị kẹt giấy".
Ta có: \(P(A) = 0,08,P(B) = 0,12\).
a) Vì \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập, nên xác suất cả hai máy đều bị kẹt giấy là
\(P(AB) = P(A) \cdot P(B) = 0,08 \cdot 0,12 = 0,0096.{\rm{ }}\)
b) Vì \(\bar A\) và \(\bar B\) là hai biến cố độc lập, nên xác suất cả hai máy làm việc liên tục (không bị kẹt giấy) là \(P(\bar A \cdot \bar B) = P(\bar A) \cdot P(\vec B) = 0,92 \cdot 0,88 = 0,8096\).
Một cậu bé và một cô bé được hỏi sinh vào ngày nào trong tuần. Tìm xác suất sao cho:
a) Bé trai sinh vào thứ Hai và bé gái sinh vào Thứ Tư.
b) Bé trai sinh vào ngày cuối tuần (Thứ Bảy và Chủ nhật) còn bé gái thì không.
a) Xác suất để bé trai sinh vào thứ Hai là \(\frac{1}{7}\). Xác suất để bé gái sinh vào thứ Tư là \(\frac{1}{7}\). Xác suất để bé trai sinh vào thứ Hai và bé gái \(\sinh \) vào Thứ Tư là \(P = \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{7} = \frac{1}{{49}}\).
b) Xác suất để bé trai sinh vào cuối tuần là \(\frac{2}{7}\). Xác suất để bé gái sinh không sinh vào cuối tuần là \(\frac{5}{7}\). Bé trai sinh vào ngày cuối tuần (Thứ bảy và Chủ nhật) còn bé gái thì không là \(P = \frac{2}{7} \cdot \frac{5}{7} = \frac{{10}}{{49}}\).
Jenny, Jim đang trò đang trò chuyện với Merry về việc có nên đi dự tiệc hay không. Xác suất Jenny sẽ tham dự là 0,4 và xác suất Jim sẽ tham dự là 0,6 , nhưng hôm đó Merry có việc bận nên khả năng không tham dự bữa tiệc là 0,8 . Tính xác suất để ba người bạn cùng tham dự.
Gọi \(A\) là biến cố "Jenny tham gia bữa tiệc".
Gọi \(B\) là biến cố "Merry tham gia bữa tiệc". Gọi \(C\) là biến cố "Jim tham gia bữa tiệc".
Các biến cố \(A,B\) và \(C\) đôi một độc lập với nhau.
Xác suất để ba người bạn cùng tham dự là:
\(P(A \cdot B \cdot C) = P(A) \cdot P(B) \cdot P(C) = 0,4 \cdot 0,6 \cdot 0,2 = 0,048.\)
