Đề kiểm tra Biến cố giao và quy tắc nhân xác suất (có lời giải) - Đề 3

Xét biến cố người I không vô địch xảy ra khi người II thắng liên tiếp ba ván buổi chiều

Xác suất là \(\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{8}\)

Vậy xác suất người I vô địch là \(1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}\)

Gọi \(A\) là biến cố “Anh Quang tiếp xúc với người bệnh, có đeo khẩu trang và bị lây bệnh”; \(B\) là biến cố “Anh Quang tiếp xúc với người bệnh, không đeo khẩu trang và bị lây bệnh”.

Ta có \(A\), \(B\) là các biến cố độc lập và

\[P\left( A \right) = 0,1\]; \[P\left( {\bar A} \right) = 1 - P\left( A \right) = 0,9\]; \[P\left( B \right) = 0,8\]; \[P\left( {\bar B} \right) = 1 - P\left( B \right) = 0,2\].

Suy ra xác suất anh Quang không bị lây bệnh từ người bệnh mà anh tiếp xúc là

\(P\left( {\overline A \,\overline B } \right) = P\left( {\overline A } \right).P\left( {\overline B } \right) = 0,9.0,2 = 0,18\).

Gọi biến cố \(B\): “ Anh An ít nhất một lần bị lây bệnh khi tiếp xúc người bệnh \(2\) lần, trong đó có \(1\) lần không mang khẩu trang và có \(1\) lần mang khẩu trang ”.

Biến cố \(\overline B \): “ Anh An không bị lây bệnh khi tiếp xúc người bệnh cả \(2\) lần, trong đó có \(1\) lần không mang khẩu trang và có \(1\) lần mang khẩu trang ”.

Xác suất nhiễm bệnh nếu tiếp xúc với người bệnh mà đeo khẩu trang là \(0,2.\)

Xác suất không bị nhiễm bệnh nếu tiếp xúc với người bệnh mà không đeo khẩu trang là \(1 - 0,7 = \,\,0,3.\)

Xác suất không bị nhiễm bệnh nếu tiếp xúc với người bệnh mà đeo khẩu trang là \(1 - 0,2 = \,\,0,8.\)

\(P\left( {\overline B } \right) = 0,3.0,8 = 0,24.\)

\( \Rightarrow P\left( B \right) = 1 - P\left( {\overline B } \right) = 1 - 0,24 = 0,76.\)

Vì \(A,B\) là hai biến cố độc lập nên \(A,B,\bar A,\bar B\) là các biến cố đôi một độc lập.

Ta có:

\(\begin{array}{l}P(AB) = P(A) \cdot P(B) = 0,2 \cdot 0,3 = 0,06\\P(A\bar B) = P(A) \cdot P(\bar B) = 0,2 \cdot 0,7 = 0,14\\P(\bar A\bar B) = P(\bar A) \cdot P(\bar B) = 0,8 \cdot 0,7 = 0,56\\P(\bar AB) = P(\bar A) \cdot P(B) = 0,8.0,3 = 0,24\end{array}\)

Gọi \(A\) là biến cố: "Số chấm của xúc xắc lớn nhất", \(B\) là biến cố: "Chọn được một lá bài tây". Dễ thấy \(A,B\) là hai biến cố độc lập.

Ta có: \(A = \{ 6\}  \Rightarrow n(A) = 1 \Rightarrow P(A) = \frac{1}{6}\).

Ta biết bộ bài 52 lá thì có 12 lá bài tây, nên xác suất chọn được một lá bài tây là \(P(B) = \frac{3}{{13}}\).

Suy ra \(P(AB) = P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{6} \cdot \frac{3}{{13}} = \frac{1}{{26}}\).

Để thu được số chấm trên con xúc xắc và số của lá bài giống nhau thì ta có 6 cách để có được số chấm một con xúc xắc, ứng với mỗi cách đó thì có đúng 4 cách tìm được lá bài thoả mãn.

Việc gieo xúc xắc và rút ngẫu nhiên lá bài là độc lập.

Gọi \(X\) là biến cố cần tính xác suất, ta có: \(P(X) = \frac{6}{6} \cdot \frac{4}{{52}} = \frac{1}{{13}}\).

a) Nhận xét: Hệ thống II gồm 2 bóng được mắc song song nên nó chỉ hỏng khi cả hai bóng đều hỏng.

Gọi \(B\) là biến cố: "Hệ thống II bị hỏng", ta có: \(P(B) = 0,15 \cdot 0,15 = 0,0225\).

Xác suất để hệ thống II hoạt động bình thường: \(P(\bar B) = 1 - 0,0225 = 0,9775\).

b) Nhận xét: Hệ thống I chỉ hoạt động bình thường khi cả hai bóng bình thường.

Gọi \(A\) là biến cố: "Hệ thống \(I\) bị hỏng" . Khi đó xác suất để hệ thống \(I\) hoạt động bình thường là: \(P(\bar A) = 0,85 \cdot 0,85 = 0,7225\).

Suy ra \(P(A) = 1 - 0,7225 = 0,2775\).

c) Xác suất để cả hai hệ thống I, II đều bị hỏng là:

\(P(AB) = P(A) \cdot P(B) = 0,2775 \cdot 0,0225 = \frac{{999}}{{160000}} \approx 0,00624.\)

Gọi \(X\) là biến cố: "Đồng xu \(A\) xuất hiện mặt ngửa".

Gọi \(Y\) là biến cố: "Đồng xu \(B\) xuất hiện mặt ngửa".

Vì đồng xu \(A\) chế tạo cân đối nên \(P(X) = \frac{1}{2}\).

Vì xác suất xuất hiện mặt sấp của đồng xu gấp 3 lần xác suất xuất hiện mặt ngửa của nó nên \(P(Y) = \frac{1}{4}\).

Xác suất khi gieo hai đồng xu một lần thì chúng đều ngửa:

\(P(XY) = P(X) \cdot P(Y) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8}{\rm{. }}\)

Xác suất để trong một lần gieo cả hai đồng xu đều ngửa là \(\frac{1}{8}\).

Suy ra xác suất khi gieo hai lần thì cả hai lần đó hai đồng xu đều ngửa là: \(\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{{64}}{\rm{. }}\)

Gọi \(A\) là biến cố lần thứ nhất lấy được bi màu trắng.

Gọi \(B\) là biến cố lần thứ hai lấy được bi màu đen.

\( \Rightarrow AB\) là biến cố lần thứ nhất lấy được bi màu trắng và lần thứ hai lấy được bi màu đen.

Vì sau khi lấy viên bi thứ nhất xong, ta để lại viên bi vào bình, nên không làm ảnh hưởng xác suất lấy viên bi lần thứ hai. Ta thấy 2 biến cố \(A\) và \(B\) độc lập với nhau.

Xác suất để lần thứ nhất lấy được bi màu trắng là: \(P(A) = \frac{7}{{12}}\).

Xác suất để lần thứ hai lấy được bi màu đen là \(P(B) = \frac{5}{{12}}\).

Áp dụng quy tắc nhân xác suất, xác suất để lấy được bi thứ 1 màu trắng và bi thứ 2 màu đen là:

\(P(AB) = P(A) \cdot P(B) = \frac{7}{{12}} \cdot \frac{5}{{12}} = \frac{{35}}{{144}}.\)

Gọi \(A\) là biến cố: "Cả hai đều không ném bóng trúng vào rổ".

Gọi \(X\) là biến cố: "Người thứ nhất ném trúng rổ. Ta có: \(P(X) = \frac{1}{3}\).

Gọi \(Y\) là biến cố: "Người thứ hai ném trúng rổ". Ta có: \(P(Y) = \frac{3}{7}\).

Ta thấy biến cố \(X,Y\) là 2 biến cố độc lập nhau nên \(\bar X\) và \(\bar Y\) độc lập, và \(A = \bar X \cdot \bar Y\).

Vậy xác suất để cả hai người đều không ném bóng vào rổ là:

\(P(A) = P(\bar X) \cdot P(\bar Y) = \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{7} = \frac{8}{{21}}{\rm{. }}\)

Gọi \(A\) là biến cố "Máy \(A\) bị kẹt giấy".

Gọi \(B\) là biến cố "Biến cố máy \(B\) bị kẹt giấy".

Ta có: \(P(A) = 0,08,P(B) = 0,12\).

a) Vì \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập, nên xác suất cả hai máy đều bị kẹt giấy là

\(P(AB) = P(A) \cdot P(B) = 0,08 \cdot 0,12 = 0,0096.{\rm{ }}\)

b) Vì \(\bar A\) và \(\bar B\) là hai biến cố độc lập, nên xác suất cả hai máy làm việc liên tục (không bị kẹt giấy) là \(P(\bar A \cdot \bar B) = P(\bar A) \cdot P(\vec B) = 0,92 \cdot 0,88 = 0,8096\).

a) Xác suất để bé trai sinh vào thứ Hai là \(\frac{1}{7}\). Xác suất để bé gái sinh vào thứ Tư là \(\frac{1}{7}\). Xác suất để bé trai sinh vào thứ Hai và bé gái \(\sinh \) vào Thứ Tư là \(P = \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{7} = \frac{1}{{49}}\).

b) Xác suất để bé trai sinh vào cuối tuần là \(\frac{2}{7}\). Xác suất để bé gái sinh không sinh vào cuối tuần là \(\frac{5}{7}\). Bé trai sinh vào ngày cuối tuần (Thứ bảy và Chủ nhật) còn bé gái thì không là \(P = \frac{2}{7} \cdot \frac{5}{7} = \frac{{10}}{{49}}\).

Gọi \(A\) là biến cố "Jenny tham gia bữa tiệc".

Gọi \(B\) là biến cố "Merry tham gia bữa tiệc". Gọi \(C\) là biến cố "Jim tham gia bữa tiệc".

Các biến cố \(A,B\) và \(C\) đôi một độc lập với nhau.

Xác suất để ba người bạn cùng tham dự là:

\(P(A \cdot B \cdot C) = P(A) \cdot P(B) \cdot P(C) = 0,4 \cdot 0,6 \cdot 0,2 = 0,048.\)