Đề kiểm tra Biến cố giao và quy tắc nhân xác suất (có lời giải) - Đề 1

Theo định nghĩa, biến cố “Cả \(A\) và \(B\) đều xảy ra” được gọi là biến cố giao của \(A\) và \(B.\)

Theo định nghĩa, nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia thì hai biến cố \(A\) và \(B\) được gọi là độc lập với nhau.

Nếu \(A\) và \(B\) độc lập thì các cặp biến cố \(A\) và \(\overline B ,\;\overline A \) và \(B,\;\overline A \) và \(\overline B \) cũng độc lập.

Các phần tử của biến cố \(A \cap B\) là số tự nhiên từ \(1\) đến \(30\) thỏa mãn vừa chia hết cho 3, vừa chia hết cho 4, tức là số đó chia hết cho 12 nên \(A \cap B = \left\{ {12;24} \right\}.\)

Biến cố \(P \cap Q:\) “Số ghi trên thẻ được lấy là số chia hết cho cả 2 và 4”, tức là chia hết cho 4.

Ta có: \[P(AB) = P\left( A \right).P\left( B \right) = 0,06\].

Gọi \(A\) là biến cố: “Cả hai cùng ném bóng trúng vào rổ. “

Gọi X là biến cố: “người thứ nhất ném trúng rổ”\( \Rightarrow P\left( X \right) = \frac{1}{3}\).

Gọi Y là biến cố: “người thứ hai ném trúng rổ”\( \Rightarrow P\left( Y \right) = \frac{2}{5}\)

Ta thấy biến cố X, Y là 2 biến cố độc lập nhau, theo công thức nhân xác suất ta có:

\(P\left( A \right) = P\left( {XY} \right) = P\left( X \right)P\left( Y \right) = \frac{2}{{15}}\).

\[A\], \[B\] là hai biến cố độc lập nên \[P\left( {A \cap B} \right)\]\[ = P\left( A \right).P\left( B \right)\]\[ \Leftrightarrow \frac{1}{9} = \frac{1}{4}.P\left( B \right)\]\[ \Leftrightarrow P\left( B \right) = \frac{4}{9}\].

Gọi A là biến cố: “Sinh con gái ở lần thứ nhất”, ta có:\(P\left( A \right) = 1 - 0,51 = 0,49\).

Gọi B là biến cố: “Sinh con trai ở lần thứ hai”, ta có: \(P\left( B \right) = 0,51\)

Gọi C là biến cố: “Sinh con gái ở lần thứ nhất và sinh con trai ở lần thứ hai”

Ta có: \(C = AB\), mà \(A,B\) độc lập nên ta có:

\(P\left( C \right) = P\left( {AB} \right) = P\left( A \right)P\left( B \right) = 0,2499\).

Gọi \[X\]là biến cố: “ít nhất một xạ thủ bắn trúng mục tiêu”.

Gọi \[\bar X\]là biến cố: “Không có xạ thủ nào bắn trúng mục tiêu”.

Khi đó \[P\left( {\bar X} \right) = P\left( {\overline A } \right)P\left( {\overline B } \right)P\left( {\overline C } \right)\]=\[0,3.0,4.0,5 = 0,14\].

\[ \Rightarrow \]\[P\left( X \right) = 1 - P\left( {\bar X} \right)\]=0,94.

Xác suất để chọn được câu trả lời đúng là \[\frac{1}{4}\], xác suất để chọn được câu trả lời sai là \[\frac{3}{4}\].

Để được 6 điểm thì thí sinh đó phải trả lời đúng 30 câu và trả lời sai 20 câu.

Xác suất để thí sinh đó được 6 điểm là \[C_{50}^{20}{\left( {\frac{3}{4}} \right)^{20}}{\left( {\frac{1}{4}} \right)^{30}} = 0,{25^{30}}.0,{75^{20}}.C_{50}^{20}\].

Gọi A là biến cố lần thứ nhất lấy được bi màu đỏ \( \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{7}{{16}}\).

Gọi B là biến cố lần thứ hai lấy được bi màu xanh\( \Rightarrow P\left( B \right) = \frac{9}{{16}}\).

Hai biến cố A và B độc lập với nhau nên áp dụng quy tắc nhân xác suất ta có:

\(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right) = \frac{7}{{16}}.\frac{9}{{16}} = \frac{{63}}{{256}}\).

Ta có xác suất các biến cố đối: \(P(\bar A) = \frac{3}{4},P(\bar B) = \frac{2}{3}\).

Vì \(A,B\) là hai biến cố độc lập nên mỗi cặp biến cố lấy ra từ \(A,B,\bar A,\bar B\) đều là cặp biến cố độc lập.

Do vậy

\(\begin{array}{l}P(AB) = P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{{12}},P(\bar AB) = P(\bar A) \cdot P(B) = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{4},\\P(A\bar B) = P(A) \cdot P(\bar B) = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{6},P(\bar A\bar B) = P(\bar A) \cdot P(\bar B) = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{2}.\end{array}\)

Số kết quả thuận lợi cho biến cố \(A:C_6^3 = 20\).

Số kết quả thuận lợi cho biến cố \(B:C_4^3 = 4\).

Xác suất của biến cố \(A:P(A) = \frac{{C_6^3}}{{C_{10}^3}} = \frac{1}{6}\).

Xác suất của biến cố \(B:P(B) = \frac{{C_4^3}}{{C_{10}^3}} = \frac{1}{{30}}\).

a) Gọi \(A\) biến cố "lấy ra ngẫu nhiên 4 quả cầu trong đó có 2 quả cầu trắng"

\(P(A) = \frac{{C_5^2 \times C_6^2}}{{C_{11}^4}} = \frac{5}{{11}}{\rm{. }}\)

b) Gọi \(B\) biến cố "lấy ra ngẫu nhiên 4 quả cầu trong đó có ít nhất 3 quả cầu đen" \(P(B) = \frac{{C_5^1 \times C_6^3 + C_6^4}}{{C_{11}^4}} = \frac{{23}}{{66}}\).

c) Gọi \(C\) biến cố "lấy ra ngẫu nhiên 4 quả cầu toàn cầu trắng": \(P(C) = \frac{{C_5^4}}{{C_{11}^4}} = \frac{1}{{66}}\).

d) \(P\left( D \right) = \frac{{C_6^4}}{{C_{11}^4}} = \frac{1}{{22}}\)

Gọi \(A\) là biến cố lần thứ nhất rút được con Át

Gọi \(B\) là biến cố lần thứ hai rút được con Át.

Gọi \(C\) là biến cố lần thứ ba rút được con \(J\).

\( \Rightarrow ABC\) là biến cố hai lần đầu rút được con Át và lần thứ ba rút được con \(J\).

Các biến cố \(A,B\) và \(C\) đôi một độc lập với nhau.

Xác suất rút là bài thứ nhất là con Át là \(P(A) = \frac{4}{{52}}\).

Xác suất rút là bài thứ hai là con Át là \(P(B) = \frac{4}{{52}}\).

Xác suất rút là bài thứ ba là con \(J\) là \(P(C) = \frac{4}{{52}}\).

Vậy xác suất cần tính là: \(P(ABC) = P(A) \cdot P(B) \cdot P(C) = \frac{4}{{52}} \cdot \frac{4}{{52}} \cdot \frac{4}{{52}} = \frac{1}{{2197}}\).

Xác suất xuất hiện mặt ngửa là \(\frac{1}{2}\)

Gọi \[C\] là biến cố "Xúc xắc xuất hiện mặt là bội của 3": \(P(C) = \frac{4}{{12}} = \frac{1}{3}{\rm{. }}\)

Xác suất xuất hiện mặt ngửa và mặt là bội của 3 là:\(P(AC) = P(A) \cdot P(C) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}.\)

a) Gọi \(A\) là biến cố: "An đạt điểm giỏi về môn Toán".

Gọi \(B\) là biến cố: "Bình đạt điểm giỏi về môn Toán".

Dễ thấy \(A,B\) là hai biến cố độc lập, khi đó \(AB\) là biến cố: "Cả An và Bình đều đạt điểm giỏi môn Toán".

Ta có: \(P(AB) = P(A) \cdot P(B) = 0,92 \cdot 0,88 = 0,8096\).

b) Ta có \(\bar A\bar B\) là biến cố: "Cả An và Bình đều không đạt điểm giỏi môn Toán".

Vì hai biến cố \(\bar A,\bar B\) độc lập nên: \(P(\overline {AB} ) = P(\bar A) \cdot P(\bar B) = 0,08 \cdot 0,12 = 0,0096\).

a) Gọi \(A\) là biến cố: "Xạ thủ thứ nhất bắn trúng bia" và \(B\) là biến cố: "Xạ thủ thứ hai bắn trúng bia". Khi đó \(A,B,\bar A,\bar B\) là các biến cố độc lập đôi một với nhau.

Ta có: \(P(\bar A) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2},P(\bar B) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\).

Xác suất biến cố \(A\bar B\) là: \(P(A\bar B) = P(A) \cdot P(\bar B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}\).

b) Xác suất của biến cố \(\bar A\bar B\) là: \(P(\bar A\bar B) = P(\bar A) \cdot P(\bar B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}\).

Gọi \({A_i}(1 \le i \le 5,i \in \mathbb{N})\) là biến cố: "Cầu thủ thứ \(i\) của đội \(X\) sút luân lưu thành công".

Xác suất cần tìm là:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{P\left( {{A_1}{A_2}{A_3}{A_4}{{\bar A}_5}} \right)}&{ = P\left( {{A_1}} \right) \cdot P\left( {{A_2}} \right) \cdot P\left( {{A_3}} \right) \cdot P\left( {{A_4}} \right) \cdot P\left( {{{\bar A}_5}} \right)}\\{}&{ = 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,76 \cdot 0,72 \cdot 0,32 \approx 0,112.}\end{array}\)

Gọi \({A_i}(1 \le i \le 3,i \in \mathbb{N})\) là biến cố: "Bóng đèn thứ \(i\) sáng bình thường".

An không thể làm bài tập nếu cả ba bóng đèn bị hỏng, khi đó:

\(P\left( {{{\bar A}_1}{{\bar A}_2}{{\bar A}_3}} \right) = P\left( {{{\bar A}_1}} \right) \cdot P\left( {{{\bar A}_2}} \right) \cdot P\left( {{{\bar A}_3}} \right) = 0,05 \cdot 0,04 \cdot 0,03 = \frac{3}{{50000}}.\)

Gọi \(P\) là xác suất để An có thể làm bài, ta có:

\(P = 1 - P\left( {{{\bar A}_1}{{\bar A}_2}{{\bar A}_3}} \right) = 1 - \frac{3}{{50000}} = 0,99994.{\rm{ }}\)

Gọi \(A\) là biến cố: "Chị Hoa bị nhiễm bệnh khi tiếp xúc người bệnh mà không đeo khẩu trang" và \(B\) : "Chị Hoa bị nhiễm bệnh khi tiếp xúc với người bệnh dù có đeo khẩu trang”. Dễ thấy \(\bar A,\bar B\) là hai biến cố độc lập.

Xác suất để chị Hoa không nhiễm bệnh trong cả hai lần tiếp xúc với người bệnh là \(P(\bar A\bar B) = P(\bar A) \cdot P(\bar B) = 0,2 \cdot 0,9 = 0,18\).

Gọi \(P\) là xác suất để chị Hoa bị lây bệnh khi tiếp xúc người bệnh, ta có:

\(P = 1 - P(\bar A\bar B) = 1 - 0,18 = 0,82.{\rm{ }}\)