Đề kiểm tra Bất phương trình bậc nhất hai ẩn lớp 10 (có lời giải) - Đề 3

Chọn B

Trước hết, ta vẽ bốn đường thẳng:

\(\left( {{d_1}} \right):x - y = 2\)

\(\left( {{d_2}} \right):3x + 5y = 15\)

\(\left( {{d_3}} \right):x = 0\)

\(\left( {{d_4}} \right):y = 0\)

\[F = y - x\]

Miền nghiệm là phần không bị gạch, kể cả biên.

Chọn A

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y - 2x \le 2}\\{2y - x \ge 4}\\{x + y \le 5}\end{array}} \right.\] trên hệ trục tọa độ như dưới đây:

Nhận thấy biết thức \[F = y - x\] chỉ đạt giá trị nhỏ nhất tại các điểm \(A,B\) hoặc \(C\).

Ta có: \(F\left( A \right) = 4 - 1 = 3;\,F\left( B \right) = 2;\,F\left( C \right) = 3 - 2 = 1\).

Vậy \[{\rm{min }}F = 1\] khi \[x = 2,y = 3\].

Chọn B

Vẽ các đường thẳng \({d_1}:y = 5\);

\({d_2}:x + y - 2 = 0\); \({d_3}:x - y - 2 = 0\);

\(Ox:y = 0;{\rm{ }}Oy:x = 0\).

Các đường thẳng trên đôi một cắt nhau tại \(A\left( {0;5} \right)\)

Vì điểm \({M_0}\left( {2;1} \right)\)có toạ độ thoả mãn tất cả các bất pt trong hệ nên ta tô đậm các nửa mặt phẳng bờ \({d_1},{d_2},{d_3},Ox,Oy\) không chứa điểm \({M_0}\). Miền không bị tô đậm là đa giác \(ABCD\) kể cả các cạnh (hình bên) là miền nghiệm của hệ pt đã cho.

Kí hiệu \(F(A) = F\left( {{x_A};{y_A}} \right) = {x_A} - 2{y_A}\), ta có

\(F(A) = - 10,F(B) = - 4,F(C) = 2;F(D) = - 3\),\( - 10 < - 4 < - 3 < 2\).

Giá trị lớn nhất cần tìm là \( - 10\).

a) Thay \(x = - 5,y = 0\) vào bất phương trình đã cho: \( - 5 - 4.0 + 5 > 0 \Leftrightarrow 0 > 0{\rm{ (sai)}}{\rm{. }}\)

Do vậy \(( - 5;0)\) không là nghiệm của bất phương trình.

b) Thay \(x = - 2,y = - 1\) vào bất phương trình đã cho: \( - 2 - 4 \cdot ( - 1) + 5 > 0 \Leftrightarrow 7 > 0\) (đúng)

Do vậy \(( - 2; - 1)\) là một nghiệm của bất phương trình.

c) Thay \(x = 0,y = 0\) vào bất phương trình đã cho: \(5 > 0\) (đúng). Do vậy \((0;0)\) là một nghiệm của bất phương trình.

d) Thay \(x = 1,y = 3\) vào bất phương trình đã cho: \(1 - 4.3 + 5 > 0 \Leftrightarrow - 6 > 0\) (sai). Do vậy \((1;3)\) không là nghiệm của bất phương trình.

a) Vẽ đường thẳng \(d:6x - y = 1\) với các cặp giá trị là \(x = 0,y = - 1\) và \(x = \frac{1}{6},y = 0\).

Xét điểm \(O(0;0)\) : thay \(x = 0,y = 0\) vào (1), ta được: (đúng). Do đó điểm \(O\) thuộc miền nghiệm của (1). Vậy miền nghiệm của (1) là nửa mặt phẳng (kể cả d) chứa điểm \(O\) (phần không gạch chéo trong hình).

b) \(2x + 3y > 5\quad \) (2).

Vẽ đường thẳng \(d:2x + 3y = 5\) với các cặp giá trị là \(x = 1,y = 1\) và \(x = \frac{5}{2},y = 0\).

Xét điểm \(O(0;0)\) : thay \(x = 0,y = 0\) vào (2), ta được: \(0 > 5\) (sai). Do đó điểm \(O\) không thuộc miền nghiệm của (2). Vậy miền nghiệm của (2) là nửa mặt phẳng (không kể cả d) không chứa điểm \(O\) (phần không gạch chéo trong hình).

c) (3).

Vẽ đường thẳng \(d: - 3x + y = 0\) với các cặp giá trị \(x = 0,y = 0\) và \(x = 1,y = 3\).

Xét điểm \(M(0;1)\); thay \(x = 0,y = 1\) vào \((3)\) : (đúng), suy ra \(M\) thuộc miền nghiệm của (3). Vậy miền nghiệm của (3) là nửa mặt phẳng (kề cả \(d\) ) chứa điểm \(M\) (phần không gạch chéo trong hình).

d) \(x - y < 7\quad \) (4)

Vẽ đường thẳng \(d:x - y = 7\) với các cặp giá trị \(x = 7,y = 0\) và \(x = 0,y = - 7\).

Xét điểm \(O(0;0)\) : thay \(x = 0,y = 0\) vào (4): \(0 < 7\) (đúng), suy ra \(O\) thuộc miền nghiệm của (4).

Vậy miền nghiệm của (4) là nửa mặt phẳng (không kể d) chứa điểm \(O\) (phần không gạch chéo trong hình).

a) Tổng thời gian làm xong sản phẩm loại \(I\) là \(3x\), tổng thời gian làm xong sản phẩm loại II là \(2y\).

b) Ta có bất phương trình: , điều kiện \(x,y \in \mathbb{N}\).

c) Thay cặp số \((3;4)\) vào bất phương trình (đúng), suy ra \((3;4)\) là một nghiệm của \((*)\).

d) Thay cặp số \((4;3)\) vào bất phương trình (đúng), suy ra \((4;3)\) là một nghiệm của \((*)\).

a) Tổng số điểm người chơi đạt được khi chọn chữ \(A\) là \(3x\), tổng số điểm người chơi bị trừ khi chọn chữ \(B\) là \(y\).

b) Với \(x,y \in \mathbb{N}\), ta có bất phương trình: .

c) Thay cặp số \((7;1)\) vào bất phương trình (đúng), suy ra \((7;1)\) là một nghiệm của \((*)\). Điều này cho thấy nếu người chơi chọn được chữ \(A\) 7 lần và chọn được chữ \(B\) 1 lần thì người đó vừa đủ điểm dành chiến thắng trò chơi.

d) Thay cặp số \((8;4)\) vào bất phương trình (đúng), suy ra \((8;4)\) là một nghiệm của \((*)\). Điều này cho thấy nếu người chơi chọn được chữ \(A\) 8 lần và chọn được chữ \(B\) 4 lần thì người đó vừa đủ điểm dành chiến thắng trò chơi.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác \(ABCD\) với \(A( - 1;0),B(5;0),C(2;3)\), \(D(0;2)(\)Hinh). Ta có: \(x - y + m \ge 0 \Leftrightarrow m \ge  - x + y\).

Đặt \(F =  - x + y\). Tính giá trị của \(F =  - x + y\) tại các cặp số \((x;y)\) là toạ độ của các đỉnh tứ giác \(ABCD\) rồi so sánh bằng \( - 5\) tại \(x = 5,y = 0\).

Để \(m \le  - x + y\) với mọi \(x,y\) thoả mãn hệ bất phương trình đã cho thì \(m \le {\mathop{\rm Min}\nolimits} F\) trên miền nghiệm của hệ bất phương trình đó hay \(m \le  - 5\).

Miền nghiệm của hệ bất phương trình (II) là miền tam giác \(ABC\) với \(A(4;1)\), \(B(8;3),C(2;3)\) (Hình).

Ta có: \(2x - 5y + m \ge 0 \Leftrightarrow m \ge  - 2x + 5y\).

Đặt \(F =  - 2x + 5y\). Tính giá trị của \(F =  - 2x + 5y\) tại các cặp số \((x;y)\) là toạ độ của các đỉnh tam giác \(ABC\) rồi so sánh các giá trị đó, ta được \(F\) đạt giá trị lớn nhất bằng 11 tại \(x = 2,y = 3\).

Để bất phương trình \(2x - 5y + m \ge 0\) nghiệm đúng với mọi \(x,y\) thoả mãn hệ bất phương trình đã cho thì \(m \ge {\mathop{\rm Max}\nolimits} F\) trên miền nghiệm của hệ bất phương trình đó hay \(m \ge 11\).

Gọi \(x,y\) lần lượt là số cốc đồ uống loại \(A\), loại \(B\) mà đội chơi cần pha chế với \(x \ge 0,y \ge 0\).

Số cốc nước cần dùng là: \(x + y\) (cốc).

Lượng đường cần dùng là: \(30x + 10y(\;g)\).

Lượng hương liệu cần dùng là: \(x + 4y(\;g)\).

Theo giả thiết, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 9\\30x + 10y \le 210\\x + 4y \le 24\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 9\\3x + y \le 21\\x + 4y \le 24\end{array}\end{array}} \right.} \right.\left( {III} \right)\)

Số điểm thường nhận được là: \(F = 6x + 8y\).

Ta tìm giá trị lớn nhất trên miền nghiệm của hệ bất phương trình (III).

Miền nghiệm của hệ bất phương trình (III) là miền ngũ giác \(OABCD\) với \(O\left( {0;0} \right),\,A\left( {7;0} \right),\,B\left( {6;3} \right),\,C\left( {4;5} \right),\,D\left( {0;6} \right)\)(hình).

Tính giá trị của \(F = 6x + 8y\) tại các cặp số \(\left( {x;y} \right)\) là tọa độ của các đỉnh ngũ giác \(OABCD\) rồi so sánh các giá trị đó, ta được \(F\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(64\) tại \(x = 4;y = 5\).

Vậy để đạt được số điểm thưởng cao nhất, đội chơi cần pha chế 4 cốc đồ uống loại \(A\), 5 cốc đồ uống loại \(B\).

Gọi \(x,y\) lần lượt là số ki-lô-gam thịt bò và thịt lợn mà gia đình đó mua trong một ngày với \(0 \le x \le 1,6,0 \le y \le 1,1\).

Số đơn vị protein gia đình có là: \(800x + 600y\).

Số đơn vị lipit gia đình có là: \(200x + 400y\). Theo bài ra, ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}0 \le x \le 1,6\\0 \le y \le 1,1\\800x + 600y \ge 900\\200x + 400y \ge 400\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}0 \le x \le 1,6\\0 \le y \le 1,1\\8x + 6y \ge 9\\x + 2y \ge 2\end{array}\end{array}} \right.} \right.\left( {IV} \right)\)

Số tiền gia đình đã dùng để mua thịt bò và thịt lợn là:

\[T = 200000{\rm{ }}x + 160000{\rm{ }}y\](đồng).

Bài toán đưa về tìm \(x,y\) là nghiệm của hệ bất phương trình (IV) để \(T = 200000x + 160000y\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Trước hết, ta biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình (IV).

Miền nghiệm của hệ bất phương trình (IV) là miền tứ giác \(ABCD\) với \(A(0,3;1,1),B(0,6;0,7),C(1,6;0,2)\), \(D(1,6;1,1)\)(hình)

Tính giá trị của \(T\) tại các cặp số \((x;y)\) là tọa độ của các đỉnh tứ giác \(ABCD\) rồi so sánh các giá trị đó, ta được \(T\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 232000 đồng tại \(x = 0,6;y = 0,7\)

Vậy để đảm bảo cung cấp đủ lượng protein, lipit cho gia đình và có chi phí là ít nhất thì gia đình đó cần mua thêm \(0,6kg\) thịt bò và \(0,7kg\)thịt lợn

Gọi \(x,y\) (chiếc) là số lượng bánh nướng, bánh dẻo mà xí nghiệp cần sản xuất. Trong đó \(0 < x,0 < y\) với \(x,y \in {\mathbb{N}^*}\).

Khối lượng bột mỳ cần dùng là: \(0,12x + 0,16y(\;kg)\).

Khối lượng đường cần dùng là: \(0,06x + 0,04y(\;kg)\).

Ta có: \(0,12x + 0,16y \le 600\) hay \(3x + 4y \le 15000\);

\(0,06x + 0,04y \le 240\) hay \(3x + 2y \le 12000\).

Số tiền lãi thu được là: \(T = 8x + 6y\) (nghìn đồng). Bài toán đưa về, tìm \(x,y\) là nghiệm của hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y \le 15000\\3x + 2y \le 1200\\y \le 3x\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\left( V \right)\) để \(T = 8x + 6y\) đạt giá trị lớn nhất.

Trước hết, ta biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình (V).

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác \(OABC\) với \(O\left( {0;0} \right),\,A\left( {4000;0} \right),B\left( {3000;1500} \right),\,C\left( {1000;3000} \right)\)

Tính giá trị của \(T\) tại các cặp số \((x;y)\) là toạ độ các đỉnh trên rồi so sánh các giá trị đó, ta được \(T\) đạt giá trị lớn nhất bằng 33000 (nghìn đồng) hay 33 triệu đồng tại \(x = 3000;y = 1500\).

Vậy để đạt được tiền lãi cao nhất, xí nghiệp nên sản xuất 3000 chiếc bánh nướng và \(1.500\) chiếc bánh dẻo.

Gọi \(x,y\) lần lượt là số kg sản phẩm loại I và loại II mà xưởng sản xuất được.

Tổng nguyên liệu được dùng là \(2x + 4y(\;kg)\); tổng thời gian sản xuất là \(30x + \) \(15y\) (giờ); .

Ta có hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 4y \le 200\\30x + 15y \le 1200\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2y \le 100\\2x + y \le 80\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\)

Vẽ trên cùng hệ trục các đường thẳng \({d_1}:x + 2y = 100,\,{d_2}:2x + y = 80,\,{d_3}:y = 0,\,{d_4}:x = 0\)

Ta có điểm \(M\left( {1;1} \right)\) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình vì khi thay tọa độ điểm này vào hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}1 + 2.1 \le 100\\2.1 + 1 \le 80\\1 \ge 0\\1 \ge 0\end{array} \right.\)(đúng)

Gạch bỏ các phần không thuộc miền nghiệm của mỗi bất phương trình trong hệ (nửa mặt phẳng có bờ là các đường thẳng \({d_1},{d_2},{d_3},{d_4}\) và không chứa điểm \(M\) ). Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình chính là miền của tứ giác \(OABC\) (kể cả các cạnh của tứ giác đó) với \(O(0;0),A(0;50),B(20;40),C(40;0)\).

Lãi thu về từ việc sản xuất hai sản phẩm: \(F(x;y) = 40x + 30y\) (nghìn đồng).

Tại \(O(0;0)\), ta có \(F(0;0) = 0\); tại \(A(0;50)\), ta có \(F(0;50) = 1500\); tại \(B(20;40)\), ta có \(F(20;40) = 2000\); tại \(C(40;0)\), ta có \(F(40;0) = 1600\).

Vậy lãi suất cao nhất thu được bằng 2000000 đồng, khi đó \(x = 20,y = 40\) (tức là xưởng cần sản xuất ra 20 sản phẩm loại \(I\) và 40 sản phẩm loại II).