Đề kiểm tra Bất phương trình bậc nhất hai ẩn lớp 10 (có lời giải) - Đề 1

Chọn A

  Trước hết, ta vẽ đường thẳng \(\left( d \right):2x - \sqrt 2 y + \sqrt 2  - 2 = 0.\)

Ta thấy \(\left( {0\,\,;\,\,0} \right)\) là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng bờ \(\left( d \right)\) chứa điểm \(\left( {0\,\,;\,\,0} \right).\)

Chọn C

Ta thấy \(\left( {1; - 1} \right)\) thỏa mãn hệ phương trình do đó \(\left( {1; - 1} \right)\)là một cặp nghiệm của hệ phương trình.

Chọn A

Ta thấy \(\left( {2;2} \right) \in S\)vì \(2 - 2.2 + 5 > 0\).

 Các bất phương trình bậc nhất hai ẩn là: \(\frac{{ - 1}}{7}x - \frac{y}{3} \le 8\) và \(\frac{2}{{ - 5}}x - {5^2}y \le - \sqrt {15} \).

Thay \((3; - 4)\) vào bất phương trình \(2x - 5y \le 8\) ta được \(2.3 - 5.( - 4) \le 8 \Leftrightarrow 26 \le 8\)

(vô lí), nên \((3; - 4)\) không là một nghiệm của bất phương trình \(2x - 5y \le 8\).

Thay \(( - 2;2)\) vào bất phương trình \(2x - 5y \le 8\) ta được \(2.( - 2) - 5.2 \le 8 \Leftrightarrow - 14 \le 8\)

(đúng), nên \(( - 2;2)\) là một nghiệm của bất phương trình \(2x - 5y \le 8.\)

Thay \(\left( { - 3; - 1} \right)\) vào bất phương trình \(2x - 5y \le 8\) ta được

2. \(( - 3) - 5.( - 1) \le 8 \Leftrightarrow - 1 \le 8\) (đúng), nên \(( - 3; - 1)\) là một nghiệm của bất phương trinh \(2x - 5y \le 8\).

Thay \((5;0)\) vào bất phương trình \(2x - 5y \le 8\) ta được \(2.5 - 5.0 \le 8 \Leftrightarrow 10 \le 8\) (vô

lí), nên \((5;0)\) không là một nghiệm của bất phương trình \(2x - 5y \le 8\).

Thay \(( - 1;2)\) vào bất phương trình \(3x - 5y < - 15\) ta được: 3. \(( - 1) - 5 \cdot 2 < - 15 \Leftrightarrow - 13 < - 15\) (vô lí), nên \(( - 1;2)\) không là một nghiệm của bất phương trình \(3x - 5y < - 15\).

Thay \(( - 1;2)\) vào bất phương trình \(2x + y \le 0\) ta được: \(2.( - 1) + 2 \le 0 \Leftrightarrow 0 \le 0\)

(đúng), nên \(( - 1;2)\) là một nghiệm của bất phương trình \(2x + y \le 0\).

Thay \(( - 1;2)\) vào bất phương trình \(3x - 9y > 7\) ta được: \(3.( - 1) - 9 \cdot 2 > 7 \Leftrightarrow - 21 > 7\)

(vô lí), nên \(( - 1;2)\) không là một nghiệm của bất phương trình \(3x - 9y > 7\).

Thay \(( - 1;2)\) vào bất phương trình \( - 4x + 3y \ge 5\) ta được: \( - 4.( - 1) + 3.2 \ge 5 \Leftrightarrow \)

\(10 \ge 5\) (đúng), nên \(( - 1;2)\) là một nghiệm của bất phương trình \( - 4x + 3y \ge 5\).

Bất phương trình biểu thị mối liên hệ giữa \(x\) và \(y\) là: \(1,5x + 1,2y \le 10\).

Miền nghiệm của bất phương trình \(1,5x + 1,2y \le 10\) là nửa mặt phẳng bờ

là đường thẳng \(d:1,5x + 1,2y = 10\) chứa điểm \(O(0;0)\), được biểu diễn là miền không bị gạch chéo, tính cả bờ \(d:1,5x + 1,2y = 10\).

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F = 3y - 2x\) trên miền xác định bởi hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y \le 6}\\{x \ge 2}\\{x + y \le 4}\end{array}} \right.\). Vẽ đường thẳng \({d_1}:x - y - 6 = 0\) đi qua hai điểm \((0; - 6)\) và \((6;0)\).

Vẽ đường thẳng \({d_2}:x - 2 = 0\) đi qua hai điểm \((2;0)\) và \((2;2)\).

Vẽ đường thẳng \({d_3}:x + y - 4 = 0\) đi qua hai điểm \((0;4)\) và \((4;0)\).

Xét điểm \(M(3;0)\). Ta thấy tọa độ \(M\) thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ.

Do đó, miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y \le 6}\\{x \ge 2}\\{x + y \le 4}\end{array}} \right.\) là miền không bị tô đậm (hình tam giác \(ABC\) bao gồm cả các cạnh \(AB,BC\) và \(AC\) trên hình vẽ).

Tìm tọa độ các điểm \(A,B,C\).

Điểm \(A = {d_2} \cap {d_3}\) nên tọa độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{x + y - 4 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = 2}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(A(2;2)\).

Điểm \(B = {d_1} \cap {d_3}\) nên tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - y - 6 = 0}\\{x + y - 4 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5}\\{y = - 1}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(B(5; - 1)\)

Điểm \(C = {d_1} \cap {d_2}\) nên tọa độ điểm \(C\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{x - y - 6 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = - 4}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(C(2; - 4)\).

Ta thấy \(F = 3y - 2x\) đạt giá trị nhỏ nhất chỉ có thể tại các điểm \(A,B,C\).

Tại \(A(2;2)\) thì \(F = 2\).

Tại \(B(5; - 1)\) thì \(F = - 13\)

Tại \(C(2; - 4)\) thì \(F = - 16\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F = 3y - 2x\) trên miền xác định bởi hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y \le 6}\\{x \ge 2}\\{x + y \le 4}\end{array}} \right.\) là -16 khi \(x = 2,y = - 4\).

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(F = x - 3y + 1\) trên miền xác định bởi hệ

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - y \le 4}\\{y - x \le 1}\\{x + y \ge 2}\end{array}} \right.\)

Vẽ đường thẳng \({d_1}:2x - y - 4 = 0\) đi qua hai điểm \((0; - 4)\) và \((2;0)\).

Vẽ đường thẳng \({d_2}: - x + y - 1 = 0\) đi qua hai điểm \((0;1)\) và \(( - 1;0)\).

Vẽ đường thẳng \({d_3}:x + y - 2 = 0\) đi qua hai điểm \((0;2)\) và \((2;0)\).

Xét điểm \(M(2;2)\). Ta thấy tọa độ \(M\) thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ.

Do đó, miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - y \le 4}\\{y - x \le 1}\\{x + y \ge 2}\end{array}} \right.\) là miền không bị tô đậm (hình tam giác \(ABC\) bao gồm cả các cạnh \(AB,BC\) và \(AC\) trên hình vẽ).

Tìm tọa độ các điểm \(A,B,C\).

Điểm \(A = {d_2} \cap {d_3}\) nên tọa độ điểm \(A\) là

nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - x + y = 1}\\{x + y = 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{1}{?}}\\{y = \frac{3}{2}}\end{array}} \right.} \right.\).

Vậy \(A\left( {\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right)\).

Điểm \(B = {d_1} \cap {d_2}\) nên tọa độ điềm \(B\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - y - 4 = 0}\\{ - x + y - 1 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5}\\{y = 6}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(B(5;6)\).

Điểm \(C = {d_1} \cap {d_3}\) nên tọa độ điểm \(C\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - y - 4 = 0}\\{x + y - 2 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = 0}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(C(2;0)\).

Ta thấy \(F = x - 3y + 1\) đạt giá trị lớn nhất chỉ có thể tại các điểm \(A,B,C\).

Tại \(A\left( {\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right)\) thì \(F = - 3\).

Tại \(B(5;6)\) thì \(F = - 12\)

Tại \(C(2;0)\) thì \(F = 3\)

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(F = x - 3y + 1\) trên miền xác định bởi hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - y \le 4}\\{y - x \le 1{\rm{ l\`a }}3}\\{x + y \ge 2}\end{array}} \right.\)

 khi \(x = 2,y = 0\).

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F(x;y) = x - y\) với điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{x + y - 3 \le 0}\end{array}} \right.\).

Vẽ đường thẳng \({d_1}:x = 0\) đi qua hai điểm \((0;0)\) và \((0;1)\).

Vẽ đường thẳng \({d_2}:y = 0\) đi qua hai điểm \((0;0)\) và \((1;0)\).

Vẽ đường thẳng \({d_3}:x + y - 3 = 0\) đi qua hai điểm \((0;3)\) và \((3;0)\).

Xét điểm \(M(1;1)\). Ta thấy tọa độ \(M\) thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ.

Do đó, miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{x + y - 3 \le 0}\end{array}} \right.\) là miền không bị tô đậm (hình tam giác \(OAB\) bao gồm cả các cạnh \(OA,OB\) và \(AB\) trên hình vẽ).

Tìm tọa độ các điểm \(O,A,B\).

Điểm \(O = {d_1} \cap {d_2}\) nên tọa độ điểm \(O\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{y = 0}\end{array}} \right.\). Vậy \(O(0;0)\).

Điểm \(A = {d_1} \cap {d_3}\) nên tọa độ điểm \(A\) là

nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x + y - 3 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{y = 3}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(A(0;3)\).

Điểm \(B = {d_2} \cap {d_3}\) nên tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = 0}\\{x + y - 3 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3}\\{y = 0}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(B(3;0)\).

Ta thấy \(F = x - y\) đạt giá trị nhỏ nhất chỉ có thể tại các điểm \(O,A,B\).

Tại \(O(0;0)\) thì \(F = 0\).

Tại \(A(0;3)\) thì \(F = - 3\)

Tại \(B(3;0)\) thì \(F = 3\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F = x - y\) trên miền xác định bởi hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{x + y - 3 \le 0}\end{array}} \right.\) là -3

khi \(x = 0,y = 3\).

Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho tứ giác \(ABCD\) có \(A( - 3;0);B(0;2);C(3;1);D(3; - 2)\). Tìm tất cả các giá trị của \(m\) sao cho điểm \(M(m;m - 1)\) nằm trong hình tứ giác \(ABCD\) kể cả 4 cạnh.

Nhận thấy hình tứ giác \(ABCD\) tính cả 4 cạnh của nó là miền nghiệm của hệ bất phương trình gồm 4 bất phương trình có miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa điểm \(O(0;0)\) và lần lượt có các bờ là các đường thẳng \(AB,BC,CD\) và \(DA\).

Phương trình đường thẳng \(AB\) :

\(\frac{{x + 3}}{{0 - ( - 3)}} = \frac{{y - 0}}{{2 - 0}} \Leftrightarrow 2x - 3y + 6 = 0.{\rm{ }}\)

Bất phương trình có miền nghiệm là là nửa mặt phẳng bờ \(AB\) (tính cả bờ \(AB\)) và chứa điểm \(O\) là \(2x - 3y + 6 \ge 0\).

Phương trình đường thẳng \(BC:\frac{{x - 0}}{{3 - 0}} = \frac{{y - 2}}{{1 - 2}} \Leftrightarrow x + 3y - 6 = 0\). Bất phương trình có miền nghiệm là là nửa mặt phẳng bờ \(BC\) (tính cả bờ \(BC\)) và chứa điểm \(O\) là \(x + 3y - 6 \le 0\).

Phương trình đường thẳng \(CD:x - 3 = 0\). Bất phương trình có miền nghiệm là là nửa mặt phẳng bờ \(CD\) (tính cả bờ \(CD\)) và chứa điểm \(O\) là \(x - 3 \le 0\).

Phương trình đường thẳng \(DA:\frac{{x + 3}}{{3 - ( - 3)}} = \frac{{y - 0}}{{ - 2 - 0}} \Leftrightarrow x + 3y + 3 = 0\). Bất phương trình có miền nghiệm là là nửa mặt phẳng bờ \(DA\) (tính cả bờ \(DA\) ) và chứa điểm \(O\) là \(x + 3y + 3 \ge 0\).

Hình tứ giác \(ABCD\) tính cả 4 cạnh của nó là miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - 3y + 6 \ge 0}\\{x + 3y - 6 \le 0}\\{x - 3 \le 0}\\{x + 3y + 3 \ge 0}\end{array}} \right.(1)\)

Điểm \(M(m;m - 1)\) nằm trong hình tứ giác \(ABCD\) tính cả 4 cạnh của nó khi và chỉ khi \((m;m - 1)\) là một nghiệm của hệ \((1)\), tức là

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2m - 3(m - 1) + 6 \ge 0}\\{m + 3(m - 1) - 6 \le 0}\\{m - 3 \le 0}\\{m + 3(m - 1) + 3 \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \le 9}\\{m \le \frac{9}{4}}\\{m \le 3}\\{m \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow 0 \le m \le \frac{9}{4}} \right.} \right.\)

Vậy các giá trị của \(m\) thỏa mãn là \(0 \le m \le \frac{9}{4}\).

Gọi \(x,y(xe)\) lần lượt là số xe loại \(A\) và \(B\) cần thuê.

Khi đó, số tiền cần bỏ ra để thuê xe là \(F(x;y) = 5x + 4y\) (triệu đồng)

Ta có \(x\) xe loại \(A\) chở được \(30x\) người và \(0,8x\) tấn hàng; \(y\) xe loại \(B\) chở được \(20y\) người và \(1,6y\) tấn hàng.

Suy ra \(x\) xe loại \(A\) và \(y\) xe loại \(B\) chở được \(30x + 20y\) người và \(0,8x + 1,6y\) tấn hàng.

Ta có hệ bất phương trình sau: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{30x + 20y \ge 180}\\{0,8x + 1,6y \ge 8}\\{0 \le x \le 10}\\{0 \le y \le 9}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + 2y \ge 18}\\{x + 2y \ge 10}\\{0 \le x \le 10}\\{0 \le y \le 9}\end{array}} \right.} \right.\) (*)

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của \(F(x;y)\) trên miền nghiệm của hệ (*).

Miền nghiệm của hệ \((*)\) là tứ giác \(ABCD\) (kể cả bờ)

Tìm tọa độ các điểm \(A,B,C,D\).

Tọa độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + 2y - 18 = 0}\\{y = 9}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{y = 9}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(A(0;9)\).

Tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + 2y - 18 = 0}\\{x + 2y - 10 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 4}\\{y = 3}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(B(4;3)\).

Tọa độ điểm \(C\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 10}\\{x + 2y - 10 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 10}\\{y = 0}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(C(10;0)\).

Tọa độ điểm \(D\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 10}\\{y = 9}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 10}\\{y = 9}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(D(10;9)\).

Ta thấy \(F(x;y) = 5x + 4y\) đạt giá trị nhỏ nhất chỉ có thể tại các điểm \(A,B,C,D\).

Tại \(A(0;9)\) thì \(F = 36\) (triệu đồng).

Tại \(B(4;3)\) thì \(F = 32\) (triệu đồng).

Tại \(C(10;0)\) thì \(F = 50\) (triệu đồng).

Tại \(D(10;9)\) thì \(F = 86\) (triệu đồng).

Như vậy để chi phí thấp nhất cần thuê 4 xe loại \(A\) và 3 xe loại \(B\).

Điều kiện: \(0 \le x \le 2;0 \le y \le 1,5\)

Khi đó số protein có được là \(800x + 600y\) và số lipit có được là \(200x + 400y\)

Vì gia đình đó cần ít nhất 1200 đơn vị protein và 800 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày nên điều kiện tương ứng là:

\(800x + 600y \ge 1200 \Leftrightarrow 4x + 3y \ge 6{\rm{ v\`a }}200x + 400y \ge 800 \Leftrightarrow x + 2y \ge 4\)

Ta có hệ bất phương trình sau:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 \le x \le 2}\\{0 \le y \le 1,5}\\{4x + 3y \ge 6}\\{x + 2y \ge 4}\end{array}} \right.\)(*)