Đề kiểm tra Bất phương trình bậc nhất hai ẩn lớp 10 (có lời giải) - Đề 1
22 câu hỏi
Phần 1. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi, thí sinh chỉ chọn 1 phương án.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình \[ax + by \le c\] (các hệ số \[a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c\] là những số thực, \[a\] và \[b\] không đồng thời bằng \[0\]) không được gọi là miền nghiệm của nó.
Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình \[2x - 3y + 1 < 0\] trên hệ trục \[Oxy\] là đường thẳng \[2x - 3y + 1 = 0\].
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình \[ax + by \le c\] (các hệ số \[a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c\] là những số thực, \[a\] và \[b\] không đồng thời bằng \[0\]) được gọi là miền nghiệm của nó.
Nghiệm của bất phương trình \[ax + by \le c\](các hệ số \[a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c\] là những số thực, \[a\] và \[b\] không đồng thời bằng \[0\]) là tập rỗng.
Chọn C
Câu nào sau đây sai?.Miền nghiệm của bất phương trình \( - x + 2 + 2\left( {y - 2} \right) < 2\left( {1 - x} \right)\) là nửa mặt phẳng chứa điểm
\(\left( {0;0} \right)\).
\(\left( {1;1} \right)\).
\(\left( {4;2} \right)\).
\(\left( {1; - 1} \right)\).
Chọn C
Ta có: \( - x + 2 + 2\left( {y - 2} \right) < 2\left( {1 - x} \right)\)\( \Leftrightarrow - x + 2 + 2y - 4 < 2 - 2x\)\( \Leftrightarrow x + 2y < 4\).
Dễ thấy tại điểm \(\left( {4;\,2} \right)\) ta có: \(4 + 2.2 = 8 > 4\).
Câu nào sau đây đúng?.Miền nghiệm của bất phương trình \(3\left( {x - 1} \right) + 4\left( {y - 2} \right) < 5x - 3\) là nửa mặt phẳng chứa điểm
\(\left( {0;0} \right)\).
\(\left( { - 4;2} \right)\).
\(\left( { - 2;2} \right)\).
\(\left( { - 5;3} \right)\).
Chọn A
Ta có: \(3\left( {x - 1} \right) + 4\left( {y - 2} \right) < 5x - 3\)\( \Leftrightarrow 3x - 3 + 4y - 8 < 5x - 3\)\( \Leftrightarrow 2x - 4y + 8 > 0\)\( \Leftrightarrow x - 2y + 4 > 0\)
Dễ thấy tại điểm \(\left( {0;0} \right)\) ta có: \(0 - 2.0 + 4 = 4 > 0\).
Miền nghiệm của bất phương trình \[ - 3x + y + 2 \le 0\] không chứa điểm nào sau đây?
\(A\left( {1\,\,;\,\,2} \right)\).
\(B\left( {2\,\,;\,\,1} \right)\).
\(C\left( {1\,\,;\,\,\frac{1}{2}} \right)\).
\(D\left( {3\,\,;\,\,1} \right)\).
Chọn A
![Miền nghiệm của bất phương trình \[ - 3x + y + 2 \le 0\] không chứa điểm nào sau đây? A. \(A\left( {1\,\,;\,\,2} \right)\). B. \(B\left( {2\,\,;\,\,1} \right)\). C. \(C\left( {1\,\,;\,\,\frac{1}{2}} \right)\). D. \(D\left( {3\,\,;\,\,1} \right)\). (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/1-1759999508.png)
Trước hết, ta vẽ đường thẳng \(\left( d \right): - 3x + y + 2 = 0.\)
Ta thấy \(\left( {0\,\,;\,\,0} \right)\) không là nghiệm của bất phương trình.
Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ \(\left( d \right)\) không chứa điểm \(\left( {0\,\,;\,\,0} \right).\)
Miền nghiệm của bất phương trình \[x + 3 + 2(2y + 5) < 2(1 - x)\] không chứa điểm nào sau đây?
\(A\left( { - 1\,\,;\,\, - 2} \right)\).
\(B\left( { - \frac{1}{{11}}\,\,;\,\, - \frac{2}{{11}}} \right)\).
\(C\left( {0\,\,;\,\, - 3} \right)\).
\(D\left( { - 4\,\,;\,\,0} \right)\).
Chọn B
![Miền nghiệm của bất phương trình \[x + 3 + 2(2y + 5) < 2(1 - x)\] không chứa điểm nào sau đây? (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/2-1759999558.png)
Đầu tiên, thu gọn bất phương trình đề bài đã cho về thành \(3x + 4y + 11 < 0.\)
Ta vẽ đường thẳng \(\left( d \right):3x + 4y + 11 = 0.\)
Ta thấy \(\left( {0\,\,;\,\,0} \right)\) không là nghiệm của bất phương trình.
Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng (không kể bờ \(\left( d \right)\)) không chứa điểm \(\left( {0\,\,;\,\,0} \right).\)
Miền nghiệm của bất phương trình \[2x + y > 1\] không chứa điểm nào sau đây?
\(A\left( {1\,\,;\,\,1} \right).\)
\(B\left( {2\,\,;\,\,2} \right)\).
\(C\left( {3\,\,;\,\,3} \right)\).
\(D\left( { - 1\,\,;\,\, - 1} \right)\).
Chọn D
![Miền nghiệm của bất phương trình \[2x + y > 1\] không chứa điểm nào sau đây? A. \(A\left( {1\,\,;\,\,1} \right).\) B. \(B\left( {2\,\,;\,\,2} \right)\). C. \(C\left( {3\,\,;\,\,3} \right)\). D. \(D\left( { - 1\,\,;\,\, - 1} \right)\). (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/3-1759999605.png)
Trước hết, ta vẽ đường thẳng \(\left( d \right):2x + y = 1.\)
Ta thấy \(\left( {0\,\,;\,\,0} \right)\) không là nghiệm của bất phương trình đã cho.
Vậy miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng (không kể bờ \(\left( d \right)\)) không chứa điểm \(\left( {0\,\,;\,\,0} \right).\)
Miền nghiệm của bất phương trình \(3x + 2y > - 6\) là
Chọn D
Trước hết, ta vẽ đường thẳng \(\left( d \right):3x + 2y = - 6.\)
Ta thấy \(\left( {0\,\,;\,\,0} \right)\) là nghiệm của bất phương trình đã cho. Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng (không kể bờ \(\left( d \right)\)) chứa điểm \(\left( {0\,\,;\,\,0} \right).\)
Cho bất phương trình\( - 2x + \sqrt 3 y + \sqrt 2 \le 0\)có tập nghiệm là \(S\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
\(\left( {1;1} \right) \in S\).
\(\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2};0} \right) \in S\).
\(\left( {1; - 2} \right) \notin S\).
\(\left( {1;0} \right) \notin S\).
Chọn B
Ta thấy \(\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2};0} \right) \in S\)vì \( - 2.\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \sqrt 3 .0 + \sqrt 2 = 0\).
Cặp số \[(x;y) = \left( {2;3} \right)\] là nghiệm của bất phương trình nào sau đây?
\[4x > 3y\].
x–3y+7<0.
2x–3y–1>0.
x–y<0.
Chọn D
Ta có \(2 - 3 = - 1 < 0\) nên Chọn D.
Miền nghiệm của bất phương trình \[2x - \sqrt 2 y + \sqrt 2 - 2 \le 0\] chứa điểm nào sau đây?
\(A\left( {1\,\,;\,\,1} \right).\)
\(B\left( {1\,\,;\,\,0} \right)\).
\(C\left( {\sqrt 2 \,\,;\,\,\sqrt 2 } \right)\).
\(D\left( {\sqrt 2 \,\,;\,\, - \sqrt 2 } \right).\)
Chọn A
![Miền nghiệm của bất phương trình \[2x - \sqrt 2 y + \sqrt 2 - 2 \le 0\] chứa điểm nào sau đây? (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/8-1760001093.png)
Trước hết, ta vẽ đường thẳng \(\left( d \right):2x - \sqrt 2 y + \sqrt 2 - 2 = 0.\)
Ta thấy \(\left( {0\,\,;\,\,0} \right)\) là nghiệm của bất phương trình đã cho.
Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng bờ \(\left( d \right)\) chứa điểm \(\left( {0\,\,;\,\,0} \right).\)
Cho bất phương trình\(2x + 4y < 5\)có tập nghiệm là \(S\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?
\(\left( {1;1} \right) \in S\).
\(\left( {1;10} \right) \in S\).
\(\left( {1; - 1} \right) \in S\).
\(\left( {1;5} \right) \in S\).
Chọn C
Ta thấy \(\left( {1; - 1} \right)\) thỏa mãn hệ phương trình do đó \(\left( {1; - 1} \right)\)là một cặp nghiệm của hệ phương trình.
Cho bất phương trình \(x - 2y + 5 > 0\)có tập nghiệm là \(S\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
\(\left( {2;2} \right) \in S\).
\(\left( {1;3} \right) \in S\).
\(\left( { - 2;2} \right) \in S\).
\(\left( { - 2;4} \right) \in S\).
Chọn A
Ta thấy \(\left( {2;2} \right) \in S\)vì \(2 - 2.2 + 5 > 0\).
Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau
a) \(\frac{{ - 1}}{7}x - \frac{y}{3} \le 8\)là bất phương trình bậc nhất hai ẩn;
b) \(\sqrt 2 {x^2} - 5\sqrt y \ge 8\)là bất phương trình bậc nhất hai ẩn;
c) \(2\frac{1}{x} - 5\frac{1}{y} > 8\)là bất phương trình bậc nhất hai ẩn;
d) \(\frac{2}{{ - 5}}x - {5^2}y \le - \sqrt {15} \)là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
a) Đúng | b) Sai | c) Sai | d) Đúng |
Các bất phương trình bậc nhất hai ẩn là: \(\frac{{ - 1}}{7}x - \frac{y}{3} \le 8\) và \(\frac{2}{{ - 5}}x - {5^2}y \le - \sqrt {15} \).
Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(2x - 5y \le 8\). Khi đó:
a) \((3; - 4)\) không là một nghiệm của bất phương trình
b) \(( - 2;2)\) không là một nghiệm của bất phương trình
c) \(( - 3; - 1)\)là một nghiệm của bất phương trình
d) \((5;0)\)không là một nghiệm của bất phương trình
a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng |
Thay \((3; - 4)\) vào bất phương trình \(2x - 5y \le 8\) ta được \(2.3 - 5.( - 4) \le 8 \Leftrightarrow 26 \le 8\)
(vô lí), nên \((3; - 4)\) không là một nghiệm của bất phương trình \(2x - 5y \le 8\).
Thay \(( - 2;2)\) vào bất phương trình \(2x - 5y \le 8\) ta được \(2.( - 2) - 5.2 \le 8 \Leftrightarrow - 14 \le 8\)
(đúng), nên \(( - 2;2)\) là một nghiệm của bất phương trình \(2x - 5y \le 8.\)
Thay \(\left( { - 3; - 1} \right)\) vào bất phương trình \(2x - 5y \le 8\) ta được
2. \(( - 3) - 5.( - 1) \le 8 \Leftrightarrow - 1 \le 8\) (đúng), nên \(( - 3; - 1)\) là một nghiệm của bất phương trinh \(2x - 5y \le 8\).
Thay \((5;0)\) vào bất phương trình \(2x - 5y \le 8\) ta được \(2.5 - 5.0 \le 8 \Leftrightarrow 10 \le 8\) (vô
lí), nên \((5;0)\) không là một nghiệm của bất phương trình \(2x - 5y \le 8\).
Cho điểm \(( - 1;2)\) và các bất phương trình:\(3x - 5y < - 15;2x + y \le 0;3x - 9y > 7; - 4x + 3y \ge 5.{\rm{ }}\) Khi đó:
a) \(( - 1;2)\) không là một nghiệm của bất phương trình \(3x - 5y < - 15\).
b) \(( - 1;2)\) là một nghiệm của bất phương trình \(2x + y \le 0\).
c) \(( - 1;2)\) là một nghiệm của bất phương trình \(3x - 9y > 7\).
d) \(( - 1;2)\) là một nghiệm của bất phương trình \( - 4x + 3y \ge 5\).
a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng |
Thay \(( - 1;2)\) vào bất phương trình \(3x - 5y < - 15\) ta được: 3. \(( - 1) - 5 \cdot 2 < - 15 \Leftrightarrow - 13 < - 15\) (vô lí), nên \(( - 1;2)\) không là một nghiệm của bất phương trình \(3x - 5y < - 15\).
Thay \(( - 1;2)\) vào bất phương trình \(2x + y \le 0\) ta được: \(2.( - 1) + 2 \le 0 \Leftrightarrow 0 \le 0\)
(đúng), nên \(( - 1;2)\) là một nghiệm của bất phương trình \(2x + y \le 0\).
Thay \(( - 1;2)\) vào bất phương trình \(3x - 9y > 7\) ta được: \(3.( - 1) - 9 \cdot 2 > 7 \Leftrightarrow - 21 > 7\)
(vô lí), nên \(( - 1;2)\) không là một nghiệm của bất phương trình \(3x - 9y > 7\).
Thay \(( - 1;2)\) vào bất phương trình \( - 4x + 3y \ge 5\) ta được: \( - 4.( - 1) + 3.2 \ge 5 \Leftrightarrow \)
\(10 \ge 5\) (đúng), nên \(( - 1;2)\) là một nghiệm của bất phương trình \( - 4x + 3y \ge 5\).
Một cửa hàng dành tối đa 10 triệu để nhập \(x\) tạ gạo và \(y\) tạ mì. Biết mỗi tạ gạo mua hết 1,5 triệu, mỗi tạ mì mua hết 1,2 triệu. Khi đó:
a) Bất phương trình biểu thị mối liên hệ giữa \(x\) và \(y\) là: \(1,5x + 1,2y \le 10\).
b) Bất phương trình biểu thị mối liên hệ giữa \(x\) và \(y\) là: \(1,5x + 1,2y \ge 10\).
c) Miền nghiệm của bất phương trình \(1,5x + 1,2y \le 10\) là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng \(d:1,5x + 1,2y = 10\) chứa điểm \(O(0;0)\)
d) Miền nghiệm của bất phương trình \(1,5x + 1,2y \le 10\) là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng \(d:1,5x + 1,2y = 10\) không chứa điểm \(O(0;0)\)
a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Sai |
Bất phương trình biểu thị mối liên hệ giữa \(x\) và \(y\) là: \(1,5x + 1,2y \le 10\).
Miền nghiệm của bất phương trình \(1,5x + 1,2y \le 10\) là nửa mặt phẳng bờ
là đường thẳng \(d:1,5x + 1,2y = 10\) chứa điểm \(O(0;0)\), được biểu diễn là miền không bị gạch chéo, tính cả bờ \(d:1,5x + 1,2y = 10\).
Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F = 3y - 2x\) trên miền xác định bởi hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - y \le 6}\\{y - 2x \ge 2}\\{x + y \le 4}\end{array}} \right.\).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F = 3y - 2x\) trên miền xác định bởi hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y \le 6}\\{x \ge 2}\\{x + y \le 4}\end{array}} \right.\). Vẽ đường thẳng \({d_1}:x - y - 6 = 0\) đi qua hai điểm \((0; - 6)\) và \((6;0)\).
Vẽ đường thẳng \({d_2}:x - 2 = 0\) đi qua hai điểm \((2;0)\) và \((2;2)\).
Vẽ đường thẳng \({d_3}:x + y - 4 = 0\) đi qua hai điểm \((0;4)\) và \((4;0)\).
Xét điểm \(M(3;0)\). Ta thấy tọa độ \(M\) thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ.
Do đó, miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y \le 6}\\{x \ge 2}\\{x + y \le 4}\end{array}} \right.\) là miền không bị tô đậm (hình tam giác \(ABC\) bao gồm cả các cạnh \(AB,BC\) và \(AC\) trên hình vẽ).
Tìm tọa độ các điểm \(A,B,C\).
Điểm \(A = {d_2} \cap {d_3}\) nên tọa độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{x + y - 4 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = 2}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(A(2;2)\).
Điểm \(B = {d_1} \cap {d_3}\) nên tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - y - 6 = 0}\\{x + y - 4 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5}\\{y = - 1}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(B(5; - 1)\)
Điểm \(C = {d_1} \cap {d_2}\) nên tọa độ điểm \(C\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{x - y - 6 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = - 4}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(C(2; - 4)\).
Ta thấy \(F = 3y - 2x\) đạt giá trị nhỏ nhất chỉ có thể tại các điểm \(A,B,C\).
Tại \(A(2;2)\) thì \(F = 2\).
Tại \(B(5; - 1)\) thì \(F = - 13\)
Tại \(C(2; - 4)\) thì \(F = - 16\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F = 3y - 2x\) trên miền xác định bởi hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y \le 6}\\{x \ge 2}\\{x + y \le 4}\end{array}} \right.\) là -16 khi \(x = 2,y = - 4\).
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(F = x - 3y + 1\) trên miền xác định bởi hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - y \le 4}\\{y - x \le 1}\\{x + y \ge 2}\end{array}} \right.\).
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(F = x - 3y + 1\) trên miền xác định bởi hệ
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - y \le 4}\\{y - x \le 1}\\{x + y \ge 2}\end{array}} \right.\)
Vẽ đường thẳng \({d_1}:2x - y - 4 = 0\) đi qua hai điểm \((0; - 4)\) và \((2;0)\).
Vẽ đường thẳng \({d_2}: - x + y - 1 = 0\) đi qua hai điểm \((0;1)\) và \(( - 1;0)\).
Vẽ đường thẳng \({d_3}:x + y - 2 = 0\) đi qua hai điểm \((0;2)\) và \((2;0)\).
Xét điểm \(M(2;2)\). Ta thấy tọa độ \(M\) thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ.
Do đó, miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - y \le 4}\\{y - x \le 1}\\{x + y \ge 2}\end{array}} \right.\) là miền không bị tô đậm (hình tam giác \(ABC\) bao gồm cả các cạnh \(AB,BC\) và \(AC\) trên hình vẽ).
Tìm tọa độ các điểm \(A,B,C\).
Điểm \(A = {d_2} \cap {d_3}\) nên tọa độ điểm \(A\) là
nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - x + y = 1}\\{x + y = 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{1}{?}}\\{y = \frac{3}{2}}\end{array}} \right.} \right.\).
Vậy \(A\left( {\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right)\).
Điểm \(B = {d_1} \cap {d_2}\) nên tọa độ điềm \(B\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - y - 4 = 0}\\{ - x + y - 1 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5}\\{y = 6}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(B(5;6)\).
Điểm \(C = {d_1} \cap {d_3}\) nên tọa độ điểm \(C\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - y - 4 = 0}\\{x + y - 2 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = 0}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(C(2;0)\).
Ta thấy \(F = x - 3y + 1\) đạt giá trị lớn nhất chỉ có thể tại các điểm \(A,B,C\).
Tại \(A\left( {\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right)\) thì \(F = - 3\).
Tại \(B(5;6)\) thì \(F = - 12\)
Tại \(C(2;0)\) thì \(F = 3\)
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(F = x - 3y + 1\) trên miền xác định bởi hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - y \le 4}\\{y - x \le 1{\rm{ l\`a }}3}\\{x + y \ge 2}\end{array}} \right.\)
khi \(x = 2,y = 0\).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F(x;y) = x - y\) với điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{x + y - 3 \le 0}\end{array}} \right.\).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F(x;y) = x - y\) với điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{x + y - 3 \le 0}\end{array}} \right.\).
Vẽ đường thẳng \({d_1}:x = 0\) đi qua hai điểm \((0;0)\) và \((0;1)\).
Vẽ đường thẳng \({d_2}:y = 0\) đi qua hai điểm \((0;0)\) và \((1;0)\).
Vẽ đường thẳng \({d_3}:x + y - 3 = 0\) đi qua hai điểm \((0;3)\) và \((3;0)\).
Xét điểm \(M(1;1)\). Ta thấy tọa độ \(M\) thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ.
Do đó, miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{x + y - 3 \le 0}\end{array}} \right.\) là miền không bị tô đậm (hình tam giác \(OAB\) bao gồm cả các cạnh \(OA,OB\) và \(AB\) trên hình vẽ).
Tìm tọa độ các điểm \(O,A,B\).
Điểm \(O = {d_1} \cap {d_2}\) nên tọa độ điểm \(O\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{y = 0}\end{array}} \right.\). Vậy \(O(0;0)\).
Điểm \(A = {d_1} \cap {d_3}\) nên tọa độ điểm \(A\) là
nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x + y - 3 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{y = 3}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(A(0;3)\).
Điểm \(B = {d_2} \cap {d_3}\) nên tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = 0}\\{x + y - 3 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3}\\{y = 0}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(B(3;0)\).
Ta thấy \(F = x - y\) đạt giá trị nhỏ nhất chỉ có thể tại các điểm \(O,A,B\).
Tại \(O(0;0)\) thì \(F = 0\).
Tại \(A(0;3)\) thì \(F = - 3\)
Tại \(B(3;0)\) thì \(F = 3\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F = x - y\) trên miền xác định bởi hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{x + y - 3 \le 0}\end{array}} \right.\) là -3
khi \(x = 0,y = 3\).
Trong mặt phẳng Oxy, cho tứ giác ABCD có \(A( - 3;0);B(0;2);C(3;1);D(3; - 2)\). Tìm tất cả các giá trị của \(m\) sao cho điểm \(M(m;m - 1)\) nằm trong hình tứ giác ABCD kể cả 4 cạnh.
Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho tứ giác \(ABCD\) có \(A( - 3;0);B(0;2);C(3;1);D(3; - 2)\). Tìm tất cả các giá trị của \(m\) sao cho điểm \(M(m;m - 1)\) nằm trong hình tứ giác \(ABCD\) kể cả 4 cạnh.
Nhận thấy hình tứ giác \(ABCD\) tính cả 4 cạnh của nó là miền nghiệm của hệ bất phương trình gồm 4 bất phương trình có miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa điểm \(O(0;0)\) và lần lượt có các bờ là các đường thẳng \(AB,BC,CD\) và \(DA\).
Phương trình đường thẳng \(AB\) :
\(\frac{{x + 3}}{{0 - ( - 3)}} = \frac{{y - 0}}{{2 - 0}} \Leftrightarrow 2x - 3y + 6 = 0.{\rm{ }}\)
Bất phương trình có miền nghiệm là là nửa mặt phẳng bờ \(AB\) (tính cả bờ \(AB\)) và chứa điểm \(O\) là \(2x - 3y + 6 \ge 0\).
Phương trình đường thẳng \(BC:\frac{{x - 0}}{{3 - 0}} = \frac{{y - 2}}{{1 - 2}} \Leftrightarrow x + 3y - 6 = 0\). Bất phương trình có miền nghiệm là là nửa mặt phẳng bờ \(BC\) (tính cả bờ \(BC\)) và chứa điểm \(O\) là \(x + 3y - 6 \le 0\).
Phương trình đường thẳng \(CD:x - 3 = 0\). Bất phương trình có miền nghiệm là là nửa mặt phẳng bờ \(CD\) (tính cả bờ \(CD\)) và chứa điểm \(O\) là \(x - 3 \le 0\).
Phương trình đường thẳng \(DA:\frac{{x + 3}}{{3 - ( - 3)}} = \frac{{y - 0}}{{ - 2 - 0}} \Leftrightarrow x + 3y + 3 = 0\). Bất phương trình có miền nghiệm là là nửa mặt phẳng bờ \(DA\) (tính cả bờ \(DA\) ) và chứa điểm \(O\) là \(x + 3y + 3 \ge 0\).
Hình tứ giác \(ABCD\) tính cả 4 cạnh của nó là miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - 3y + 6 \ge 0}\\{x + 3y - 6 \le 0}\\{x - 3 \le 0}\\{x + 3y + 3 \ge 0}\end{array}} \right.(1)\)
Điểm \(M(m;m - 1)\) nằm trong hình tứ giác \(ABCD\) tính cả 4 cạnh của nó khi và chỉ khi \((m;m - 1)\) là một nghiệm của hệ \((1)\), tức là
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2m - 3(m - 1) + 6 \ge 0}\\{m + 3(m - 1) - 6 \le 0}\\{m - 3 \le 0}\\{m + 3(m - 1) + 3 \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \le 9}\\{m \le \frac{9}{4}}\\{m \le 3}\\{m \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow 0 \le m \le \frac{9}{4}} \right.} \right.\)
Vậy các giá trị của \(m\) thỏa mãn là \(0 \le m \le \frac{9}{4}\).
Trong một đợt dã ngoại, một trường học cần thuê xe chở 180 người và 8 tấn hàng. Nơi thuê xe có hai loại xe \(A\) và \(B\), trong đó xe \(A\) có 10 chiếc và xe \(B\) có 9 chiếc. Một xe loại \(A\) cho thuê với giá 5 triệu đồng và một xe loại \(B\) cho thuê với giá 4 triệu đồng. Biết rằng mỗi xe loại \(A\) có thể chở tối đa 30 người và 0,8 tấn hàng, mỗi xe loại \(B\) có thể chở tối đa 20 người và 1,6 tấn hàng. Tìm số xe mỗi loại sao cho chi phí thuê là thấp nhất.
Gọi \(x,y(xe)\) lần lượt là số xe loại \(A\) và \(B\) cần thuê.
Khi đó, số tiền cần bỏ ra để thuê xe là \(F(x;y) = 5x + 4y\) (triệu đồng)
Ta có \(x\) xe loại \(A\) chở được \(30x\) người và \(0,8x\) tấn hàng; \(y\) xe loại \(B\) chở được \(20y\) người và \(1,6y\) tấn hàng.
Suy ra \(x\) xe loại \(A\) và \(y\) xe loại \(B\) chở được \(30x + 20y\) người và \(0,8x + 1,6y\) tấn hàng.
Ta có hệ bất phương trình sau: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{30x + 20y \ge 180}\\{0,8x + 1,6y \ge 8}\\{0 \le x \le 10}\\{0 \le y \le 9}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + 2y \ge 18}\\{x + 2y \ge 10}\\{0 \le x \le 10}\\{0 \le y \le 9}\end{array}} \right.} \right.\) (*)
Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của \(F(x;y)\) trên miền nghiệm của hệ (*).
Miền nghiệm của hệ \((*)\) là tứ giác \(ABCD\) (kể cả bờ)
Tìm tọa độ các điểm \(A,B,C,D\).
Tọa độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + 2y - 18 = 0}\\{y = 9}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{y = 9}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(A(0;9)\).
Tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + 2y - 18 = 0}\\{x + 2y - 10 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 4}\\{y = 3}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(B(4;3)\).
Tọa độ điểm \(C\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 10}\\{x + 2y - 10 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 10}\\{y = 0}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(C(10;0)\).
Tọa độ điểm \(D\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 10}\\{y = 9}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 10}\\{y = 9}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(D(10;9)\).
Ta thấy \(F(x;y) = 5x + 4y\) đạt giá trị nhỏ nhất chỉ có thể tại các điểm \(A,B,C,D\).
Tại \(A(0;9)\) thì \(F = 36\) (triệu đồng).
Tại \(B(4;3)\) thì \(F = 32\) (triệu đồng).
Tại \(C(10;0)\) thì \(F = 50\) (triệu đồng).
Tại \(D(10;9)\) thì \(F = 86\) (triệu đồng).
Như vậy để chi phí thấp nhất cần thuê 4 xe loại \(A\) và 3 xe loại \(B\).
Một gia đình cần ít nhất 1200 đơn vị protein và 800 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kilogam thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi kilogam thịt lợn chứa 600 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất \(2,0\;kg\) thịt bò và \(1,5\;kg\) thịt lợn. Giá tiền \(1\;kg\) thịt bò là 200 nghìn đồng, \(1\;kg\) thịt lợn là 100 nghìn đồng. Gọi \(x,y\) lần lượt là số \(kg\) thịt bò và thịt lợn mà gia đình đó cần mua để tổng số tiền họ phải trả là ít nhất mà vẫn đảm bảo lượng protein và lipit trong thức ăn. Tính \(4{x^2} + {y^2}\).
Điều kiện: \(0 \le x \le 2;0 \le y \le 1,5\)
Khi đó số protein có được là \(800x + 600y\) và số lipit có được là \(200x + 400y\)
Vì gia đình đó cần ít nhất 1200 đơn vị protein và 800 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày nên điều kiện tương ứng là:
\(800x + 600y \ge 1200 \Leftrightarrow 4x + 3y \ge 6{\rm{ v\`a }}200x + 400y \ge 800 \Leftrightarrow x + 2y \ge 4\)
Ta có hệ bất phương trình sau:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 \le x \le 2}\\{0 \le y \le 1,5}\\{4x + 3y \ge 6}\\{x + 2y \ge 4}\end{array}} \right.\)(*)
