Đề kiểm tra Bài tập cuối chương 7 (có lời giải) - Đề 3
22 câu hỏi
Cho hàm số \(y = f(x)\)có đạo hàm thỏa mãn \(f'\left( 8 \right) = 5\). Giá trị của biểu thức
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 8} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 8 \right)}}{{x - 8}}\)bằng
\(\frac{1}{3}{\kern 1pt} \).
\(12\).
\(5\).
\(\frac{1}{2}\).
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 8} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 8 \right)}}{{x - 8}} = f'\left( 8 \right) = 5\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{x - 2}}{{x - 1}}\). Tính \(f'\left( x \right)\)?
\(f'\left( x \right) = \frac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\).
\(f'\left( x \right) = \frac{2}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\).
\(f'\left( x \right) = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\).
\(f'\left( x \right) = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)
Ta có \(f'\left( x \right) = \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^\prime }.\left( {x - 1} \right) - \left( {x - 2} \right).{{\left( {x - 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{x - 1 - \left( {x - 2} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\).
Phương trình tiếp tuyến của đường cong \(y = {x^3} + 3{x^2} - 2\) tại điểm có hoành độ \({x_0} = 1\) là
\(y = 9x - 7\).
\(y = 9x + 7\).
\(y = - 9x - 7\).
\(y = - 9x + 7\).
\(y' = 3{x^2} + 6x\)
Có \({x_0} = 1\)\( \Rightarrow y\left( 1 \right) = 2\) và \(y'\left( 1 \right) = 9\)
Khi đó phương trình tiếp tuyến tại điểm \(\left( {1;\,2} \right)\) có dạng \(y = y'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\) \( \Leftrightarrow y = 9x - 7\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 3 \right)}}{{x - 3}} = 2\). Kết quả đúng là
\(f'\left( 2 \right) = 3\).
\(f'\left( x \right) = 2\).
\(f'\left( x \right) = 3\).
\(f'\left( 3 \right) = 2\).
Theo định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm ta có
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 3 \right)}}{{x - 3}} = 2 = f'\left( 3 \right)\).
Tính đạo hàm của hàm số \(y = \sqrt {{x^2} + 3} \) tại điểm \(x = 1\)
\[\frac{3}{2}\].
\[1\].
\[\frac{1}{2}\].
\[2\].
Ta có:
\[\begin{array}{l}f\,'\,\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {{x^2} + 3} - 2}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + 3 - 4}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 3} + 2} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 3} + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x + 1}}{{\left( {\sqrt {{x^2} + 3} + 2} \right)}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}.\end{array}\].
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị \[\left( C \right):y = 3x - 4{x^2}\] tại điểm có hoành độ \[{x_0} = 0\] là
\[y = 0\].
\[y = 3x\].
\[y = 3x - 2\].
\[y = - 12x\].
Tập xác định \(D = \mathbb{R}\).
Đạo hàm \(y' = 3 - 8x\).
Phương trình tiếp tuyến: \(y = {y'_{\left( 0 \right)}}.\left( {x - 0} \right) + {y_{\left( 0 \right)}}\)\( \Rightarrow \)\(\Delta :y = 3x\).
Đạo hàm của hàm số \(y = {\left( { - {x^2} + 3x + 7} \right)^7}\) là
\(y' = 7\left( { - 2x + 3} \right){\left( { - {x^2} + 3x + 7} \right)^6}\).
\(y' = 7{\left( { - {x^2} + 3x + 7} \right)^6}\).
\(y' = \left( { - 2x + 3} \right){\left( { - {x^2} + 3x + 7} \right)^6}\).
\(y' = 6\left( { - 2x + 3} \right){\left( { - {x^2} + 3x + 7} \right)^6}\).
Ta có: \(y' = 7{\left( { - {x^2} + 3x + 7} \right)^6}\left( { - {x^2} + 3x + 7} \right)' = 7\left( { - 2x + 3} \right){\left( { - {x^2} + 3x + 7} \right)^6}\).
Cho hàm số \[y = {x^3} - 3{x^2} + x + 1\]. Phương trình \(y'' = 0\) có nghiệm là
\[x = 2\].
\[x = 4\].
\[x = 1\].
\[x = 3\].
Tập xác định của hàm số: \[D = \mathbb{R}\].
Ta có \[y' = 3{x^2} - 6x + 1\], \[y'' = 6x - 6\]\[ \Rightarrow y'' = 0\]\[ \Leftrightarrow x = 1\].
Hàm số \(y = {x^2}{e^x}\)có đạo hàm là
\(2x{e^x}\).
\(\left( {2 + x} \right)x{e^x}\).
\(\left( {2 + {x^2}} \right){e^x}\).
\(\left( {2 - x} \right)x{e^x}\).
Ta có: \(y' = {\left( {{x^2}} \right)^\prime }{e^x} + {x^2}{\left( {{e^x}} \right)^\prime } = 2x{e^x} + {x^2}{e^x} = \left( {2 + x} \right)x{e^x}\).
Tính đạo hàm của hàm số \(y = \frac{x}{{1 + \ln x}}\).
\(\frac{{2 + \ln x}}{{{{\left( {1 + \ln x} \right)}^2}}}\).
\(\frac{{x\ln x}}{{{{\left( {1 + \ln x} \right)}^2}}}\).
\(\frac{{\ln x}}{{{{\left( {1 + \ln x} \right)}^2}}}\).
\(\frac{{\left( {1 - x} \right)\ln x}}{{{{\left( {1 + \ln x} \right)}^2}}}\).
Ta có: \(y' = \frac{{x'\left( {1 + \ln x} \right) - x{{\left( {1 + \ln x} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {1 + \ln x} \right)}^2}}} = \frac{{1 + \ln x - 1}}{{{{\left( {1 + \ln x} \right)}^2}}} = \frac{{\ln x}}{{{{\left( {1 + \ln x} \right)}^2}}}\).
Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình \(S = - {t^3} + 3{t^2} + 9t\), trong đó \(t\) tính bằng giây và \(S\) tính bằng mét. Tính vận tốc của chuyển động tại thời điểm gia tốc triệt tiêu.
\(12\,\,m/s\).
\(0\,\,m/s\).
\(11\,\,m/s\).
\(6\,\,m/s\).
Vận tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp một của quãng đường: \(v = S' = - 3{t^2} + 6t + 9\)
Gia tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp hai của quãng đường: \(a = S'' = - 6t + 6\)
Gia tốc triệt tiêu khi \(S'' = 0\) \( \Leftrightarrow t = 1\).
Khi đó vận tốc của chuyển động là \(S'\left( 1 \right) = 12\,m/\,s\).
Một vật dao động điều hoà có phương trình \(x = 5\cos \left( {\pi t + \frac{\pi }{2}} \right)\) trong đó li độ \(x\) tính bằng cm và thời gian \(t\) tính bằng giây. Xét thời điểm đầu tiên vật có gia tốc lớn nhất, li độ \(x\) khi đó bằng
\(\frac{{5\sqrt 2 }}{2}\;{\rm{cm}}\).
\(0\;{\rm{cm}}\).
\(5\;{\rm{cm}}\).
\( - 5\;{\rm{cm}}\).
Hàm gia tốc \(a\left( t \right)\) là đạo hàm cấp hai của hàm li độ \(x\left( t \right)\).
Ta có
\(\begin{array}{l}x'\left( t \right) = - 5\pi \sin \left( {\pi t + \frac{\pi }{2}} \right)\\a\left( t \right) = x''\left( t \right) = - 5{\pi ^2}\cos \left( {\pi t + \frac{\pi }{2}} \right)\end{array}\)
Vì \( - 1 \le \cos x \le 1,\forall x \in \mathbb{R}\) nên ta có \( - 5{\pi ^2} \le a\left( t \right) \le 5{\pi ^2}\)
\(\max a\left( t \right) = 5{\pi ^2}\) đạt được khi \[\cos \left( {\pi t + \frac{\pi }{2}} \right) = - 1 \Leftrightarrow \pi t + \frac{\pi }{2} = \pi + k2\pi \Leftrightarrow t = \frac{1}{2} + 2k\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]
Vì thời gian \(t \ge 0\) nên thời điểm đầu tiên vật có gia tốc lớn nhất là \(t = \frac{1}{2}\) (giây) (ứng với \(k = 0\))
Khi đó li độ \(x = 5\cos \left( {\pi .\frac{1}{2} + \frac{\pi }{2}} \right) = - 5\)(cm).
Cho hàm số \[f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2}}}{2}{\rm{ khi }}x \le 1\\ax + b{\rm{ khi }}x > 1\end{array} \right.\]. Biết hàm số có đạo hàm tại \(x = 1\). Khi đó:
\(a > 0\)
\(b > 0\)
\(a + b = \frac{1}{2}\)
\(a - b = 2\)
a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Sai |
Hàm số liên tục tại \(x = 1\) nên ta có \[a + b = \frac{1}{2}\].
Hàm số có đạo hàm tại \(x = 1\) nên giới hạn 2 bên của \[\frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}}\] bằng nhau và ta có:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{ax + b - \left( {a.1 + b} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{a\left( {x - 1} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} a = a\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{1}{2}}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{2\left( {x - 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\left( {x + 1} \right)}}{2} = 1\]
Vậy \(a = 1;b = - \frac{1}{2}\).
Viết được phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 9}}{{x + 1}}\) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(d:x - 2y + 2 = 0\). Khi đó:
Có hai phương trình tiếp tuyến thỏa mãn.
Hệ số góc của tiếp tuyến bằng \( - 2\)
Phương trình tiếp tuyến đi qua điểm \(A\left( {1;5} \right)\)
Phương trình tiếp tuyến đi qua điểm \(B\left( {1; - 7} \right)\)
a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Đúng |
Đường thẳng \(d:x - 2y + 2 = 0 \Rightarrow y = \frac{1}{2}x + 1\) nên đường thẳng \(d\) có hệ số góc là \({k_d} = \frac{1}{2}\).
Tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc \(k\) vuông góc với đường thẳng \(d\)
\( \Rightarrow k \cdot {k_d} = - 1 \Rightarrow k = - \frac{1}{{{k_d}}} = - 2.{\rm{ }}\)
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình \({y^\prime } = k \Rightarrow \frac{{ - 8}}{{{{(x + 1)}^2}}} = - 2 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{x = - 3}\end{array}} \right.\).
Với \(x = 1\), phương trình tiếp tuyến là \(y = - 2x + 7\).
Với \(x = - 3\), phương trình tiếp tuyến là \(y = - 2x - 9\).
Vậy có hai phương trình tiếp tuyến thỏa mãn là \({d_1}:y = - 2x + 7;y = - 2x - 9\).
Một chuyển động xác định bởi phương trình \(S\left( t \right) = {t^3} - 3{t^2} - 9t + 2\). Trong đó \(t\) được tính bằng giây, \(S\) được tính bằng mét. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Vận tốc của chuyển động bằng \(0\)khi \(t = 0\,{\rm{s}}\) hoặc \(t = 2\,{\rm{s}}.\)
Gia tốc của chuyển động tại thời điểm \(t = 3\,{\rm{s}}\) là \(12\;{\rm{m/}}{{\rm{s}}^2}\).
Gia tốc của chuyển động bằng \(0\;{\rm{m/}}{{\rm{s}}^2}\) khi \(t = 0\,{\rm{s}}\).
Vận tốc của chuyển động tại thời điểm \(t = 2\,{\rm{s}}\) là \(v = 18\;{\rm{m/s}}.\)
a) Sai | b) Đúng | c) Sai | d) Sai |
Vận tốc của chuyển động tại thời điểm \(t\) có phương trình là \(v\left( t \right) = S'\left( t \right) = 3{t^2} - 6t - 9.\)
Gia tốc của chuyển động tại thời điểm \(t\) có phương trình là \(a\left( t \right) = v'\left( t \right) = 6t - 6.\)
Tại thời điểm \(t = 3\,{\rm{s}}\) ta có \(a\left( 3 \right) = 6.3 - 6 = 12\;{\rm{m/}}{{\rm{s}}^2}.\)
Cho hàm số \(y = x\left[ {\cos \left( {\ln x} \right) + \sin \left( {\ln x} \right)} \right]\). Các mệnh đề sau đúng hay sai?
\({x^2}y'' + xy' - 2y = 0\).
\({x^2}y'' - xy' - 2y = 0\).
\({x^2}y'' - xy' + 2y = 0\).
\({x^2}y' - xy'' + 2y = 0\).
a) Sai | b) Sai | c) Đúng | d) Sai |
Ta có: \(y' = \cos \left( {\ln x} \right) + \sin \left( {\ln x} \right) + x\left[ { - \frac{{\sin \left( {\ln x} \right)}}{x} + \frac{{\cos \left( {\ln x} \right)}}{x}} \right]\)
\( = \cos \left( {\ln x} \right) + \sin \left( {\ln x} \right) - \sin \left( {\ln x} \right) + \cos \left( {\ln x} \right) = 2\cos \left( {\ln x} \right)\).
Suy ra: \(y'' = - \frac{{2\sin \left( {\ln x} \right)}}{x}\).
Ta có:
Ø \({x^2}y'' + xy' - 2y = - 2x\sin \left( {\ln x} \right) + 2x\cos \left( {\ln x} \right) - 2x\left[ {\cos \left( {\ln x} \right) + \sin \left( {\ln x} \right)} \right] = - 4x\sin \left( {\ln x} \right)\).
Vậy a sai.
Ø \({x^2}y'' - xy' - 2y = - 2x\sin \left( {\ln x} \right) - 2x\cos \left( {\ln x} \right) - 2x\left[ {\cos \left( {\ln x} \right) + \sin \left( {\ln x} \right)} \right]\)
\( = - 4x\left[ {\cos \left( {\ln x} \right) + \sin \left( {\ln x} \right)} \right]\).
Vậy b sai.
Ø \({x^2}y'' - xy' + 2y = - 2x\sin \left( {\ln x} \right) - 2x\cos \left( {\ln x} \right) + 2x\left[ {\cos \left( {\ln x} \right) + \sin \left( {\ln x} \right)} \right] = 0\).
Vậy c đúng.
Ø \({x^2}y' - xy'' + 2y = 2{x^2}\cos \left( {\ln x} \right) + 2\sin \left( {\ln x} \right) + 2x\left[ {\cos \left( {\ln x} \right) + \sin \left( {\ln x} \right)} \right] \ne 0\).
Vậy d sai.
Cho hàm số \(y = f(x) = \frac{{x + 1}}{{3x}}\) có đồ thị \((C)\).
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \((C)\) tại giao điểm của \((C)\) với đường thẳng \(y = x + 1\).
Toạ độ giao điểm của \((C)\) với đường thẳng \(y = x + 1\) là nghiệm của hệ
phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = \frac{{x + 1}}{{3x}}}\\{y = x + 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{x + 1}}{{3x}} = x + 1}\\{y = x + 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3{x^2} + 2x - 1 = 0}\\{y = x + 1}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 \Rightarrow y = 0}\\{x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{4}{3}}\end{array}} \right.\)
Phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm \(( - 1;0)\) là:
\(y - 0 = {f^\prime }( - 1)(x + 1) \Leftrightarrow y = - \frac{1}{3}(x + 1) \Leftrightarrow y = - \frac{1}{3}x - \frac{1}{3}.\)
Phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm \(\left( {\frac{1}{3};\frac{4}{3}} \right)\) là:
\(y - \frac{4}{3} = {f^\prime }\left( {\frac{1}{3}} \right)\left( {x - \frac{1}{3}} \right) \Leftrightarrow y = - 3\left( {x - \frac{1}{3}} \right) + \frac{4}{3} \Leftrightarrow y = - 3x + \frac{7}{3}.\)
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{3 - \sqrt {4 - x} }}{4}}&{{\rm{ khi }}x \ne 0}\\{\frac{1}{4}}&{{\rm{ khi }}x = 0}\end{array}} \right.\). Tính \({f^\prime }(0)\).
Với \(x \ne 0\) xét:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{3 - \sqrt {4 - x} }}{4} - \frac{1}{4}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2 - \sqrt {4 - x} }}{{4x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{4 - (4 - x)}}{{4x(2 + \sqrt {4 - x} )}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{4(2 + \sqrt {4 - x} )}} = \frac{1}{{4(2 + \sqrt {4 - 0} )}} = \frac{1}{{16}} \Rightarrow {f^\prime }(0) = \frac{1}{{16}}.\end{array}\)
Cho đường cong \((C):y = \frac{{2x - 1}}{{x - 1}}\).
Viết phương trình tiếp tuyến với \((C)\) tại điểm có hoành độ bằng 2 ;
Ta có: \({y^\prime } = - \frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}}\) và \(y(2) = 3\)
\({y^\prime }(2) = - \frac{1}{{{{(2 - 1)}^2}}} = - 1\).
Do đó phương trình tiếp tuyến với \((C)\) tại điểm (2;3) là: \(y = - 1(x - 2) + 3 \Rightarrow y = - x + 5\)
Một vật chuyển động với phương trình \(S(t) = 4{t^2} + {t^3}\), trong đó \(t > 0,t\) tính bằng giây, \(S(t)\) tính bằng \(m\). Tìm gia tốc của vật tại thời điểm vận tốc của vật bằng 11 .
Ta có: \(v(t) = {S^\prime }(t) = 3{t^2} + 8t\) và \(a(t) = {v^\prime }(t) = 6t + 8\).
Theo đề bài, ta có: \(v = 11 \Rightarrow 3{t^2} + 8t = 11 \Rightarrow t = 1(t > 0)\).
Vậy gia tốc của vật tại thời điểm vận tốc của vật bằng 11 là \(a(1) = 14m/{s^2}\).
Cho biết điện lượng truyền trong dây dẫn theo thời gian biểu thị bởi hàm số \(Q(t) = 2{t^2} + t\), trong đó \(t\) được tính bằng giây và \(Q\) được tính theo Culông. Tính cường độ dòng điện tại thời điểm \(t = 4(\;s)\).
Ta có: \({Q^\prime }(t) = {\left( {2{t^2} + t} \right)^\prime } = 4t + 1\) nên cường độ dòng điện tại thời điểm \(t = 4(\;s)\) là \({Q^\prime }(4) = 4.4 + 1 = 17(C/s)\)
Một chất điểm chuyển động có phương trình \(s = - {t^3} + {t^2} + t + 4\) (\(t\) là thời gian tính bằng giây). Gia tốc của chuyển động tại thời điểm vận tốc đạt giá trị lớn nhất là bao nhiêu?
Vận tốc của chất điểm có phương trình là: \(v = {s^\prime } = - 3{t^2} + 2t + 1\).
Vận tốc của chất điểm đạt GTLN khi \(t = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{1}{3}\).
Gia tốc của chất điểm có phương trình là: \({s^{\prime \prime }} = - 6t + 2\).
Tại thời điểm vận tốc đạt GTLN thì gia tốc bằng \({s^{\prime \prime }}\left( {\frac{1}{3}} \right) = 0\).
