Đề kiểm tra Bài tập cuối chương 7 (có lời giải) - Đề 1
22 câu hỏi
Xét ba phát biểu:
\[(1)\] Nếu hàm số \[f(x)\] có đạo hàm tại điểm \[x = {x_0}\] thì \[f(x)\] liên tục tại điểm đó.
\[(2)\] Nếu hàm số \[f(x)\] liên tục tại điểm \[x = {x_0}\] thì \[f(x)\] có đạo hàm tại điểm đó.
\[(3)\] Nếu hàm số \[f(x)\] gián đoạn tại điểm \[x = {x_0}\] thì chắc chắn \[f(x)\] không có đạo hàm tại điểm đó.
Tìm số phát biểu đúng:
\[0\].
\[1\].
\[2\].
\[3\].
Phát biểu \[(1)\] và \[(3)\] đúng. Chọn \[C\].
Cho hàm số \(y = \sqrt {x - 1} \). Tính đạo hàm của hàm số tại điểm \({x_0} = 2\)
\(\frac{1}{4}\).
\(2\).
\(\frac{1}{2}\).
\(\frac{1}{3}\)
Chọn C
Xét \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 2 \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {x - 1} - 1}}{{x - 2}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x - 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {\sqrt {x - 1} + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{1}{{\sqrt {x - 1} + 1}} = \frac{1}{2}\).
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 2\) tại điểm \({x_0} = 1\) có hệ số góc là:
\(k = - 3\).
\(k = 3\).
\(k = 2\).
\(k = - 2\).
Chọn B
Ta có hệ số góc \(k = f'\left( {{x_0}} \right) = f'\left( 1 \right)\).
\(f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^3} + 2 - 3}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^3} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{x - 1}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^2} + x + 1} \right) = 3.\) Vậy \(k = 3.\)
\(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\) của hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {3x + 1} \) theo \(x\) là:
\(\frac{3}{{\sqrt {3x + 1} }}\).
\(\frac{3}{{2\sqrt {3x + 1} }}\).
\(\frac{{3x}}{{2\sqrt {3x + 1} }}\).
\(\frac{1}{{2\sqrt {3x + 1} }}\).
Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\sqrt {3\left( {x + \Delta x} \right) + 1} - \sqrt {3x + 1} }}{{\Delta x}}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{3}{{\sqrt {3\left( {x + \Delta x} \right) + 1} + \sqrt {3x + 1} }}\]\[ = \frac{3}{{2\sqrt {3x + 1} }}\].
Cho hàm số \[f(x) = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\] xác định trên \[\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\]. Đạo hàm của hàm số \[f(x)\] là
\[f'\left( x \right) = \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\].
\[f'\left( x \right) = \frac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\].
\[f'\left( x \right) = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\].
\[f'\left( x \right) = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\].
Ta có:
\[f'\left( x \right) = \frac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^\prime }\left( {x + 1} \right) - \left( {2x - 1} \right){{\left( {x + 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{2x + 2 - 2x + 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\]
Cho hai hàm số \(u = u\left( x \right)\), \(v = v\left( x \right)\) là các hàm số có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và \(v\left( x \right) \ne 0,\forall x \in \mathbb{R}\), chọn công thức đạo hàm đúng.
\({\left( {\frac{u}{v}} \right)^\prime } = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\).
\({\left( {\frac{u}{v}} \right)^\prime } = \frac{{u'v + uv'}}{{{v^2}}}\).
\({\left( {\frac{u}{v}} \right)^\prime } = \frac{{uv' - u'v}}{{{v^2}}}\).
\({\left( {\frac{u}{v}} \right)^\prime } = \frac{{uv' + u'v}}{{{v^2}}}\).
Ta có công thức: \({\left( {\frac{u}{v}} \right)^\prime } = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \sin 2x\). Tính \(f'\left( x \right)\).
\(f'\left( x \right) = 2\sin 2x\).
\(f'\left( x \right) = \cos 2x\).
\(f'\left( x \right) = 2\cos 2x\).
\(f'\left( x \right) = - \frac{1}{2}\cos 2x\).
Ta có \(f'\left( x \right) = {\left( {2x} \right)^\prime }\cos 2x = 2\cos 2x\,.\)
Giả sử \(u = u\left( x \right),v = v\left( x \right)\)là các hàm số có đạo hàm trên tập \(K\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
\({\left( {u.v} \right)^\prime } = u'v + v'u\).
\({\left( {u.v} \right)^\prime } = u'v'\).
\({\left( {u.v} \right)^\prime } = u'v' + uv\).
\({\left( {u.v} \right)^\prime } = u'v - v'u\).
\({\left( {u.v} \right)^\prime } = u'v + v'u\)
Tính đạo hàm của hàm số \(y = \frac{{\sin x}}{x} + \frac{x}{{\sin x}}\).
\(y' = \frac{{\cos x - \sin x}}{{{x^2}}} + \frac{{\sin x - x\cos x}}{{{{\sin }^2}x}}\).
\(y' = \frac{{x\cos x - \sin x}}{{{x^2}}} - \frac{{\sin x - x\cos x}}{{{{\sin }^2}x}}\).
\(y' = \frac{{x\cos x - \sin x}}{{{x^2}}} + \frac{{\sin x - \cos x}}{{{{\sin }^2}x}}\).
\(y' = \frac{{x\cos x - \sin x}}{{{x^2}}} + \frac{{\sin x - x\cos x}}{{{{\sin }^2}x}}\)
\( \Rightarrow y' = {\left( {\frac{{\sin x}}{x}} \right)^/} + {\left( {\frac{x}{{\sin x}}} \right)^/}\) \( = \frac{{{{\left( {\sin x} \right)}^/}.x - {x^/}.\sin x}}{{{x^2}}} + \frac{{{x^/}.\sin x - {{\left( {\sin x} \right)}^/}.x}}{{{{\sin }^2}x}} = \frac{{x\cos x - \sin x}}{{{x^2}}} + \frac{{\sin x - x\cos x}}{{{{\sin }^2}x}}.\).
Cho hàm số \[f\left( x \right)\] liên tục trên khoảng \[\left( { - 1;\,1} \right)\] và \[f'\left( x \right) = \frac{x}{{1 - {x^2}}},\,\forall x \in \left( { - 1;\,1} \right)\]. Tính đạo hàm của hàm số \[g\left( x \right) = f\left( {\cos x} \right)\] tại \[x = \frac{\pi }{4}\].
\[g'\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = - 1\].
\[g'\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 1\].
\[g'\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\].
\[g'\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\].
Ta có \[g'\left( x \right) = - \sin x.f'\left( {\cos x} \right) = - \cot x\] nên \[g'\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = - 1.\]
Tìm gia tốc tức thời của chuyển động có phương trình \[S\left( t \right) = 7{t^5} - 3t + 2\], trong đó \[S\] được tính bằng mét (\[m\]) và \[t\] được tính bằng giây (\[s\]).
\[ - 140{t^3}\].
\[ - 140{t^2}\].
\[140t\].
\[140{t^3}\].
Ta có: Gia tốc tức thời của chuyển động là:
\[a = S''\left( t \right) = {\left( {7{t^5} - 3t + 2} \right)^{\prime \prime }} = {\left( {35{t^4} - 3} \right)^\prime } = 140{t^3}\].
Một chất điểm có phương trình chuyển động \(s\left( t \right) = \frac{{{t^3}}}{3} - 2{t^2} + 2t + 1\), trong đó \(t > 0\), \(t\) tính bằng giây, \(s\left( t \right)\) tính bằng mét. Tính gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm mà vận tốc tức thời của chất điểm bằng \(7\)m/s.
\( - 6\)\(m/{s^2}\).
\( - 14\) \(m/{s^2}\).
6 \(m/{s^2}\).
14 \(m/{s^2}\).
Ta xác định hàm vận tốc và hàm gia tốc của chất điểm
\(\begin{array}{l}v\left( t \right) = s'\left( t \right) = {t^2} - 4t + 2\\a\left( t \right) = s''\left( t \right) = 2t - 4\end{array}\)
Xét thời điểm vận tốc tức thời của chất điểm bằng \(7\)m/s, ta có:
\({t^2} - 4t + 2 = 7 \Leftrightarrow {t^2} - 4t - 5 = 0 \Leftrightarrow t = 5\quad \left( {t > 0} \right)\)
Gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm \(t = 5\) là \(a\left( 5 \right) = 2.5 - 4 = 6\)\(\left( {m/{s^2}} \right)\).
Dùng định nghĩa để tính đạo hàm của hàm số \(f(x) = 2{x^3}\). Khi đó:
Với bất kì \({x_0}\): \({f^\prime }\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)
\({f^\prime }(1) = - 6\)
\({f^\prime }(0) = 0\)
\[{f^\prime }(2) = 24\]
a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng |
Với bất kì \({x_0}{\rm{, ta c\'o : }}\begin{array}{*{20}{l}}{{f^\prime }\left( {{x_0}} \right)}&{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{2{x^3} - 2x_0^3}}{{x - {x_0}}}}\\{}&{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{2\left( {x - {x_0}} \right)\left( {{x^2} + x \cdot {x_0} + x_0^2} \right)}}{{x - {x_0}}}}\\{}&{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{2\left( {{x^2} + x \cdot {x_0} + x_0^2} \right)}}{1} = 6x_0^2.}\end{array}\)
Vậy \({f^\prime }(x) = {\left( {2{x^3}} \right)^\prime } = 6{x^2}\) trên \(\mathbb{R}\).
Cho hàm số \(y = {x^2} + 3x + 1\) có đồ thị \((C)\). Viết được phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại giao điểm của \((C)\) với trục tung. Khi đó:
Hệ số góc của phương trình tiếp tuyến bằng \(3.\)
Phương trình tiếp tuyến đi qua điểm \(A\left( {1;3} \right)\)
Phương trình tiếp tuyến cắt đường thẳng \(y = 2x + 1\) tại điểm có hoành độ bằng \(0\)
Phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(y = - \frac{1}{3}x + 1\)
a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng |
Với \({x_0} = 0 \Rightarrow {y_0} = 1\)
Ta có \({f^\prime }(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2} + 3x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (x + 3) = 3\)
Vậy phương trình tiếp tuyến là: \(y = 3x + 1\)
Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 1}}{{x - 3}}\). Khi đó:
\(y'\left( 1 \right) = \frac{3}{2}\)
Tổng các nghiệm của phương trình \(y' = 0\) bằng \( - 6\)
Đồ thị của hàm số \(y'\) đi qua điểm \(A\left( {1; - \frac{3}{2}} \right)\)
\(y'\left( 1 \right) < y'\left( 2 \right)\)
a) Sai | b) Sai | c) Đúng | d) Sai |
\({y^\prime } = \frac{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^\prime }(x - 3) - {{(x - 3)}^\prime }\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{{(x - 3)}^2}}} = \frac{{2x(x - 3) - 1\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{{(x - 3)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 6x - 1}}{{{{(x - 3)}^2}}}\).
Cho hàm số \(y = \frac{{\ln x}}{x}\). Các mệnh đề sau đúng hay sai?
\(2y' + xy'' = - \frac{1}{{{x^2}}}\).
\(y' + xy'' = \frac{1}{{{x^2}}}\).
\(y' + xy'' = - \frac{1}{{{x^2}}}\).
\(2y' + xy'' = \frac{1}{{{x^2}}}\).
a) Đúng | b) Sai | c) Sai | d) Sai |
\(y' = \frac{{{{\left( {\ln x} \right)}^\prime }.x - x'.\ln x}}{{{x^2}}} = \frac{{\frac{1}{x}.x - \ln x}}{{{x^2}}} = \frac{{1 - \ln x}}{{{x^2}}}\)
\(y'' = \frac{{{{\left( {1 - \ln x} \right)}^\prime }.{x^2} - {{\left( {{x^2}} \right)}^\prime }\left( {1 - \ln x} \right)}}{{{x^4}}}\)\( = \frac{{ - \frac{1}{x}.{x^2} - 2x\left( {1 - \ln x} \right)}}{{{x^4}}}\)\( = \frac{{ - x - 2x\left( {1 - \ln x} \right)}}{{{x^4}}} = - \frac{{1 + 2\left( {1 - \ln x} \right)}}{{{x^3}}} = - \frac{{3 - 2\ln x}}{{{x^3}}}\)
Suy ra: \(2y' + xy'' = 2.\frac{{1 - \ln x}}{{{x^2}}} - x\frac{{3 - 2\ln x}}{{{x^3}}}\)\( = \frac{{2 - 2\ln x - 3 + 2\ln x}}{{{x^2}}} = - \frac{1}{{{x^2}}}\).
Cho hàm số \(y = {x^3} + 2{x^2} + 1\) có đồ thị là \((C)\). Viết phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm \(M(1;4)\).
Ta có: \({y^\prime } = 3{x^2} + 4x\). Do đó \({y^\prime }(1) = 7\).
Phương trình tiếp tuyến tại điểm \(M(1;4)\) là \(y = 7x - 3\).
Tính đạo hàm của hàm số sau: \(y = - \frac{{2x + 1}}{{{{(x + 1)}^2}}}\)
\({y^\prime } = - \frac{{{{(2x + 1)}^\prime } \cdot {{(x + 1)}^2} - {{\left[ {{{(x + 1)}^2}} \right]}^\prime } \cdot (2x + 1)}}{{{{(x + 1)}^4}}} = - \frac{{2{{(x + 1)}^2} - 2(x + 1)(2x + 1)}}{{{{(x + 1)}^4}}}\)
\( = \frac{{2{x^2} + 2x}}{{{{(x + 1)}^4}}} \Rightarrow {y^\prime } = \frac{{2x}}{{{{(x + 1)}^3}}}\)
Cho hàm số \(y = f(x) = \sqrt {\tan x + \cot x} \). Tính \({f^\prime }\left( {\frac{\pi }{4}} \right)\).
\({f^\prime }(x) = \frac{{1 + {{\tan }^2}x - \left( {1 + {{\cot }^2}x} \right)}}{{2\sqrt {\tan x + \cot x} }} = \frac{{{{\tan }^2}x - {{\cot }^2}x}}{{2\sqrt {\tan x + \cot x} }} \Rightarrow {f^\prime }(0) = \frac{{{{\tan }^2}\frac{\pi }{4} - {{\cot }^2}\frac{\pi }{4}}}{{2\sqrt {\tan \frac{\pi }{4} + \cot \frac{\pi }{4}} }} = 0\)
Một chuyển động có vận tốc được biểu diễn theo đồ thị hình bên. Tính gia tốc của chuyển động tại thời điểm \(t = 1(\;s)\).
Đồ thị của vận tốc là một Parabol có phương trình \(v(t) = a{t^2} + bt + c\).
Trên hình vẽ đồ thị qua các điểm \((0;3),(2;9),(3;0)\) nên có hệ phương trình:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4a + 2b = 6}\\{9a + 3b + - 3}\\{c = 3}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = - 4}\\{b = 11}\\{c = 3}\end{array}} \right.} \right.\).
Do đó phương trình của vận tốc là \(v(t) = - 4{t^2} + 11t + 3\).
Vậy gia tốc của chuyển động tại thời điểm \(t = 1(s)\) là: \(a(1) = {v^\prime }(1) = 3\)
Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình \(S = - {t^3} + 3{t^2} + 9t\), trong đó \(t\) tính bằng giây và \(S\) tính bằng mét. Tính vận tốc của chuyển động tại thời điểm gia tốc triệt tiêu.
Ta có: \(v = {S^\prime } = - 3{t^2} + 6t + 9\) và \(a = {v^\prime } = - 6t + 6\).
Gia tốc triệt tiêu khi \(a = 0 \Rightarrow t = 1\).
Khi đó vận tốc của chuyển động là \(v(1) = 12\;m/s\).
Một chất điểm chuyển động có phương trình \(S = 2{t^4} + 6{t^2} - 3t + 1\) với \(t\) tính bằng giây (s) và \(S\) tính bằng mét (m). Hỏi gia tốc của chuyển động tại thời điểm \(t = 3(s)\) bằng bao nhiêu?
Ta có vận tốc tức thời của chuyển động được tính theo công thức:
\(v\left( t \right) = {\left( {S\left( t \right)} \right)^\prime } = 8{t^3} + 12t - 3\).
Khi đó gia tốc tức thời của chuyển động được tính theo công thức:
\(a\left( t \right) = 24{t^2} + 12\) \( \Rightarrow a\left( 3 \right) = {24.3^2} + 12 = 228\,\,\left( {m/{s^2}} \right)\).
Vậy gia tốc của chuyển động tại thời điểm \(t = 3(s)\) là \(228\left( {m/{s^2}} \right)\).
